15連續(xù)性和間斷點(diǎn)

1、第五節(jié)詢敷的遵綾徃一、函數(shù)連續(xù)性的定義二、函數(shù)的間斷點(diǎn)1、初等函數(shù)的連續(xù)性T<i連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)、函數(shù)連續(xù)性的定義定義：設(shè)函數(shù)J = /（X）在兀0的某鄰域內(nèi)有定義，且 lim /（對=/（兀0），則稱函數(shù)/在X。連續(xù).X-Xq可見,函數(shù)/（X）在點(diǎn)x0連續(xù)必須具備下列條件：(1)(2)/（X）在點(diǎn)兀0有定義,即/（兀0）存在； 極限lim f（x）存在;X- Xqlim /二/（兀0）.X Xq若/（x）在某區(qū)間上每一點(diǎn)都連續(xù)，則稱它在該區(qū)間上 連續(xù)，或稱它為該區(qū)間上的連續(xù)函數(shù).在閉區(qū)間匕，切上的連續(xù)函數(shù)的集合記作Ca,b.又如，有理分式函數(shù)心芻在其定義域內(nèi)連續(xù).只要（2（兀0）工

2、76;，都有Hm &兀）=&兀0）XXq對自變量的增量Ax = x-x0,有函數(shù)的增量Ay = f(x) - /(x0) = /(x0 + Ax) - /(x0) 函數(shù)/(兀)在點(diǎn)兀°連續(xù)有下列等價命題： lim f(x) = f(x0) = lim f(x0 + Ax) = /(x0)二、函數(shù)的間斷點(diǎn)設(shè)/(力在點(diǎn)%0的某去心鄰域內(nèi)有定義，則下列情形 之一函數(shù)于(勸在點(diǎn)不連續(xù)：(1) 函數(shù)/(X)在兀0無定義;(2) 函數(shù)/(x)在雖有定義，但血1 /(對不存在；XT"。Um /(x)f(%0)(3) 函數(shù)/(x)在x0雖有定義，且lim /(x)存在，但

3、xx0這樣的點(diǎn)x0稱為間斷點(diǎn).間斷點(diǎn)分類：第一類間斷點(diǎn):/(兀0一)及/(兀)均存在，若/(x0") = /(x0+),稱兀0為可去間斷點(diǎn).若/(兀0一)北/(%+)，稱兀0為跳躍間斷點(diǎn)第二類間斷點(diǎn):/(%-)及/(%+)中至少一個不存在,若其中有一個為OO ,稱兀0為無窮間斷點(diǎn).若其中有一個為振蕩，稱兀0為振蕩間斷點(diǎn). 堪壟奮耳勺理NgOOEj0E0例如：(1) y = tan xx = %為其無窮間斷點(diǎn)x(2) y 二 sin x=0為其振蕩間斷點(diǎn).x2_l(3) 廠x-1X = 1為可去間斷點(diǎn).堪苓奮耳6/X(4)y = fM = ,12，X = 1(5) y = fM = &

4、lt;x < 0x = 0x>0顯然=x>l兀=1為其可去間斷點(diǎn).x 10 ,X + 1，Jf(0-) = -tf（o+）=l=0為其跳躍間斷點(diǎn).堪苓奮耳X三、初等函數(shù)的連續(xù)性基本初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)連續(xù)連續(xù)函數(shù)的四則運(yùn)算的結(jié)果連續(xù)連續(xù)函數(shù)的反函數(shù)連續(xù)初等函數(shù)在 定義區(qū)間內(nèi) 連續(xù)連續(xù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)連續(xù)說明：分段函數(shù)在界點(diǎn)處是否連續(xù)需討論其 左、右連續(xù)性.1、最值定理工上營解紫滋術(shù)咪洗ZHEJIANG INDUSTRY POLYTECHNIC COLLEGE定理1在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)在該區(qū)間上一定有最大y = f(xY a Z'值和最小值.xBCAy = fM2、零點(diǎn)存在定理o 定理 2. f(x)eCa,b,o ab x設(shè) /(x) e Ca,b,且 f(a) = A,且/(q)/(6 < 0 >至少有一點(diǎn) gw(a,b),使/© = 0 (證明略)3介值定理=則對A與B之間的任一數(shù)C,至少有好哀弟&辭妙使/(C = c.1. /(x)在點(diǎn)兀0連續(xù)的等價形式lim /(x) = /(x0)lim /(x0 + Ax) /(x0 ) = 0XXqAxtO2./(x)在點(diǎn)兀o間斷的類型第一類間斷點(diǎn)J可去間斷點(diǎn)跳躍間斷點(diǎn)左右極限都存在第二類間斷點(diǎn)J無窮間斷點(diǎn)【振蕩間斷點(diǎn)左右極限至少有一 個不存在思考