86微分法在幾何上的應(yīng)用65393

1、1 空間曲線(xiàn)的空間曲線(xiàn)的切線(xiàn)與法平面切線(xiàn)與法平面 空間曲面的空間曲面的法線(xiàn)與切平面法線(xiàn)與切平面 1.兩向量的數(shù)量積及兩向量平行和垂直的充要條件兩向量的數(shù)量積及兩向量平行和垂直的充要條件; 2.直線(xiàn)的方向向量與空間直線(xiàn)方程直線(xiàn)的方向向量與空間直線(xiàn)方程;3.平面的法向量與空間平面的方程平面的法向量與空間平面的方程;4.隱函數(shù)的存在定理隱函數(shù)的存在定理3. 曲線(xiàn)方程為參數(shù)方程的情形：曲線(xiàn)方程為參數(shù)方程的情形： tzztyytxx,曲線(xiàn)方程為一般方程的情形：曲線(xiàn)方程為一般方程的情形： 0,0,zyxgzyxf曲面方程為顯函數(shù)的情形：曲面方程為顯函數(shù)的情形： 曲面方程為隱函數(shù)的情形：曲面方程為隱函數(shù)的情

2、形： yxfz,0,zyxf2一一. . 空間曲線(xiàn)的切線(xiàn)與法平面空間曲線(xiàn)的切線(xiàn)與法平面 tzzztyyytxxx 000割線(xiàn)割線(xiàn) mm0的方程為的方程為:zzzyyyxxx 0000tt ,0000zyxmttt 0zzyyxxm 000,1. 設(shè)空間曲線(xiàn)設(shè)空間曲線(xiàn) 的參數(shù)方程為的參數(shù)方程為: ,tztytx 并假定這三個(gè)函數(shù)都可導(dǎo)。并假定這三個(gè)函數(shù)都可導(dǎo)。 0mmxozyt,0zyxmm 000000tzztyytxx 3即得曲線(xiàn)即得曲線(xiàn) 在在 0m處的處的切線(xiàn)方程為切線(xiàn)方程為: 000000tzztyytxx 法平面方程為法平面方程為: : 0000000zztyytxxt 切線(xiàn)的方向向量

3、切線(xiàn)的方向向量 000,tttt 稱(chēng)為稱(chēng)為曲線(xiàn)的切向量曲線(xiàn)的切向量。 過(guò)點(diǎn)過(guò)點(diǎn) 0m與其切線(xiàn)垂直的平面與其切線(xiàn)垂直的平面, 在在0m的的法平面法平面。 稱(chēng)為曲線(xiàn)稱(chēng)為曲線(xiàn) 42. 若空間曲線(xiàn)若空間曲線(xiàn) 的方程為的方程為: ,xzxy 曲線(xiàn)曲線(xiàn) 在點(diǎn)在點(diǎn) 0000,zyxm處的處的切線(xiàn)方程切線(xiàn)方程為為: 000001xzzxyyxx 法平面方程法平面方程為為: 000000zzxyyxxx 曲線(xiàn)曲線(xiàn) 的的切向量切向量為為: 00, 1xxt xzxyxx 取取 x為參數(shù)，為參數(shù)， 它就可以表為參數(shù)方程的形式：它就可以表為參數(shù)方程的形式： 5該曲線(xiàn)在點(diǎn)該曲線(xiàn)在點(diǎn) 0m處的處的切向量切向量為為: 00

4、, 1xzxyt切線(xiàn)方程為切線(xiàn)方程為: 000001xzzzxyyyxx法平面方程為法平面方程為 : 000000zzxzyyxyxx3. 若空間曲線(xiàn)若空間曲線(xiàn) 的方程為的方程為: ,z ,y,xgz ,y,xf 00點(diǎn)點(diǎn) 0000z ,y,xm, 0,),(000zyxzygfj在曲線(xiàn)在曲線(xiàn) 上，上， 設(shè)設(shè) gf、有對(duì)各變量的連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，有對(duì)各變量的連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)， 且且該方程組在點(diǎn)該方程組在點(diǎn) xzzxyy,的某個(gè)鄰域內(nèi)唯一確定一組隱函數(shù)的某個(gè)鄰域內(nèi)唯一確定一組隱函數(shù)0m6方程組方程組: 0,0,zyxgzyxf在點(diǎn)在點(diǎn) 0000,zyxm的某一鄰域內(nèi)確定的某一鄰域內(nèi)確定 一組隱函數(shù)一組隱函數(shù)

5、 ,xzxy 兩邊對(duì)兩邊對(duì)x求全導(dǎo)數(shù)，得求全導(dǎo)數(shù)，得 00dxdzzgdxdyygxgdxdzzfdxdyyfxf, 0,zygfj由假設(shè)知，在由假設(shè)知，在 0m的某一鄰域內(nèi)的某一鄰域內(nèi) 所以有所以有 . ,zyzyyxyxzyzyxzxzggffggffxdxdzggffggffxdxdy 7為曲線(xiàn)在點(diǎn)為曲線(xiàn)在點(diǎn) 0m處的一個(gè)切向量，其中處的一個(gè)切向量，其中 00, 1xxt . ,000000mzyzymyxyxmzyzymxzxzggffggffxggffggffx 把切向量把切向量 00, 1xxt 乘以乘以 ,0mzyzyggff得得 0m處的又一個(gè)處的又一個(gè)切向量切向量： 000,

6、1myxyxmxzxzmzyzyggffggffggfft曲線(xiàn)在點(diǎn)曲線(xiàn)在點(diǎn) 0m處的處的切線(xiàn)方程切線(xiàn)方程還可表示為還可表示為: 000000myxyxmxzxzmzyzyggffzzggffyyggffxx80000000zzggffyyggffxxggffmyxyxmxzxzmzyzy曲線(xiàn)在點(diǎn)曲線(xiàn)在點(diǎn) 0m處的處的法平面方程法平面方程為為: 如果如果 , 00mzyzyggff而而 00,myxyxmxzxzggffggff中有至少有一個(gè)不為中有至少有一個(gè)不為0 ， 上面的切線(xiàn)及法平面方程仍然成立。上面的切線(xiàn)及法平面方程仍然成立。 上面的切線(xiàn)及法平面方程主要用于當(dāng)上面的切線(xiàn)及法平面方程主要用

7、于當(dāng) 00mzyzyggffj時(shí)，時(shí)， 要求曲線(xiàn)的切線(xiàn)與法平面的情形。要求曲線(xiàn)的切線(xiàn)與法平面的情形。 9例例1. 求曲線(xiàn)求曲線(xiàn) 32tz ,ty, tx 在點(diǎn)在點(diǎn) 111,處的切線(xiàn)及處的切線(xiàn)及 法平面方程。法平面方程。 解解:,tz23 ,x1 , ty2 點(diǎn)點(diǎn) 111,對(duì)應(yīng)于參數(shù)對(duì)應(yīng)于參數(shù) ,t1 切向量為切向量為: 3,2,1t切線(xiàn)方程為切線(xiàn)方程為: 312111 zyx法平面方程為法平面方程為: 013121 zyx即即: 632 zyx10例例2 求曲線(xiàn)求曲線(xiàn) 421323,mxzxy:在在點(diǎn)點(diǎn) 處的切線(xiàn)方程和處的切線(xiàn)方程和法平面方程。法平面方程。 解解 1 62 z,xy所以切向量為

8、所以切向量為 ： 1 , 6 , 1t切線(xiàn)方程為：切線(xiàn)方程為： 146211 zyx法平面方程為：法平面方程為： 04261zyx0176 zyx即：即： 323xzxyxx的參數(shù)方程為的參數(shù)方程為 則曲線(xiàn)則曲線(xiàn) 取取 為參數(shù)為參數(shù), x11解解: 010222zyz zyyx即即 1zyxzzyy則則.zyyxz .,t101 ,y,0121 切線(xiàn)方程為切線(xiàn)方程為:,zyx110211 或或.yzx 0202法平面方程為法平面方程為: ,zx011 即即0 zx, 03111 , 2, 11 , 2, 1zyzyj,zyxzy 例例3. 求曲線(xiàn)求曲線(xiàn) 06222zyxzyx在點(diǎn)在點(diǎn) 121,

9、 的切線(xiàn)及法平面方程的切線(xiàn)及法平面方程. ,z,1121 求導(dǎo)求導(dǎo), 得得:x方程兩邊對(duì)方程兩邊對(duì)12例例4. 求曲線(xiàn)求曲線(xiàn) 0222222axyxazyx在點(diǎn)在點(diǎn)am, 0 , 00的切線(xiàn)及法平面方程的切線(xiàn)及法平面方程. 解解 設(shè)設(shè) .,222222axyxzyxgazyxzyxf則則 . 0,2,2 ;2,2,2zyxzyxgygaxgxfyfxf, 00222, 0 , 00amzyzyyzyggff,220aggffmxzxz. 00myxyxggff曲線(xiàn)在點(diǎn)曲線(xiàn)在點(diǎn) am, 0 , 00的切線(xiàn)方程為的切線(xiàn)方程為 020002azayx即即 azx0法平面方程為：法平面方程為： 0y1

10、3二二. . 空間曲面的切平面與法線(xiàn)空間曲面的切平面與法線(xiàn) 1. 設(shè)曲面設(shè)曲面 的方程為的方程為: 0,zyxf 0000z ,y,xm為曲面上一點(diǎn)為曲面上一點(diǎn),在曲面上過(guò)點(diǎn)在曲面上過(guò)點(diǎn) 0m任作任作一曲線(xiàn)一曲線(xiàn) , 設(shè)其方程為設(shè)其方程為: tz ,ty,tx ,00000zyxmtt yzxo若若 000t,t,t 不全為零，不全為零， 則過(guò)點(diǎn)則過(guò)點(diǎn) 0m的切線(xiàn)方程為的切線(xiàn)方程為 000000tzztyytxx 過(guò)點(diǎn)過(guò)點(diǎn) 0m的所有曲線(xiàn)在點(diǎn)的所有曲線(xiàn)在點(diǎn) 0m處的切線(xiàn)處的切線(xiàn) 都在同一平面上都在同一平面上, 可以證明：可以證明： 曲面曲面 上上, 0m處的處的切平面切平面。 稱(chēng)該平面為曲面在

11、點(diǎn)稱(chēng)該平面為曲面在點(diǎn) 0m14事實(shí)上事實(shí)上,而曲線(xiàn)而曲線(xiàn) 在點(diǎn)在點(diǎn) 0m的切向量為的切向量為: 000t,t,tt 由于曲線(xiàn)由于曲線(xiàn) 完全在曲面完全在曲面 上，上， 0,tttf 00 ttdtdf即即 0,000000000000tzyxftzyxftzyxfzyx 引入向量引入向量 000000000,zyxfzyxfzyxfnzyx,tn0 即即兩向量垂直兩向量垂直。 對(duì)方程的兩邊求關(guān)于對(duì)方程的兩邊求關(guān)于 t的全導(dǎo)數(shù)，得的全導(dǎo)數(shù)，得 0,tzyxftzyxftzyxfzyx dtdf150,000000000000zzzyxfyyzyxfxxzyxfzyx曲面上過(guò)點(diǎn)曲面上過(guò)點(diǎn) 0m并并與

12、其切平面垂直的直線(xiàn)與其切平面垂直的直線(xiàn)稱(chēng)為曲面在點(diǎn)稱(chēng)為曲面在點(diǎn) 0m的的法線(xiàn)法線(xiàn).法線(xiàn)方程為法線(xiàn)方程為:00000000000,0zyxfzzzyxfyyzyxfxxzyx切平面切平面方程為方程為: 向量向量 n為切平面的法向量為切平面的法向量 由于曲線(xiàn)由于曲線(xiàn) 是曲面上過(guò)點(diǎn)是曲面上過(guò)點(diǎn) 0m任意任意一條曲線(xiàn)，一條曲線(xiàn)， 它們?cè)邳c(diǎn)它們?cè)邳c(diǎn) 的切線(xiàn)都垂直于同一向量的切線(xiàn)都垂直于同一向量 ,n0m所以過(guò)點(diǎn)所以過(guò)點(diǎn) 0m的一切曲線(xiàn)在點(diǎn)的一切曲線(xiàn)在點(diǎn) 0m的切線(xiàn)都在一個(gè)平面的切線(xiàn)都在一個(gè)平面 曲面曲面 0m處的處的切平面切平面上。上。 在點(diǎn)在點(diǎn) 曲面的法向量曲面的法向量。 162. 若曲面方程由顯函數(shù)

13、形式給出若曲面方程由顯函數(shù)形式給出: yxfz,則令則令 0 zy,xfz , y,xf,ffxx 在點(diǎn)在點(diǎn) 0000z ,y,xm處切平面的一個(gè)法向量為處切平面的一個(gè)法向量為: 1,0000yxfyxfnyx切平面方程為切平面方程為: 0000000zzyyy,xfxxy,xfyx 法線(xiàn)方程為法線(xiàn)方程為: 10000000 zzy,xfyyy,xfxxyx,ffyy .fz1 17曲面曲面 yxfz,在點(diǎn)在點(diǎn) 0000z ,y,xm處切平面的一個(gè)法向量為處切平面的一個(gè)法向量為:1,0000yxfyxfnyx其其向上的法向量向上的法向量（它與（它與z軸的夾角為銳角）為軸的夾角為銳角）為 1 ,

14、00001yxfyxfnyx假設(shè)用假設(shè)用 、曲面的向上的法向量的方向角，則該法向量曲面的向上的法向量的方向角，則該法向量 .11cos,1cos,1cos222222yxyxyyxxffffffff 的方向余弦為的方向余弦為 18例例5. 求旋轉(zhuǎn)拋物面求旋轉(zhuǎn)拋物面 122 yxz在點(diǎn)在點(diǎn) 412 ,處的切平面及處的切平面及 法線(xiàn)方程。法線(xiàn)方程。 解（解（1） ,yxy, xf122 ,xfx2 1,2 ,44,1,2n切平面方程為切平面方程為: 041224zyx即即624 zyx法線(xiàn)方程為法線(xiàn)方程為:142142 zyx,2yfy點(diǎn)點(diǎn)處切平面的法向量為處切平面的法向量為:4 , 1 , 2解

15、（解（2） 令令zyxzyxf1,22,xfx2 ,yfy2 1 zf.1,2 ,2yxn19例例6 在曲面在曲面 xyz 上求一點(diǎn)上求一點(diǎn) , 使這點(diǎn)處的法線(xiàn)垂直于使這點(diǎn)處的法線(xiàn)垂直于 解解已知平面的法向量為已知平面的法向量為 1 , 3 , 1n曲面曲面 xyz 在點(diǎn)在點(diǎn) 000z ,y,x處法線(xiàn)的一個(gè)方向向量為處法線(xiàn)的一個(gè)方向向量為 1,000 xyn,/0nn.xy113100 .yxz3000 解得：解得： ,y,x1300 所求點(diǎn)為：所求點(diǎn)為： 313, 該點(diǎn)處法線(xiàn)方程為：該點(diǎn)處法線(xiàn)方程為： 133113 zyx,zyx093 并寫(xiě)出這法線(xiàn)的方程。并寫(xiě)出這法線(xiàn)的方程。 平面平面 x

16、yy,xfz , yfx ,xfy 20小結(jié)：小結(jié)： 1.空間曲線(xiàn)的切線(xiàn)方程與法平面方程空間曲線(xiàn)的切線(xiàn)方程與法平面方程 2.曲面的切平面方程與法線(xiàn)方程曲面的切平面方程與法線(xiàn)方程 21例例4. 求曲面求曲面 3 xyzez在點(diǎn)在點(diǎn) 012,處的切平面及法線(xiàn)處的切平面及法線(xiàn) 解解:.efzz1 , yfx ,xfy 0 , 2 , 1n所求切平面方程為所求切平面方程為: 0122yx即即 42 yx法線(xiàn)方程為法線(xiàn)方程為: 002112 zyx032zyx或或 在點(diǎn)在點(diǎn) 處處,0 , 1 , 2方程。方程。習(xí)題習(xí)題8-6 6 03,xyzezyxfz設(shè)設(shè)22例例6. 求橢球面求橢球面 12222 zyx上