如果對于區(qū)域G內(nèi)任意指定的兩點AB以及G內(nèi)從點A到ppt課件

1、YunnanUniversity2. 曲線積分和路徑的無關(guān)性曲線積分和路徑的無關(guān)性 1LQdyPdx 2LQdyPdx假設(shè)對于區(qū)域假設(shè)對于區(qū)域 G G 內(nèi)恣意指定的兩點內(nèi)恣意指定的兩點 A A、B B 以及以及 G G 內(nèi)內(nèi)從點從點 A A 到點到點 B B 的恣意兩條曲線的恣意兩條曲線 L1 L1，L2 L2 有有 GyxoBA1L2L 1LQdyPdx 2LQdyPdx. 0 LQdyPdx)(21LLL YunnanUniversity2. 曲線積分和路徑的無關(guān)性曲線積分和路徑的無關(guān)性 ,:1,02,( , )4ClP x yQ x yDDDCP x y dxQ x y dyDlP x

2、y dxQ x yPdxQdyDU x yduPdxQdyPQDyx 定定理理 若若函函數(shù)數(shù)，在在區(qū)區(qū)域域 上上有有連連續(xù)續(xù)的的偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)，是是單單連連通通區(qū)區(qū)域域，那那么么以以下下四四條條件件等等價價（ ） 對對任任一一全全部部含含在在 內(nèi)內(nèi)閉閉路路（ ） 對對任任一一全全部部含含在在 內(nèi)內(nèi)的的曲曲線線 ，曲曲線線積積分分與與路路徑徑無無關(guān)關(guān)（只只依依賴賴曲曲線線的的端端點點）；（3 3）微微分分式式在在 內(nèi)內(nèi)是是某某一一個個函函數(shù)數(shù)的的全全微微分分，即即；（ ）在在 內(nèi)內(nèi)處處處處成成立立。YunnanUniversity2. 曲線積分和路徑的無關(guān)性曲線積分和路徑的無關(guān)性 12證證明明：。

3、MSNR,DM N如如( (1 1) )滿滿足足，則則對對任任何何 內(nèi)內(nèi)兩兩點點及及:DMRNMSN任任意意兩兩條條 內(nèi)內(nèi)曲曲線線，有有MRNMSNPdxQdyPdxQdy MRNSMPdxQdy 0 (2)即即成成立立。 23。如如( (2 2) )滿滿足足，作作函函數(shù)數(shù)YunnanUniversity2. 曲線積分和路徑的無關(guān)性曲線積分和路徑的無關(guān)性 00,x yxyU x yPdxQdy ， 00,xyDx yD其其中中是是 內(nèi)內(nèi)固固定定一一點點，而而在在 內(nèi)內(nèi)變變動動，由由于于積積分分和和路路徑徑無無關(guān)關(guān)，所所以以這這是是單單值值函函數(shù)數(shù)。 , x y對對任任意意點點， ,xx yx

4、yPdxQdyU xx yU x yxx 00,xyxx y 利利用用積積分分和和路路徑徑無無關(guān)關(guān)，可可以以把把到到 , x y的的曲曲線線取取得得使使它它通通過過點點。YunnanUniversity2. 曲線積分和路徑的無關(guān)性曲線積分和路徑的無關(guān)性 ,x y ,xx y 00,xyxyo ,xx yxx yD 當(dāng)當(dāng)很很小小時時，由由點點到到的的直直線線將將全全部部落落入入 內(nèi)內(nèi)就就取取直直線線段段作作為為積積分分路路徑徑，得得 ,xx yx yU xx yU x yxPdxQdyx ,xx yx yPdxx Pyxx ，,xxx 這這里里 在在 與與之之間間所所以以YunnanUniver

5、sity2. 曲線積分和路徑的無關(guān)性曲線積分和路徑的無關(guān)性 0,limxU xx yU x yUxx 0lim,xPy ,P x y ,UQ x yy 同同樣樣可可得得dUPdxQdy所所以以 (3)4 .因因為為,UUPQxyYunnanUniversity2. 曲線積分和路徑的無關(guān)性曲線積分和路徑的無關(guān)性22,UUx yy x 根根據(jù)據(jù)PQDyx 得得到到在在 內(nèi)內(nèi)處處處處成成立立。(4)(1). 4,PQDCxy 由由，所所以以對對任任一一全全含含在在 內(nèi)內(nèi)的的閉閉路路由由格格林林公公式式CQPPdxQdydxdyxy 0 1即即推推出出了了。YunnanUniversity2. 曲線積

6、分和路徑的無關(guān)性曲線積分和路徑的無關(guān)性 0000,.x yx yA x yU x yP x y dx Q x y dy Pdx Qdy 定定義義：當(dāng)當(dāng)?shù)诘诙愵惽€線積積分分和和路路徑徑無無關(guān)關(guān)時時，點點固固定定，稱稱為為的的原原函函數(shù)數(shù) 1;(2)BAABdUPdxQdyPdxQdyUBUAUM 性性質(zhì)質(zhì)（ ）,A BDl證證明明： 考考察察聯(lián)聯(lián)結(jié)結(jié)兩兩點點的的任任意意一一條條在在 內(nèi)內(nèi)的的光光滑滑曲曲線線設(shè)設(shè)它它的的方方程程為為YunnanUniversity2. 曲線積分和路徑的無關(guān)性曲線積分和路徑的無關(guān)性 ,xtytt ,AAxyxy 并并且且，l計計算算沿沿 的的曲曲線線積積分分

7、lIPdxQdy ,PtttQtttdt ,UUUPdxQdyPQxy 注注意意到到是是的的原原函函數(shù)數(shù), ,有有 UUIttdtxy YunnanUniversity2. 曲線積分和路徑的無關(guān)性曲線積分和路徑的無關(guān)性 UUIttdtxy ,dUttdtdt ,Utt ,BBAAU xyU xy 00000,.xyxyU x yU x yP x y dxQ xy dyCCU xy 原原函函數(shù)數(shù)為為其其中中.PQxy 當(dāng)當(dāng)積積分分和和路路徑徑無無關(guān)關(guān)時時，YunnanUniversity2. 曲線積分和路徑的無關(guān)性曲線積分和路徑的無關(guān)性解解因此，積分與途徑無關(guān)。因此，積分與途徑無關(guān)。.2),(

8、,),( yxeyxQxeyxPyy 設(shè)設(shè)那么那么 P，Q 在全平面上在全平面上有有延續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)，且延續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)，且,yeyP .yexQ . xQyP 即即oxy112全平面是單連通域。全平面是單連通域。YunnanUniversity2. 曲線積分和路徑的無關(guān)性曲線積分和路徑的無關(guān)性oxy112取一簡單途徑：取一簡單途徑：L1 + L2.1L2L. 10: , 0 :1 xyL. 20: , 1 :2 yxL Lyydyyxedxxe)2()( 21)2()()2()(LyyLyydyyxedxxedyyxedxxe 20100)21()(dyyedxxey.272 eYunnan

9、University2. 曲線積分和路徑的無關(guān)性曲線積分和路徑的無關(guān)性解解因此，積分與途徑無關(guān)。因此，積分與途徑無關(guān)。. xQyP 即即oxy11.),( ,2),( 422yxyxQxyxyxP 設(shè)設(shè)那么那么 P，Q 在全平面上有延續(xù)在全平面上有延續(xù)的的一階偏導(dǎo)數(shù)，且一階偏導(dǎo)數(shù)，且,2xyP .2xxQ 全平面是單連通域。全平面是單連通域。YunnanUniversity2. 曲線積分和路徑的無關(guān)性曲線積分和路徑的無關(guān)性oxy11.1523 取一簡單途徑：取一簡單途徑：L1 + L2. 10: , 0 :1 xyL. 10: , 1 :2 yxL1L2L Ldyyxdxxyx)()2(422

10、 21)()2()()2(422422LLdyyxdxxyxdyyxdxxyxYunnanUniversity2. 曲線積分和路徑的無關(guān)性曲線積分和路徑的無關(guān)性解解,2)(2xyxyyyP .2)(2xyyxxxQ ,),(2xyyxP .),(2yxyxQ 例例3 驗證：在驗證：在 xoy 面內(nèi)，面內(nèi)，ydyxdxxy22 是某個函數(shù)是某個函數(shù)u (x, y) 的全微分，并求出一個這樣的函數(shù)。的全微分，并求出一個這樣的函數(shù)。這里這里且且在整個在整個 xoy 面內(nèi)恒成立。面內(nèi)恒成立。xQyP 即，即，因此，在因此，在 xoy 面內(nèi)，面內(nèi)，ydyxdxxy22 是某個函數(shù)是某個函數(shù)u (x, y

11、) 的全微分。的全微分。dyyxdxxyxuyx 0),(0202 . 0 , 0 00 yx取取.222yx YunnanUniversity2. 曲線積分和路徑的無關(guān)性曲線積分和路徑的無關(guān)性解解,2)(2xyxyyyP ),()(xyxyxxQ ,),(2xyyxP ),(),(xyyxQ YunnanUniversity2. 曲線積分和路徑的無關(guān)性曲線積分和路徑的無關(guān)性 10100ydydx.21 YunnanUniversity2. 曲線積分和路徑的無關(guān)性曲線積分和路徑的無關(guān)性M區(qū)區(qū)域域內(nèi)內(nèi)有有一一個個奇奇點點的的情情況況. .閉閉路路中中有有一一奇奇點點，格格林林公公式式不不能能應(yīng)應(yīng)

12、用用。lLBABBAA0LlPdxQdyPdxQdy LlPdxQdyPdxQdy MD 定定義義：只只環(huán)環(huán)繞繞奇奇點點一一周周的的閉閉路路上上的的積積分分值值叫叫做做區(qū)區(qū)域域 的的循循環(huán)環(huán)常常數(shù)數(shù), ,記記為為 . .YunnanUniversity2. 曲線積分和路徑的無關(guān)性曲線積分和路徑的無關(guān)性225.(0,0)xdyydxxy 例例求求關(guān)關(guān)于于奇奇點點的的循循環(huán)環(huán)常常數(shù)數(shù). .2222,.yxPQxyxy 解解： 22222.QyxPxyxy 0,0.可可知知是是奇奇點點cos ,sinxtyt取取一一單單位位圓圓周周YunnanUniversity2. 曲線積分和路徑的無關(guān)性曲線積分

13、和路徑的無關(guān)性 222222210cossinxyxdyydxtt dtxy 則則循循環(huán)環(huán)常常數(shù)數(shù)為為202 .dt YunnanUniversity2. 曲線積分和路徑的無關(guān)性曲線積分和路徑的無關(guān)性YunnanUniversity2. 曲線積分和路徑的無關(guān)性曲線積分和路徑的無關(guān)性YunnanUniversity2. 曲線積分和路徑的無關(guān)性曲線積分和路徑的無關(guān)性YunnanUniversity2. 曲線積分和路徑的無關(guān)性曲線積分和路徑的無關(guān)性YunnanUniversity2. 曲線積分和路徑的無關(guān)性曲線積分和路徑的無關(guān)性YunnanUniversity2. 曲線積分和路徑的無關(guān)性曲線積分和路

14、徑的無關(guān)性YunnanUniversity2. 曲線積分和路徑的無關(guān)性曲線積分和路徑的無關(guān)性YunnanUniversity2. 曲線積分和路徑的無關(guān)性曲線積分和路徑的無關(guān)性YunnanUniversity2. 曲線積分和路徑的無關(guān)性曲線積分和路徑的無關(guān)性YunnanUniversity2. 曲線積分和路徑的無關(guān)性曲線積分和路徑的無關(guān)性YunnanUniversity2. 曲線積分和路徑的無關(guān)性曲線積分和路徑的無關(guān)性YunnanUniversity2. 曲線積分和路徑的無關(guān)性曲線積分和路徑的無關(guān)性YunnanUniversity2. 曲線積分和路徑的無關(guān)性曲線積分和路徑的無關(guān)性YunnanUniversity2. 曲線積分和路徑的無關(guān)性曲線積分和路徑的無關(guān)性YunnanUniversity2. 曲線積分和路徑的無關(guān)性曲線積分和路徑的無關(guān)性YunnanUniversity2. 曲