大一上學(xué)期高數(shù)知識點(diǎn)

1、一、主要內(nèi)容小結(jié)1.定義定理公式導(dǎo)數(shù)，左導(dǎo)數(shù)，右導(dǎo)數(shù)，微分以及導(dǎo)數(shù)和微分的幾何意義 定理與運(yùn)算法則(1)(2)定理1 f (xo)存在f (Xo)f (xo).定理2若y f(x)在點(diǎn)xo處可導(dǎo)，則y f(x)在點(diǎn)xo處連續(xù);反之不真.f (x)在xo處可導(dǎo).導(dǎo)數(shù)與微分的運(yùn)算法則：設(shè)uu(x) ,vv(x)均可導(dǎo)，貝y(u v) uv ,d(u v) du d(uv) uvvu ,d(uv) udv vdu已vuvvuv .2 (vo)，,U vdu udvd( )2vv2定理3函數(shù)f (x)在xo處可微(3)基本求導(dǎo)公式(v0)2. 各類函數(shù)導(dǎo)數(shù)的求法(1)復(fù)合函數(shù)微分法(2)反函數(shù)的微分法

2、(3)由參數(shù)方程確定函數(shù)的微分法(4)隱函數(shù)微分法幕指函數(shù)微分法(6)函數(shù)表達(dá)式為若干因子連乘積、乘方、開方或商形式的微分法x求導(dǎo)).方法：對數(shù)求導(dǎo)法(即先對式子的兩邊取自然對數(shù)，然后在等式的兩端再對(7)分段函數(shù)微分法3. 高階導(dǎo)數(shù)(1)定義與基本公式(ex)(n) ex高階導(dǎo)數(shù)公式：(ax)(n) aX|nna (a 0)萊布尼茲公式:(2)高階導(dǎo)數(shù)的求法 直接法 間接法4. 導(dǎo)數(shù)的簡單應(yīng)用求曲線的切線、法線求變化率一一相關(guān)變化率例題解析設(shè) f(x)xK(K為整數(shù)).問:(1)當(dāng)K為何值時(shí),f (x)在0處不可導(dǎo);(2)當(dāng)K為何值時(shí),f (x)在0處可導(dǎo)，但導(dǎo)函數(shù)不連續(xù);當(dāng)K為何值時(shí),f

3、(x)在0處導(dǎo)函數(shù)連續(xù)?函數(shù)f (x)在x=0點(diǎn)的導(dǎo)數(shù):f(x)f(0)lim f(x)x 0x 0 x,-K .1(x) si n xx_/ K 1=lim (x)x 0.1sin =x發(fā)散，當(dāng)K 10 ，當(dāng) K 1不存在,f(0) 0,當(dāng)K 1時(shí),f (x)的導(dǎo)函數(shù)為:為使 lim f (x) f (0)x 00,取K2即可。因此，函數(shù)f (x)K .1cx Sin , x 0xx 0當(dāng)K< 1時(shí),f(x)在 x0處不可導(dǎo);2時(shí),f (x)在 x0處可導(dǎo)，但導(dǎo)函數(shù)在x 0處不連續(xù);2時(shí),f (x)在 x0處可導(dǎo)且導(dǎo)函數(shù)在x0處連續(xù)。sin 2 x2cos X 求 dy。1 ctgx

4、1 tgxdx分析本例當(dāng)然可以用商的求導(dǎo)法則來求，但比較麻煩，若先對函數(shù)表達(dá)式進(jìn)行變形就可用代數(shù)和的求導(dǎo)法則來求,這樣就簡便多了。3.33cos X sin X cos xsin x cosx cosx sin x sin x cosxsin3 x1 sin 2x。2所以y cos2x如果不經(jīng)過化簡，直接求導(dǎo)則計(jì)算將是十分繁瑣的。例 y arctgex ln-，求魚。1dx分析 本例若直接對原式利用差的求導(dǎo)法則及復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法來求，比較麻煩，但若利用對數(shù)性質(zhì)對函數(shù)表達(dá)式的第二項(xiàng)變形，再利用差及復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法來求，就簡便得多。解因?yàn)閥 arctgex 2ln e2x ln(e2x 1)arctg

5、ex - ln(e2x21)所以1(arctgex) x In(e2x1)'=2xe:271 e，八 2x1 2e2 ex .e 1e 1f(ex)ef(x)，求 dy。dx利用積的求導(dǎo)法則及復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，有dy 一 r , X. X f(X)r / X. f(X). . .f(X)r rf (e )e ef (e )ef (x) = e f dx/ X x(e )exf (e )f (x)。設(shè)方程 xy2 ey cos(x y2),求 y .本例是隱函數(shù)求導(dǎo)問題，對隱函數(shù)求導(dǎo)可用下面兩種方法來求。(方法一)方程兩端同時(shí)對x求導(dǎo)(y看作x的函數(shù)yy(x),由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法可得(方法

6、二)方程兩邊同時(shí)微分：d(xy2 ey) d(cos(xy2)所以dydx22y sin(x y )2xy ey 2ysi n(x y2)已知xf (t)ytf (t)f (t)f (t)為二次可微函數(shù)，且f (t)0，求魚 dxd2y dx2分析這是由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)的計(jì)算問題，可按參數(shù)方程求導(dǎo)法則來求。解 因?yàn)閐y dtf (t)f(t)= tf (t)dt所以dy tf (t)dt dx f(t)dtdt所以常見錯(cuò)解:d2y=_d_dx dxd2y7 (t)' 1。dx2dydxdtf"(t)dt f" (t)錯(cuò)誤原因沒有搞清求導(dǎo)對象.d2ydx

7、22 dy是一階導(dǎo)數(shù) 魚 對x求導(dǎo),而t'是一階導(dǎo)數(shù)對t求導(dǎo)。 dx dxdx例 求函數(shù)y解 dy d -z：v1a X 2 dx1xd J1 X22 x右 x2dxX丄pd(1 x2)2出 X21 X2例設(shè)y分析Li2x2V1 x dxdxJ1 X21 x23x+(n)二，求 yx 3x 2dx23 2(1 x )本例是求分式有理函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)，先將有理假分式通過多項(xiàng)式除法化為整式與有理真分式之和,再將有理分式寫成部分分式之和，最后仿(xm)(n)的表達(dá)式寫岀所給定的有理函數(shù)的n階導(dǎo)數(shù)。y (x 3) (x 2)(x7x 6x1)y=(x 3)(n)8(x2) 1(n)(x 1) 1

8、(n)(1)n 8 n!(x2) 1 n(1)nn! (x 1) 11)nn!例設(shè)f(x)x e2 xf (x)的圖形。分析函數(shù)1(x 2)n ' (x 1)n 1求f(x)的導(dǎo)函數(shù)f (x)1, x 0的連續(xù)區(qū)間，若間斷，判別類型，并分別作f(x)與f (x)是用分段表達(dá)的函數(shù).0的兩側(cè)：當(dāng)x 0時(shí)，f (x) ex ；當(dāng)x 0時(shí)，f (x) 2x.因此，在x 0處,f(x)的可導(dǎo)情況，需根據(jù)定義來作判斷，求岀導(dǎo)函數(shù)后，再判別它的連續(xù)區(qū)間。解因?yàn)閒 '(0)limx 0f(x) f(0)xlimx 0x2因?yàn)樵谟忠驗(yàn)樗詅 '(0)limx 0f(x) f(0)xlimx 0x 彳e1