彎曲應(yīng)力計(jì)算

1、彎 曲 應(yīng) 力1 基本知識(shí)點(diǎn)1.1 基本概念純彎曲、橫力彎曲、彎曲正應(yīng)力、慣性矩、抗彎截面系數(shù)、彎曲切應(yīng)力、彎曲中心、。1.2 平面彎曲工程實(shí)際中的梁，大多是具有一個(gè)縱向?qū)ΨQ面的等直梁。外載荷作用在梁的縱向?qū)ΨQ面內(nèi)產(chǎn)生的彎曲叫平面彎曲。當(dāng)梁橫截面上既有彎矩又有剪力時(shí)，梁的彎曲是橫力彎曲；梁橫截面上只有彎矩而沒有剪力時(shí)，梁的彎曲是純彎曲。1.3 彎曲正應(yīng)力梁在純彎曲時(shí)的正應(yīng)力是綜合運(yùn)用變形關(guān)系、物理關(guān)系和靜力平衡關(guān)系推導(dǎo)出來的，推導(dǎo)彎曲正應(yīng)力公式的方法，與軸向拉壓正應(yīng)力公式和扭轉(zhuǎn)剪應(yīng)力公式的推導(dǎo)相同。彎曲正應(yīng)力公式式中M和分別為所研究截面的彎矩和截面圖形對(duì)中性軸的慣性矩，y為所求應(yīng)力點(diǎn)到中性軸的

2、距離。計(jì)算時(shí)M和y均用代數(shù)值代入，所求點(diǎn)的應(yīng)力符號(hào)可根據(jù)梁的變形情況來確定。梁彎曲正應(yīng)力公式適用材料處于線彈性范圍內(nèi)的純彎曲梁，可推廣到橫力彎曲以及小曲率梁的范圍。1.4 彎曲切應(yīng)力由于彎曲剪應(yīng)力對(duì)梁的強(qiáng)度和剛度的影響是次要因素，故對(duì)彎曲剪應(yīng)力公式?jīng)]有完全按照變形、物理、平衡三方面關(guān)系進(jìn)行推導(dǎo)，而是根據(jù)分析對(duì)的分布規(guī)律作出假定平行于截面邊界且沿厚度均勻分布，然后利用平衡關(guān)系直接導(dǎo)出矩形截面切應(yīng)力公式式中，為截面上的剪力；為整個(gè)截面對(duì)中性軸的慣性矩；為截面在所求應(yīng)力點(diǎn)處的寬度；為面積對(duì)中性軸的靜矩。1.5 彎曲強(qiáng)度條件1 正應(yīng)力強(qiáng)度條件 彎曲正應(yīng)力是影響梁強(qiáng)度的主要因素，對(duì)梁的強(qiáng)度計(jì)算主要是滿足

3、強(qiáng)度條件 式中稱為橫截面的抗彎截面系數(shù)。2 切應(yīng)力強(qiáng)度條件對(duì)薄壁截面（例如工字型、槽型等）梁，有時(shí)需要校核剪應(yīng)力的強(qiáng)度條件 一般發(fā)生在中性軸處，因此為中性軸以下（或以上）面積對(duì)中性軸的靜矩。 1.6 彎曲中心的概念當(dāng)桿件橫向力作用平面平行于桿件的形心主慣性平面且通過某一特定點(diǎn)時(shí)，桿件只發(fā)生彎曲變形而不發(fā)生扭轉(zhuǎn)，這一點(diǎn)稱為彎曲中心。彎曲中心只與截面的幾何形狀及尺寸有關(guān)，具有對(duì)稱軸的截面的彎曲中心必在對(duì)稱軸上。2重點(diǎn)與難點(diǎn)2.1 彎曲正應(yīng)力的計(jì)算平面彎曲時(shí)，既不伸長也不縮短的軸叫中性軸，中性軸通過截面的形心。橫截面上的彎曲正應(yīng)力呈線性分布，最大彎曲正應(yīng)力發(fā)生在距離中性軸最遠(yuǎn)的點(diǎn)上。2.2 梁的彎曲

4、強(qiáng)度梁的彎曲強(qiáng)度計(jì)算是材料力學(xué)的重要問題，應(yīng)通過大量不同類型的彎曲強(qiáng)度計(jì)算去熟悉。2.3 提高梁彎曲強(qiáng)度的途徑彎曲正應(yīng)力公式可變形為式左側(cè)為由載荷引起的最大彎矩，是影響構(gòu)件強(qiáng)度的外因；式右側(cè)為構(gòu)件的許用彎矩，是影響構(gòu)件強(qiáng)度的內(nèi)因，它與兩個(gè)因素（和）有關(guān)。所以提高構(gòu)件的強(qiáng)度不外乎從外因著手，即減?。换驈膬?nèi)因著手，即提高和。3解題方法要點(diǎn)3.1 梁的彎曲強(qiáng)度計(jì)算基本思路通常在進(jìn)行彎曲強(qiáng)度計(jì)算時(shí)，應(yīng)先畫出梁的剪力圖和彎矩圖，在彎矩（絕對(duì)值）最大的截面校核彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度，在剪力（絕對(duì)值）最大的截面校核彎曲切應(yīng)力強(qiáng)度。3.2 截面設(shè)計(jì)在進(jìn)行梁的截面設(shè)計(jì)時(shí)，應(yīng)同時(shí)滿足正應(yīng)力和切應(yīng)力強(qiáng)度條件，一般先按正應(yīng)力

5、強(qiáng)度條件選擇截面，然后再進(jìn)行切應(yīng)力強(qiáng)度校核。4典型題精解例題1：外伸梁受力如圖a所示。梁由鋼板焊接而成，截面尺寸見右圖所示。已知MPa，MPa，試校核梁的強(qiáng)度，并求焊縫ab處的剪應(yīng)力。 解：（1）求支座反力并畫內(nèi)力圖由平衡條件求得 kN，kN梁的剪力圖和彎矩圖分別如圖b、c所示。 kNm，發(fā)生在B截面處。kN，發(fā)生在B左截面處。（2）計(jì)算截面的幾何性質(zhì)右圖中為對(duì)稱軸。選擇參考坐標(biāo)軸，確定形心C的位置。（mm）通過形心C的、軸為形心主軸，為中性軸。求形心主慣性矩。（3）強(qiáng)度校核沿B截面的高度正應(yīng)力分布如圖e所示，最大正應(yīng)力發(fā)生在截面的下邊緣處，MPa=120 MPa沿B左截面的高度剪應(yīng)力分布如圖

6、f所示，最大剪應(yīng)力發(fā)生在中性軸處，（mm3）MPa=60 MPa該梁安全（4）焊縫ab處的剪應(yīng)力在焊縫ab處將截面截為兩部分，求出其中任一部分（例如左部分）對(duì)中性軸的靜矩：（mm3）MPa解題指導(dǎo)：明確分析彎曲強(qiáng)度問題的計(jì)算步驟：外力內(nèi)力危險(xiǎn)面（、）危險(xiǎn)面上的應(yīng)力分布危險(xiǎn)點(diǎn)的應(yīng)力及其應(yīng)力狀態(tài)強(qiáng)度條件。例題2：一鑄鐵梁的受力如圖a所示，其截面尺寸如圖b所示。鑄鐵材料的拉、壓許用應(yīng)力分別為及。試校核此梁是否安全。解：（1）繪梁的內(nèi)力圖梁的彎矩圖如c所示。（2）計(jì)算截面的幾何性質(zhì)用與上例相同的方法，求得形心C距上、下邊緣的距離為52mm和88mm，形心主慣性矩。（3）強(qiáng)度校核本例中因剪力在梁中引起的

7、剪應(yīng)力較小，故只對(duì)正應(yīng)力進(jìn)行校核。由于梁的截面上、下不對(duì)稱于中性軸，而材料的拉、壓許用應(yīng)力又不相等，所以最大正彎矩的作用截面C和最大負(fù)彎矩的作用截面B均可能是危險(xiǎn)面。最大壓應(yīng)力發(fā)生在B截面下邊緣的各點(diǎn)處，其值為最大拉應(yīng)力發(fā)生在C截面下邊緣的各點(diǎn)處，其值為雖然大于，但沒超過5%，故仍然認(rèn)為是安全的。試問若將梁倒著放置時(shí)，此梁是否仍然安全？解題指導(dǎo)：對(duì)于拉、壓強(qiáng)度不等的梁，必須分別校核最大拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)力。對(duì)于橫截面上、下不對(duì)稱于中性軸的脆性材料梁，進(jìn)行強(qiáng)度計(jì)算時(shí)既要校核最大正彎矩所在截面，也要校核最大負(fù)彎矩所在截面。例題3：T形截面鑄鐵梁 如圖a所示。若，材料,截面對(duì)形心軸z的慣性矩，試按正應(yīng)

8、力強(qiáng)度條件校核該梁的強(qiáng)度。解: 1. 作梁的彎矩圖M，判斷危險(xiǎn)截面，確定: 梁的彎矩圖M如圖b所示，在固定端處有最大正彎矩2.根據(jù)正應(yīng)力強(qiáng)度條件校核梁的固定端截面：固定端截面沿高度方向正應(yīng)力的分布規(guī)律如圖c所示，在下邊緣a點(diǎn)有拉應(yīng)力的極值： 在上邊緣b點(diǎn)有壓應(yīng)力的極值： 3. 在B截面處有最大的負(fù)彎矩B截面上正應(yīng)力分布規(guī)律如圖d所示。由于，截面的上邊緣e點(diǎn)有可能成為危險(xiǎn)點(diǎn)，出現(xiàn)全梁最大的拉應(yīng)力。因此還需對(duì)e點(diǎn)的正應(yīng)力進(jìn)行校核。通過以上計(jì)算可知，當(dāng)梁的截面中性軸不是對(duì)稱軸，且最大正彎矩和最大負(fù)彎矩都較大時(shí)，和可能不在同一截面上，需同時(shí)校核所有可能成為危險(xiǎn)點(diǎn)的地方。例如上述例題中的a,b,e點(diǎn)。例

9、題4：梁AC的截面為10工字鋼，B點(diǎn)用圓鋼桿BD懸掛，已知圓桿的直徑mm，梁及桿的MPa，試求許用均布載荷。解：1求支座反力并作梁的彎矩圖M，判斷危險(xiǎn)截面，確定；:圖示結(jié)構(gòu)中桿BD產(chǎn)生軸向拉伸變形，梁AC產(chǎn)生彎曲變形由平衡條件求得 ，桿BD內(nèi)的軸力+M9q32q2梁AC的彎矩圖如圖所示 由圖可知，發(fā)生在B截面處2分別由桿BD和梁AC的強(qiáng)度條件確定。桿BD 解得梁AC 解得則解題指導(dǎo)：如果結(jié)構(gòu)由多個(gè)桿件組成，在進(jìn)行強(qiáng)度設(shè)計(jì)時(shí)應(yīng)分別對(duì)每一桿件進(jìn)行強(qiáng)度設(shè)計(jì)，最終選取公共部分，使每一桿件都符合強(qiáng)度要求。例題5：已知梁發(fā)生彎曲時(shí)測得A、B兩點(diǎn)間伸長量為L27103mm，若E200Gpa，求梁截面上的M。

10、解：例題6：矩形截面梁由兩種材料粘結(jié)在一起制成，受到彎矩M作用。設(shè)梁彎曲時(shí)平面假設(shè)仍然成立。已知。（1）繪出橫截面上正應(yīng)力沿截面高度的分布圖。（2）求當(dāng)kNm，mm時(shí)，截面上的最大拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)力。 解： （1）因平面假設(shè)仍然成立，故應(yīng)變沿截面高度為線性分布，式仍然成立。式中為中性層的曲率半徑，為截面上的點(diǎn)到中性軸的距離。因，但，故中性軸不再通過截面形心，而要偏向材料1的一側(cè)。設(shè)中性軸距截面下邊緣的距離為（），如圖b所示，則橫截面上正應(yīng)力沿截面高度的分布如圖c所示。（2）平面假設(shè)成立，則 （a）根據(jù)物理關(guān)系，在材料1和2中的應(yīng)力分別為， （b）利用的條件確定中性軸的位置。設(shè)中性軸距截面下邊緣

11、的距為,為對(duì)稱軸。則求得 （c）利用的條件確定曲率。 求得 （d）材料1中的最大拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)力分別為材料2中的最小壓應(yīng)力和最大壓應(yīng)力分別為將kNm，mm，代入以上各式求出各點(diǎn)的應(yīng)力值，則應(yīng)力沿截面高度的分布如圖d所示。解題指導(dǎo)：1 已知內(nèi)力求應(yīng)力屬于靜不定問題，因此應(yīng)力公式推導(dǎo)中必須綜合應(yīng)用變形、物理和平衡三方面關(guān)系。2 彎曲正應(yīng)力是影響梁的強(qiáng)度的主要因素，進(jìn)行了較嚴(yán)格的推導(dǎo)。例題7：懸臂梁由兩根尺寸完全相同的矩形截面木梁疊加而成，載荷如圖所示。已知b=200mm h=200mm L=3m 設(shè)木材的許用應(yīng)力10MPa , 試求梁的許用載荷。如果在自由端用兩個(gè)螺栓將梁連接成一整體，問此時(shí)梁的

12、許用載荷有無改變？若螺栓材料的許用剪應(yīng)力=100MPa , 試求螺栓的最小直徑。 解：1 未加螺栓時(shí)：若不計(jì)梁間的摩擦力，兩根梁將各自自由彎曲，每根梁都有自己的中性軸，由此梁內(nèi)的最大正應(yīng)力由正應(yīng)力強(qiáng)度條件； 2 加螺栓后，兩根梁共同變形，梁內(nèi)的最大正應(yīng)力由正應(yīng)力強(qiáng)度條件； 所以，加螺栓后承載能力提高了一倍。3 確定螺栓直徑：在許用載荷作用下，中性軸處有最大剪應(yīng)力，由剪應(yīng)力互等定理，中性層（即兩梁結(jié)合處）最危險(xiǎn)兩個(gè)螺栓所受剪力之和為 對(duì)于每個(gè)螺栓：由剪切強(qiáng)度條件 所以取d=25.2mm例題8：簡支梁在跨中受集中載荷kN，m，MPa。（1）試為梁選擇工字鋼型號(hào)。（2）當(dāng)提高為40kN時(shí)，原工字鋼型

13、號(hào)不變，試問采取什么措施使梁仍能滿足強(qiáng)度條件。 解：（1）選擇工字鋼型號(hào)圖a簡支梁的發(fā)生在跨中（kNm）根據(jù)強(qiáng)度條件（mm3）選擇工字鋼28a cm3，cm4（2）當(dāng)kN時(shí)，提高梁承載能力的措施方法一：在原梁上增加一長度為的副梁CD，將作用在副梁上，如圖b所示。使，而，。 根據(jù)強(qiáng)度條件，副梁的截面應(yīng)為（mm3）副梁CD工字鋼的型號(hào)為25b，cm3。方法二：在原梁上下藝緣各焊一長度為a，截面為80mm10mm的鋼板條，如圖c所示。加焊鋼板后截面對(duì)中性軸的慣性矩為（mm4）MPaMPa焊鋼板后的截面能滿足梁的強(qiáng)度條件。自 測 題 1 T形截面外伸梁，受力與截面尺寸如圖所示，其中C為截面形心，mm4。梁的材料為鑄鐵，其抗拉許用應(yīng)力= 30MPa，抗壓許用應(yīng)力= 60MPa。試校核該梁是否安全。 2 簡支梁受力如圖所示。采用普通熱軋工字型鋼，且已知= 160MPa。試確定工字型鋼型號(hào)，并按最大切應(yīng)力準(zhǔn)則對(duì)梁的強(qiáng)度作全面校核。 解：1FRA = FRB = 180kN（）3 .圖示矩形截面簡支梁，承受均布載荷q作用。若已知q2 kN/m，l3 m，h2b 240 mm。試求：截面豎放(圖c)和橫放(圖b)時(shí)梁內(nèi)的最大正應(yīng)力，并加以比較。 答 案 1. 解：1，F(xiàn)RA = 37.5kN（） kNm m (a) kNm(b) 2 C截面 MPa， 不安全 3 B截面 MPa