2016-2017學(xué)年高中數(shù)學(xué)第二章平面向量2.5平面向量應(yīng)用舉例課時(shí)訓(xùn)練新人教A版必修4

1、2.5 平面向量應(yīng)用舉例2.5.1 平面幾何中的向量方法2.5.2 向量在物理中的應(yīng)用舉例一、向量在平面幾何中的應(yīng)用1 .利用向量研究平面幾何問題的思想向量集數(shù)與形于一身，既有代數(shù)的抽象性又有幾何的直觀性，因此，用向量解決平面幾何問題，就是將幾何的證明問題轉(zhuǎn)化為 _的運(yùn)算問題，將“證”轉(zhuǎn)化為“算”，思路清晰，便于操作.2 .向量在平面幾何中常見的應(yīng)用已知a = (“J, b=化2).(1) 證明線段平行、點(diǎn)共線問題及相似問題，常用向量共線的條件：a/ b= a = b= _ = 0(b 0)(2) 證明線段垂直問題，如證明四邊形是正方形、矩形，判斷兩直線(或線段)是否垂直等，常用向量垂直的條件

2、：a - b：= a b = 0：二 _= 0(其中a，b為非零向量)(3) 求夾角問題，若向量a與b的夾角為二，利用夾角公式：cos =_二_ (其中a，b為非零向量)(4 )求線段的長度或說明線段相等，可以用向量的模：1 aF- ，T或|AB|=|AB| =_(其中代B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(x3, y3)，(y4)(5 )對(duì)于有些平面幾何問題，如載體是長方形、正方形、直角三角形等，常用向量的坐標(biāo)法，建立平面直角坐標(biāo)系，把向量用坐標(biāo)表示出來，通過代數(shù)運(yùn)算解決綜合問題3 .禾 U 用向量解決平面幾何問題的步驟(1) 建立平面幾何與向量之間的聯(lián)系，用向量表示問題中涉及的幾何元素，將平面幾何問題轉(zhuǎn)化為

3、向 量問題；(2) 通過向量運(yùn)算，研究幾何元素之間的關(guān)系，如距離、夾角等問題；(3) 把運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系 .這其實(shí)也是用向量法解決其他問題的思路，即從條件出發(fā)，選取基底，把條件翻譯成向量關(guān)系式(用2基底表示其他向量），然后通過一系列的向量運(yùn)算，得到新的向量關(guān)系式，則這個(gè)新的向量關(guān)系式的幾何解釋就是問題的結(jié)論二、向量在物理中的應(yīng)用向量是在物理的背景下建立起來的，物理中的一些量，如位移、力、速度（加速度）、功等都與向量有著密切的聯(lián)系，因此可以利用向量來解決物理中的問題具體操作時(shí)，要注意將物理問題轉(zhuǎn)化為向量關(guān)系式，通過向量的運(yùn)算來解決，最后用來解釋物理現(xiàn)象1 .向量與力向量是既有 _又有_

4、的量，它們可以有共同的作用點(diǎn)，也可以沒有共同的作用點(diǎn)，但是力的三要素是大小、方向和作用點(diǎn)，所以用向量知識(shí)解決力的問題，通常要把向量_到同一作用點(diǎn)上2 .向量與速度、加速度及位移速度、加速度與位移的合成與分解，實(shí)質(zhì)上就是向量的加減法運(yùn)算 解決速度、加速度和位移等問題時(shí)， 常用的知識(shí)主要是向量的 _、_ 以及_ 運(yùn)算，有時(shí)也借助于坐標(biāo)運(yùn)算來處理3 .向量與功、動(dòng)量力做的功是力在物體前進(jìn)方向上的分力與物體位移的乘積，實(shí)質(zhì)是力和位移兩個(gè)向量的_ ,W W = =F F s s = F F| | s| cosr（r為F和s的夾角）.動(dòng)量mv實(shí)際上是_ 向量.參考答案：忖 7 電二晅訂龍 r 笑匚曜曆M

5、靈晅F龜二晅訂舄R.W.TsgK膻一、1.向量2. (1)為丫2 X2yi(2)XMy2(3)a b ab &X1X2+ yiy2(4)JM2+yjJ%2 &2)+(y32 y/)：12+%2第22*22_ 、 1. 大小方向平移2. 加法減法數(shù)乘3. 數(shù)量積數(shù)乘重點(diǎn)：平面幾何中的垂直、長度以及夾角問題難點(diǎn)：利用向量方法解決其他實(shí)際問題 .3易錯(cuò)：向量應(yīng)用中對(duì)向量關(guān)系式表達(dá)的向量之間的相互關(guān)系判斷錯(cuò)誤.41.- 重點(diǎn)平面幾何中的垂直問題【歸納總結(jié)】用向量法解決平面幾何問題，一般來說有兩個(gè)方向：(1) 幾何法：選取適當(dāng)?shù)幕?盡量用已知模或夾角的向量作為基底),將題中涉及的向量用

6、基底表示，利用向量的運(yùn)算法則、運(yùn)算律或性質(zhì)計(jì)算；(2) 坐標(biāo)法：建立平面直角坐標(biāo)系，實(shí)現(xiàn)向量的坐標(biāo)化，將幾何問題中的長度、 垂直、平行等問題轉(zhuǎn)化為代 數(shù)運(yùn)算一般地，存在坐標(biāo)系或易建坐標(biāo)系的題目適合用坐標(biāo)法2.重點(diǎn)平面幾何中的長度問題平面幾何中求線段的長度問題，在向量中就是求向量的模的問題，可適當(dāng)構(gòu)造向量，利用向量知識(shí)求解.如圖，平行四邊形ABCD，已知AD=1,AB=2,對(duì)角線B=2,則對(duì)角線AC的長為.對(duì)于線段垂直問題，可以聯(lián)想到兩個(gè)向量垂直的條件以考慮向量關(guān)系式的形式，也可以考慮坐標(biāo)的形式(向量的數(shù)量積為 0)，而對(duì)于這一條件的應(yīng)用，可如圖，在正方形ABCDh E, F分別是AB BC的中

7、點(diǎn)，求證:AF! DE.【答案】見解析【解析】方法一設(shè)AD二a,AB二b，則|a |=|b|,a b二0,又是總AEa b,2ab13所以AF DE =(b ) ( a -)=a2a222441 a|2-| b|2= 0.2故AF_DE，即AF!DE方法二如題圖，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)正方形的邊長為-1T所以AF =(2,1),DE =(1,-2).因?yàn)锳F DE =(2,1) (1,-2)= 2-2 =0,2，則A(0,0),Q0,2),曰 1,0),F(2,1),_ DE，即AF丄DE所以5AE =( _2a,a), BF =(a, 2a).設(shè)向量AE,BF的夾角為【答案】-.6【解析】設(shè)

8、AD二a, AB=b，貝y-| BDhI a b|= |a |2-2a b | b皿廠4匚2a_b二$5匚2a_b,BD =a - b, AC =a b.r2| BD | =5 -2ab=b=4, |AC|=| a b| a |22a b | b I2= . 52a b八6，即AC【名師點(diǎn)評(píng)】 用向量法求平面幾何中的長度問題，即向量長度的求解,一是利用圖形特點(diǎn)選擇基底，向向量的數(shù)量積轉(zhuǎn)化，利用公式| a |2二a2求解；二是建立平面直角坐標(biāo)系,確定相應(yīng)向量的坐標(biāo)，代入公式求解，即若a =(x, y)，則| ax2y2.3.重點(diǎn)平面幾何中的夾角問題等腰直角三角形中兩直角邊上的中線所成的鈍角的余弦

9、值為A.B.C.D.【答案】A【解析】如圖，分別以等腰直角三角形的兩直角邊所在的直線為x軸、y軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)A(2a,0), B(0,2a)，則F(a,O), E(O,a),6AE BF(2a,a) (a匚2a)|AE| |BF、5a . 5a【思路點(diǎn)撥】 根據(jù)已知建立平面直角坐標(biāo)系，將等腰直角三角形的兩直角邊所在直線作為x軸和y軸，分別設(shè)出三角形頂點(diǎn)和兩直角邊中點(diǎn)的坐標(biāo)，再代入坐標(biāo)求解兩中線所對(duì)應(yīng)的向量的數(shù)量積和模，進(jìn)而 求得夾角的余弦值4 .難點(diǎn)平面向量在物理中的應(yīng)用一質(zhì)點(diǎn)受到平面上的三個(gè)力Fi、F2、F3(單位：牛頓)的作用而處于平衡狀態(tài).已知Fi、F2成 60角,且Fi、F2

10、的大小分別為 2 和 4,貝UF3的大小為 _ .【答案】2-J【解析】由題意知F3=-(Fi+F2),IF3|=|Fi+F2I ,222 IF3| =|Fi| + IF2I + 2|Fi|F2ICOS6O =28,IF3|= 2 .,7.【名師點(diǎn)睛】 用向量法解決物理問題的步驟如下：(1) 抽象出物理問題中的向量，轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題；(2) 建立以向量為主體的數(shù)學(xué)模型；(3) 利用向量的線性運(yùn)算或數(shù)量積運(yùn)算，求解數(shù)學(xué)模型；(4) 用數(shù)學(xué)模型中的數(shù)據(jù)解釋或分析物理問題.5難點(diǎn)一一利用向量解決其他問題例5已知直線Ax+By+C=0(其中A2+B2=C?, O 0)與圓x2+y2=6 交于不同的兩點(diǎn)M

11、 N, O是坐標(biāo)原點(diǎn)，則cos -4a25a27則OM MN =_ .【答案】-101【解析】取MN勺中點(diǎn)P,則MP MN,MN _ 0P2| A 0+ B 0 C |又|OP|22 ,|OM |八6,JA2+B28 ABC，所以四邊形ABCD為菱形，其邊長為，且對(duì)角線BD等于邊長的-.3倍作AE _ BD于E,則BE二一6，所以AE2,2(1)重心若點(diǎn)6是公ABC的重心，則GA GB GC=0或是=1(PA PB PC)(其中P為平3面內(nèi)任意一點(diǎn))反之，若GA GBG0,則點(diǎn)6是厶ABC的重心.r T(2)垂心若H是厶ABC的垂心， 貝U HA HB = T T-HC HA，則點(diǎn)H是厶ABC

12、的垂心.HB HC二反之，若從(3)內(nèi)心若點(diǎn) I 是厶ABC的內(nèi)心，則有|BC | IA |CA| IB |AB | IC二0.反之，若 OM MN=(OPPM)而|PM|2OM MN 2 510【名師點(diǎn)睛】 向量在解決其他問題時(shí)的“兩個(gè)”作用:(1)載體作用：向量在其他問題中出現(xiàn)時(shí)，多用于“包裝”，解決此類問題的關(guān)鍵是利用向量的意義、運(yùn)算脫去“向量外衣”，從而解決有關(guān)距離、斜率、夾角、軌跡、最值等問題.工具作用：利用a丄b?ab=O(a,b為非零向量)，a/b?a=入b(b0)，可解決垂直、平行問題，特別地，向量垂直、平行的坐標(biāo)表示對(duì)于解決解析幾何中的垂直、平行問題是一種比較優(yōu)越的方法6 易

13、錯(cuò)一一對(duì)向量關(guān)系式表達(dá)的向量之間的相互關(guān)系判斷錯(cuò)誤i在四邊形ABCD中,忒式(1,1)，里聖沁BD，則四邊形ABCD的面積-_|BD|BA| |BC|確求解【正解】由+ -BC 與ZABC的平分線有關(guān)，從而不能迅速找到解題的突破口，不能正|BA| |BC|AB =(1,1),|BA| |BC|BC = BD，可知平行四邊形ABCD中的對(duì)角線BD平分|BD|故S四邊形ABCD譏1BDA2三3【誤區(qū)警示】對(duì)常見的向量表示形式要熟記于心，如:【錯(cuò)因分析】不清楚9| BC | IA |CA |101.已知0 A,B,C為同一平面內(nèi)的四個(gè)點(diǎn)，若2AC+CB =0，則向量OC等于21斗A. OA OB33

14、B._ OA2OB33R TC2OA-OBT TD-OA 2OB2已知三個(gè)力f1=(-2,-1),f2=(-3,2).f3=(4, - 3)冋時(shí)作用于某物體上一點(diǎn)，為使物體保持平衡，再加上一個(gè)力f4,則f4=A. (-1, -2)C. (-1,2)IB |AB|IC=0,則點(diǎn)I是厶ABC的內(nèi)心.(4)外心.若點(diǎn)0是厶ABC的外心，則(OA - OB)-BA =(OBOC)CB= (0C OA) AC =0或|OAH8B|8C|.反之，若|OA|=|OB|=|B. (1, -2)D. (1,2)|，則點(diǎn)0是厶ABC的外心.116.如圖所示，設(shè) 。是厶ABC內(nèi)部一點(diǎn)，且OA+OC=2OB，則AOB

15、與厶AOC的面積之比為3 .在ABC中，若2AB AB AC BA BC CA CB,則厶ABC是A.直角三角形B.銳角三角形C.鈍角三角形D.等邊三角形._ .n4.如圖，在ABC中，已知BAC =3,AB =2,AC=3,=2BD,AE =3ED，貝U |BE|二5 菱形ABCDK AC與BD交于點(diǎn)12(1) 求x與y之間滿足的關(guān)系式；(2) 若AC_ BD，求x與y的值及四邊形ABCD的面積.9.在厶ABC中，點(diǎn)D,E分別在邊BC,AC上,A.C.15_a b31215 . a b312B.D.T且BD = 2DC!DC，CE二3EA，若AB113,a a b312113,_ a： b如

16、圖，在四邊uuuuuu uuu uuu| DC則(AB DC) AC的值為A.2C. 4D. 4.2urn uuu uuu=0,|AB| |BD| |BD|在水流速度為4 km/h的河流中，有一艘船正沿與水流垂直的方向以8 km/h的速度航行，則船自身航行的速度大小為km/h.10 已知D為ABC的BC邊上一點(diǎn),DC 2DB，過D點(diǎn)的直線分別交直線AB、AC于E、F，若T -*T2 1AE =?；.AB,AF =丄AC，其中00，則一 匚11.如圖，已知向量AB =(6,1)，BC = (x, y),CD =(-2,-3)，且BC/ 啟B.2.2D221312378CDACC1 . C【解析】

17、因?yàn)锳C.OC-OA,CB.OB-OC，所以2AC CB = 2(OC_OA)(OB -OCOC-2OA OB =0，所以O(shè)C =2OA -OB，故選C.D【解析】由物體平衡，則所受合力為 0 知：fl+f2+f3+f4=0,故f4=-(fl+f2+f3)= (1,2).解法二：由A(1,2),O(-3,1)及中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得C(-7,0),設(shè)B(m,n),則D(-6-m,2 -n),BD =(-6 -2m,2 -2 n),AC =(-8,-2),由BD _ AC得所以ABAC=(m -1,n -2) (-8, -2) = -8(m-1)-2(n -2) = -2(4m n) 12 =34.【

18、解析】如圖所示，設(shè)M是AC的中點(diǎn)，貝 UOA+OC =20M又OA+OCOB，A【解析】由A2= ABACBA BCCA CB，知A2- AB AC =BA2BC - CA BC，AB(A-ACHBC (BA-CA).ABCB=(CB)=所以CBAC = 0 =，故 ABC為直角三角形所以因此【解析】 因?yàn)锳EvED,)1 T 1 T 111一 BA +-(BC) = BA+-(BA + AC) = AB 十一 AC , 44 344241 二211 13132 3 ,BE =42 164131 1 3 1 -*BE BA BD44443212(BE = AB 亠一 AC41634【解析】 解

19、法一：由題意可得AO _ BO，所以AO OB =0，且AO二(-4, -1), 所以ABAC=(AOOB) 2AO二2AO2=2 (-4)2(-1)2 =34.BD AC - o,即(-6 2m) (8)-2(2-2n)=0,即4mn- -11,6.=-OB，即是BM的中點(diǎn),22141SAAOB=SAAOM= SAAOC，即SAAOBSAOC15T T T T 2Tr 1T2115C【解析】DE二DB BA AE CB BA一AC3434312C【解析】由| AB | | BD | | DC匚4得|uu uuu uun uuu由| AB| |BD | |BD | |DC |八得| BD | (| AB | |DC |) = 4,所以(AB DC) AC =(AB DC) (AB BD DC)因?yàn)锽C/AD，所以(x 4)y-(y-2)x=0，即x 2y = 0.4