構(gòu)造同邊疊邊直角三角形利用解題通法求解高度問題

1、構(gòu)造同邊疊邊直角三角形用解題通法求解長度問題三穗縣第三中學(xué)楊靖此論文獲2017年貴州省論文評選一等獎 在九年級銳角三角函數(shù)一章“解直角三角形及應(yīng)用”一小節(jié)中，有一個(gè)非常特殊而 又很典型的模型，在中考數(shù)學(xué)模擬考試及升學(xué)考試中，很多地區(qū)都出現(xiàn)過類似的考試題目， 如果老師沒有進(jìn)行總結(jié)歸納，總結(jié)出解題通法，學(xué)生不引起注意，找不到解題方法，達(dá)不到“做一題、通一法、會一類”的目的，通過多年的教學(xué)總結(jié)，發(fā)現(xiàn)很多地方中考試題是通過 基本圖形的變形，但本質(zhì)還是這個(gè)圖形。如果學(xué)生真正理解，遇到此類問題就會迎刃而解。一、典型模型圖1圖2圖3B模型特點(diǎn)：兩個(gè)直角三角形，直角頂點(diǎn)相同，一條直角邊為同邊（公共邊），另一條

2、直 角邊相疊合（長度不同），為了便于學(xué)生記憶，筆者將這個(gè)模型命名為同邊疊邊直角三角形。 四個(gè)模型其實(shí)是一個(gè)模型，只需要通過旋轉(zhuǎn)、對稱變換可以相互轉(zhuǎn)化。二、兩種命題方向命題方向一：已知兩個(gè)銳角及公共直角邊 h的長，求疊合直 角邊的差（a）,此種命題方向的題簡單，考題也少。命題方向二：已知兩個(gè)銳角及疊合直角邊的差（a）,求公共直 角邊h的長，此種命題方向的靈活，變式多樣，很受命題教師的喜愛。三、解題通法命題方向一的解題通法是分別用正切或余切三角函數(shù)表示CD， iL* m _AD，即：CD cot ?BC tan(90°) ? BC，AC cot ? BC tan(90°) ?

3、BC，再計(jì)算AC-CD就是AD的長。命題方向二的解題通法：設(shè)公共邊 BC為X,可以從兩種三角函數(shù)列方程解決問題。思路一：先用正切三角函數(shù)表示其它兩條直角邊，即:XXAC ，DC ，用 ACtantanCD= a列方程得a，解方程可求出X的值tan tan即是公共直角邊的長。思路二：先用余切三角函數(shù)表示其它兩條直角邊，即:ACcot ?X， DC cot ?x，a( 是小角,cot cot用AC CD= a列方程得cot ?x cot ?x a，解方程可求出x是大角），即是公共直角邊的長（如記住此公式，解選擇題與填空題更簡單）。四、教材原題在人教版九年級下冊教材中有一些同邊疊邊直角三角形問題。收

4、集整理如下：1、（ P76練習(xí)，1題）建筑物BC上有一旗桿AB，從與BC相 距40m的D處觀測得旗桿頂部A的仰角為50°,觀測旗桿底 部B的仰角為45°,求旗桿的高度（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位）。此題與基本模型3相同，已知兩個(gè)銳角的度數(shù)及公共直角邊的 長，求疊合邊直角邊的差，是第一種命題方向，可以用通法一解決 問題。2、（ P77練習(xí)，1題）海中有一個(gè)小島A，它周圍8 n mile內(nèi)有 暗礁，漁船跟蹤魚群由西向東航行，在B點(diǎn)測得小島A在北偏東60° 方向上，航行12 n mile到達(dá)D點(diǎn)，這時(shí)測得小島A在北偏東30°方 向上。如果漁船不改變航線繼續(xù)向東航行，

5、有沒有觸碓的危險(xiǎn)？此題只要過A點(diǎn)作AC丄BD于點(diǎn)C,就轉(zhuǎn)化成基本模型1,將兩 個(gè)方向角轉(zhuǎn)化成兩個(gè)直角三角形的銳角，已知疊邊的差求公共直角 邊。用通法中的思路一或思路二可求出 AC的長度。，再比較即可判 斷是否觸碓。3、（ P81，數(shù)學(xué)活動2）利用測角儀測量塔高：（1）在塔前的平地 上選擇一點(diǎn)A，用活動1中制作的測角儀測出你看塔頂?shù)难鼋窃贏點(diǎn)和塔之間選擇一點(diǎn)B，測出你由B點(diǎn)看塔頂?shù)难鼋浅鯝，B兩點(diǎn)間的距離；（3）計(jì)算塔的高度。此題與基本模型2相同，用命題方向二先求出公共直角邊長， 上測角儀位置高度即可。4、（ P84,復(fù)習(xí)題28，8題）如圖，兩座建筑物的水平距離BC為32.6m,從A點(diǎn)測得D點(diǎn)的

6、俯角 為35012',測得C點(diǎn)的俯再加角 為43024'，求這兩座建筑物的高度（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位） 此題只需將CD延長，就可以構(gòu)造與典型模型3類似的圖形。已知公共直角邊的長，利用角度的三角函數(shù)可以求兩座建筑物的 咼度。五、變式方向1、忽略測量高度（圖1）3、有高差測量（圖3）2、無高差測量（圖2）4、設(shè)定障礙（圖4）圖1A 1J求aei鞘i弊(3)量AC六、中考直通1、（2014年貴州黔東南，22題，10分）黔東南州某校九年級某班開展數(shù)學(xué)活動，小明和小軍合作用一副三角板測量學(xué)校的旗桿，小明站在B點(diǎn)測得旗桿頂端E點(diǎn)的仰角為45°小軍站在點(diǎn)D測得旗桿頂端E點(diǎn)的仰角為3

7、0°已知小明和小軍相距（BD）6米，小明的身高（AB）1.5米，小軍的身高（CD）1.75米，求旗桿的高EF的長.（結(jié)果精確到0.1，參考數(shù) 據(jù)：ViH.41, Vi-1.73）ENGx CN 于點(diǎn)G,構(gòu)過點(diǎn)A作于點(diǎn)H, 角形戒式圖形。解題思路一:過點(diǎn)C作CN造出與基本模型二類似有高度差的同由等腰直角三角形可以得到GH = AG = 0.25,因而可以得出疊邊差CH = 6.25。利用命題 方向二解題通法求出EN的長度，再加上小軍的高度就是 EF的長度。解題思路二：將EA延長與FD的延長線相交于點(diǎn)G,將EC延長與FD的延長線相交于 點(diǎn)H，可以構(gòu)造無高度差與典型模型二類似的同邊疊邊直角

8、三角形。利用等腰直角三角形的知識可以求出BG = AB = 1.5,利用三角函數(shù)可以得到 DH =CD?cot300=1.75、/3，從而得到疊邊高度差HG = 61.5+1.7573，再利用命題方向二解題通 法可以求出EF的長度。2、（2015年銅仁市，22題，10分）如圖，一艘輪船航行到B處時(shí)，測得小島A在船的 北偏東60°的方向，輪船從B處繼續(xù)向正東方向航行200海里到達(dá)C處時(shí)，測得小島A在船 的北偏東30°的方向。己知在小島周圍170海里內(nèi)有暗礁，若輪船不改變航向繼續(xù)向前行駛， 試問輪船有無觸礁的危險(xiǎn)？ （73馬.732）解題思路一：利用等腰三角形的知識求出 AC

9、= BC = 200,利用三角函數(shù)可以直接求出 AD = sin600?200=100/3 173.2170,可以 北判斷輪船沒有觸礁的危險(xiǎn)。i解題思路二：圖形已知/ ABD = 300,/ ACD = 600,疊邊差BC= 200。此圖形是一個(gè)直 接的同邊疊邊直角三角形，直接利用解題通法通過設(shè)未知數(shù)，用三角函數(shù)列方程就可以計(jì)算 出A到D的距離。Lef-于點(diǎn)N，交AEA3、（ 2015年天津市，22題，10分）如圖，某建筑物BC頂部有一旗桿AB,且點(diǎn)A, B,C在同一直線上.小紅在D處觀測旗桿頂部A的仰角為47°，觀測旗桿底部B的仰角為42° .已知點(diǎn)D到地面的距離DE為1

10、.56m EC =21m求旗桿AB的高度和建筑物果保留小數(shù)點(diǎn)后一位）。參考數(shù)據(jù)：tan 47° 1.07, tan42° 0.90.解題思路：此題只要過 D點(diǎn)作AC的垂線，便可以構(gòu)造疋 個(gè)同邊疊邊直角三角形，已知同直角邊的長，求疊邊的長度差,BC的高度（結(jié)D兀7“ill It3Ei鼻IIII!ELECACn是命題方向一的類型，直接利用三角函數(shù)求出疊邊長，再求長 度差，再加上測量高度就是建筑物的高度。4、（ 2015年德州市，16題，4分）如圖，某建筑物BC上有SAm.（結(jié)B一旗桿AB，從與BC相距38m的D處觀測旗桿頂部A的仰角為50o,觀測旗桿底部B的仰角為45o,則旗桿

11、的高度約為1.19）解題思路：此題與2015年天津市中考試題第22題基本相同，只要過D點(diǎn)作AC的垂線，便可以構(gòu)造是一個(gè)同邊疊邊直角三角形，D果精確到 0.1m.參考數(shù)據(jù)：sin50o 0.77, cos50o 0.64 , tan50oC已知同直角邊的長，求疊邊的長度差，是命題方向一的類型，直接利用三角函數(shù)求出疊邊長， 再求長度差，再加上測量高度就是建筑物的高度。5、（ 2015年河南省，20題，9分）如圖所示，他們在斜坡上D處測得大樹頂端B的仰角是 30o,朝大樹方向下坡走6米到達(dá)坡底A處，在A處測得大樹頂端B的仰角是48°。若坡角/ FAE=30°,求大樹的高度。（結(jié)果

12、保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：sin48° 0.74os48° 0.67an48° 1,V3 1.73BD延長與解題思路：此題設(shè)置了一座斜坡做障礙，只需將Gr艮CE的延長線交于點(diǎn)G，就可以構(gòu)造同邊疊邊直角三角表，BC為同邊，AC與AG為疊邊。由三角函數(shù)可以求 AG = 2X 6X cos30° = 6V3，只需設(shè)BC為x，用解題通法表示AC與GC用GC- AC列方程就可以達(dá)到解題的目的。6、（2015年貴州省黔東南州，21題，10分）黔東南州某校吳老師組織九（1）班同學(xué)開 展數(shù)學(xué)活動，帶領(lǐng)同學(xué)們測量學(xué)校附近一電線桿的高.已知電線桿直立于地面上，某天在太 陽光的照射

13、下，電線桿的影子（折線 BCD）恰好落在水平地面和斜坡上，在 D處測得電線桿 頂端A的仰角為30°在C處測得電線桿頂端A得仰角為45°斜坡與地面成60° 角, CD=4m， 請你根據(jù)這些數(shù)據(jù)求電線桿的高（AB ）。（結(jié)果精確到1m，參考數(shù)據(jù)：1.4,1.7）解題思路：此題設(shè)置了一座斜坡做障礙，只需將AD延長與BC的延長線交于點(diǎn)G，就可以構(gòu)造同邊疊邊 直角三角表，AB為同邊，BC與BG為疊邊。由三角函數(shù)可以求CG = 2X CD= 8,只需設(shè)AB為x，用解題通法表示BC與BG用BG- BC列方程就 可以達(dá)到解題的目的。7、（ 2016年貴州省六盤水市，23題，12分

14、）據(jù)調(diào)查，超速行駛是引發(fā)交通事故的主要 原因之一，所以規(guī)定以下情境中的速度不得超過15m/s，在一條筆直公路BD的上方A處有一探測儀，如平面幾何圖，AD=24m , / D=90，第一次探測到一輛轎車從 B點(diǎn)勻速向D點(diǎn)行駛，測得 / ABD=31 ，2 秒后到達(dá) C 點(diǎn)，測得 / ACD=50 （tan310.6tan50 ° 1.2結(jié)果精確到1m）（1 ）求B，C的距離.（2）通過計(jì)算，判斷此轎車是否超速.解題思路：此題圖形是一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的同邊疊邊直角三角形， 屬于第一種命題方向的范圍，已知同邊的長度，直接利用三角 函數(shù)可以求BD與CD的長，可求出BC的長，便可以求B至U C的速度。8、（ 2016年安徽省，19題，10分）如圖，河的兩岸11與12相互平行，A、B是li上的 兩點(diǎn)，C、D是12上的兩點(diǎn)，某人在點(diǎn)A處測得/CAB=90 ° / DAB=30 °再沿AB方向前 進(jìn)20米到達(dá)點(diǎn)E （點(diǎn)E在線段AB上），測得/ DEB=60°求C、D兩點(diǎn)間的距離.解題思路：此題圖形是含有特殊角的同邊疊邊直角三角形， 已知疊邊差，利用解題通法設(shè) DF為X,用AF AE = 20列方程， 求出DF的長，