中國人民大學出版社(第四版)高等數(shù)學一第11章課后習題詳解

1、80第11章課后習題詳解曲線積分與曲面積分例題分析1. 計算，其中為連接，的閉折線。知識點：第一類曲線積分.思路: 由三段直線段組成，故要分段積分.解： 如圖 則，注：利用被積函數(shù)定義在上，故總有， .注：1)，對弧長的曲線積分是沒有方向性的，積分限均應從小到大.2)對段的積分可化為對的定積分，也可化為對的定積分，但段，段則只能化為對（或?qū)Γ┑亩ǚe分. 2.計算，其中為圓周.知識點：第一類曲線積分.思路: 為圓周用極坐標表示較簡單.解：的極坐標方程： .3. 計算曲線積分，其中為曲線,應于從到的一段弧.知識點：第一類曲線積分.思路: 空間曲線，用空間間曲線第一類曲線積分公式.解：原式= .1.

2、 計算曲線積分，其中為球面與平面的交線。知識點：第一類曲線積分.思路: 的參數(shù)方程不易求出，不好用空間間曲線第一類曲線積分公式，但滿足，故總有.解： 即 原式= 注：1)利用被積函數(shù)定義在上，故總有，是常用的一種簡化運算的方法.2) 為平面上的一個圓，圓心，半徑為. 課后習題全解習題10-1 1. 設在面內(nèi)有一分布著質(zhì)量的曲線弧L，在點處它的線密度為，用對弧長的曲線積分分別表達： 1) 該曲線弧對軸、軸的轉動慣量和； 2) 該曲線弧的質(zhì)心坐標和.知識點：第一類曲線積分的概念及物理意義.思路: 面內(nèi)的一段曲線，其線密度為，則1)線段的質(zhì)量為： 2)線段關于軸和軸的靜力矩為： 3)線段對軸和軸的轉

3、動慣量：，解：由第一類曲線積分的概念及物理意義得 (1) , (2) 2. 計算，其中。 解：法一：原式= 法二：原式= .(利用性質(zhì)2) 3. 計算，其中為連接，兩點的直線。 解：直線方程為： 原式= 4計算，其中L為內(nèi)擺線的弧。 解：擺線的參數(shù)方程為： 原式 5. 計算曲線積分，其中為螺旋線上相應于從到的一段弧。解： 原式 6. 計算曲線積分，其中為折線,這里,依次為點，.解：如圖， 原式= ： ：，：，原式= . 7. 計算，其中為對數(shù)螺線在圓的內(nèi)部。解：依題意： 得 .8. 計算曲線積分，其中為球面與平面的交線。解： 即 法一： 的參數(shù)方程為：原式= 法二： 原式= 9. .求半徑為、

4、中心角為的均勻圓?。ň€密度的質(zhì)心.解：取扇形的角平分線為軸，頂點為原點建立平面直角坐標系，則圓弧的方程為：由圖形的對稱性和知，而 故質(zhì)心在（）.10. 求螺旋線，對軸的轉動慣量，設曲線的密度為常數(shù).解： .11. 設螺旋形彈簧一圈的方程為，其中，它的線密度. 求： (1) 螺旋形彈簧關于軸的轉動慣量; (2) 螺旋形彈簧的重心.解: (1).(2) 螺旋形彈簧關于平面的靜力矩分別為： 同法得： ., . 提高題1. 計算，其中為正向圓周，直線及軸在第一項限內(nèi)所圍成的扇形的整個邊界. 解：與在第一象限的交點為.如圖： ; ; .則 原式2. 計算，其中為圓柱面與錐面的交線.解：，參數(shù)方程為 又故

5、.(此題請核查)§10.2 第二類曲線積分內(nèi)容概要名稱主要內(nèi)容第二類曲線積分1.平面曲線：2.空間曲線： 常用的性質(zhì)1其中表曲線的某一方向(正向), 表曲面的另一方向(負向)2.若,則計算(平面曲線)，起點，終點，其中具有一階連續(xù)的導數(shù)，則計算(空間曲線),起點，終點，其中具有一階連續(xù)的導數(shù)，則 例題分析1. 計算，其中是為頂點的正方形的正向邊界. 知識點：第一類曲面積分.思路: 如圖由四段直線段組成，故要分段積分.解： 如圖 則變化從到變化從到變化從到變化從到.2計算曲線積分，其中為曲線上對應于從到的一段弧.知識點：第一類曲面積分.思路: 空間曲線，用空間間曲線第一類曲線積分公式.

6、解：原式 .課后習題全解習題10-2 1.計算，其中為與軸所圍成的閉曲線，依順時針方向.解：如圖 其中變化從到， 變化從到,原式2.計算，其中為圓周上對應于從到的一段弧.解： 原式 3.計算曲線積分，其中為從經(jīng)到點的那一段.解：變化從到原式.4.計算曲線積分，其中為圓周（按逆時針方向繞行）.解：圓的極坐標方程為： ，從變到原式= .5.計算，設，式中方向依參數(shù)增加的方向. 解：原式 .6.計算，其中為上對應于從到的一段弧.解：原式 .7.計算，其中是從點到點的直線.解：直線的方向向量為， 故其參數(shù)方程為：從變到原式 .8.計算，其中為圓柱面與的交線，從軸正向看為逆時針方向.解：的參數(shù)方程為：,

7、從變到原式9.在過點和的曲線族中，求一條曲線，該曲線從O到A的積分的值最小。解：從變到, 令得（負號舍去） 為所求曲線。10.計算，其中分別為路線：(1) 直線; (2)拋物線: ; (3)三角形解：（1）直線方程：, 即從變到,原式(2) 拋物線: 從變到原式 (3) , 從變到 從變到原式= 11.設為曲線上相應于從變到的一段曲線弧,把對坐標的曲線積分化為對弧長的曲線積分。解： , , , 12.計算沿空間曲線對坐標的曲線積分，其中是與相交的圓，其方向沿曲線依次經(jīng)過1，2，7，8掛限。解：的參數(shù)方程：從變到, 注：利用13.設軸與重力的方向一致，求質(zhì)量為的質(zhì)點從位置沿直線移到時重力所作的功

8、。解： F=0,0,mg,g為重力加速度;記dr=, ,則功 14.質(zhì)點沿以為直徑的半圓周，從點運動至點的過程中，受到變力的作用，的大小等于點與原點之間的距離，其方向垂直于線段，且與軸正向的夾角小于，求變力對質(zhì)點所作的功。解：依題意，從A點到B點半圓周的方程：從變到則功 提高題1.計算，其中為上半橢圓周（按逆時針方向）.解：的參數(shù)方程為： ,從變到原式注：此題可用直角坐標系求解，較用參數(shù)方程繁.§10.3 格林公式及其應用內(nèi)容概要名稱主要內(nèi)容格林公式設及它們的一階偏導數(shù)在閉域上連續(xù)，則 其中是閉域的邊界曲線，且取正向. 面積曲線積分與路徑無關的等價條件1. 域內(nèi) 處處成立.2. 沿域

9、內(nèi)的任一閉路積分為零，即3. 在域內(nèi)存在函數(shù)，使曲線積分的牛頓萊布尼茨公式若域內(nèi)，則內(nèi)任意兩點例題分析1. 計算 1) ; 2) .其中, , 是折線，是由到的直線段，如圖.知識點：格林公式.思路: 1)，應用格林公式方便. 2) 這題并非閉路，不能直接用格林公式，為此增加輔助曲線構成可應用格林公式的閉曲線，隨后再減去補上的這些曲線段上的線積分. 補上的這些曲線段上的線積分本身應易于計算.今補上（如圖）.解：1) 2) 如圖 其中 （見本題1） 由變到， .注：應用格林公式時，除連續(xù)條件外，還要求： 1) 和是正向關系，本題1)的方向是反向的，故先改成正向，隨后再用格林公式. 2) 注意公式中

10、前是號，如本題改寫成，此時不能誤認為，而應是.2. 計算 ，其中為圓周的逆時針方向.知識點：格林公式.思路: ，應用格林公式方便,. 但因圍的區(qū)域內(nèi)含被積函數(shù)不連續(xù)的點，故要把不連續(xù)的點挖掉.解： 在包圍的區(qū)域內(nèi)作順時針方向的小圓周變化從到 在與包圍的區(qū)域上， 及格林公式，有 注：因圍的區(qū)域內(nèi)含被積函數(shù)不連續(xù)的點，故此題不能直接用格林公式。課后習題全解習題10-3 1. 利用格林公式計算積分 其中為正向圓周曲線.解： 原式= 2. 利用格林公式計算積分，其中頂點為和的正方形區(qū)域的正向邊界。解：設圍的區(qū)域為D: , 原式= .3. 計算，其中是沿逆時真方向的橢圓。 解：設圍的區(qū)域為D， 原式=

11、注：利用二重積分的被積函數(shù)的奇偶性及積分區(qū)域的對稱性有.4. 利用曲線積分，求星形線所圍成圖形的面積。解：由公式 5. 求雙紐線所圍區(qū)域的面積。解：雙紐線的極坐標方程為： 由圖形的對稱性知：6. 計算 ，其中為圓周的順時針方向。解：參數(shù)方程為：變化從到原式注：因圍的區(qū)域內(nèi)含被積函數(shù)不連續(xù)的點，故此題不能用格林公式。7. 計算，其中是在圓周上由到的一段弧。解：設,連接則圍區(qū)域D , ，原式8. 計算，其中是位于第一象限中的直線與位于第二象限中的圓弧構成的曲線，方向是由到再到.解：連接則圍區(qū)域, 9.計算，其中從沿擺線到.解：設連接則圍區(qū)域 10. 計算，其中為包圍有界閉區(qū)域得簡單曲線，的面積為，

12、n為的外法線方向.解：設沿逆時針方向的任意點的單位切向量(分別是與軸、軸正向夾角).則 .11.計算，其中為單位圓周的正向.解：在包圍的區(qū)域內(nèi)作順時針方向的小橢圓周變化從到 在與包圍的區(qū)域上，及格林公式，有 12. 計算，其中為曲線 的正向。解：在包圍的區(qū)域內(nèi)作順時針方向的小圓周變化從到 在與包圍的區(qū)域上，及格林公式，有 13. 計算. 解：, 線積分與路徑無關。 原式.14. 證明曲線積分 在整個面內(nèi)與路徑無關，并計算積分值。解：法一： 被積式是函數(shù) 的全微分，從而題設積分與路徑無關。且 原式法二： 線積分與路徑無關。 原式=15. 利用曲線積分，求下列微分表達式的原函數(shù)：(1) ;(2)

13、;(3) .解：(1), 是某函數(shù)的全微分.(2) 是某函數(shù)的全微分 .(3) 是某函數(shù)的全微分 16. 設有一變力在坐標軸上的投影為，改變力確了一個力場.證明質(zhì)點在此場內(nèi)移動時，場力所作的功與路徑無關.證明： 上述線積分之值，即功之值與路徑無關。 證閉。17. 試求指數(shù)，使曲線積分在區(qū)域內(nèi)與路徑無關，并求此積分.解： 令,有 時上述曲線積分與路徑無關.提高題1. 計算，其中L是沿由到 的曲線段.見圖.解：如圖添加園弧段 變化從到 ，則 注：連接直線，由變到，則 ，為什么？原因是圍的區(qū)域內(nèi)含被積函數(shù)不連續(xù)的點，不能說明積分與路徑無關.但，故不包含原點的任何閉曲線積分為. 為使域內(nèi)不出現(xiàn)原點，一

14、般可將平面域沿負軸剪開，（即聯(lián)的任意曲線均不準通過負軸），在沿負軸剪開的域中，積分與路徑無關.2. 設在有連續(xù)導函數(shù)，求其中L是從點到 的直線段.解：在沿負軸剪開的域中，積分與路徑無關.取路徑如圖，§10.4 第一類曲面積分內(nèi)容概要名稱主要內(nèi)容第一類曲面積分 計算1. 2. 3. 常用的結論曲面的面積例題分析1. 計算，其中是，及坐標平面所圍成的閉曲面. 知識點：第一類曲面積分.思路: 塊曲面組成的閉曲面,故應分塊進行計算,本題共有曲面五塊,且是三個積分的組合,故應共計算15個積分.解：如圖,則，在面上的投影為 用極坐標表示，則為： 同理：，是球面一部分，方程為，在化為二重積分運算時

15、，可向不同的坐標面投影，故可有不同的計算途徑：法一：向面上的投影，則曲面：是雙值函數(shù)，為是曲面表達成單值函數(shù)，將曲面分成兩塊， 它們在面上的投影為 ， 法二：向面上的投影，則曲面：是單值函數(shù)， 在面上的投影為 用極坐標表示，則為： 同理也可投影到平面來計算.顯然法二比法一稍簡單些，它避免了曲面的分塊.法三：是球面一部分，而被積函數(shù)定義在上，故總有 （應用曲面的面積）最后 .注：利用被積函數(shù)定義在上，故總有，代入簡化積分運算。這是常用的一種簡化運算的方法. 課后習題全解習題11-4 1. 在對面積的曲面積分化為二重積分的公式中，有因子，試說明這個因子的幾何意義.解：設，則法向量，法向量與軸的夾角

16、為，該夾角的余弦為 故是曲面的法向量余弦的倒數(shù).2.計算，其中為曲面在柱體內(nèi)部分.解： 在面上的投影為 用極坐標表示，則為： 原式 注：利用3. 計算，其中為錐面及平面所圍成的區(qū)域的整個邊界曲面.解： 在面上的投影為 用極坐標表示，則為：設為平面，為錐面對，對， 原式4. 計算，. 其中為圓柱面介于與之間的部分解：在面上的投影為 由，可得 如圖分為兩個曲面原式 注：利用5. 計算，其中為平面在第一卦限中的部分 解：其在面上的投影為即為：原式 6. 計算，其中為平面及三個坐標面所圍的四面體的表面.解：，其中在面上的投影為 即為：其中,在面上的投影為 即為：其中，在面上的投影為其中，在面上的投影為

17、 同上法得. 7. 計算，其中為球面上的部分. 解：在面上的投影為用極坐標表示，則為： 原式 8. 計算，所其中為柱面被曲面所截下的部分.解：在面上的投影為由，可得分為兩個曲面， 原式9.求平面被三個坐標面所有限部分的面積.解：依題意求，其中在面上的投影為 .10. 求曲面被平面所截那部分的面積.解：依題意求，其中在面上的投影為 11. 求拋物面殼的質(zhì)量，此殼的面密度的大小.解：拋物線面殼在面上的投影為用極坐標表示，則為：所求的質(zhì)量 12. 試求半徑為的上半球殼的重心，已知其上各處密度等該點到鉛垂直徑的距離.解：以球心為坐標原點，鉛錘直徑為z軸建立右手坐標系，則上半球面方程為，密度 ，由對稱性

18、：在面上的投影為用極坐標表示，則為：， 故則 故 ，重心坐標為：. 13. 求面密度為的均勻半球殼對于軸的轉動慣量.解： 半球殼上任一點與軸的距離，半球殼在面上的投影為用極坐標表示，則為：， 注：利用提高題1. 計算，其中為圓柱面,與所圍成的閉曲面. 解：在面上的投影為 由，可得 分為兩個曲面原式2. 計算，其中為錐面被柱面所截得的有限部分. 解：在面上的投影為 用極坐標表示，則為： 注：利用§10.5 第二類曲面積分內(nèi)容概要名稱主要內(nèi)容第二類曲面積分 性質(zhì)1其中表曲面的某一側(正側), 表曲面的另一側(負側)2.若,則計算1. 其中為的法向量與軸的夾角,當時銳角時取正號, 當時鈍角

19、時取負號.2. 其中為的法向量與軸的夾角,當時銳角時取正號, 當時鈍角時取負號.3. 其中為的法向量與軸的夾角,當時銳角時取正號, 當時鈍角時取負號.例題分析1.計算，其中是柱面 ,平面及坐標平面所構成的閉曲面的外側表面. 知識點：曲面積分.思路: 由多塊曲面組成的閉曲面,故應分塊進行計算,本題共有曲面五塊,且是三個積分的組合,故應共計算15個積分.解： 如圖 則，在面上的投影為(方向與軸正向成角) ，在面上的投影為(方向與軸正向成角) 同，.，在面上的投影為 用極坐標表示，則為： (方向與軸正向相同) ,在面上的投影為 在面上的投影為故 注：1) 在面上的投影為為圓無面積故投影到面上，此時要

20、表為的函數(shù)：,與軸成銳角,故積分取正號.投影到面上，此時要表為的函數(shù)：,與軸成銳角, 故積分取正號.2) 此題可用§10.6高斯公式更方便，請看§10.6例題分析.課后習題全解習題10-51.設為球面，若以其球面的外側為正側，試問的左側（即其法線與軸成鈍角的一側）是正側嗎？的左側是正側嗎？解：因的左側為球面的內(nèi)側，故不是正側，而的左側是球面的外側，故是正側。2.在球面上取、三點為頂點的球面三角形（AB、BC、CA 均為大圓?。羟蛎婷芏葹?，求此球面三角形塊的質(zhì)量.解：設此球面三角形塊的質(zhì)量，則 將投影到平面上, 圍的區(qū)域.用極坐標表示，則為： 從而 .3計算，其中為球面的

21、外側.解： 由對稱性可知 其中， 在面上的投影為用極坐標表示，則為： 注： 此題用§10.6高斯公式更方便4計算，其中是柱面 被平面及所截得的在第一卦限內(nèi)的部分的前側. 解：柱面與面垂直，故，將分別向面投影，得矩形域 原式 5設為連續(xù)函數(shù)，計算曲面積分其中是平面在第四卦限部分的上側. 解：平面的法向量,單位法向量 所以原式 ：原式.6計算,其中為球面的外側.解：注：同第3題7計算,其中為下半球面的上側， 為正常數(shù). 解：方向與軸成鈍角,(積分取正號)在面上的投影為 用極坐標表示，則為： 令 其中,與軸成鈍角,(積分取負號).,與軸成銳角,(積分取正號).在面上的投影為 用極坐標表示，

22、則為： 原式=§10.6 高斯公式 通量與散度內(nèi)容概要名稱主要內(nèi)容高斯公式 設在閉域上具有一階連續(xù)偏導數(shù)，則 其中是閉域的邊界曲面，且取外側.設向量場向量場通過曲面流向指定側的通量向量場的散度例題分析1. 計算，其中是柱面 ,平面及坐標平面所構成的閉曲面的外側表面. 知識點：高斯公式.思路: 閉曲面圍的立體上應用高斯公司(對閉曲面上的第二類曲面積分可考慮應用高斯公司).解：設為圍的立體, 在上投影， 用極坐標表示，則為：利用高斯公式得原式2.計算，其中是平面上的曲線， 繞軸旋轉而成的旋轉曲面的下側. 知識點：高斯公式.思路: 非閉曲面，一般可直接化二重積分計算，但計算較煩，可設法利用

23、高斯公式.為此增加輔助曲面構成閉曲面. 解：如圖作輔助平面：方向向上，則和構成一個方向為外側的閉曲面.設為圍的立體，在上投影利用高斯公式得：, ，在面上的投影為 (方向與軸正向一致) 課后習題全解習題10-6 1.利用高斯公式計算其中為球面的外側.解：設球面坐標系: 球面坐標系下利用高斯公式得原式由球面坐標系 同法得， 故原式 . 2. 計算,其中為球面的內(nèi)側.解：設,球面坐標系: 球面坐標系下,利用高斯公式得原式 .3. 計算,其中是介于平面及之間圓柱體的整個表面的外側. 解：設為圍的立體, 利用高斯公式得原式4. 計算,其中為上半球體的表面外側.解：設由球面坐標系（同3題）, 利用高斯公式

24、得 原式 5. 平面與平面所圍立體的全表面的外側.解：設為圍的立體, 利用高斯公式得原式 6. 設有連續(xù)的導數(shù)，計算 其中是，所圍立體的外側.解：設為圍的立體，在上投影利用高斯公式得原式 7. 計算,其中為拋物面位于內(nèi)的部分的上側.解：設為平面：方向向下，為圍的立體， 在上投影 用極坐標表示，則為：利用高斯公式得 又故原式8. 求下列向量A穿過曲面流向指定側的流量：(1) =+, 為圓柱的全表面，流向外側；(2) =, 是以點為球心，半徑的球，流向外側.解： (1)設為圍的立體，(2)設為圍的立體， 9. 求下列向量場A的散度：(1) =+(2) =+解： （1）（2）10. 證明: 若為包圍

25、有界域的光滑曲面，則 其中稱為拉普拉斯算子，是關于曲面沿外法線 方向的方向?qū)?shù). 證明：設 則 證畢11. 利用高斯公式推證阿基米德原理: 浸沒在液體中的物體所受體液的壓力的合力（及浮力）的方向鉛直向上，其大小等于這物體所排開的液體的重力.證明： 取液面為面，軸鉛直向上，設液體密度為，在物體表面上取面積元素，處的外法向方向余弦為則面積微元所受液體的壓力（浮力）在三條坐標軸上的分離元素分別為：故所收的總壓力的各分力為上述各分力元素在上的曲面積分，由高斯公式算得： ，所以 證畢 提高題1.計算，其中是平面上的曲線， 繞軸旋轉而成的旋轉曲面的下側. 解：如圖作輔助平面：方向向上，則和構成一個方向為外

26、側的閉曲面.設為圍的立體，利用高斯公式得：, ，在上投影 (方向與軸正向一致) . 2.計算,其中為球面的內(nèi)側解：如圖作輔助平面：,：方向均為內(nèi)側則和,構成一個方向為內(nèi)側的閉曲面，設為及圍的立體，則球面坐標系: 球面坐標系下利用高斯公式得 . §10.7 斯托克斯公式 環(huán)流量與旋度內(nèi)容概要名稱主要內(nèi)容斯托克斯公式 設在曲面上具有一階連續(xù)偏導數(shù)，則其中是曲面的邊界曲線，的方向與的側符合右手系法則.設向量場向量場沿曲線按所取方向的環(huán)流量向量場的散度例題分析1. 計算，其中為圓周，若從軸正向看去，取逆時針方向.知識點：斯托克斯公式.思路: （簡單） 或平面的法向量（簡單） 用斯托克斯公式計

27、算方便.解：設,記為平面被所圍部分的上側， 法一：則在面上的投影為：,由斯托克斯公式得：原式.法二：平面的法向量 由斯托克斯公式得原式2. 計算，其中為圓周，若從軸正向看去，取逆時針方向.知識點：斯托克斯公式.思路: 平面的法向量解：記為平面被所圍部分的上側，則的法向量,設由斯托克斯公式得：原式 注：為一圓，圓心，半徑為. 課后習題全解習題10-71. 計算，其中為圓周，若從軸正向看去，取逆時針方向.解：記為平面被題設圓所圍部分的上側，的單位法向量為 則由斯托克斯公司得原式由對稱性知為一圓，圓心，半徑為 故.2. 計算，其中為橢圓若從軸正向看去，取逆時針方向.解：記為平面被題設橢圓所圍部分的上

28、側，的單位法向量為則由斯托克斯公司得原式 注：為平面上的一橢圓面，長軸，短軸.3. 計算，其中為圓周，若從軸正向看去，圓周取逆時針方向.解：記為平面上被題設所圍部分的上側，的單位法向量為則由斯托克斯公司得 原式 4. 計算，其中是螺線從到的一段曲線.解：連接，則線段曲線構成封閉曲線。設表示 為邊界曲線的任意曲面的正側， 根據(jù)斯托克斯公式，有 即 5. 計算，其中為曲線，方向取從正向看去為順時針方向.解：設表示圍的曲面的下側， 根據(jù)斯托克斯公式 在上的投影關于軸對稱，而為的奇函數(shù)，故 在上的投影 極坐標下 原式 .6. 求向量場= + 在點處的散度及旋度.解： 7. 物體以一定的角速度以逆時針方

29、向繞軸旋轉，求角速度v和加速度w在空間點和時刻的散度和旋度.解： 而， 8. 求向量場A= (c為常數(shù))沿閉曲線（從軸正向看去，依逆時針方向）的環(huán)流量.解：法一：是面上的正向圓周：環(huán)流量法二：記為平面被所圍部分的上側平面的法向量 由斯托克斯公式得9. 求向量H= 沿著閉曲線的環(huán)流量，其中不圍繞軸解：記為 所圍不過軸曲面，環(huán)流量10. 設數(shù)量場具有二階連續(xù)偏導數(shù)，試證明=0解：設數(shù)量場為 11. 設數(shù)量場具有二階連續(xù)偏導數(shù)，試證明=0證明下列等式（其中為梯度算子，為拉普拉斯算子）:(1) (2) 證明：(1) (2) 12. 驗證曲線積分與路徑無關,并求其值.解：設 則因 ，故曲線積分與路徑.原

30、式13. 設數(shù)量場具有二階連續(xù)偏導數(shù)，試證明=0驗證曲線積分與路徑無關,并求其值.解：設 則 因 ，故曲線積分與路徑.求值有兩種方法：法一 原式法二： 取點由的折線為積分路徑,則 14. 證明為全微分，并求其原函數(shù).解：設 則 因 故為全微分,求原函數(shù)有兩種方法：法一 原函數(shù)法二： 取點由的折線為積分路徑,則.15. 證明: 是有勢場，并求這個場的勢. 解： 場為有勢場. 提高題1. 計算，其中為平面截立體的表面所得的截，若從軸的正向看去取逆時針方向. 解：記為平面被所圍部分的上側，則的法向量,設由斯托克斯公式得：原式 因為在上 ，且在面上的投影為，故原式. 總習題十1. 計算，其中為由及所圍

31、成區(qū)域的邊界.解： 其中 2. 計算，其中為擺線一拱: 解：2.計算球面上的三角形的均勻圍線的重心坐標. 解：由圖形的對稱性知： 球面坐標系: 球面上的三角形圍線的方程為：, ,故所求重心坐標為.4計算，其中為圓周及軸所圍成的在第一象限內(nèi)的區(qū)域的整個邊界（按逆時針方向）.解： 法一：的極坐標方程：法二：設圍的區(qū)域為D: 極坐標表示，則為：由格林公式得原式5.計算，其中為有限閉折線ABCA, 這里，A、B、C依次為點，.解： 設表示圍的曲面的上側原式6.在過點與的曲線軸中，求一條曲線，使沿該曲線從O到A的積分的值最小.解： ，解得（負號舍去），此為在內(nèi)的唯一駐點， 且故在處取得最小值，所求曲線是

32、.7.一力場由沿橫軸正方向的常力F所構成，試求當一質(zhì)量為m的質(zhì)點沿圓周按逆時針方向移過位于第一象限的那一段弧時場力所作的功. 解： 記，則功 .8.計算，其中為維安妮曲線,若從軸正方向看去，此曲線沿逆時針方向進行.解：的參數(shù)方程為： 注：由得極坐標表示：代入得：9. 計算，其中L是：(1) 不包圍且不通過原點的任意閉曲線；(2) 以原點為中心、為半徑的圓周取順時針方向；(3) 包圍原點的任意閉曲線(無重點)取正向.解： 設圍的區(qū)域為， (1)在內(nèi)連續(xù)，由格林公式，有(2) 參數(shù)方程為：變化從到原式=注：因圍的區(qū)域內(nèi)含被積函數(shù)不連續(xù)的點，故此題不能用格林公式。（3）在包圍的區(qū)域內(nèi)作順時針方向的圓

33、周變化從到 在與包圍的區(qū)域上由及格林公式，有10. 計算,其中是以、為頂點的三角形區(qū)域.思路: 此題用二重積分直接算要分塊，較繁，現(xiàn)應用格林公式將二重積分化為第二類區(qū)線積分.為此，令即可.解： 如圖區(qū)域的邊界為 設，則，.11. 計算，其中為沿過、的圓周從到的一段弧.(此題目書上敘述不清，我根據(jù)答案修改，清查看是否合適)解：, 線積分與路徑無關。 =12. 設在右半平面中有一力場，為可微函數(shù)，且，求使質(zhì)點在此場內(nèi)移動時所做的功與路徑無關，再計算質(zhì)點由移動到常力所做的功.解：場力所作的功 場力所作的功與路徑無關 即 兩邊同時積分解得： 為任意常數(shù) 為所求. 此時 所求的功.13. 證明在整個平面

34、除去的負半軸及原點的開區(qū)域內(nèi)是某個二原函數(shù)的全微分，并求此函數(shù).解：在原點不連續(xù)，平面除去的負半軸及原點的開區(qū)域為單連通域 在內(nèi)連續(xù)，且，所以存在，使 . 為求出一個來，取積分路徑 問：在整個平面除去的負（正）半軸及原點的開區(qū)域內(nèi)是某個二原函數(shù)的全微分嗎？（是）14. 證明曲線積分在整個平面內(nèi)與路徑無關,并計算積分值.解： 被積式是函數(shù)的全微分，從而題設曲線積分與路徑無關. 15. 選擇，使為某一函數(shù)的全微分，并求.解： ,， 依題意，即整理得：為求出一個來，取積分路徑注：此題與第13題同，在整個平面除去的負半軸及原點的開區(qū)域內(nèi)是某個二原函數(shù)的全微分，積分路徑的選取可在的負半軸及原點外的開區(qū)域

35、內(nèi).16. 求均勻曲面的重心坐標.解：設密度（常數(shù)），對稱性有：在面上的投影為用極坐標表示，則為：， 故則令 故 , 重心坐標為：. 17.計算,其中是平面在第一卦限的部分.解：在面上的投影為 原式 18.計算,其中.解：在面上的投影為用極坐標表示，則為： , 原式 .19.計算,其中為曲面被曲面所割出的部分.解：在面上的投影為 用極坐標表示，則為： (此題目書上的與光碟不同，且光碟此題過程有誤，我按書上的題做，請查看)20.設為曲面與所圍成的空間閉區(qū)域，求曲面的面積.解：依題意求，其中，如圖 ， 兩面交線解得 在面上的投影為用極坐標表示，則為： .21.計算,其中為球面的外側.解：設,利用高斯公式得原式.注：1)被積函數(shù)定義在上，故總有，直接代入積分式中簡化運算.2)為奇函數(shù)，積分域關于對稱，所以.22.計算,其中是在的一半中被和所截下部分的外側. 解：，如圖在面上的投影為 投影域面積為，所以 在面上的投影為被積分函數(shù)關于為奇函數(shù)，而關于軸對稱. 所以的計算可有不同的途徑：法一：向面上的投影，則曲面是雙值函數(shù)，為把曲面表達成單值函數(shù)，將曲面分成兩塊， 在面上的投影為 法二：而在曲面上，有，所以. 23.設函數(shù)在曲面上連續(xù)，為在上的最大值，證明： 其中為曲面的面積.證明：設為