排列與組合解題技巧

1、佛山學(xué)習(xí)前線(xiàn)教育培訓(xùn)中心高二數(shù)學(xué)（理）講義專(zhuān)題：排列與組合解題技巧成纜主要技巧:一. 運(yùn)用兩個(gè)基本原理例1： n個(gè)人參加某項(xiàng)資格考試，能否通過(guò)，有多少種可能的結(jié)果？練習(xí)1:同室四人各寫(xiě)了一張賀年卡，先集中起來(lái)，然后每人從中拿一張別人的賀年 卡，則四張賀年卡不同的分配方式有（）（A）6 種 （B） 9 種（C） 11 種 （D）23 種二. 特殊元素（位置）優(yōu)先例2:從0，1,，9這10個(gè)數(shù)字中選取數(shù)字組成偶數(shù)，一共可以得到不含相同數(shù) 字的五位偶數(shù)多少個(gè)？練習(xí)2: 8人站成兩排，每排4人，甲在前排，乙不在后排的邊上，一共有多少種排法?三捆綁法例3: 8人排成一排，甲、乙必須分別緊靠站在丙的兩旁，

2、有多少種排法？練習(xí)3:記者要為5名志愿者和他們幫助的2為老人拍照，要求排成一排，2位老人相 鄰但不排在兩端，不同的排法共有A.1440種B. 960種C.720種D.480種四. 插入法例4:排一張有8個(gè)節(jié)目的演出表，其中有3個(gè)小品，既不能排在第一個(gè)，也不能有 兩個(gè)小品排在一起，有幾種排法？練習(xí)4:安排7位工作人員在5月1日到5月7日值班，每人值班一天，其中甲、乙二 人都不能安排在5月1日和2日，不同的安排方法共有 種。五. 排除法例5:求以一個(gè)長(zhǎng)方體的頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的四面體的個(gè)數(shù)。練習(xí)5: 100件產(chǎn)品中有3件是次品，其余都是正品?，F(xiàn)在從中取出 5件產(chǎn)品，其中含 有次品，有多少種取法？練習(xí)6:

3、8個(gè)人站成一排，其中A與B、A與C都不能站在一起，一共有多少種排法？六. 機(jī)會(huì)均等法例6: 10個(gè)人排成一隊(duì)，其中甲一定要在乙的左邊，丙一定要在乙的右邊，一共有多 少種排法？練習(xí)7:用1, 4，5，四個(gè)數(shù)字組成四位數(shù)，所有這些四位數(shù)中的數(shù)字的總和為288,求。七. 轉(zhuǎn)化法例7: 個(gè)樓梯共10級(jí)臺(tái)階，每步走1級(jí)或2級(jí)，8步走完，一共有多少種走法？ 練習(xí)&動(dòng)點(diǎn)從（0，0）沿水平或豎直方向運(yùn)動(dòng)到達(dá)（6, 8），要使行駛的路程最小， 有多少種走法？八. 隔板法例14: 20個(gè)相同的球分給3個(gè)人，允許有人可以不取，但必須分完，有多少種分法？ 練習(xí)9:把10本相同的書(shū)發(fā)給編號(hào)為1、2、3的三個(gè)學(xué)生

4、閱覽室，每個(gè)閱覽室分得的 書(shū)的本數(shù)不小于其編號(hào)數(shù)，試求不同分法的種數(shù)。請(qǐng)用盡可能多的方法求解，并思考這些 方法是否適合更一般的情況？針對(duì)練習(xí)：1、7名學(xué)生站成一排，甲、乙必須站在一起有多少不同排法？2、7名學(xué)生站成一排，甲乙互不相鄰有多少不同排法？3、（1996年全國(guó)高考題）正六邊形的中心和頂點(diǎn)共7個(gè)點(diǎn)，以其中3個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形共有個(gè)4、（1995年上海高考題）1名老師和4名獲獎(jiǎng)學(xué)生排成一排照像留念，若老師不排在兩端，則共有不同的排法 種.5、（2000年全國(guó)高考題）乒乓球隊(duì)的10名隊(duì)員中有3名主力隊(duì)員，派5名隊(duì)員參加比賽，3名主力隊(duì)員要安排在第一、三、五位置，其余 7名隊(duì)員選2名安排在第二

5、、四位置，那 么不同的出場(chǎng)安排共有 種6（2003年北京春招）某班新年聯(lián)歡會(huì)原定的 5個(gè)節(jié)目已排成節(jié)目單，開(kāi)演前又增加了 兩個(gè)新節(jié)目如果將這兩個(gè)節(jié)目插入原節(jié)目單中，那么不同插法的種數(shù)為（）A. 42B. 30C. 20D. 127、 （ 2003年全國(guó)高考試題）如圖，一個(gè)地區(qū)分為5個(gè)行政區(qū)域，現(xiàn)給地圖著色，要求相 鄰地區(qū)不得使用同一顏色，現(xiàn)有4種顏色可供選擇，則不同的著色方法共有 種（以數(shù)字作答）8、（2002年北京高考）12名同學(xué)分別到三個(gè)不同的路口進(jìn)行車(chē)流量的調(diào)查，若每個(gè)路口4人，則不同的分配方案共有（）A.：八：種B. 丁種C .二；：；種D.亠種49、 （ 2003年北京高考試題）從黃

6、瓜、白菜、油菜、扁豆 4種蔬菜品種中選出3種，分別 種在不同土質(zhì)的三塊土地上，其中黃瓜必須種植，不同的種植方法共有（）A . 24 種 B. 18 種 C. 12種D . 6 種10、（ 2008年陜西卷）某地奧運(yùn)火炬接力傳遞路線(xiàn)共分 6段，傳遞活動(dòng)分別由6名火炬手 完成.如果第一棒火炬手只能從甲、乙、丙三人中產(chǎn)生，最后一棒火炬手只能從甲、乙兩人中產(chǎn)生，則不同的傳遞方案共有 種.（用數(shù)字作答）.11、（2008年天津卷）有4張分別標(biāo)有數(shù)字1, 2, 3, 4的紅色卡片和4張分別標(biāo)有數(shù)字1,2，3，4的藍(lán)色卡片，從這8張卡片中取出4張卡片排成一行.如果取出的4張卡片所標(biāo) 數(shù)字之和等于10,則不同

7、的排法共有 中（用數(shù)字作答）.12、 （2008年浙江卷）用1, 2, 3, 4, 5, 6組成六位數(shù)（沒(méi)有重復(fù)數(shù)字），要求任何相 鄰兩個(gè)數(shù)字的奇偶性不同，且 1和2相鄰，這樣的六位數(shù)的個(gè)數(shù)是 （用數(shù)字作 答）。參考答案：一.運(yùn)用兩個(gè)基本原理加法原理和乘法原理是解排列組合應(yīng)用題的最基本的岀發(fā)點(diǎn)，可以說(shuō)對(duì)每道應(yīng)用題我們都要考慮在記 數(shù)的時(shí)候進(jìn)行分?jǐn)?shù)或分步處理。例1: n個(gè)人參加某項(xiàng)資格考試，能否通過(guò)，有多少種可能的結(jié)果？解法1 :用分類(lèi)記數(shù)的原理，沒(méi)有人通過(guò)，有種結(jié)果；1個(gè)人通過(guò)，有種結(jié)果，；n個(gè)人通過(guò)，有種結(jié)果。所以一共有種可能的結(jié)果。解法2 :用分步記數(shù)的原理。第一個(gè)人有通過(guò)與不通過(guò)兩種可能

8、，第二個(gè)人也是這樣，第n個(gè)人也是這樣。所以一共有種可能的結(jié)果。例2:同室四人各寫(xiě)了一張賀年卡，先集中起來(lái)，然后每人從中拿一張別人的賀年卡，則四張賀年卡不 同的分配方式有（）（A） 6 種（B） 9 種（C） 11 種（D） 23 種解：設(shè)四個(gè)人分別為甲、乙、丙、丁，各自寫(xiě)的賀年卡分別為a、b、c、do第一步，甲取其中一張，有3種等同的方式；第二步，假設(shè)甲取 b,則乙的取法可分兩類(lèi)：（1）乙取a,則接下來(lái)丙、丁的取法都是唯一的，（2）乙取c或d （2種方式），不管哪一種情況，接下來(lái)丙、丁的取法也都是唯一的。根據(jù)加法原理和乘法原理，一共有種分配方式。二 . 特殊元素（位置）優(yōu)先例3:從0 , 1,

9、9這10個(gè)數(shù)字中選取數(shù)字組成偶數(shù)，一共可以得到不含相同數(shù)字的五位偶數(shù)多 少個(gè)？解: 個(gè)位選 0， 有 個(gè)， 個(gè)位不選 0 且萬(wàn)位不能選 0， 有個(gè)， 所以一共可以得到個(gè)偶數(shù)。注0， 2， 4， 6， 8是特殊元素，元素 0更為特殊，首位與末位是特殊的位置。例 4: 8 人站成兩排，每排 4 人，甲在前排，乙不在后排的邊上，一共有多少種排法？解:先排甲，有 種排法。再排乙，有種排法，再排其余的人，又有種排法，所以一共有種排法。三 . 捆綁法例 5: 8 人排成一排，甲、乙必須分別緊靠站在丙的兩旁，有多少種排法？ 解:把甲、乙、丙先排好，有種排法，把這三個(gè)人“捆綁”在一起看成是一個(gè)，與其余5 個(gè)人

10、相當(dāng)于 6個(gè)人排成一排，有種排法，所以一共有=1440 種排法。四 . 插入法例 6:排一張有 8 個(gè)節(jié)目的演出表，其中有 3 個(gè)小品，既不能排在第一個(gè)，也不能有兩個(gè)小品排在一 起，有幾種排法？解:先排 5 個(gè)不是小品的節(jié)目，有 種排法，它們之間以及最后一個(gè)節(jié)目之后一共有6 個(gè)空隙，將 3個(gè)小品插入進(jìn)去，有 種排法，所以一共有=7200 種排法。注:捆綁法與插入法一般適用于有如上述限制條件的排列問(wèn)題。五. 排除法例 7；求以一個(gè)長(zhǎng)方體的頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的四面體的個(gè)數(shù)。解:從 8 個(gè)點(diǎn)中取 4 個(gè)點(diǎn)，共有 種方法，其中取出的 4 個(gè)點(diǎn)共面的有種，所以符合條件的四面體的個(gè)數(shù)為個(gè)。例 8: 100 件產(chǎn)品

11、中有 3 件是次品，其余都是正品?，F(xiàn)在從中取出 5 件產(chǎn)品，其中含有次品，有多少種 取法？解:從 100 件產(chǎn)品中取 5 件產(chǎn)品，有 種取法，從不含次品的 95件中取出 5件產(chǎn)品有 種取法， 所以符合題意的取法有種。例9: 8個(gè)人站成一排，其中 A與B、A與C都不能站在一起，一共有多少種排法？解：無(wú)限制條件有種排法。A與B或A與C在一起各有種排法，A、B、C三人站在一起且 A在中間有種排法，所以一共有+=21600 種排法。六 . 機(jī)會(huì)均等法例 10: 10個(gè)人排成一隊(duì)，其中甲一定要在乙的左邊，丙一定要在乙的右邊，一共有多少種排法？ 解:甲、乙、丙三人排列一共有 6 種排法，在這 6 種排法中

12、各種排列順序在 10 個(gè)人的所有排列中出現(xiàn) 的機(jī)會(huì)是均等的，因此符合題設(shè)條件的排法種數(shù)為。例 11:用 1， 4， 5， 四個(gè)數(shù)字組成四位數(shù)，所有這些四位數(shù)中的數(shù)字的總和為288，求 。解:若 不為 0，在每一個(gè)數(shù)位上 1 ， 4， 5， ，出現(xiàn)的機(jī)會(huì)是均等的。由于一共可以得到24 個(gè)四位數(shù)，所以每一個(gè)數(shù)字在每一個(gè)數(shù)位上出現(xiàn) 6 次，于是得到:，解得。若 為 0，無(wú)解。七 . 轉(zhuǎn)化法例 12:一個(gè)樓梯共 10 級(jí)臺(tái)階，每步走 1 級(jí)或 2 級(jí)， 8 步走完，一共有多少種走法？解: 10級(jí)臺(tái)階，要求 8 步走完，并且每步只能走一級(jí)或 2 級(jí)。顯然，必須有 2 步中每步走 2級(jí)， 6步中 每步走一級(jí)。記每次走 1級(jí)臺(tái)階為A，記每次走2級(jí)臺(tái)階為B，則原問(wèn)題就相當(dāng)于在 8個(gè)格子中選2個(gè)填寫(xiě) B。其余的填寫(xiě) A，這是一個(gè)組合問(wèn)題，所以一共有種走法。例 13:動(dòng)點(diǎn)從（ 0， 0）沿水平或豎直方向運(yùn)動(dòng)到達(dá)（ 6， 8），要使行駛的路程最小，有多少種走法？解：動(dòng)點(diǎn)只能向上或向右運(yùn)動(dòng)才能使路程最小而且最小的路程為 14，把動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng) 1 個(gè)單位看成是 1 步， 則動(dòng)點(diǎn)走了 14 步，于是問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為在 14 個(gè)格子中填寫(xiě) 6 個(gè)“上”和 8 個(gè)“右”，這也是一個(gè)組合的問(wèn) 題，于是