西南大學年春高等幾何次作業(yè)

1、西南大學 2 016 年春高等幾何1寫出下列點的齊次坐標(1)( 2,0 ),( 0, 2),( 1, 2求下列直線的齊次線坐標(1) X軸(2)無窮遠直線345673 解：(1)X20x2X304 解:二直線2,1,3,1 ,1, 0的交點坐標為(3,3,-3),故兩點(1,2, 1),(3,3,-3)聯(lián)線的方程為X113X223X3130,即 X1 x20.AP5解：設(shè)pT'則點P的坐標為P(昔2+入1TI)，因為點P在直線x+3y6= 0上，所以有1+3+ 6入 / 2+入十廠+3( 1+1) 6=0 ,有1, (ABP)1.6解:經(jīng)過A(-3 ,2, 2) , B(3, 1,

2、-1)兩點的直線方程是X133X221X3210 ,即 4x1 3x2 9x3 0 .故線坐標為4,-3,9.7解：二點(3,4,1) ,(5, 3,1)聯(lián)線的方程是X135X243X3110,即X1 8x2 29x3 0，該直線的線坐標為1,-8,-29.5) ; (2) 2x+4y+1=0 的無窮遠點.(3) X+4y+1=0.求下列各線坐標所表示直線的方程：(1) 0,-1,00,1,1求聯(lián)接點(1,2, 1) 與二直線2,1,3, 1 , 1, 0之交點的直線方程.經(jīng)過A(-3 , 2)和B(6, 1)兩點的直線被直線X+3y-6=0截于P點，求簡比(ABP).經(jīng)過A(-3 , 2,

3、2) , B(3 , 1 , -1)兩點的直線的線坐標.求直線1, 1,2與二點3 , 4, 1,5, 3,1之聯(lián)線的交點坐標.答案：1 解：(1)(2,0,1) ,(0,2,1),(1,5,1);(2,-1,0).2 解:(1)0,1,0? (2)0,0,1? (3)1,4,1直線1,-8,-29. 與直線1, 1,2的交點為(13,31,9).1已知共線四點 A B、C、D的交比(AB, CD)=2,則(CA, BD)=2 試證四直線 2x - y+1=0,3x+y - 2=0, 7x - y=0,5x - 1=0 共點，并順這次序求其交比。3、設(shè)共線四點Pi(3,1, 2)，F(xiàn)2(1,3

4、,1)，P3(2, 2, 3)，卩4(0, 8, 5)，求(RP2,卩3卩4)4設(shè)兩點列同底，求一射影對應(yīng)0,1,分別變?yōu)?,0.5求射影變換4 4 0的自對應(yīng)元素6一直線上點的射影變換是 x =竺二，則其不變點是x 47證明一線段中點是這直線上無窮遠點的調(diào)和共軛點答案:1 解：-12 解：四直線 2x- y+1=0,3x+y - 2=0, 7xy=0,5x 1=0的線坐標為2,-1,1,3,1,-2,7,-1,0,5,0,-1.由于2 1 12 1 13120,3127105010.所以四直線共點.由于 P3 2P1 P2 ,P4P2,1,所求交比23解：因為P3 pP2,P43P2,所以1

5、, 21,所求交比3.324解:設(shè)第四對對應(yīng)點x , x ,由于射影對應(yīng)保留交比，所以 (01, x) (1 ,0x ),得到 丄,因此 x .x 1 x1 x5解:射影變換44 0的自對應(yīng)元素參數(shù)滿足方程44 0,解得2.6解：射影變換x=竺鼻的不變元素滿足x二竺鼻,解得x 2,或x 1.x 4x 47證明:設(shè)C為線段AB的中點，D為線段AB上的無窮遠點，則AC（AB,CD 0） （ABC） 一 1,命題得證.BC1舉例我們已經(jīng)學習過的變換群2下列概念，哪些是仿射的，哪些是歐氏的？2解:是仿射的 是歐氏的.非平行線段的相等;不垂3直的直線；四邊形；梯形；菱形；平行移動；關(guān)于點的對稱；關(guān)于直線

6、的對稱；繞點的旋轉(zhuǎn)；面積的相等。3從原點向圓（X 2） 2+（y 2） 2=1作切線11,t 2。試求X軸，y軸，11,t 2順這次序的交比。4若有兩個坐標系，同以A 1A2A3為坐標三角形，但單位點不同，那么兩種坐標間的轉(zhuǎn)換式為何?5在二維射影坐標系下，求直線 A1E, AE，A3E的方程和坐標。6 設(shè)點 A（ 3，1，2），B（ 3，-1，0）的聯(lián)線與圓 x+y 5x - 7y + 6=0相交于兩點C和D求交點C D及交比（AB, CD）。答案：1解：射影變換群，仿射變換群，歐氏變換群.2解:是仿射的是歐氏的.3解:設(shè)直線y=kx與圓相切，則1潛，兩邊平方得到3k2 8k 3 0 , k1

7、,2因此t1的方程為30 , t2的方程為y 4 X 0,故（xy,t1t2）4 :.4解：設(shè)兩坐標系單位點分別為E,E ,由XiPieXi2（日，2,3）由上兩式得到一Xix1a1 x-ix2a2 x2X343X3其中eaj , 8182830 oeu5 解：由于 A(1,0,0), A2(1,O,O), A3(1,O,O), E(1,1,1),故直線 AE 的方程X2X30直線A2E的方程Xi X30直線A3E的方程Xi X20 .線坐標分別為O,1,-1,1,O,-1,1,-1,O.6解:圓的齊次方程為x； x| 5x1x3 7X2X3 6x10,設(shè)直線ab上任一點的齊次坐標是(3 3,

8、1,2),若此點在已知圓上，則2)2 6 2 022(3 3 )(1)5(3 3 )27(1化簡得10 2 10 0，所以i 1于是得到交點C,D的坐標，3,0,1)D(O,1,1),且(AB,CD) 11寫出下列的對偶命題(1)三點共線(2)射影平面上至少有四個點，其中任何三點不共線2 已知 a, B, P,Q,R 是共線不同點，如果 (P AQB)1,(QR,AB)1,求(P R, AB)3證明巴卜斯定理：設(shè)Ai,Bi,Ci三點在一直線上，A2,B2,C2三點在另一直線上,BiC2與B2G的交點為L,CiA與C2A1的交點為 M,AB2與AB的交點為N,證明:L,M,N三點共線.4求二次曲

9、線xy+x+y=0的漸近線方程./22-2c4ui u； 2u3 05 .求通過兩直線a1,3,1,b1,5, 1交點且屬于二級曲線的直線6 求點(5, 1 , 7)關(guān)于二階曲線 2xi2 3x22 X32 6X1X2 2X1X3 4X2X3 0 的極答案：1解：(1)三線共點(2)射影平面上至少有四條直線，其中任何三線不共點.(P R,AB)3證明:由 (PA,QB) 1PA AB PA QB QA RBPB RA PB QAQB RA得 至U (PQ, AB) 2(PQ, AB)(QR,AB) = 2 ( 1)=-2.設(shè) J C A AB , K BC AC, O AB AB ,那么CAN

10、JB ABCO KLC B 從而 A NJB KLC B .又因為這兩個射影點列的公共點 B自對應(yīng),所以是透視點列.因此AK,NL,JC應(yīng)交于一點，即三點L,M,N三點共線.4解：二次曲線xy+x+y=0的中心坐標為(-1,1),故二次曲線的漸進線的方程可設(shè)anX22榔丫322丫20 由于 312XY 012x 1y 1a113220，所以漸進線方程為10 , y解：設(shè)a1,3,1,b1,5,1交點的線坐1,3,11,5, 11,3 5 ,1若此直線屬于二級4u12 U22 2u 32 0 ,則有4(1)2(3 5 )2 2(1)20，解得?。所求直線的坐標為口,2'2】6解:階曲線2

11、X12 3X222X3和-1,-14,10。6x,X2 2x1X3 4x2X3 0 的矩所以點（5, 1, 7）關(guān)于二階曲線的方程為23(5,1,7 )3 31 2X1X2X3=0,即X20。1 求（1）階曲線2X1c 2-22x2 3x3 x1x30過點P（2,£,1）的切線方程（2）二級曲線U12求直線3X1 X2 6X3 0關(guān)于曲線的極點X24證明雙曲線:2Xa22b2 1的兩條以入，入'為斜率的直徑成為共軛的條b件是入入'=aX15求射影變換X1X2x2x2X3X3的不變元素6求射影變換答案：X1X2X3X1X2X3的固定元素。U22 17U32 0在直線L1

12、 , 4, 1上的切點方程 2（1）求二次曲線x 2+3xy-4y 2+2x 10y=0的中心與漸近線。求二階曲線：X12 2x1X2 2x| 4x1X3 2x2X3 xf 0 的過點 A(1,1,1)的直徑及其共軛直徑.3 已知二階曲線(C) : 2X12 4X1X2 6X1X3 X32 0（1 ） 求點P（1,2,1）關(guān)于曲線的極線（24|，1）1解：（1）易驗證點P在二階曲線上，故過點P的切線方程是0,即 3x1 2J1OX2 4x3010% X1020x21203X3(2)類似地可驗證直線L在二級曲線上，故直線L1,4,1上的切點方程是1(1,4,1) 000017U1U2U30,即

13、u14u2 17u30.(1)二次曲x2+3xy-4y 2+2x 10y=0 的矩13213245A31=空2A32PA334 -故中心坐標是(467弓)設(shè)漸進線方程X x 46, YanX2 2a12X Y a22Y226,故漸進線方程是0 ,即 X2 3XY58 0 或 x7x 4y4Y2(2)二階曲線x； 2x1x2 2xf 4x1x32x2X32X30，72y 710的矩陣是12求出中心坐標(-3,1,1)，由于直徑過中心，故過點A(1,1,1)的直徑方程是X2X30,該直徑上的無窮遠點的坐標是(1,0,0)，所以共軛直徑的方程是(1,0,0)X1x2 =0 即 x1 x2 2x3 0

14、X33解:(1)二階曲線2xj 4X1X2 6X1X3 X32 0的矩陣是X1X2 =0,即X32點P (1,2,1)關(guān)于曲線的極線方程是(1,2,1)239x1 2x2 4x30設(shè)直線3x1 X2 6x3 0關(guān)于曲線的極點為(a,b,c), 則有1 = 200ab，解得a=2,b=-30,c=37.所求極點是(2,-30,37)4解：解方程組.2 2b x2 2 2. 2ay *&得 b2x2a2y2 0說明無窮遠直線與雙曲線的交點滿足此方程,即(bx ay )( bxay)=0,雙曲線上的兩個無窮遠點分布在bx ay =0和bxay =0 上，故 bxay =0和bx ay =0為漸進線，兩直線的斜率是k ，ka入，入'為一對共軛直徑的斜率,所以(,kk )1,整理得到 kk =0,因為kk =- H，所以ab25 解:射影變換的特征方