09第九章空間解析幾何

1、第九章 空間解析幾何一、本章學(xué)習(xí)要求與內(nèi)容提要一）學(xué)習(xí)要求1理解空間直角坐標(biāo)系的概念 , 掌握兩點(diǎn)間的距離公式 .2 理解向量的概念、向量的模、單位向量、零向量與向量的方 向角、方向余弦概念 .3 理解向量的加法、數(shù)乘、數(shù)量積與向量積的概念4 理解基本單位向量，熟練掌握向量的坐標(biāo)表示，熟練掌握用 向量的坐標(biāo)表示進(jìn)行向量的加法、數(shù)乘、數(shù)量積與向量積的運(yùn)算5 理解平面的點(diǎn)法式方程和空間直線的點(diǎn)向式方程 （標(biāo)準(zhǔn)方程）、 參數(shù)方程，了解平面和空間直線的一般式方程6 理解曲面及其方程的關(guān)系，知道球面、柱面和旋轉(zhuǎn)曲面的概 念，掌握球面、以坐標(biāo)軸為旋轉(zhuǎn)軸、準(zhǔn)線在坐標(biāo)面上的旋轉(zhuǎn)曲面及以 坐標(biāo)軸為軸的圓柱面和圓

2、錐面的方程及其圖形7 了解空間曲線及其方程，會(huì)求空間曲線在坐標(biāo)面內(nèi)的投影8了解橢球面、橢圓拋物面等二次曲面的標(biāo)準(zhǔn)方程及其圖形重點(diǎn) 向量的概念， 向量的加法、數(shù)乘、數(shù)量積與向量積的概念， 用向量的坐標(biāo)表示進(jìn)行向量的加法、數(shù)乘、數(shù)量積與向量積的運(yùn)算， 平面的點(diǎn)法式方程，空間直線的標(biāo)準(zhǔn)式方程和參數(shù)方程，球面、以坐 標(biāo)軸為軸的圓柱面和圓錐面方程及其圖形， 空間曲線在坐標(biāo)面內(nèi)的投 影.難點(diǎn) 向量的概念， 向量的數(shù)量積與向量積的概念與計(jì)算， 利用向量的數(shù)量積與向量積去建立平面方程與空間直線方程的方法，利用 曲面的方程畫出空間圖形.(二)內(nèi)容提要1. 空間直角坐標(biāo)系在空間，使三條數(shù)軸相互垂直且相交于一點(diǎn) 0

3、，這三條數(shù)軸分別稱為x軸、y軸和z軸，一般是把X軸和y軸放置在水平面上，z軸垂直 于水平面.z軸的正向按下述法則規(guī)定如下：伸出右手，讓四指與大 拇指垂直，并使四指先指向x軸的正向，然后讓四指沿握拳方向旋轉(zhuǎn) 90指向y軸的正向，這時(shí)大拇指所指的方向就是 z軸的正向(該法則稱為右手法則).這樣就組成了右手空間直角坐標(biāo)系Oxyz.在此空間直角坐標(biāo)系中，x軸稱為橫軸，y軸稱為縱軸，z軸稱為豎軸，O稱為坐標(biāo)原點(diǎn)；每?jī)奢S所確定的平面稱為坐標(biāo)平面，簡(jiǎn)稱坐標(biāo)面.X軸與y軸 所確定的坐標(biāo)面稱為xOy坐標(biāo)面，類似地有yOz坐標(biāo)面，zOx坐標(biāo)面。這些坐標(biāo)面把空間分為八個(gè)部分，每一部分稱為一個(gè)卦限在空間直角坐標(biāo)系中建

4、立了空間的一點(diǎn)M與一組有序數(shù)(x,y,z)之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系。有序數(shù)組(x,y,z)稱為點(diǎn)M的坐標(biāo)；x,y,z分別稱 為x坐標(biāo)，y坐標(biāo)，z坐標(biāo).2. 向量的基本概念模.向量的定義向量的模既有大小，又有方向的量，稱為向量或矢量.Ta或ab表示向量的向量的大小稱為向量的模，用單位向量模為1的向量稱為單位向量.零向量模為0的向量稱為零向量，零向量的方向是任意的向量的相等 大小相等且方向相同的向量稱為相等的向量自由向量 在空間任意地平行移動(dòng)后不變的向量，稱為自由向向徑 終點(diǎn)為P的向量OP稱為點(diǎn)P的向徑，記為OP .3. 向量的線性運(yùn)算向量的加法 三角形法則若將向量a的終點(diǎn)與向量b的起點(diǎn)放在一起，則 以

5、a的起點(diǎn)為起點(diǎn)，以b的終點(diǎn)為終點(diǎn)的向量稱為向量 a與b的和向量，記為a+b.這種求向量和的方法稱為向量加法的三角形法則 平行四邊形法則將兩個(gè)向量a和b的起點(diǎn)放在一起，并以a和b為鄰邊作平行四邊形，則從起點(diǎn)到對(duì)角頂點(diǎn)的向量稱為a + b.這種求向量和的方法稱為向量加法的平行四邊形法則向量的加法滿足下列運(yùn)算律.交換律：a+b = b+a ；結(jié)合律：（a+b） + c = a + （ b + c）.向量與數(shù)的乘法運(yùn)算實(shí)數(shù)A與向量a的乘積是一個(gè)向量，稱為向量a與數(shù)A的乘積，記作Za ,并且規(guī)定：心= 當(dāng)A 0時(shí)，za與a的方向相同；當(dāng)A 0時(shí)，油與a的方向相反; 當(dāng)幾=0時(shí)，Za是零向量.設(shè)）“，卩都

6、是實(shí)數(shù)，向量與數(shù)的乘法滿足下列運(yùn)算律:結(jié)合律：a（4a）=（ZP）a = 4（幾a）；分配律：仏+） a=Aa+a ,入（a + b ）=卜a +汕.向量的加法運(yùn)算和向量與數(shù)的乘法運(yùn)算統(tǒng)稱為向量的線性運(yùn) 求與a同向的單位向量的方法 設(shè)向量a是一個(gè)非零向量，則與a同向的單位向量ea = 負(fù)向量 當(dāng)幾=1時(shí)，記（-1） a =- a，則-a與a的方向相反，模相等，-a稱為向量a的負(fù)向量. 向量的減法 兩向量的減法（即向量的差）規(guī)定為a - b =a+(-1) b .向量的減法也可按三角形法則進(jìn)行，只要把a(bǔ)與b的起點(diǎn)放在一起，a- b即是以b的終點(diǎn)為起點(diǎn)，以a的終點(diǎn)為終點(diǎn)的向量.4.向量的坐標(biāo)表示w

7、ord基本單位向量i , j , k分別為與x軸，y軸，z軸同向的單位向向徑的坐標(biāo)表示點(diǎn)P（ai，a2，a3）的向徑OP的坐標(biāo)表達(dá)式為OP 二 ai i+ a2 j + a3 k 或簡(jiǎn)記為OP =ai，a2，a3.MiM2的坐標(biāo)表示設(shè)以 M 1（x1, y1 ,Z1）為起點(diǎn)，以 M2（X2,y2,Z2）為終點(diǎn)的向M1M 2的坐標(biāo)表達(dá)式為向量a= a1 a2 j + a3k的模MiM 2=(X2 -Xi)i + (y2 - yj j +(Z2 -Zi)k .二 Jaj + a2 + a3 .5. 坐標(biāo)表示下的向量的線性運(yùn)算設(shè) a = aj + a2 j + a3k , b = bii + b2

8、j + b3k，貝S有(1) a + b =6 +6)i + (a2 +b2)j + (a3 +3)k ；(2) a -b =(ai -bi)i + (a2 -b?)j + (a b3)k ；(3) /a = A(a1 i + a2 j + a3k)=；+ /.a2 j + /.a3k .6. 向量的數(shù)量積定義 設(shè)向量a,b之間的夾角為e(o蘭日n，則稱laib cos日為向量a與b的數(shù)量積，記作a - b，即a - b = ab cos日.向量的數(shù)量積又稱“點(diǎn)積”或“內(nèi)積”向量的數(shù)量積還滿足下列運(yùn)算律：交換律：a b = b a ;分配律：(a + b) c = a c + b - c ;結(jié)

9、合律：譏a b )=( A a) b (其中；為常數(shù)).數(shù)量積的坐標(biāo)表示設(shè) a =aj+ a2 j +a3k,b= bj+ b2 j+b3k,貝J a -b = aiti+ a2ba3b3.向量a與b的夾角余弦設(shè) a = aj + a2 j + a3k， b= b1 i 中 b2 j + b3k ,貝Ucos 日a1b1 +暫叮無(wú)6(o n.Jai +a2 +a2 Jbj +b2 +bf向量的方向余弦設(shè)向量a= aii+ a2j + ask與x軸，y軸，z軸 的正向夾角分別為g(V(0蘭s n,稱其為向量a的三個(gè)方向角，并稱cosa , cosP,cosY為a的方向余弦，向量a的方向余弦的坐標(biāo)

10、表示為aia2a3co, cosP = ,2, cosY =,Ja2 + a； + a：ja +a| +空J(rèn)a： + a； + a；且 cos2 a + cos2 P + cos2 Y = 1.7. 向量的向量積定義 兩個(gè)向量a與b的向量積是一個(gè)向量，記作a X b，它的模和方向分別規(guī)定如下:a X b = a lb sine 其中0是向量a與b的夾角；a X b的方向?yàn)榧却怪庇赼又垂直于b，并且按順序a , b, a X b符合右手法則.向量的向量積滿足如下運(yùn)算律.反交換律：a X b =- b X a ;分配律：(a + b) X c = a X c + b X c ;結(jié)合律：4 a X

11、b )=( A a) X b = a X (a b)(其中幾為常數(shù)).向量積的坐標(biāo)表示設(shè)a = aj + a2j + ask , b = bii + bzj + bsk，貝Sa X b = (a2b3 -a3b2)i -(aid asd) j +(aib2 -azbjk .可將a Xb表示成一個(gè)三階行列式的形式，計(jì)算時(shí)， 只需將其按第 一行展開即可.即i j kai a? a3bi b2 b38. 三個(gè)重要結(jié)論 a =b= ai = bl, a 2 = b?, a b3； a 丄 b u a b = 0= a1b1 +a2b2 +a3b3 =0;a / b= a f b=蘭=膽=竺=axb =

12、 0. bib2b3其中，“二”表示“充分必要條件”.9 .平面方程平面的點(diǎn)法式方程如果一非零向量n垂直于平面；I，則稱此向量為該平面的法向量.過點(diǎn)M0(x0, y0，Z0),以n = (a, B,C為法向量的點(diǎn)法式平面方程為A(x-xo) +B(y-yo)+C(z-Zo) =0 (A,B,C 至 少有一個(gè)不為零).平面的一般式方程以n = a, B,c為法向量的一般式平面方程為Ax + By + Cz + D = 0(A,B,C至少有一個(gè)不為零)兩個(gè)平面的位置關(guān)系設(shè)兩個(gè)平面6與兀2的方程分別為1 : A,x + B1y + C1z tDr =0,兀2 ： A2x + B2y + C2z +

13、D2 =0,其法向量分別為ni=Ai,Bi,Ci，n2二仏巴卩，有如下結(jié)論:兀1 丄兀2 臺(tái) ni_L“2uA A2+B1B2+C1C2 = 0;嗎ni / y &詈壬唱；;Ti與兀2重合二AiBiCiDiA2B2 C2 D2（4）平面r與；12的夾角日，即為兩個(gè)平面法向量夾角，其公式為cos 9 =ni n2A, A2 + B4B2 + C1C2nin2Ja2 + Bi2 +Ci2Ja；+b； + c；(0蘭h 蘭2.（5）點(diǎn)Pi（Xi，yi，Zi）到平面兀Ax + By+Cz + D=0的距離公式為Axi + Byi + Czi + DdJa2 + B2 +C2i0.直線方程如果一個(gè)非零向

14、量s平行于直線L,則稱s為直線L的方向向量.直線的標(biāo)準(zhǔn)式方程設(shè)直線L過點(diǎn)M 0(X0, y0, Z0)且以S = a, b, c為方向向量，則直線L的標(biāo)準(zhǔn)式方程（也稱為點(diǎn)向式方程）為x-X0 y y0 _ z Z0abc 直線的參數(shù)方程 設(shè)直線L過點(diǎn)M0（x0，y0，Z0）且以s= a,b,c為方向向量,則直線L的參數(shù)方程為|x =x0 + at ,y 0 +bt ,z 0 +ct ,其中t為參數(shù). 直線的一般式方程 若直線L作為平面Aix+Biy+Gz + Di=0和平A2x+B2y+C2z+D2 =0的交線，則該直線L的一般式方程為Ax + By +Ciz + Di =0 , tA2x+B

15、2y + C2Z +D2 =0,其中 Ai,Bi,Ci與 A2,B2,C2不成比例.兩條直線的位置關(guān)系設(shè)直線Li與L2的標(biāo)準(zhǔn)方程分別為X-Xiy-yi Z-Zici Z-Z2c2Li :aibX X2y y2L2 :a 2 b?則有其方向向量分別為 s =佝,6,g,S2 =印,6, Li/L2U 5 II 邑二 =0 ；a2b2c2L1丄L2us1丄S2Ua1a2+bib2+C1C2= 0.11. 直線與平面的位置關(guān)系直線與它在平面上的投影線間的夾角叫0/ 0), a b當(dāng)a =b時(shí)，原方程化為X2 + y2 = 2qz（q 0 ,其中q=a2 p），它由拋物線繞z軸旋轉(zhuǎn)而成，稱為旋轉(zhuǎn)拋物面

16、.橢球面方程橢球面方程為2 、，2 2xyz c c、+ + =1 (aA0,bA0,CA0), abC其中a, b,c稱為橢球面的半軸.16. 空間曲線在坐標(biāo)面上的投影設(shè)空間曲線C的方程為G；x：y：Z0：過曲線C上的每一點(diǎn)作xOy 坐標(biāo)面的垂線，這些垂線形成了一個(gè)母線平行于 z軸的柱面，稱為曲線C關(guān)于xOy坐標(biāo)面的投影柱面.這個(gè)柱面與xOy坐標(biāo)面的交線稱為 曲線C在xOy坐標(biāo)面的投影曲線，簡(jiǎn)稱為投影.在方程組；：；）中消去變量z，得H(x,y)=0，方程H （x, y） =0就是曲線C關(guān)于xOy坐標(biāo)面的投影柱面方程.它與xOy坐標(biāo)面的交線H(x, y)=0, lz=0.就是曲線C在xOy坐

17、標(biāo)面的投影曲線方程.二、主要解題方法1向量的運(yùn)算例1設(shè)向量AB=4 i -4j +7 k的終點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2,_1,7）求（1）始點(diǎn)A的坐標(biāo)；（2）向量AB的模；（3）向量AB的方向余弦；（4）與向量aB方 向一致的單位向量.解 （1 ）設(shè)始點(diǎn)A的坐標(biāo)為（x,y,z），則有 2-x = 4 ,-1-y = 4 ,7-z = 7，彳得 x = -2 , y =3 , z =0 ;AB疔著時(shí)=9;(3) COSa 二4 =9 , cosP=4 , COSY=7 ;AB(4) ABO=4B = 1(4 i 4 j +7k).AB9a= 2，求出例2 已知向量a與向量b = 3i + 6 j+ 8k及

18、x軸垂直，且向量a.解 因?yàn)閍丄b，a丄i （垂直于x軸），故a與向量b平行.由兩向量 平行的充要條件，a可寫成a = Mb），即二入(8 j- 6k).由題設(shè) a = 2，得 J(8Q2 +(-6/)2 =2 ，汩(82 +62) = 4， h=- ,5從而得 a =5 j| k，或 a = 一81 k.2. 建立平面方程與直線方程的方法求平行于y軸，且過點(diǎn)A(1,1)與B(3,2,-3)的平面方程.解一面平行于利用向量運(yùn)算的方法。關(guān)鍵是求出平面的法向量n .因?yàn)槠接谑?，取n = j X AB ,y軸，所以n丄j .又因?yàn)槠矫孢^點(diǎn)A與B，所以必有n丄AB .而 AB =2 , 7,-4，所以

19、 n = 1 j0 12 7解設(shè)所求平面方程為Ax +By +Cz+ D = 0 ,平面過點(diǎn)(3, 0, 0),有平面過點(diǎn)(0, 0, 1),有3A + D =0,即 A = -D ,3C + D =0 ,即 C =-D ,k0 =-4i - 2 k ,一4 因此，由平面的點(diǎn)法式方程，得-4(x 1)+0(y+5) 2(z 1) = 0 ,即2x +z 3 =0.解二 利用平面的一般式方程。設(shè)所求的平面方程為Ax + By +Cz +D =0,由于平面平行于y軸，所以B=0,原方程變?yōu)锳x + Cz + D=0,又所求平面過點(diǎn)A(1, -5, 1)與B(3,2, -3)，將A,B的坐標(biāo)代入上述

20、方程, 得二ccTdI。，解之得A = 2C, D 一aC,代入所設(shè)方程，故所求平 面方程為 2x+z-3=0.例4求通過點(diǎn)(3,0,0)和點(diǎn)(0,0 , 1)且與xOy平面成角的平面的3方程.又,平面與xOy面成上角，有3cos n = - =一 C -，321xJa2 +b2 +c2即 A2 +B2 -3C2 =0 ,解得B=孚故所求平面為護(hù)孚=0,X J26 +3z 3 =0.求過點(diǎn)Z,1)且垂直于直線f；y：z；2:0,的平面方程-直線的方向 向量為s= 1,-2,1X1,1,-1 =i11-21k1-1= 1,2,3,由于平面與該直線垂直,故可取平面的法向量n為該方向向量s，即 n

21、=s =1,2,3，由點(diǎn)法式得平面方程X -1 +2(y +2) +3(z-1) = 0，即例6求通過點(diǎn)F0(2,_1,3)且與直線垂直相交的直線方-10 2解 禾U用向量運(yùn)算的方法。在已知點(diǎn)的條件下，關(guān)鍵是求出直線 的方向向量S .為此先求出過點(diǎn)Po(2, _1,3)且垂直于已知直線的平面方程，再求出已知直線與此平面的交點(diǎn)，禾U用交點(diǎn)與已知點(diǎn)找出所求直 線的方向向量s,即可得到所求的直線方程.其步驟如下:(i)過點(diǎn)P0垂直于已知直線的平面方程為-(X-2)+2(z-3)=0，即X2z +4=0.（ii）求上述平面與直線的交點(diǎn)P ,為此令-1X-1y z_2=t , x = 1t,y =0 ,

22、 z=2 + 2t ,將上述參數(shù)方程代入平面X - 2z + 4 = 0 中，有1-t-2(2+2t) + 4 = 0 ,所以x=4563s= F0R =5,-1,5,y =0Z 二,即5卩1（20,）,所以55（iii）寫出所求直線方程。由于直線過點(diǎn)Po（2,1,3），故所求直線方程為 x_2 _y+1 _z_3,即 xJ y+z36-136-53例7 求過點(diǎn)M0（1,2,1）且與兩平面兀1x + y 2z = 1 禾口 兀2 :x+2y-z=1平行的直線方程.解 設(shè)所求直線的方向向量為s =m, n,p , n1 =1,1,-2, n2 =1,2,-1，因?yàn)樗笾本€I與兀1,兀2平行，所以S丄m, sin 2,k=3i j +k =3-1,1,取 S = n1x “2 二1,1,-2X1,2,-1 = 1 1 -21 2 -1故所求直線的方程為注小結(jié) 求平面方程和直線方程，在已知一給定點(diǎn)的條件下，關(guān)鍵是求出平面的法線向量和直線的方向向量.這要以兩向量的點(diǎn)積和叉 積的運(yùn)算為基礎(chǔ)另外，求平面方程