結(jié)構(gòu)可靠度分析的響應(yīng)面法及其Matlab實(shí)現(xiàn)

1、第21卷第6期2004年12月計(jì)算力學(xué)學(xué)報(bào)ChineseJournalofComputationalMechanicsVol.21,No.6December2004文章編號(hào):100724708(2004)0620683205結(jié)構(gòu)可靠度分析的響應(yīng)面法及其Matlab實(shí)現(xiàn)桂勁松1,2,康海貴31(1.大連理工大學(xué)海岸和近海工程國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,遼寧大連116024;2.大連水產(chǎn)學(xué)院土木工程學(xué)院,遼寧大連116023)摘要:對(duì)功能函數(shù)不能明確表達(dá)的問(wèn)題進(jìn)行可靠度分析,常采用響應(yīng)面法。其中以求得驗(yàn)算點(diǎn)為目的迭代的二次多項(xiàng)式序列響應(yīng)面法應(yīng)用較為廣泛,本文給出了該方法的Matlab源程序。提出了基于Matl

2、ab的插值響應(yīng)面法和BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)響應(yīng)面法,介紹了其在Matlab環(huán)境下的實(shí)現(xiàn)方法,并進(jìn)行了三種方法的對(duì)比分析。Matlab語(yǔ)言基本元素是矩陣,提供了各種矩陣的運(yùn)算和操作,其中包含結(jié)構(gòu)可靠度計(jì)算中常用的各種數(shù)值計(jì)算方法工具箱。采用Matlab語(yǔ)言構(gòu)造響應(yīng)面函數(shù),進(jìn)行結(jié)構(gòu)可靠度計(jì)算,可充分發(fā)揮其矩陣運(yùn)算功能及各種工具箱的作用,使編程效率大大提高,且語(yǔ)法簡(jiǎn)便,易于掌握。Matlab語(yǔ)言在可靠度計(jì)算中的應(yīng)用,使用起到積極推進(jìn)作用。關(guān)鍵詞:結(jié)構(gòu)可靠度;Matlab;響應(yīng)面法中圖分類號(hào):TU451文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼:A1引言,即為顯示功能函數(shù),。在實(shí)際工程中,既使對(duì)其進(jìn)行確定性分析,都需要借助于有限元等數(shù)值分析工

3、具。在這種情況下進(jìn)行結(jié)構(gòu)可靠度分析時(shí),常不能給出功能函數(shù)的明確表達(dá)式。這一類問(wèn)題,可采用蒙特卡羅結(jié)合有限元法、隨機(jī)有限元法及響應(yīng)面法1進(jìn)行求解。其中,響應(yīng)面法是選用一個(gè)適當(dāng)?shù)摹⒖梢悦鞔_表達(dá)的函數(shù)來(lái)近似代替不能明確表達(dá)的函數(shù),即通過(guò)一系列有限元數(shù)值計(jì)算擬合一個(gè)響應(yīng)面以代替未知的、真實(shí)的極限狀態(tài)曲面。其優(yōu)點(diǎn)是可以直接利用已經(jīng)廣泛應(yīng)用的確定性有限元分析程序,因其思路清晰,編程方便,在實(shí)際工程中得到廣泛應(yīng)用。Matlab軟件包是當(dāng)今國(guó)際認(rèn)可的最好的科學(xué)計(jì)算工具,目前最新的6.x版本是一種功能強(qiáng)、效率高、便于進(jìn)行科學(xué)和工程計(jì)算的交互式軟件包。Matlab語(yǔ)言中基本元素是矩陣,它提供了各種矩陣的運(yùn)算和操作

4、,且其中包含有科研和工程設(shè)計(jì)中常用的各種數(shù)值計(jì)算方法的計(jì)算程序。由于Matlab的強(qiáng)大功能,它日益受到廣大科技工作者的親睞2。收稿日期:2003202221;修改稿收到日期:20032082251基金項(xiàng)目:國(guó)家自然科學(xué)基金重大項(xiàng)目(59895410);遼寧省自然科學(xué)基金(002067)資助項(xiàng)目1作者簡(jiǎn)介:桂勁松(19682),男,副教授,博士生;康海貴3(19452),男,教授,博士生導(dǎo)師1,需要用到很多與概率、統(tǒng)計(jì)和最優(yōu)化方法有關(guān)的數(shù)值計(jì)算方法,這些在Matlab環(huán)境中均可以輕易實(shí)現(xiàn)。我們用它編制了用于結(jié)構(gòu)可靠度計(jì)算的二次多項(xiàng)式序列響應(yīng)面法、插值響應(yīng)面法以及神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)響應(yīng)面法計(jì)算程序,可供工程

5、技術(shù)人員參考使用。2最優(yōu)化方法計(jì)算可靠度數(shù)學(xué)模型目前,結(jié)構(gòu)的極限狀態(tài)方程都基于抗力2荷載效應(yīng)模型,現(xiàn)有可靠度計(jì)算方法多采用一次二階矩法計(jì)算結(jié)構(gòu)可靠度,包括中心點(diǎn)法、驗(yàn)算點(diǎn)法(JC法)、映射變換法、實(shí)用分析法、最優(yōu)化方法等,其中驗(yàn)算點(diǎn)法、映射變換法及最優(yōu)化方法由于計(jì)算效果理想而使用較多。由于Matlab軟件包具有最優(yōu)化工具箱,可以方便地實(shí)現(xiàn)各類優(yōu)化問(wèn)題的求解,且該方法不需進(jìn)行功能函數(shù)的求導(dǎo)計(jì)算,故文中采用最優(yōu)化方法進(jìn)行結(jié)構(gòu)可靠度計(jì)算。X1,X2,Xn是結(jié)構(gòu)可靠度分析中n個(gè)任意分布的獨(dú)立隨機(jī)變量,由這些隨機(jī)變量表示的結(jié)構(gòu)極限狀態(tài)方程為:Z=g(X1,X2,Xn)=0,采用拉科維茨2菲斯萊法將非正態(tài)

6、變量當(dāng)量正態(tài)化,可得等效正態(tài)分布的均值X、標(biāo)準(zhǔn)差X及可靠指標(biāo)ii。3X=55-1FXi(x3fXi(xi)i)󰃗iX=x35-1FXi(x3i-i)Xii(1)(2)(3)22)󰃗=(x3X1󰃗Xi-ii684計(jì)算力學(xué)學(xué)報(bào)第21卷由可靠指標(biāo)的幾何意義可知,在標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)坐標(biāo)系中,極限狀態(tài)曲面上與坐標(biāo)原點(diǎn)距離最近的點(diǎn)為驗(yàn)算點(diǎn),其最短距離為可靠指標(biāo)。開(kāi)始時(shí)驗(yàn)算點(diǎn)未知,把看成極限狀態(tài)曲面上點(diǎn)P(x1,x2,xn)的函數(shù),求解可靠指標(biāo)可以歸結(jié)為求解以下約束優(yōu)化模型3:n步迭代,直至收斂為止。xM=x(k)(k)+(x3(k)-x(k)g(x(k)-g(x3(

7、k)(k)(6)在計(jì)算中需用到三個(gè)工具,即結(jié)構(gòu)分析、線性方程組求解、一般的可靠度求解。進(jìn)行結(jié)構(gòu)分析可采用現(xiàn)已在工程中得到廣泛應(yīng)用的ANSYS、SAP等有限元商業(yè)軟件。采用Matlab語(yǔ)言編程進(jìn)行線性方程組求解及可靠度計(jì)算,可使問(wèn)題大大簡(jiǎn)化。線性方程組的一般式為Ax=b,其中A是m×n階矩陣,b是m維列向量,未知數(shù)x是n維列向量。利用Matlab進(jìn)行線性方程組求解,只須輸入指令x=A󰃙b即可。可靠度計(jì)算轉(zhuǎn)化為求解形如式(4)的約束優(yōu)化問(wèn)題,可利用Matlabfm3.2min=(xi=1i-Xi)󰃗Xi2(4)s.t.g(x1,x2,xn)=0通過(guò)優(yōu)化求解

8、,找到最小值,即可得到可靠33指標(biāo)和驗(yàn)算點(diǎn)P3(x31,x2,xn)。3計(jì)算結(jié)構(gòu)可靠度的響應(yīng)面法在傳統(tǒng)的結(jié)構(gòu)可靠度分析中,一次二階矩法得到了廣泛的應(yīng)用,但這類方法以功能函數(shù)具有明確的解析表達(dá)式為基礎(chǔ),要求功能函數(shù)已知,或可用數(shù)學(xué)表達(dá)式明確描述,因此其應(yīng)用受到一定限制。在實(shí)際工程中,復(fù)雜,。對(duì)這一類問(wèn)題,可采用響應(yīng)面方法求解,常用的響應(yīng)面法為以求得驗(yàn)算點(diǎn)為目的的迭代的二次多項(xiàng)式序列響應(yīng)面法,本文采用與此方法相同的思路,提出了基于Matlab的插值響應(yīng)面法和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)響應(yīng)面法。3.1二次多項(xiàng)式序列響應(yīng)面法該方法用不含交叉項(xiàng)的二次多項(xiàng)式表示響應(yīng)面函數(shù),待定系數(shù)為2n+1個(gè)。nnii對(duì)于有兩個(gè)隨機(jī)變量的

9、可靠度計(jì)算問(wèn)題,采用Matlab提供的二元隨機(jī)數(shù)據(jù)點(diǎn)插值函數(shù)GRIDDATA構(gòu)造響應(yīng)面函數(shù),計(jì)算效果較好。調(diào)用格式為2)Z=griddata(X,Y,Z,XI,YI,method其意義為依據(jù)已知數(shù)據(jù)X,Y和Z,可構(gòu)造插值函數(shù)Z=g(X,Y),返回在響應(yīng)數(shù)據(jù)點(diǎn)XI,YI處函(線數(shù)值ZI=g(XI,YI)?？刹捎胠inearmethod(三次多項(xiàng)式插值),(最性插值),cubicnearest(Matlab隨機(jī)數(shù)據(jù)點(diǎn)插值),其中近鄰插值),v4cubic及v4方法可生成光滑曲面,可用于構(gòu)造響Z=g(X)=a+bXi=1+cXii=12i(5)應(yīng)面函數(shù),經(jīng)比較,v4方法效果較好,故文中采用此方法。其

10、計(jì)算步驟如下:(1)()(1)假定初始迭代點(diǎn)x(1)=(x1,x21,(1)xn),取均值點(diǎn)。計(jì)算步驟如下1:(1)()(1)假定初始迭代點(diǎn)x(1)=(x1,x21,(1)xn),一般取均值點(diǎn)。(2)通過(guò)結(jié)構(gòu)有限元等數(shù)值方法計(jì)算功能函()()()()()數(shù)值g(x11,x21,xn1)以及g(x11,xi1±(1)fi,xn),其中f第一步取3,此后取1。(2)通過(guò)結(jié)構(gòu)有限元等數(shù)值方法計(jì)算功能函()()()()數(shù)值g(x11,x21),g(x11±f1,x21±f2),其中f第一步取3,此后取1。(3)解線性方程組,得2n+1個(gè)待定系數(shù),從(3)調(diào)用Matlab的

11、griddata函數(shù),構(gòu)造插值響而確定由二次多項(xiàng)式表示的響應(yīng)面函數(shù)。(4)用一次二階矩法求解驗(yàn)算點(diǎn)x3(k)及可靠指標(biāo)(k)。(5)計(jì)算󰃜(k)-(k-1)󰃜<給定精度(文中取0.001),如條件滿足,則輸出;如不滿足,經(jīng)(k)線性插值得新展開(kāi)點(diǎn)xM,然后返回(2)進(jìn)行下一應(yīng)面。(4)調(diào)用Matlab優(yōu)化方法工具箱的fmincon函數(shù)求解驗(yàn)算點(diǎn)x3k及可靠指標(biāo)k。(5)同序列響應(yīng)面法。()()3.3神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)響應(yīng)面大量中外文獻(xiàn)的分析研究認(rèn)為,不管多么復(fù)雜第6期桂勁松,等:結(jié)構(gòu)可靠度分析的響應(yīng)面法及其Matlab實(shí)現(xiàn)globalMuSigama685%定義全局

12、變量。的結(jié)構(gòu)都可以運(yùn)用BP網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行快速的分析與計(jì)算4。其方法為:首先用傳統(tǒng)力學(xué)方法進(jìn)行結(jié)構(gòu)分析;其次用所得結(jié)果訓(xùn)練神經(jīng)網(wǎng)絡(luò),建立輸入與輸出之間的映射函數(shù)關(guān)系;最后用訓(xùn)練后所得神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行結(jié)構(gòu)分析與設(shè)計(jì)。神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)可以看成是一個(gè)從輸入到輸出的高度非線性映射,它通過(guò)對(duì)簡(jiǎn)單的非線性函數(shù)進(jìn)行數(shù)次擬合,可近似復(fù)雜的函數(shù)。神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)響應(yīng)面法根據(jù)一系列確定性試驗(yàn)(通常為結(jié)構(gòu)有限元數(shù)值計(jì)算),采用一個(gè)三層BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)來(lái)擬合一個(gè)響應(yīng)面以代替未知的真實(shí)的極限狀態(tài)曲面。其計(jì)算步驟(1),(2),(3),(4)步同二次多項(xiàng)式序列響應(yīng)面法,第(5)步不用經(jīng)線性插值得新展()(k)開(kāi)點(diǎn)xM,直接利用第(4)步所得驗(yàn)算點(diǎn)x3k

13、,返回(2)進(jìn)行下一步迭代,直至收斂為止。直接采用上步所得驗(yàn)算點(diǎn)進(jìn)行下一步迭代,不經(jīng)線性插值得新展開(kāi)點(diǎn),可減少結(jié)構(gòu)有限元數(shù)值計(jì)算次數(shù)。經(jīng)若干實(shí)例分析,效果較好。CC=(X(1)-Mu(1)󰃗Sigama(1)2+(X(2)-Mu(2)󰃗Sigama(2)2%X均為正態(tài)分布。functionc,ceq=st(X)%約束條件子函數(shù)。c=;%非線性不等式約束。ceq=xym(X)%非線性等式約束B(niǎo)1.8897;10.%求解二次響應(yīng)面函數(shù)各項(xiàng)系數(shù)。Z=C(1)+C(2)3X(1)+C(3)3X(2)+C(4)3X(1)+C(5)3X(2);%計(jì)算功能函4已知的情況,工作

14、,且可以與一次二階矩法計(jì)算結(jié)果(文中看作精確解)進(jìn)行對(duì)比分析。算例1功能函數(shù)Z1=18.46-7.48X1󰃗X2,X1N(10,2),X2N(2.5,0.375),求驗(yàn)算點(diǎn)333P(x1,x2)及結(jié)構(gòu)可靠指標(biāo)。算例2功能函數(shù)Z2=1+X1X2-X2,X1LN(2,0.4),X2LN(4,0.8),求驗(yàn)算點(diǎn)333P(x1,x2)及結(jié)構(gòu)可靠指標(biāo)。限于篇幅,僅給出算例1Matlab源程序。4.1二次多項(xiàng)式序列響應(yīng)面法Mu=102.5;%輸入平均值。Sigama=20.375%輸入標(biāo)準(zhǔn)差。X0=102.5;%輸入初始迭代點(diǎn)。A=;b=;Aeq=;beq=;%意義參見(jiàn)文獻(xiàn)2。lb=;ub

15、=;X,fval,exitflag,output=fmincon(bata2,X0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,st);%調(diào)用優(yōu)化工具箱求解。bata=sqrt(fval);%計(jì)算可靠指標(biāo)。Pf=cdf(norm,-bata,0,1);%計(jì)算失效概率。functionCC=bata2(X)%目標(biāo)函數(shù)子函數(shù)。數(shù)值。4.2插值響應(yīng)面法僅約束條件子函數(shù)與二次多項(xiàng)式序列響應(yīng)面方法有所不同。functionc,ceq=st(X)%約束條件子函數(shù)。c=;-10.3136;);%計(jì)算功能Z=griddata(X1,X2,ZZ,a,b,v4函數(shù)值。4.3神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)響應(yīng)面法本文算例采用具有一個(gè)隱層的BP神

16、經(jīng)網(wǎng)絡(luò)。網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)見(jiàn)圖1。結(jié)合題意,輸入層采用5個(gè)神經(jīng)元,輸出層采用1個(gè)神經(jīng)元。隱層結(jié)合具體問(wèn)題并經(jīng)試算分析采用3個(gè)神經(jīng)元。該BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)通過(guò)對(duì)有限元分析所得樣本的學(xué)習(xí),可獲得輸入和輸出間的高度非線性映射關(guān)系。而此關(guān)系利用一般的解析表達(dá)式均難以精確實(shí)現(xiàn)。686計(jì)算力學(xué)學(xué)報(bào)第21卷B2=-10.8555;XX=X(1);X(2););Z=simuff(XX,w1,b1,logsig,w2,b2,purelin%計(jì)算功能函數(shù)值。functionw1,b1,w2,b2=trainBplm(X);%訓(xùn)練BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)響應(yīng)面,lm算法。X1=10.016.04.010.010.0;X2=2.52.52.53

17、.6251.375;p=X1;X2;t=13.6728;10.8005;16.5451;16.8897;-10.3136;圖1BP網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)Fig.1NetworkstructureofBPs1=3;%設(shè)定隱層神經(jīng)元個(gè)數(shù)。tp=110000.0000001;%設(shè)定顯示頻率、最Matlab程序與二次多項(xiàng)式序列響應(yīng)面法比大訓(xùn)練步數(shù)、誤差指標(biāo)。w1,b1,wb2=itfflogsig,t,);pu%Bp網(wǎng)絡(luò),得權(quán)值。1,b1,w2,b2=trainlm(w1,b1,logsig,w2,b2,purelin,p,t,tp)較,僅約束條件子函數(shù)有所不同,另外需增加訓(xùn)練BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)響應(yīng)面的trainBplm

18、(X)子函數(shù)。經(jīng)比較,訓(xùn)練時(shí)采用lm算法,即Levenberg2M優(yōu)化算法,其相對(duì)于Matlab的其他方法(x5,functionc,=st(X)%求可靠度約束條件子函數(shù)。c=;ceq=stBplm(X);%調(diào)用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)響5計(jì)算結(jié)果分析計(jì)算結(jié)果見(jiàn)表1。若把一次二階矩結(jié)果作為精確解,可見(jiàn),各種響應(yīng)面方法計(jì)算效果均較理想。二次多項(xiàng)式序列響應(yīng)面法符合最好,但相對(duì)比較起來(lái),迭代次數(shù)最多,進(jìn)行有限元數(shù)值計(jì)算次數(shù)也最多,計(jì)算工作量大。而其他兩法計(jì)算效果雖然稍差,但其精度基本滿足工程精度要求,且迭代次數(shù)相對(duì)較少,計(jì)算工作量相應(yīng)減少。其中,神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)響應(yīng)面法,在達(dá)到同樣預(yù)定計(jì)算精度情況下,所需迭代次數(shù)最少,且其

19、無(wú)需進(jìn)行線性插值求得新展開(kāi)點(diǎn),因此,在迭代次數(shù)相同的情況下,計(jì)算工作量最少。應(yīng)面函數(shù)子函數(shù)。functionZ=stBplm(X)%BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)響應(yīng)面。%權(quán)值通過(guò)調(diào)用trainBplm子函數(shù),進(jìn)行網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練得到。W1=0.1242-1.9466;67.301422.5133;-90.9424-20.8143;B1=-1.5036;4.0199;3.0905;W2=-552.204828.3283-130.4954;表1計(jì)算結(jié)果比較Tab.1Comparisonofresults計(jì)算項(xiàng)目可靠指標(biāo)驗(yàn)算點(diǎn)迭代次數(shù)有限元計(jì)算次數(shù)可靠指標(biāo)驗(yàn)算點(diǎn)迭代次數(shù)有限元計(jì)算次數(shù)一次二階矩法2.330(11.186,1

20、.655)二次多項(xiàng)式序列響應(yīng)面法2.331(11.012,1.647)529插值響應(yīng)面法2.322(11.174,1.658)5294.716(0.798,5.0383)423神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)響應(yīng)面法2.350(11.137,1.645)4204.690(0.794,4.837)525算例14.690(0.797,4.933)4.690(0.798,4.946)635算例2第6期桂勁松,等:結(jié)構(gòu)可靠度分析的響應(yīng)面法及其Matlab實(shí)現(xiàn)6876結(jié)論對(duì)于實(shí)際工程中功能函數(shù)無(wú)法明確表達(dá)的可靠度計(jì)算問(wèn)題,利用文中所介紹的各種響應(yīng)面方法進(jìn)行求解,可使問(wèn)題大大簡(jiǎn)化。響應(yīng)面法是用數(shù)值擬合方法構(gòu)造一個(gè)代用函數(shù),代替原

21、功能函數(shù)進(jìn)行可靠度分析,所求得的可靠度指標(biāo)是針對(duì)代用功能函數(shù)的,因此,所構(gòu)造代用函數(shù)對(duì)原功能的擬合效果直接影響到可靠度計(jì)算結(jié)果。采用BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)擬和響應(yīng)面函數(shù),可從理論上解決響應(yīng)面的精度問(wèn)題,從理論上和實(shí)際上均證明是行之有效的一種方法。用Matlab語(yǔ)言構(gòu)造響應(yīng)面函數(shù),進(jìn)行結(jié)構(gòu)可靠度計(jì)算,可充分發(fā)揮其矩陣運(yùn)算功能及各種工具箱的作用,使編程效率大大提高。若用Fortran,C等計(jì)算機(jī)語(yǔ)言編程,不僅需要對(duì)有關(guān)算法有深刻的了解,還需熟練掌握所用語(yǔ)言的算法及編程技巧,這對(duì)許多工程技術(shù)人員來(lái)說(shuō)有一定難度。而Matlab語(yǔ)言語(yǔ)法簡(jiǎn)便,易于掌握,用。,Matlab語(yǔ)言編制程序非常簡(jiǎn)單,限于篇幅,文中不予列出

22、。相信Matlab語(yǔ)言在可靠度計(jì)算中的應(yīng)用,可使工程技術(shù)人員從繁瑣的計(jì)算機(jī)編程中解脫出來(lái),從而集中精力去思考問(wèn)題和解決問(wèn)題,提高工作效率和解題質(zhì)量,這將對(duì)結(jié)構(gòu)可靠度理論的推廣使用起到積極推進(jìn)作用。參考文獻(xiàn)(References):1趙國(guó)藩,等.工程結(jié)構(gòu)可靠性理論與應(yīng)用M.大連:大連理工大學(xué)出版社,1996.(ZhaoGuofan,etal.ReliabilityTheoryandItsApplicationsforEnginee2ringStructuresM.Dalian:DalianUniversityofTechnologyPress,1996.(inChinese)2劉則毅,等.科學(xué)計(jì)算技術(shù)與MatlabM.北京:科學(xué)出版社,2001.(LiuZeyi,etal.NumericalComputa2tionwithMatlabM.Beijing:SciencePress,2001.(inChinese)3冷伍明.基礎(chǔ)工程可靠度分析與設(shè)計(jì)理論M.長(zhǎng)沙:中南大學(xué)出版社,2000.(Lenguming.ReliabilitynalysisDTationEnginee2ring:thUniversityP,()4M.北京:科學(xué)出版社,2002.(JiangShaofei.StructureOptimizationand