86微分法在幾何上的應(yīng)用65393

1、1 空間曲線的空間曲線的切線與法平面切線與法平面 空間曲面的空間曲面的法線與切平面法線與切平面 1.兩向量的數(shù)量積及兩向量平行和垂直的充要條件兩向量的數(shù)量積及兩向量平行和垂直的充要條件; 2.直線的方向向量與空間直線方程直線的方向向量與空間直線方程;3.平面的法向量與空間平面的方程平面的法向量與空間平面的方程;4.隱函數(shù)的存在定理隱函數(shù)的存在定理3. 曲線方程為參數(shù)方程的情形：曲線方程為參數(shù)方程的情形： tzztyytxx,曲線方程為一般方程的情形：曲線方程為一般方程的情形： 0,0,zyxgzyxf曲面方程為顯函數(shù)的情形：曲面方程為顯函數(shù)的情形： 曲面方程為隱函數(shù)的情形：曲面方程為隱函數(shù)的情

2、形： yxfz,0,zyxf2一一. . 空間曲線的切線與法平面空間曲線的切線與法平面 tzzztyyytxxx 000割線割線 mm0的方程為的方程為:zzzyyyxxx 0000tt ,0000zyxmttt 0zzyyxxm 000,1. 設(shè)空間曲線設(shè)空間曲線 的參數(shù)方程為的參數(shù)方程為: ,tztytx 并假定這三個函數(shù)都可導(dǎo)。并假定這三個函數(shù)都可導(dǎo)。 0mmxozyt,0zyxmm 000000tzztyytxx 3即得曲線即得曲線 在在 0m處的處的切線方程為切線方程為: 000000tzztyytxx 法平面方程為法平面方程為: : 0000000zztyytxxt 切線的方向向量

3、切線的方向向量 000,tttt 稱為稱為曲線的切向量曲線的切向量。 過點過點 0m與其切線垂直的平面與其切線垂直的平面, 在在0m的的法平面法平面。 稱為曲線稱為曲線 42. 若空間曲線若空間曲線 的方程為的方程為: ,xzxy 曲線曲線 在點在點 0000,zyxm處的處的切線方程切線方程為為: 000001xzzxyyxx 法平面方程法平面方程為為: 000000zzxyyxxx 曲線曲線 的的切向量切向量為為: 00, 1xxt xzxyxx 取取 x為參數(shù)，為參數(shù)， 它就可以表為參數(shù)方程的形式：它就可以表為參數(shù)方程的形式： 5該曲線在點該曲線在點 0m處的處的切向量切向量為為: 00

4、, 1xzxyt切線方程為切線方程為: 000001xzzzxyyyxx法平面方程為法平面方程為 : 000000zzxzyyxyxx3. 若空間曲線若空間曲線 的方程為的方程為: ,z ,y,xgz ,y,xf 00點點 0000z ,y,xm, 0,),(000zyxzygfj在曲線在曲線 上，上， 設(shè)設(shè) gf、有對各變量的連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，有對各變量的連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)， 且且該方程組在點該方程組在點 xzzxyy,的某個鄰域內(nèi)唯一確定一組隱函數(shù)的某個鄰域內(nèi)唯一確定一組隱函數(shù)0m6方程組方程組: 0,0,zyxgzyxf在點在點 0000,zyxm的某一鄰域內(nèi)確定的某一鄰域內(nèi)確定 一組隱函數(shù)一組隱函數(shù)

5、 ,xzxy 兩邊對兩邊對x求全導(dǎo)數(shù)，得求全導(dǎo)數(shù)，得 00dxdzzgdxdyygxgdxdzzfdxdyyfxf, 0,zygfj由假設(shè)知，在由假設(shè)知，在 0m的某一鄰域內(nèi)的某一鄰域內(nèi) 所以有所以有 . ,zyzyyxyxzyzyxzxzggffggffxdxdzggffggffxdxdy 7為曲線在點為曲線在點 0m處的一個切向量，其中處的一個切向量，其中 00, 1xxt . ,000000mzyzymyxyxmzyzymxzxzggffggffxggffggffx 把切向量把切向量 00, 1xxt 乘以乘以 ,0mzyzyggff得得 0m處的又一個處的又一個切向量切向量： 000,

6、1myxyxmxzxzmzyzyggffggffggfft曲線在點曲線在點 0m處的處的切線方程切線方程還可表示為還可表示為: 000000myxyxmxzxzmzyzyggffzzggffyyggffxx80000000zzggffyyggffxxggffmyxyxmxzxzmzyzy曲線在點曲線在點 0m處的處的法平面方程法平面方程為為: 如果如果 , 00mzyzyggff而而 00,myxyxmxzxzggffggff中有至少有一個不為中有至少有一個不為0 ， 上面的切線及法平面方程仍然成立。上面的切線及法平面方程仍然成立。 上面的切線及法平面方程主要用于當(dāng)上面的切線及法平面方程主要用

7、于當(dāng) 00mzyzyggffj時，時， 要求曲線的切線與法平面的情形。要求曲線的切線與法平面的情形。 9例例1. 求曲線求曲線 32tz ,ty, tx 在點在點 111,處的切線及處的切線及 法平面方程。法平面方程。 解解:,tz23 ,x1 , ty2 點點 111,對應(yīng)于參數(shù)對應(yīng)于參數(shù) ,t1 切向量為切向量為: 3,2,1t切線方程為切線方程為: 312111 zyx法平面方程為法平面方程為: 013121 zyx即即: 632 zyx10例例2 求曲線求曲線 421323,mxzxy:在在點點 處的切線方程和處的切線方程和法平面方程。法平面方程。 解解 1 62 z,xy所以切向量為

8、所以切向量為 ： 1 , 6 , 1t切線方程為：切線方程為： 146211 zyx法平面方程為：法平面方程為： 04261zyx0176 zyx即：即： 323xzxyxx的參數(shù)方程為的參數(shù)方程為 則曲線則曲線 取取 為參數(shù)為參數(shù), x11解解: 010222zyz zyyx即即 1zyxzzyy則則.zyyxz .,t101 ,y,0121 切線方程為切線方程為:,zyx110211 或或.yzx 0202法平面方程為法平面方程為: ,zx011 即即0 zx, 03111 , 2, 11 , 2, 1zyzyj,zyxzy 例例3. 求曲線求曲線 06222zyxzyx在點在點 121,

9、 的切線及法平面方程的切線及法平面方程. ,z,1121 求導(dǎo)求導(dǎo), 得得:x方程兩邊對方程兩邊對12例例4. 求曲線求曲線 0222222axyxazyx在點在點am, 0 , 00的切線及法平面方程的切線及法平面方程. 解解 設(shè)設(shè) .,222222axyxzyxgazyxzyxf則則 . 0,2,2 ;2,2,2zyxzyxgygaxgxfyfxf, 00222, 0 , 00amzyzyyzyggff,220aggffmxzxz. 00myxyxggff曲線在點曲線在點 am, 0 , 00的切線方程為的切線方程為 020002azayx即即 azx0法平面方程為：法平面方程為： 0y1

10、3二二. . 空間曲面的切平面與法線空間曲面的切平面與法線 1. 設(shè)曲面設(shè)曲面 的方程為的方程為: 0,zyxf 0000z ,y,xm為曲面上一點為曲面上一點,在曲面上過點在曲面上過點 0m任作任作一曲線一曲線 , 設(shè)其方程為設(shè)其方程為: tz ,ty,tx ,00000zyxmtt yzxo若若 000t,t,t 不全為零，不全為零， 則過點則過點 0m的切線方程為的切線方程為 000000tzztyytxx 過點過點 0m的所有曲線在點的所有曲線在點 0m處的切線處的切線 都在同一平面上都在同一平面上, 可以證明：可以證明： 曲面曲面 上上, 0m處的處的切平面切平面。 稱該平面為曲面在

11、點稱該平面為曲面在點 0m14事實上事實上,而曲線而曲線 在點在點 0m的切向量為的切向量為: 000t,t,tt 由于曲線由于曲線 完全在曲面完全在曲面 上，上， 0,tttf 00 ttdtdf即即 0,000000000000tzyxftzyxftzyxfzyx 引入向量引入向量 000000000,zyxfzyxfzyxfnzyx,tn0 即即兩向量垂直兩向量垂直。 對方程的兩邊求關(guān)于對方程的兩邊求關(guān)于 t的全導(dǎo)數(shù)，得的全導(dǎo)數(shù)，得 0,tzyxftzyxftzyxfzyx dtdf150,000000000000zzzyxfyyzyxfxxzyxfzyx曲面上過點曲面上過點 0m并并與

12、其切平面垂直的直線與其切平面垂直的直線稱為曲面在點稱為曲面在點 0m的的法線法線.法線方程為法線方程為:00000000000,0zyxfzzzyxfyyzyxfxxzyx切平面切平面方程為方程為: 向量向量 n為切平面的法向量為切平面的法向量 由于曲線由于曲線 是曲面上過點是曲面上過點 0m任意任意一條曲線，一條曲線， 它們在點它們在點 的切線都垂直于同一向量的切線都垂直于同一向量 ,n0m所以過點所以過點 0m的一切曲線在點的一切曲線在點 0m的切線都在一個平面的切線都在一個平面 曲面曲面 0m處的處的切平面切平面上。上。 在點在點 曲面的法向量曲面的法向量。 162. 若曲面方程由顯函數(shù)

13、形式給出若曲面方程由顯函數(shù)形式給出: yxfz,則令則令 0 zy,xfz , y,xf,ffxx 在點在點 0000z ,y,xm處切平面的一個法向量為處切平面的一個法向量為: 1,0000yxfyxfnyx切平面方程為切平面方程為: 0000000zzyyy,xfxxy,xfyx 法線方程為法線方程為: 10000000 zzy,xfyyy,xfxxyx,ffyy .fz1 17曲面曲面 yxfz,在點在點 0000z ,y,xm處切平面的一個法向量為處切平面的一個法向量為:1,0000yxfyxfnyx其其向上的法向量向上的法向量（它與（它與z軸的夾角為銳角）為軸的夾角為銳角）為 1 ,

14、00001yxfyxfnyx假設(shè)用假設(shè)用 、曲面的向上的法向量的方向角，則該法向量曲面的向上的法向量的方向角，則該法向量 .11cos,1cos,1cos222222yxyxyyxxffffffff 的方向余弦為的方向余弦為 18例例5. 求旋轉(zhuǎn)拋物面求旋轉(zhuǎn)拋物面 122 yxz在點在點 412 ,處的切平面及處的切平面及 法線方程。法線方程。 解（解（1） ,yxy, xf122 ,xfx2 1,2 ,44,1,2n切平面方程為切平面方程為: 041224zyx即即624 zyx法線方程為法線方程為:142142 zyx,2yfy點點處切平面的法向量為處切平面的法向量為:4 , 1 , 2解

15、（解（2） 令令zyxzyxf1,22,xfx2 ,yfy2 1 zf.1,2 ,2yxn19例例6 在曲面在曲面 xyz 上求一點上求一點 , 使這點處的法線垂直于使這點處的法線垂直于 解解已知平面的法向量為已知平面的法向量為 1 , 3 , 1n曲面曲面 xyz 在點在點 000z ,y,x處法線的一個方向向量為處法線的一個方向向量為 1,000 xyn,/0nn.xy113100 .yxz3000 解得：解得： ,y,x1300 所求點為：所求點為： 313, 該點處法線方程為：該點處法線方程為： 133113 zyx,zyx093 并寫出這法線的方程。并寫出這法線的方程。 平面平面 x

16、yy,xfz , yfx ,xfy 20小結(jié)：小結(jié)： 1.空間曲線的切線方程與法平面方程空間曲線的切線方程與法平面方程 2.曲面的切平面方程與法線方程曲面的切平面方程與法線方程 21例例4. 求曲面求曲面 3 xyzez在點在點 012,處的切平面及法線處的切平面及法線 解解:.efzz1 , yfx ,xfy 0 , 2 , 1n所求切平面方程為所求切平面方程為: 0122yx即即 42 yx法線方程為法線方程為: 002112 zyx032zyx或或 在點在點 處處,0 , 1 , 2方程。方程。習(xí)題習(xí)題8-6 6 03,xyzezyxfz設(shè)設(shè)22例例6. 求橢球面求橢球面 12222 zyx上