橢圓知識點(diǎn)歸納總結(jié)和經(jīng)典例題

1、橢圓典型例題例1已知橢圓mx2+3y2 6m =0的一個(gè)焦點(diǎn)為(0, 2)求m的值.22解：方程變形為上+y-=1 .因?yàn)榻裹c(diǎn)在y軸上，所以2m6 ,解得m3. 6 2m又c=2,所以 2m-6 = 22, m=5適合.故 m=5.例2已知橢圓的中心在原點(diǎn)，且經(jīng)過點(diǎn) P(3,0), a = 3b,求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.分析：因橢圓的中心在原點(diǎn)，故其標(biāo)準(zhǔn)方程有兩種情況.根據(jù)題設(shè)條件，運(yùn) 用待定系數(shù)法，求出參數(shù)a和b (或a2和b2)的值，即可求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.22解：當(dāng)焦點(diǎn)在X軸上時(shí)，設(shè)其方程為 與+與=l(aAb0 ).a b由橢圓過點(diǎn)P(3,0),知_92+g=i.又a=3b,代入得b2=1,

2、 a2 =9,故橢 a b2圓的方程為a+y2=1 .922當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，設(shè)其方程為 4+xy=1(aAb0).a b由橢圓過點(diǎn)P(3,0 ),知烏十鳥=1.又a = 3b,聯(lián)立解得a2 = 81, b2=9,故橢圓 a2 b222的方程為匕十二=1 .819例3 MBC的底邊BC =16 , AC和AB兩邊上中線長之和為 30,求此三角形重 心G的軌跡和頂點(diǎn)A的軌跡.分析：(1)由已知可得GC+GB=20,再利用橢圓定義求解.(2)由G的軌跡方程G、A坐標(biāo)的關(guān)系，利用代入法求 A的軌跡方程.解：(i)以BC所在的直線為x軸，BC中點(diǎn)為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系.設(shè) G點(diǎn)坐標(biāo)為（X, y ）,由G

3、C + GB= 20,知G點(diǎn)的軌跡是以B、C為焦點(diǎn)的橢圓，且除去軸上兩點(diǎn).因a=i0, c=8,有b = 6,22故其方程為工十L=i(y,0 ).i00 36（2）設(shè) A（x, y）, G（x，,寸）,則 L+匕= i（y0）.i0036x3代入，得A的軌跡方程為 y3900 324= 1(y#0),其軌跡是橢圓(除去x軸上兩點(diǎn)).例4已知P點(diǎn)在以坐標(biāo)軸為對稱軸的橢圓上，點(diǎn) P到兩焦點(diǎn)的距離分別為 迤3和竺，過P點(diǎn)作焦點(diǎn)所在軸的垂線，它恰好過橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，求橢圓方程. 3解：設(shè)兩焦點(diǎn)為F1、F2，且PFi =2V5，一 、，PF2 =2 .從橢圓定義知32a = PFi 十PF2 =2底.

4、即 a=J5.從PFi|PF2知PF2垂直焦點(diǎn)所在的對稱軸，所以在RtPFzFi中，sin PF1F2 =PF2 iPFi 2可求出. PFiF2 =一6,2c = PE cos= 62.52,從而b22 i0=a - c = 一3222所求橢圓方程為 工+3匕=i或絲5 i0i02+5b2=ia b 0),長軸端點(diǎn)為A,x2例5已知橢圓萬程-2 + aP是橢圓上一點(diǎn)，/AiPA2=8, /FiPF2=a.求：AFiPF2的面積(用b、口表1分析：求面積要結(jié)合余弦定理及定義求角 a的兩鄰邊，從而利用S =absinC求 2面積.解：如圖，設(shè)P(x, y),由橢圓的對稱性，不妨設(shè) P(x, y)

5、,由橢圓的對稱性，不妨設(shè) P 在第一象限.由余弦定理知：222-2F1F2 =PFi +PF2 -2PF1 PF2 cosot =4c2 .由橢圓定義知：|PFi +|PF2 =2a ，則2得PFiPF22b21 c o s1.故S與pf2 =2|PFi PF2Sinc(12b221 cos ;sin工2例6已知橢圓+ y2 =12，1 1(1)求過點(diǎn)P 1,且被P平分的弦所在直線的方程；【2 2；(2)求斜率為2的平行弦的中點(diǎn)軌跡方程；(3)過A(2,1 )引橢圓的割線,求截得的弦的中點(diǎn)的軌跡方程;解：設(shè)弦兩端點(diǎn)分別為M(x1, y1 ), N(x2, y2 ),線段MN的中點(diǎn)R(x, y

6、),則X2 +2y2 =2, Jx； +2y2 =2, x1 x2 =2x, y y2 =2y,一得(x +x2 1x2 )+2(y1 + y2 加1 y2 )= 0 .由題意知x1#x2,則上式兩端同除以x1-x2,有y1 y2(x1+x2 2y + y2 r= 0 ,x1 一 x2將代入得x + 2yX二& = 0.x1 - x2(1 )將x =1 , y =1代入，得y1 - y2 =，故所求直線方程為： 22xx222x+4y3=0.超11將代入橢圓萬程x2+2y2 =2得6y2-6y- =0, A=36-4m6m a0符合題意,442x +4y -3 =0 為所求.(2)將 左2=2

7、代入得所求軌跡方程為: x1 -x2x + 4y=0.(橢圓內(nèi)部分)(3)將出二至=1 代入得所求軌跡方程為：x2+2y2 _ 2x _ 2y = 0 .(橢xi - x? x - 2圓內(nèi)部分)例7已知橢圓4x2 + y2 = 1及直線y = x + m .(1)當(dāng)m為何值時(shí)，直線與橢圓有公共點(diǎn)？(2)若直線被橢圓截得的弦長為 空，求直線的方程.5解：(1 )把直線方程y = x + m代入橢圓方程4x2 + y2 =1得4x2 +(x +m 2 =1 ,即 5x2+2mx+m2 1 =0 . =(2m f 4 M 5M(m2 1 )= 16m2 + 20 之 0 , 解得(2)設(shè)直線與橢圓的

8、兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x1, x2,由(1)得x,+x2 =2m5，2.m Tx1x2 二5根據(jù)弦長公式得：不孑2m2m2-12府在萬/日八一 4 父-=.斛行 m = 0 .方0, n0),且不必去考慮焦點(diǎn)在哪個(gè)坐標(biāo) 軸上，直接可求出方程.解：設(shè)所求橢圓方程為mx2+ny2 =1(m0, n0),由A3 , - 2)和B(-2#，1)兩點(diǎn)在橢圓上可得mg)2+n 0 .解得2 132.13:二 m-131313413(法 2)同解法 1 得出 n = -4 m ,xo = 13 (-4 m) = m,113113y0 = -x0 m = _ - m (-m) m = -3m ,即 M 點(diǎn)坐標(biāo)為(

9、m, -3m).444422A, B為橢圓上的兩點(diǎn)，M點(diǎn)在橢圓的內(nèi)部，. (Zm_+a3m_1 .解得2.132,13:二 m 1313(法3)設(shè)A(x , y1)，B(x2 , y2)是橢圓上關(guān)于l對稱的兩點(diǎn)，直線AB與l的交點(diǎn)M 的坐標(biāo)為(x0 , y0).2222.A, B在橢圓上，漢+江=1 ,紅+巨=1 .兩式相減得 43433( x +x2)(x1 x?) +4(y1 +y2)(y1 y2) =0,即 3 2xo(x1 -x2)+4 2y0(y1 - y2)= 0 . /. y1 y2 = 一0(為豐 *2) .xx24y03x又直線AB_Ll,kABki= 1 ,-04 =1,即

10、yo=3x04yo又M點(diǎn)在直線l上，y0 =4x0 +m。由，得M點(diǎn)的坐標(biāo)為(-m,-3m).以下同解法2.說明：涉及橢圓上兩點(diǎn)A, B關(guān)于直線l包對稱，求有關(guān)參數(shù)的取值范圍問題，可以采用列參數(shù)滿足的不等式：(1)利用直線AB與橢圓包有兩個(gè)交點(diǎn)，通過直線方程與橢圓方程組成的方程組，消元后得到的一元二次方程的判別式 &A0,建立參數(shù)方程.22(2)利用弦AB的中點(diǎn)M (x0 , yO)在橢圓內(nèi)部，滿足 漢十也1 ,將x, y0利用參 a b數(shù)表示，建立參數(shù)不等式.22例11已知P(4,2)是直線l被橢圓人+以=1所截得的線段的中點(diǎn)，求直線l的方369程.分析：本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系問題.

11、通常將直線方程與橢圓方程聯(lián)立消去y （或x）,得到關(guān)于x（或y）的一元二次方程，再由根與系數(shù)的關(guān)系，直 接求出+x2 ,取2（或乂+丫2, 丫缶）的值代入計(jì)算即得.并不需要求出直線與橢圓的交點(diǎn)坐標(biāo)，這種“設(shè)而不求”的方法，在解析 幾何中是經(jīng)常采用的.解：方法一：設(shè)所求直線方程為y-2 = k(x4) .代入橢圓方程，整理得(4k2 +1)x2 -8k(4k -2)x+4(4k -2)2 -36 = 0設(shè)直線與橢圓的交點(diǎn)為A(x1 , yi) , B(x2, y2),則x、x2是的兩根，8k(4k-2)x1 x2 一 4k2 1x1 x2 4k(4k-2)1: P(4,2)為AB中點(diǎn)，4 =二一2=一二-,k = . .所求直線萬程為 24k2 12x+2y8=0.方法二：設(shè)直線與橢圓交點(diǎn) A(x1，y)，B(x2 , y2) .P(4, 2)為AB中點(diǎn)，x1+x2=