空間向量與立體幾何知識(shí)點(diǎn)歸納總結(jié)64332

1、空間向量與立體幾何知識(shí)點(diǎn)歸納總結(jié).知識(shí)要點(diǎn)。1. 空間向量的概念：在空間，我們把具有大小和方向的量叫做向量。注：(1)向量一般用有向線段表示*同向等長(zhǎng)的有向線段表示同一或相等的向量。(2) 向量具有平移不變性2. 空間向量的運(yùn)算。定義：與平面向量運(yùn)算一羊寸間向量的加法、減法與數(shù)乘運(yùn)算如下(如圖)。OB = OA+AB = a + b；BA=OAOB = a-b； OP =2仏亡 R)運(yùn)算律：加法交換律：a + b = b + a加法結(jié)合律：(a + b) + C = a + (b + C)數(shù)乘分配律：“a + b) = ka + Ab平行六面體法則運(yùn)算法則：三角形法則、平行四邊形法則、3. 共

2、線向量。線平行或重合，那么這些向量也叫做共(1) 如果表示空間向量的有向線段所在的直線向量或平行向量，a平行于b，記作a / b。b ( b 工 0 ),a/b存在實(shí)數(shù)入使a =乃。(2) 共線向量定理：空間任意兩個(gè)向量a、(3) 三點(diǎn)共線：A、B、C三點(diǎn)共線v=>AB = aAC<二>OC = xOA+ yOB(其中4.共面向量(1) 定義：一般地，能平移到同一平面內(nèi)的向量叫做共面向量。說明：空間任意的兩向量都是共面的。斗(2) 共面向量定理：如果兩個(gè)向量a,b不共線，P與向量a,b共面的條件是存在實(shí)數(shù)X, y 使 P = xa + yb。(3)四點(diǎn)共面：若A、B、C、P四

3、點(diǎn)共面v=>AP = xAB + yAC<=> OP 二 xOA + yOB + zOC(其(4)與a共線的單位向量為± 4中 x+y + z=1)45. 空間向量基本定理：如果三個(gè)向量a,b,c不共面，那么對(duì)空間任一向量 P，存在一4 ii個(gè)唯一的有序?qū)崝?shù)組x,y, z，使P二xa+yb十ZC。屮,若三向量a,b,c不共面，我們把a(bǔ),b,C叫做空間的一個(gè) 基底，a,b,c叫做基向量， 空間任意三個(gè)不共面的向量都可以構(gòu)成空間的一個(gè)基底。推論：設(shè)馬,B,C是不共面的四點(diǎn)，則對(duì)空間任一點(diǎn) P，都存在唯一的三個(gè)有序?qū)崝?shù)x, y, Z，使 OP = xOA + yOB +

4、zOC。6. 空間向量的直角坐標(biāo)系：(1)空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)：在空間直角坐標(biāo)系0-xyz中，對(duì)空間任一點(diǎn)A,存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(X, y,z),使OA =xi +yi +zk ,有序?qū)崝?shù)組(X,y,z)叫作向量a在空間直角坐標(biāo)系O_xyz中的坐標(biāo)，記 作A(x, y,z) , X叫橫坐標(biāo)，y叫縱坐標(biāo)，z叫豎坐標(biāo)。注：點(diǎn)A (X,y,z)關(guān)于X軸的的對(duì)稱點(diǎn)為(x,-y,-z),關(guān)于xoy平面的對(duì)稱點(diǎn)為(x,y,-z). 即點(diǎn)關(guān)于什么軸/平面對(duì)稱，什么坐標(biāo)不變，其余的分坐標(biāo)均相反。在 y軸上的點(diǎn)設(shè)為 (0,y,0),在平面yOz中的點(diǎn)設(shè)為(0,y,z)(2)若空間的一個(gè)基底的三個(gè)基向量互相垂

5、直，且長(zhǎng)為1，這個(gè)基底叫單位正交基底,444i*7i用i,j,k表示。空間中任一向量a= xi+ yj + zk二(x,y,z)(3) 空間向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算律：彳呻 若 q=G,a2,a3),，則 3 + 13=佝 +十匕:耳 +,a】b= (ai -biQ -b2，a3- d)，扎a= 0aiMa2,a3)0 忘 R),a b = qbi + a2b2 + a3b3,3/打=d = F，a2 =小2,33 =入 b3(k 忘 R),a 丄 b = aQ + a2b asb = 0。 若 A(xi,yi,zi), B(X2,y2,Z2)，則 AB =化-Xi, y yiZ - zj。 一個(gè)向

6、量在直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)等于表示這個(gè)向量的有向線段的終點(diǎn)的坐標(biāo)減去起點(diǎn)的坐標(biāo)。 定比分點(diǎn)公式：若A(x , y , z ), B(x2，y2，z2),麗=,則點(diǎn)P坐標(biāo)為Xi + g2% + 幾y2 乙中 2z2()。推導(dǎo)：設(shè) P(x,y,z)則(x-Xi,y-yi，z-zi) = M%-x,y2-y，z2-z), i +人i +兒i +人顯然，當(dāng)P為AB中點(diǎn)時(shí)，P(2<,_y,心L)2 2 2,A (xi,yi,zi),B(X2,y2,Z2),C(X3,y3,Z3),三角形重心 P 坐標(biāo)為 zi +Z2 +Z3)AABC中P(Xi +X2 +X3 yi +y2 + y3Z2 十 Z332A

7、BC的五心：內(nèi)心P:內(nèi)切圓的圓心,角平分線的交點(diǎn)旦+竺)(單位向量)ABAC外心P:外接圓的圓心，中垂線的交點(diǎn)。PC2丿垂心P：高的交點(diǎn)：PAPB二PAPC二PB FC (移項(xiàng)，內(nèi)積為0,貝y垂直) 1 - *重心P:中線的交點(diǎn)，三等分點(diǎn)(中位線比)AP = 3(AB + AC)3中心：正三角形的所有心的合一。T(4 )模長(zhǎng)公式：右 a = (ai, a2 ,a3) ,- (b1, b? ,b3),則 I aF Ja ： = Ja/ +a22 + as? , |齊= Jb? + b?2 +b32(5) 夾角公式：cos(a A 丄打bl+a2b2 Pb3。'/ 1 a Mb | JO虧

8、孑肓 JbE嚴(yán)E ABC中ABAC：>ov=>A為銳角AB 疋<ov=>A為鈍角，鈍角(6) 兩點(diǎn)間的距離公式：若 A(Xi,yi,Zi) , B(X2,y2,Z2), 貝J | AB| = JaB' = J(X2 X1)2 +(y2 y1)2 +(Z2 Z1)2 ,或 dA,B = J(X2 -xj+(y2 yj+色 w)7. 空間向量的數(shù)量積。空間T（ 1）空間向量的夾角及其表示：已知兩非零向量a,b，在空間任取一點(diǎn)0,作0A = 2 0B= b,則N AO B叫做向量a與b的夾角，記作丈a,b ；且規(guī)定 0蘭 a,b 蘭兀，顯然有ca,b * b,a ；若

9、：a,b X專，則稱a與b互相垂直，記作：a丄b。（2）向量的模：設(shè)OA二a,則有向線段OA的長(zhǎng)度叫做向量a的長(zhǎng)度或模，記作：iOi。（3）向量的數(shù)量積：已知向量 a,b，則I a I q b 18S V a, b 叫做a,b的數(shù)量積，記 作a b，即 a 七=lal lbl cosa,b。（4） 空間向量數(shù)量積的性質(zhì)：.，4 444彳 4彳 4彳片2斗T ae=|a|coswa,eA。 a 丄 ab=0。 |a|=aa。（5）空間向量數(shù)量積運(yùn)算律：彳*彳（kaVb = k（a bJ = a （kb）。 a b = b 攻（交換律）。4 J 4,4 J 4 4 a + c）二a七十a(chǎn) 9 （分

10、配律）。 不滿足乘法結(jié)合率：（a b）c H a（b c）二.空間向量與立體幾何1. 線線平行=兩線的方向向量平行1- 1線面平行二線的方向向量與面的法向量垂直1- 2面面平行二 兩面的法向量平行2線線垂直（共面與異面）二兩線的方向向量垂直2- 1線面垂直二線與面的法向量平行2-2面面垂直二 兩面的法向量垂直3線線夾角8 （共面與異面）0O,90O=兩線的方向向量n1,n2的夾角或夾角的補(bǔ)角，COS0 = cos V n1,n2 >3-1線面夾角日0°,90°:求線面夾角的步驟：先求線的方向向量AP與面的法向量n的夾角，若為銳角角即可，若為鈍角，貝y取其補(bǔ)角；再求其余

11、角，即是線面的夾角.sin£=cos< AP,n A3- 2面面夾角（二面角）日0O,180O:若兩面的法向量一進(jìn)一出，則二面角等于兩法向量門1小2的夾角；法向量同進(jìn)同出，則二面角等于法向量的夾角的補(bǔ)角.COST = ± COS < 門機(jī) >4.點(diǎn)面距離h :求點(diǎn)P（X0,y0 ）到平面a的距離：在平面a上去一點(diǎn)Q（x,y ）,得向量PQ ；PQ n|n|計(jì)算平面a的法向量n ；. h =4-1線面距離（線面平行）：轉(zhuǎn)化為點(diǎn)面距離4- 2面面距離（面面平行）：轉(zhuǎn)化為點(diǎn)面距離【典型例題】1. 基本運(yùn)算與基本知識(shí)（）例K已知平行六面體-ABCD二A BCD，化

12、簡(jiǎn)下列向量表達(dá)式，標(biāo)出化簡(jiǎn)結(jié)果的向量。 A + bc ； ab +AD+AA；11 AB + AD + CC ；-（AB + AD + AA）。23例 勻 對(duì)空間任一點(diǎn)E和不共線的三點(diǎn)A,B,C，問滿足向量式：OP =xOA + yOB+zOC （其中 x+y+z=1 ）的四點(diǎn) P,A,B,C 是否共面？例 3 已知空間三點(diǎn)（0, 2, 3）, B （-2, 1, 6）, C （1, 1, 5）。 求以向量AB, AC為一組鄰邊的平行四邊形的面積 S；若向量a分別與向量AB, AC垂直，且|a|=73，求向量a的坐標(biāo)。2. 基底法3. 坐標(biāo)法4. 幾何法AC =4， BC=5，Z OAC=45

13、，例4.（如何找，轉(zhuǎn)化為基底運(yùn)算）（如何建立空間直角坐標(biāo)系，找坐標(biāo)）女口圖，在空間四邊形 OABC中, 0A=8，AB =6， NOAB =60，求OA與BC的夾角的余弦值。說明：由圖形知向量的夾角易出錯(cuò)，女口例 5.長(zhǎng)方體 ABCD -ABGD 中，AB = BC=4， 交點(diǎn)，又AF丄BE，求長(zhǎng)方體的高BBi?！灸M試題】1. 已知空間四邊形ABCD，連結(jié)ACBD 屮 M,G分別是BC,CD的中點(diǎn)，化簡(jiǎn)下列各表達(dá) 式，并標(biāo)出化簡(jiǎn)結(jié)果向量：（1）AB+BC+CD ；T 1 r TT 1 r T（2）AB+5（BD+BC） ；（3） AG-?（AB+AC）。2. 馬知平行四邊形從平面 AC外一點(diǎn)

14、O引向量。OE =kOAOF =kOB,OG=kOC,OH =kOD。（1）求證：四點(diǎn)E,F,G,H共面；（2）平面AC /平面EG。3. 如圖正方體 ABCD -ABC1D1中，B1E1 =D1F1 =-A1B1，求BE1與DF1所成角的余弦。<OA,A >=135 易錯(cuò)寫成 <OA,>= 45，切記!E為AG與B1D1的交點(diǎn)，F(xiàn)為BC1與3C的5. 已知平行六面體ABCD-ABCD中， AB =4, AD =3, AA' = 5,厶 BAD =90© , NBAA NDAA '60。，求 AC的長(zhǎng)。參考答案1. 解：如圖，T T T i T

15、(1) AB+BC+CD=AC+cd = AD ；(2) AB+(BD+BC)=AB+丄BC 十丄需T T T22=AB +BM +MG = AG ；T , T T T T T(3) AG-(AB + AC) = AG-AM = MG。2. 解：(1屮明四邊形ABCD是平行四邊形，/ EG =OGOE,PcT T T二 AC = AB +AD , E,F,G,H 共面；T T T TT T(2) 解：T EF'=OF'OE = k(0B-OA) =k ，又丁 EG = k 7C , EF / AB, EG / AC。所以，平面AC/平面EG。3.解：不妨設(shè)正方體棱長(zhǎng)為則 B(1,1,0) , Ei(1,3,1),41 . £1,建立空間直角坐標(biāo)系D(0,0,0) ,F%),-BEi=(0,4,1)，DFi=(0,4,1),44 beIdf!卜乎,T T1115BE, ”DFr =0X0+( x-)+1X1 = 441615COS(BE1,D