物體運動的描述

1、第一章 第一章 物體運動的描述§1-1 描述質點運動狀態(tài)的物理量【基本內(nèi)容】一、位置矢量1、 1、       質點 如果物體的大小和形狀對所研究的問題沒有影響，則可將物體看成一個具有質量的點。2、 2、       參照系 為了確定物體的位置而選作參考的物體稱為參照系。3、 3、       位置矢量 如圖1.1所示，從坐標原點O到運動質點P的有向線段稱為質點P的位置矢量。運動方程 質點的位置矢量與時間的

2、函數(shù)關系。軌跡方程 運動方程消去時間參量后，各坐標間的關系式，即由消去t得軌跡方程f（x，y，）=0。二、位移矢量設t時刻，質點處于P點，位置矢量為。經(jīng)時間t后于t+t時刻運動到P/點，位置矢量為，則從初位置P到未位置P/的有向線段：叫質點在時間內(nèi)的位移，如圖1.2。它描述質點位置的變化。說明：（1）與的區(qū)別位移的大小，位矢長度的改變量。（2）位移與路程的區(qū)別路程表示質點在時間內(nèi)越過的軌跡，即曲線的長度。是矢量，是標量，且當時，,但三、速度1、平均速度定義：質點在時間內(nèi)的位移與時間的比值，叫質點的平均速度：其方向與的方向相同，如圖1.3。平均速率：質點在時間內(nèi)的位移與時間的比值，叫質點的平均速

3、率： 2、速度定義：時的平均速度。方向：沿軌跡切線且指向質點前進的方向。一般，但在直角坐系下的表示四、加速度1、平均加速度設t時刻，質點的速度為。經(jīng)時間t后于t+t時刻質點的速度為，則質點的速度增量與時間間隔t的比值，叫質點的平均加速度。2、加速度定義：時的平均加速度。大?。?，方向：是時，的方向，指向曲線凹側。在直角坐標系下的表示大?。悍较颍号cX軸的夾角【典型例題】【例1-1】一質點的運動方程為，求：（1） （1）               &

4、#160;     軌道方程并畫出其軌道；（2） （2）                     及時質點的速度和加速度；（3） （3）                  

5、0;  第2秒內(nèi)質點的平均速度；（4） （4）                     何時質點離坐標原點最近？并求出這個距離。【解】（1）運動方程的分量形式為消去時間后可得軌跡方程由于，所以不能取負值。軌道如題解例1-1圖所示。（2）由速度的公式：代入和，其速度分別為和由加速度的公式：（3）第2秒內(nèi)的位移：平均速度：（3） （3）    

6、0;        質點離原點距離：令可解出（舍去）故在時質點離原點最近：【討論】（1）作圖時，應在圖上標明特殊位置的坐標值。如本題標明圖線與橫坐標和縱坐標的交點值。（2）表示質點的徑向速度為0，它實際上是速度由正變負（或者由負變正）的轉折值，因此此時所對應的值應該是局部最大或最小。在數(shù)學中，為確定是極大值還是極小值，需進一步求二階導數(shù)。此題中，已經(jīng)確定必無極大值，故將“駐點”代入比較就可求出極小值。【分類習題】【1-1】 對于質點，下列表述正確的是 ：（1） （1）     

7、;                加速度恒定不變時，運動方向不變。（2） （2）                     平均速度的大小等于平均速率。（3） （3）       &

8、#160;             平均速率表達式可寫我為（分別表示始末時刻的速率）。（4） （4）                     速度不變時，速率不變?！?-2】一人自原點出發(fā)，內(nèi)向東走，又內(nèi)向南走，再內(nèi)向正西北走。求在這內(nèi)：（1） （1）  &#

9、160;                  平均速度的的大小和方向（2） （2）                     平均速率?！?-3】 一質點的位置矢量為（為常量）。則該質點作 （填勻速、變速） （填直線、曲線）運動?！?

10、-4】 質點運動方程為，求（1） （1）                     此質點的軌跡方程；（2）時刻質點的速度和加速度?！?-5】在質點運動中，已知。求質點的加速度和它的軌道方程。§1-2、直線運動【基本內(nèi)容】一、直線運動的分類=0勻速直線運動 a與v同向勻加速直線運動a=c勻變速直線運動a與v反向勻減速直線運動c非勻變速直線運動二、運動圖線表示質點在運動過程中，位置、速度隨時

11、間的變化關系。1、位置時間圖線（xt圖）速度：由曲線的斜率表示。平均速度：由曲線中相應割線的斜率表示。2、速度時間圖線（vt圖）由vt圖求a：由曲線的斜率求出。由vt圖求位移：vt圖線與t1、t2兩縱坐標之間的面積?！镜湫屠}】【例1-2】 有一小球沿斜面向上滾動，小球離開初位置向上滾動的距離與時間的關系為，求：（1） （1）                     初速度；（2） （2）

12、0;                    小球何時開始下滾；（3） （3）                     在內(nèi)的位移和路程。【解】 （1）由代入得小球的初速度為（2）小球開始返回時，即運動方向的轉折

13、點，對應速度為0，故即所以小球開始下滾的時間為（3）內(nèi)的位移由于在時速度方向改變，因此內(nèi)的路程應為和兩段時間內(nèi)位移大小之和：小結：本題中，速度表示速度方向的轉折點，從而求得了小球返回處的時間。【例1-3】 一質點在軸上作加速運動，開始時。（1），求任意時刻的速度和位置，其中均為常量；（2），求任意時刻的速度和位置，其中均為常量；（3），求任意位置的速度其中均為常量?！窘狻浚?）由加速度的定義式得兩邊積分，并代入初始條件得：由速度的定義式得：兩邊積分，并代入初始條件得：（2） （2）         

14、60;           由可得兩邊積分：，可得再由可得兩邊積分：（3）由于，于是兩邊積分有：,故 【討論】（1）由于是一維運動，不必寫出矢量形式，因為可以視直線運動為復雜運動中的一個分運動。（2）常見錯誤：不管加速度的形式，盲目使用中學的勻變速直線運動的三個公式。綜合上面兩例題：運動學的習題有兩種基本類型：（1）已知運動方程，求速度、加速度、位移及軌跡方程；（2）已知加速度，求速度、運動方程。前者用微分法，后者用積分法。注意積分時應正確運用初始條件。【例1-4】在離水面高為的岸邊上，有人以勻

15、速0拉船靠岸（例1-4圖）。求船距岸邊處時，船的速度和加速度?！窘狻恳詾樽鴺嗽c，指向船的方向為軸正方向建立坐標系。由勾股定理有兩邊對時間求導，得明顯，船速，繩子速率，故式中負號表示船的速度方向與方向相反。加速度 【討論】這類題看似無從下手，但某時刻三邊構成明顯的幾何關系（本題是勾股定理），對等式兩邊求導就求出了速度間的關系，于是，路子就通了。說明：對一邊求導時，要求只有一端運動，另一端靜止，此時求導所對應的速度才為移動端的速度?！痉诸惲曨}】【1-6】一小球沿斜面向上運動，其運動方程為，則 時小球達到最高點?！?-7】一質點運動方程為，求由至內(nèi)，質點位移和所經(jīng)歷的路程?！?-8】 兩車與同時出

16、發(fā)，沿直線作同向運動，其行使距離隨時間變化關系分別為和。則剛出發(fā)時運動在前的是 ；出發(fā)后， 時兩車行駛相同的距離；出發(fā)后， 時兩車等速?！?-9】 一質點作直線運動，其運動規(guī)律為(為常量），當時，求時刻的速度?！?-10】 一質點沿軸運動，其加速度與時間的關系為，如質點的初速度為，求時質點的速度?！?-11】一質點沿軸運動，其圖如（圖1-11）所示。如時質點位于原點，則時質點在軸上的位置?！?-12】 一質點沿直線運動，其圖如圖1-12。則該質點第 秒的瞬時速度為0，第 秒至 之間速度與加速度同向。（提示：分析曲線切線斜率的增量）。【1-13】 燈距地的高度為，身高為的人在燈下以勻速沿水平直線

17、行走（圖1-13），求他頭頂影子點沿地面移動的速度。提示：建立坐標系，找出點所遵守的幾何關系，再由速度的定義通過求導而得【1-14】 距河岸（看成直線）處有一艘靜止的船，船上的探照燈以勻角速度旋轉照射河岸，求當光束與岸邊成角時，光沿岸邊移動的速度。§1-3 曲線運動【基本內(nèi)容】一、曲線運動1、自然坐標系研究曲線運動時，把坐標原點取在運動質點上，該點處的切線與法線構成正交坐標軸，如圖1.4。切線坐標軸正方向：規(guī)定為質點前進的方向，其單位矢量為。法線坐標軸正方向：規(guī)定為指向曲線凹側的方向，其單位矢量為。顯然：和是隨時間變化的。2、位置的自然坐標表示設質點沿曲線L運動，t=0時，位于P0點

18、，t時刻位于P點。則在時間t內(nèi)，質點運動的路程（弧長）能確定質點的位置3、速度的自然坐標表示4、加速度的自然坐標表示其中：切向加速度反映速度大小的變化。法向加速度反映速度方向的變化。大小：方向：與夾角：二、圓周運動的角量描述如圖1.5，質點在O-XY平面內(nèi)作圓周運動。質點的運動狀態(tài)可以用線量描述，也可用另一類物理量（角量）描述。1、角位置確定運動質點的位置的正負：逆時針轉動時為正，順時針轉動時為負。單位：弧度（rad）2、角位移描述質點位置的變化的正負：與規(guī)定一致。3、角速度描述質點轉動的快慢大小：方向：由右手定則確定單位：rad/s或1/s4、角加速度描述質點角速度變化的快慢大?。?方向：作

19、加速轉動時，與同方向；作減速轉動時，與反向。單位：rad/s2或1/s2三、角量與線量的關系1、與s的關系，如圖1.62、與的關系3、與a關系四、剛體的運動1、平動剛體平動的特征：剛體中的任一條直線，在剛體運動過程中始終保持平行。剛體平動的研究方法：剛體作平動時，剛體各質點的運動情況相同，視為質點處理。2、定軸轉動剛體轉動的特征：剛體上各點都繞同一固定的直線作半徑不同的圓周運動，該直線稱為剛體的轉軸。描述剛體轉動的物理量角位移角速度角加速度剛體勻變速轉動公式【典型題例】【例1-5】質點作半徑為R的圓周運動，其運動方程為，、均為大于的常數(shù)，求其切向加速度和法向加速度?！窘狻坑伤俣榷x式，得切向加

20、速度為法向加速度為【討論】 對于圓周運動，無論求切向加速度還是法向加速度，應首先速率的表達式?！纠?-6】 熱氣球在無風時以速度從地面勻速上升。但由于風的影響，隨著高度的增加，氣球的水平速度按的規(guī)律增大（為大于0的常數(shù)），求任一時刻氣球的切向加速度、法向加速度和軌道的曲率分別與氣球高度的關系?！窘狻坑深}意：可知又所以在任一時刻（高度），加速度的大小為，方向沿軸，與高度無關。任一時刻氣球的速度大小為由此可求出切向加速度為：將代入上式，可得與高度的關系：而法向加速度可由式求出：再由，可得軌道曲率半徑為【討論】 對于一般曲線運動，寫出速率的表達式，就可以方便地求出切向加速度。但是，在求法向加速度時，

21、因為曲率半徑的數(shù)學計算比較復雜，一般不按定義式來求，而是根據(jù)總加速度、法向加速度和切向加速度的關系進行計算?！纠?-7】質點作半徑為的圓周運動，其角運動方程為，求質點的法向加速度和角加速度?！窘狻?角速度：角加速度：法向加速度：【例1-8】一質點從靜止開始作半徑為米的圓周運動。且，求其角速度和切向加速度?！窘狻坑山羌铀俣鹊亩x：切向加速度：【討論】 綜合【例1-7】和【例1-8】兩例題，由求求用微分；反之，由求求用積分，積分時，要求正確運用初始條件。注意：對于圓周運動，由于角量的方向均在一直線 (轉軸) 上，因此，求角量間的關系時不必用矢量形式?！痉诸惲曨}】【1-15】 質點作變速圓周運動，已

22、知圓周半徑為，時刻質點速率為。求時刻其加速度的大小。【1-16】以初速度，拋射角斜拋一物體，求其軌道最高點處的曲率半徑?！?-17】質點作半徑為的圓周運動，其路程（為大于0的常數(shù)，且）。則時刻質點的切向加速度大小 ，法向加速度的大小 ；當 時?！?-18】 半徑為20cm的主動輪與半徑為50cm的從動輪，用無相對滑動的皮帶連接。主動輪從靜止開始作勻角加速轉動，在內(nèi)從動輪角速度達。求在這內(nèi)主動輪轉過多少圈。【1-19】 飛輪作勻角減速轉動，角速度在內(nèi)由減少到。飛輪在這內(nèi)共轉過 圈，再經(jīng)過 時間才停止轉動?！?-20】 一質點作半徑為的圓周運動，角位移。求時其法向加速度大小和切向加速度大小。【1-21】 一質點以繞軸轉動，此質點某時刻的位置矢量。求該時刻質點的速度。提示：利用角量與線量間的矢量關系。§1-4相對運動【基本內(nèi)容】一、位矢相對性質點在系的位矢，等于質點在中的位矢與系的坐標原點相對于系的位矢的矢量和。如圖1.7：二、速度的相對性質點相對于系的速度，等于質點相對于的速度與系相對于系的速度的矢量和。三、加速度的相對性質點相對于系的速