反比例函數(shù)導學案

1、26.1反比例函數(shù)學習目標、重點、難點【學習目標】1、理解反比例函數(shù)的定義；2、用待定系數(shù)法確定反比例函數(shù)的表達式；3、反比例函數(shù)的圖象畫法，反比例函數(shù)的性質； 【重點難點】1、 用待定系數(shù)法確定反比例函數(shù)的表達式；2、 反比例函數(shù)的圖象畫法，反比例函數(shù)的性質；知識概覽圖 反比例函數(shù)的定義反比例函數(shù) 反比例函數(shù)的圖象與性質新課導引【生活鏈接】學校課外生物小組的同學準備自己動手，用圍欄建一個面積為24m2的矩形飼養(yǎng)場（如右圖所示），設它的一邊長為x(m)，求另一邊長y(m)與x(m)之間的函數(shù)關系式.【問題探究】這個函數(shù)有什么特點?自變量的取值有什么限制?教材精華知識點1反比例函數(shù)的定義 重點;

2、理解一般地,形如(k為常數(shù),k0)的函數(shù)稱為反比例函數(shù),其中x是自變量,y是函數(shù),自變量x的取值范圍是不等于0的一切實數(shù),y的取值范圍也是不等于0的一切實數(shù),k叫做比例系數(shù),另外,反比例函數(shù)的關系式也可寫成y=kx-1的形式.y是x的反比例函數(shù)(k0) xy=k(k0) 變量y與x成反比例,比例系數(shù)為k.拓展 (1)在反比例函數(shù)(k0)的左邊是函數(shù)y,右邊是分母為自變量x的分式,也就是說,分母不能是多項式,只能是x的一次單項式,如,等都是反比例函數(shù),但就不是關于x的反比例函數(shù).(2)反比例函數(shù)可以理解為兩個變量的乘積是一個不為0的常數(shù),因此可以寫成y=kx-1或xy=k的形式.(3)反比例函數(shù)

3、中,兩個變量成反比例關系.知識點2用待定系數(shù)法確定反比例函數(shù)的表達式 難點:運用由于反比例函數(shù)中只有一個待定系數(shù),因此只要有一對對應的x,y值,或已知其圖象上一點坐標,即可求出k,從而確定反比例函數(shù)的表達式.其一般步驟:(1) 設反比例函數(shù)關系式(k0).(2) 把已知條件(自變量和函數(shù)的對應值)代入關系式,得出關于k的方程.(3) 解方程,求出待定系數(shù)k的值.(4) 將待定系數(shù)k的值代回所設的關系式,即得所求的反比例函數(shù)關系式.知識點3反比例函數(shù)圖象的畫法 難點;運用反比例函數(shù)圖象的畫法是描點法,其步驟如下:(1)列表:自變量的限值應以0為中心點,沿0的兩邊取三對(或三對以上)相反數(shù),分別計

4、算y的值.(2)描點:先描出一側,另一側可根據(jù)中心對稱的性質去找.(3)連線:按從左到右的順序用平滑的曲線連接各點,雙曲線的兩個分支是斷開的,延伸部分有逐漸靠近坐標軸的趨勢,但永遠不能與坐標軸相交.說明:在圖象上注明函數(shù)的關系式.拓展 (1)反比例函數(shù)的圖象是雙曲線,它有兩個分支,它的兩個分支是斷開的.(2)當k0時,兩個分支位于第一、三象限；當k0時，兩個分支位于第二、四象限.(3)反比例函數(shù)(k0)的圖象的兩個分支關于原點對稱.(4)反比例函數(shù)的圖象與x軸、y軸都沒有交點，即雙曲線的兩個分支無限接近坐標軸，但永遠不與坐標軸相交，這是因為x0，y0.知識點4反比例函數(shù)(k0)的性質 難點；靈

5、活應用(1)如圖17-2所示，反比例函數(shù)的圖象是雙曲線，反比例函數(shù)的圖象是由兩支曲線組成的.當k0時，兩支曲線分別位于第一、三象限內(nèi)；當k0時，兩支曲線分別位于第二、四象限內(nèi)。它們關于原點對稱，限圖象是以坐標原點為對稱中心的中心對稱圖形. (2)由反比例函數(shù)的圖象可知，當k0時，在每一象限內(nèi)，y值隨x的增大而減?。划攌0時，在每一象限內(nèi)，y值隨x的增大而增大. (3)因為x0，所以圖象與y軸不可能有交點，國此，不論x取值何值時，y的值永不為0，同理，圖象與x軸也不可能有交點. 拓展 (1)反比例函數(shù)圖象的位置和函數(shù)的增減性都是由比例系數(shù)k的符號決定的，反過來，由雙曲線所在的位置或函數(shù)的增減性，

6、也可以判斷出k的符號. (2)反比例函數(shù)的增減性，只能在每個象限內(nèi)討論，當k0時，在每一象限(第一、三象限)y隨著x的增大而減小，但不能籠統(tǒng)地說：當k0，y隨著x的增大而減小.同樣當k0時，也不能籠統(tǒng)地說：y隨x的增大而增大. 【規(guī)律方法小結】正比例函數(shù)與反比例函數(shù)的區(qū)別與聯(lián)系.函數(shù)正比例函數(shù)反比例函數(shù)關系式y(tǒng)=kx(k0)(k0)圖象過原點的直線與坐標軸沒有交點的雙曲線自變量的取值范圍全體實數(shù)x0的全體實數(shù)圖象位置當k0時，圖象經(jīng)過第一、三象限當k0時，圖象經(jīng)過第二、四象限當k0時，圖象在第一、三象限當k0時，圖象在第二、四象限性質當k0時，y隨x的增大而增大當k0時，y隨x的增大而減小當k

7、0時，在每一象限內(nèi)，y隨x的增大而減小當k0時，在每一象限內(nèi)，y隨x的增大而增大知識點5 反比例函數(shù)表達式中k的幾何意義 拓展；理解 如圖17-3所示，過雙曲線上的任意一點P(x,y)作x軸、y軸的垂線PM，PN，垂足分別為M，N，所得矩形PMON的面積S=PM·PN=|y|·|x|=|xy|.因為，所以xy=k，所以S=|xy|=|k|.即過雙曲線上任意一點作x軸、y軸的垂線，所得矩形的面積為|k|.已知反比例函數(shù)可求矩形面積，反之，已知矩形面積可求反比例函數(shù).課堂檢測基礎知識應用題1、若變量y與x成正比例變量x與z成反比例，則 ( )A.y與z成反比例函數(shù)關系 B.y與

8、z成正比例函數(shù)關系C.y與z2成正比例函數(shù)關系 D.y與z2成反比例函數(shù)關系2、已知反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(-2，4)，則它的表達式是 .綜合應用題3、已知正比例函數(shù)y=kx和反比例函數(shù)的圖象都過點A(m，1).求此正比例函數(shù)的關系式及另一個交點的坐標.探索創(chuàng)新題4、一定質量的氧氣，它的密度(kg/m3)是它的體積V(m3)的反比例函數(shù)，當V=10時，=1.43.(1)求與V的函數(shù)關系式；(2)求當V=2時，氧氣的密度.體驗中考1、點P（1，3）在反比例函數(shù)(k0)的圖象上，則k的值是（ ）A. B.3 C. D.-32、已知正比例函數(shù)y=kx的圖象與反比例函數(shù)（k為常數(shù)）的圖象有一個交點，交

9、點的橫坐標是2.（1）求兩個函數(shù)圖象的交點坐標；（2）若點A（x1，y1）, B（x2，y2）是反比例函數(shù)圖象上兩點，且x1y1，試比較y1，y2的大小.學后反思【解題方法小結】1）求反比例函數(shù)解析式的一般方法是待定系數(shù)法.由于解析式中只有一個系數(shù)k，故只需給出一對x，y的對應值或一個點的坐標即可.（2）從函數(shù)(k0)的圖象上任意一點向x軸、y軸作垂線，與與兩坐標軸構成的矩形的面積均為|k|，一條垂線段與坐標軸及該點與原點的連線構成的直角三角形的面積為附： 課堂檢測及體驗中考答案課堂檢測1、A分析 本題意在考查對反比例函數(shù)的理解和靈活運用，由題竟可設y=k1x(k10),(k20)，把代入y=

10、 k1x中，得y= k1·.因為k10，k20，所以k1k20，所以是反反函數(shù).【解題策略】 要注意正比例函數(shù)的比例系數(shù)和反比例函數(shù)的比例系數(shù)不一定是同一個.2、分析 反比例函數(shù)中的k等于其圖象上某一點的橫、縱坐標的積，設反比例函數(shù)的表達式為，函數(shù)圖象過點(-2，4)，所以，所以k=-8，所以函數(shù)表達式為.3、分析 點A的坐標(m,1)同時滿足函數(shù)y=kx和，所以可以求出m的值，進而求出A點坐標，將其代入y=kx中求得k，再令兩個關系式相等，從而求得另一個交點的坐標.解：因為的圖象經(jīng)過點A(m，1)，則，所以m=3.把A(3,1)代入y=kx中，得1=3k，所以.所以正比例函數(shù)關系式

11、為.由得x=±3.當x=3時，y=1；當x=-3時，y=-1.所以另一個交點的坐標為(-3，-1).【解題策略】 確定解析式的方法是待定系數(shù)法，由于正比例函數(shù)y=kx只有一個待定系數(shù)，因此只需要一對對應值即可.4、分析 設=，代入數(shù)值，求出k，再代入V=2，即可求.解：(1)設=(k0)，當V=10時，=1.43，所以1.43=，所以k=14.3.所以與V之間的函數(shù)關系式是=.(2)當V=2時，=7.15.所以當V=2時，氧氣的密度為7.15kg/m3.【解題策略】 了解密度與體積的關系是解決此題的關鍵.體驗中考1、B. 分析 把x=1，y=3代入，k=3.故選B.2、分析 求兩圖象

12、交點坐標的實質是解兩函數(shù)的解析式組成的方程組，根據(jù)函數(shù)性質可比較當x1x2，時的函數(shù)值的大小.解：（1）由題意，得，解得k=1，所以正比例函數(shù)的表達式為y=x，反比例函數(shù)的表達式為.解，得x=±2.代入y=x，得y=±2.所以兩函數(shù)圖象的交點坐標為（2，2），（-2，-2）.（2）因為反比例函數(shù)的圖象在第一、三象限內(nèi)，在每一象限內(nèi)，y的值隨x值的增大而減小，所以當x1x20時，y1y2.當0x1x2時，y1y2.當x10x2時，因為0，0，所以y1y2.【解題策略】 本題考查正比例函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式及其性質，注意對x1，x2要分類討論.26.2實際問題與反比例函數(shù)學習

13、目標、重點、難點【學習目標】1、理解反比例函數(shù)的定義；2、用待定系數(shù)法確定反比例函數(shù)的表達式；3、反比例函數(shù)的圖象畫法，反比例函數(shù)的性質； 【重點難點】1、 用待定系數(shù)法確定反比例函數(shù)的表達式；2、 反比例函數(shù)的圖象畫法，反比例函數(shù)的性質；知識概覽圖 （1）解決問題時常用待定系數(shù)法實際問題與反比例函數(shù) （2）考查函數(shù)圖象及其性質、考查讀圖能力, 使我們能從函數(shù)圖象上得到有價值的信息新課導引【生活鏈接】在壓力不變的情況下，某物體承受的壓強p（Pa）是受力面積S（m2）的反比例函數(shù)，其圖象如右圖所示.【問題探究】這個反斃命函數(shù)應如何表示？教材精華知識點反比例函數(shù)在實際問題中的應用 難點；應用應用反

14、比例函數(shù)解決實際問題，我們應抽象概括它的本質特征，將其數(shù)學化、形式化，形成數(shù)學模型.例如池路程一定時，時間與速度成反比.根據(jù)已知條件寫出反比例函數(shù)的關系式，并能把實際問題反映在函數(shù)的圖象上，結合圖象和性質解決實際.因此利用反比例函數(shù)解決實際問題的關鍵是求出函數(shù)的關系式.一般地，建立反比例函數(shù)關系式有以下兩種方法：（1）待定數(shù)法：若題目提供的信息中明確此函數(shù)為反比例函數(shù)，則可設出反比例函數(shù)關系式為(k0)，然后求出k的值即可.（2）列方程法：若題目信息中變量之間的函數(shù)關系不明確，在這種情況下，通常是列出關于函數(shù)（y）和自變量（x）的二元一次方程，進而解出函數(shù)，便得到函數(shù)關系式.生活中有許許多多成

15、反比例關系的實例.如當路程s一定時，時間t與速度v成反比例關系，可以寫成（s是常數(shù)）；當矩形面積S一定時，長a與寬b成反比例關系，寫成（S的常數(shù)）；當面積是常數(shù)S時，三角形的底邊長y與這一底上的高x成反比例關系，寫成（S是常數(shù)）.在物理學上，當功是常數(shù)W時，力F與物體在力的方向上通過的位移s成反比例關系，寫成（W的常數(shù)）；當壓力F一定時，壓強p與受力面積S之間成反比例關系，寫成（F為常數(shù)）；在某一電路中，保持電壓U不變，電流I與電阻R成反比例關系，寫成（U的常數(shù)）.在利用反比例函數(shù)解決實際問題時，一定要注意中k為常數(shù)且k0這一條件，結合圖象說出性質，根據(jù)性質大致畫出圖象及求函數(shù)的表達式.知識拓

16、展 在利用反比例函數(shù)解決實際問題時，要根據(jù)題目中的實際意義，找到基本的函數(shù)關系，再根據(jù)需要進行變形或計算.課堂檢測基礎知識應用題1、一定質量的二氧化碳，當它的體積V=10m3時，它的密度=3.96kg/m3.（1）求與V的函數(shù)關系式；（2）求當V=5m3時二氧化碳的密度.綜合應用題2、你吃過拉面嗎？實際上，在做拉面的過程中就滲透著數(shù)學知識，一定體積的面團做成拉面，面條的總長度y（m）是面條的粗細（橫截面面積）S（mm2）的反比例函數(shù)，其圖象如17-24所示.（1）寫出y與S的函數(shù)關系式；（2）當面條粗1.6mm2時，求面條的總徹底是多少.3、消費者對于取消市場上使用桿秤的呼聲越來越高，原因在于

17、一些不法商販在賣貨時將秤砣挖空，或更換小秤砣，使秤砣較輕，從而欺騙顧客.（1）如圖17-25所示，對于同一個物體，哪個用的是標準秤砣，哪個用的是較輕的秤砣？（2）寫出在稱同一物體時，所稱得的物體質量y（千克）與所用秤砣質量x（千克）之間滿足的關系；（3）當秤砣較輕時，稱得的物體變重，這正好符合哪個函數(shù)的哪些性質？探索創(chuàng)新題4、小偉欲用撬棍手書撬動一塊大石頭，已知阻力和阻力臂不變，分別為1200牛頓0.5米.（1）動力F和動力臂l有怎樣的函數(shù)關系式？當動力臂為0.5米時，撬動石頭至少需要多大的力？（2）若想使動力F不超過（1）中手忙腳亂力的一半，則動力臂至少要加長多少？體驗中考1、水產(chǎn)公司有一種

18、海產(chǎn)品共2104千克，為尋求合適銷售價格，進行了8天試銷，試銷情況如下表：第1天第2天第3天第4天第5天第6天第7天第8天售價x/（元/千克）400250240200150125120銷售量y/千克304048608096100觀察表中數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)可以用反比例函數(shù)刻畫這種海產(chǎn)品的每天銷售量y（千克）與銷售價格x（元/千克）之間的關系.現(xiàn)假定在這批海產(chǎn)品的銷售中，每天的銷售量y（千克）與銷售價格x（元/千克）之間都江堰市滿足這一關系.（1）寫出這個反比例函數(shù)的解析式，并實例表格；（2）在試銷8天后，公司決定將這種海產(chǎn)品的銷售價格定為150元/千克，并且每天都按這個價格銷售，那么余下的這些海產(chǎn)品預計

19、再用多少天可以全部售出？（3）在按（2）中定價繼續(xù)銷售15天后，公司發(fā)現(xiàn)剩余的這些海產(chǎn)品必須在不超過2天內(nèi)全部售出，此時需要重新確定一個銷售價格，使后面兩天都按新的價格銷售，那么新確定的價格最高不超過每千克多少元才能完成銷售任務？學后反思【解題方法小結】（1）深刻理解反比例函數(shù)的定義及認真觀察總結生活中的數(shù)學知識是解決實際問題的關鍵.（2）解決跨學科的綜合題目，要準確領會相關學科的知識.附： 課堂檢測及體驗中考答案課堂檢測1、分析 由物理知識可知，質量m、體積V、密度之間的關系為，所以求與V之間的函數(shù)關系式，只需確定m的值即可.解：（1）將V=10，=3.96代入，得m=3.96×1

20、0=39.6，所以與V的函數(shù)關系式為（2）當V=5時，(kg/m3).2、分析 解答此題是關鍵是正確運用所給條件確定反比例函數(shù)的關系式，運用圖象信息求函數(shù)關系式，點P（4，32）在函數(shù)圖象上，運用待定系數(shù)法求出k值即可.解：（1）設y與S的函數(shù)關系式為，由圖象可知，池S=4時，y=32，所以k=4×32=128，所以y與S的函數(shù)關系式為（2）當S=1.6mm2時，（m），所以面條的總長度為80m.【解題策略】 首先用待定系數(shù)法求出k（有時可根據(jù)題意來設）的值，然后根據(jù)關系式確定其他的值.3、解：（1）根據(jù)物理中的杠桿原理可知，對于質量一定的物體，力臂L與秤砣的重量G成反比例，圖17-25中的力臂比圖17-25中的力臂長，因此圖17-25中的秤砣重量小于圖17-25中的秤砣重量，即圖17-25中使用的是標準秤砣，圖17-25中使用的是較輕的秤砣.(2)在稱同一物體時，所稱得的物體質量y（千克）與所用秤砣質量x（千克）成