類比探究專題

1、類比探究專題例1點(diǎn)，易證(1)如圖1,在等腰直角 ABC和等腰直角 CDE中，CD>BC點(diǎn)C，B, MDL MB MD=MB如圖2，將圖1中的 CDE繞點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)45°，使CDE的斜邊D在同一直線上， M是AE的中CE恰好與 ABC的邊BC垂直,題干中的其他條件不變，則上述結(jié)論是否仍然成立？(2)將圖2中的 ABC繞點(diǎn)C逆時針旋轉(zhuǎn)大于0°且小于45°的角，如圖3所示，請直接寫出你的結(jié)論.圖1D例2如圖1,在 ABC 中，AC BCCF，DF7o120,D在BC邊上。 BDE為等邊三角形，連接 AE ,F為AE中點(diǎn)，連請直接寫出CF、DF的關(guān)系，不必說明理

2、由；若將圖1中的 DBE繞點(diǎn)B順時針旋轉(zhuǎn)90 必說明理由。將圖中的 DBE繞點(diǎn)B順時針旋轉(zhuǎn) 論是否成立？并說明理由。，其它條件不變，請作出相應(yīng)圖形，并直接給出結(jié)論，不(0°v <60°)，其它條件不變，如圖 2,試回答中的結(jié)A例3 (1)操作發(fā)現(xiàn)：如圖1,在矩形ABCD中, E是BC的中點(diǎn)，將 ABE沿AE折疊后得到 AFE點(diǎn)F 在矩形ABCD內(nèi)部，延長 AF交CD于點(diǎn)G猜想線段GF與GC有何數(shù)量關(guān)系？并證明你的結(jié)論.(2)類比探究：ABCD改為平行四邊形，其它條件不變，(1)中的結(jié)論是否仍然成立？請說明如圖2,將(1)中的矩形理由.DG圖1例4已知：如圖所示，直線M

3、A / NB, MAB與NBA的平分線交于點(diǎn)C ,過點(diǎn)C作一條直線I與 兩條直線MA NB分別相交于點(diǎn)D、（1）如圖1所示，當(dāng)直線I與直線 結(jié)論，不用證明；（2）如圖2所示，當(dāng)直線I與直線MA垂直時，猜想線段 AD、BE、AB之間的數(shù)量關(guān)系，請直接寫出MA不垂直且交點(diǎn)D、E都在AB的同側(cè)時，（1）中的結(jié)論是否成 立？如果成立，請證明；如果不成立，請說明理由；（3）當(dāng)直線I與直線MA不垂直且交點(diǎn) D、立，請說明理由；如果不成立，那么線段 寫出它們之間的數(shù)量關(guān)系.AD、E在AB的異側(cè)時，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？如果成BE、AB之間還存在某種數(shù)量關(guān)系嗎？如果存在，請直接丄BC上,/ EDB= 2

4、 / C,BEL DE垂足為E, DE與AB相交于例5在 ABC中,/ A= 90°，點(diǎn)D在線段點(diǎn)F.（1 ）當(dāng)AB= AC時（如圖1）, / EBF=° ； 探究線段BE與FD的數(shù)量關(guān)系，并加以證明；BE（2）當(dāng)AB= kAC時（如圖2）,求FD的值（用含k的式子表示）.例6 如圖1，在Rt ABC中，/ ACB=90 , CD! AB,垂足為 D,點(diǎn)E在AC上, BE交CD于點(diǎn)G, EF丄 BE交AB于點(diǎn)(1)(2)(3)如圖如圖如圖F, AC=mBC CE=nEA( m n為實(shí)數(shù)).試探究線段EF與EG的數(shù)量關(guān)系.2,3,1,m=1, n=1時，求EF與EG的數(shù)量關(guān)系

5、.m=1, n為任意實(shí)數(shù)時，求 m n均為任意實(shí)數(shù)時，求EF與EG的數(shù)量關(guān)系.EF與EG的數(shù)量關(guān)系.圖1BAB例7在等腰直角三角形作 Rt BDE / BDE=90 ,DE與CA的延長線交于點(diǎn)(1) 在圖2中, 請說明理由.(2) 在圖3中,ABC中，/ BAC=90 , AB=AC 直線 MN過點(diǎn)且點(diǎn)D在直線MN上 (不與點(diǎn)A重合).如圖則BD=DP是否成立？如果成立,DE與AC的延長線交于點(diǎn)E圖1P,A且MN/ BC.以點(diǎn)B為一銳角頂點(diǎn)1, DE與AC交于點(diǎn)P,易證：BD=DP請給予證明；如果不成立，BD與DP是否相等？請直接寫出你的結(jié)論，無需證明.P,EAD丄BC于點(diǎn)D,點(diǎn)O是AC邊上一

6、點(diǎn)，連接 BQ交AD于點(diǎn)F,例 8 如圖 1，在 Rt ABC中，/ BAC=90 , OE丄OB交BC于點(diǎn)E(1)求證： ABF COE ；(2)如圖2,0為AC邊中點(diǎn),ACAB2時,0為AC邊中點(diǎn),ACABn時,OF求OE的值；OF請直接寫出0E的值.如圖3,當(dāng)圖1圖2圖3/ ABC玄ADC=90，可以證明:例9如圖1，已知/ MAN=120 , AC平分/ MAN DC=BC AC = AB+AD.(1) 如圖2,把題干中的條件“/ ABC玄ADC=90 ”改為/ ABC+Z ADC=180，其他條件不變，證明結(jié) 論和結(jié)論仍然成立.(2) 如圖3,如果D在AM的反向延長線上，把題干中的條

7、件“/ ABC玄ADC=90 ”改為/ ABC玄ADC其他條件不變，結(jié)論和是否仍然成立？成立，請證明； 不成立，請說明理由.例10如圖，在等邊三角形 點(diǎn)E,過點(diǎn)C作CF/ AB交直線(1) 當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上， 線AB于點(diǎn)M)(2) 當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的延長線上，/ NDB為銳角時，如圖 鈍角時，如圖3,ABC中，點(diǎn)D在直線BC上，連接 AD,作/ ADN=60，直線 DN交射線 AB于 DN于點(diǎn)F./ NDB為銳角時，如圖1，求證：CF+BE=CD (提示：過點(diǎn) F作FM/ BC交射請分別寫出線段 CF, BE的條件下，若/ADC=30，CD之間的數(shù)量關(guān)系，ABC 4J3，貝y bE=2;當(dāng)點(diǎn)

8、D在線段CB的延長線上，/ NDB為 不需要證明.(3)在(2)C例11已知， ABC為等邊三角形，點(diǎn) D為直線BC上一動點(diǎn)(點(diǎn)ADEF 使/ DAF=60,連接 CF.(1) 如圖1,當(dāng)點(diǎn)D在邊BC上時， 求證：/ ADB=/ AFC; 請直接判斷結(jié)論/ AFC=/ ACB+/ DAC是否成立；(2) 如圖2,當(dāng)點(diǎn)D在邊BC的延長線上時，其他條件不變，結(jié)論/ 出/AFC / ACB / DAC之間存在的數(shù)量關(guān)系，并寫出證明過程；(3) 如圖3,當(dāng)點(diǎn)D在邊CB的延長線上時，且點(diǎn) A、F分別在直線 圖形，并直接寫出/ AFC / ACB / DAC之間存在的等量關(guān)系.D不與B C重合).以AD為

9、邊作菱形AFC=Z ACBb/ DAC是否成立？請寫B(tài)C的異側(cè)，其他條件不變，請補(bǔ)全圖2圖3圖1例12 (1)閱讀理解：課外興趣小組活動時，老師提出了如下問題：如圖1,A ABC中，若AB=5, AC=3求BC邊上的中線 AD的取值范圍.小明在組內(nèi)經(jīng)過合作交流，得到了如下的解決方法：延長AD到E,使得DE=AD再連接BE (或?qū)?ACD繞點(diǎn)D逆時針旋轉(zhuǎn)180°得到 EBD，把AB AC、2AD集中在 ABE中，利用三角形的三邊關(guān)系可得2<AE< 81< AD< 4.感悟：解題時，條件中若出現(xiàn)“中點(diǎn)”“中線”字樣，可以考慮構(gòu)造以中點(diǎn)為對稱中心的中心對稱圖形，把分

10、散的已知條件和所求證的結(jié)論集中到同一個三角形中.(2) 問題解決：受到(1)的啟發(fā)，請你證明下面命題：如圖2,在 ABC中, D是BC邊上的中點(diǎn)，DE1 DE DE交AB于點(diǎn)E, DF交AC于點(diǎn)F,連接EF. 求證：BE+CF> EF; 若/ A=90°,探索線段BE、CF、EF之間的等量關(guān)系，并加以證明.(3) 問題拓展：如圖3,在四邊形 ABDC中,/ B+/ C=180° , DB=DC/ BDC=120，以D為頂點(diǎn)作一個 60°角，角的兩 邊分別交AB AC于E、BEEF之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明.F兩點(diǎn)，連接EF,探索線段圖1圖2CF、C圖3例13

11、如果一條直線把一個平面圖形的面積分成相等的兩部分， 條面積等分線.例如，平行四邊形的一條對角線所在的直線就是平行四邊形的一條面積等分線.(1) 三角形的中線、高線、角平分線分別所在的直線一定是三角形的面積等分線的有;(2) 如圖1，梯形ABCD中, AB/ DC如果延長 DC到 E,使CE= AB,連接AE,那么有S梯形abcx Smde.請你給出這個結(jié)論成立的理由，并過點(diǎn)A作出梯形ABCD勺面積等分線(不寫作法，保留作圖痕跡)；(3) 如圖2,四邊形ABCD中, AB與CD不平行，SA ADC> SA ABC過點(diǎn)A能否作出四邊形 ABCD勺面積 等分線？若能，請畫出面積等分線，并給出證

12、明；若不能，說明理由.我們把這條直線稱為這個平面圖形的一圖1圖2閱讀下列材料：問題：如圖1，在四邊形 ABCD中，M是BC邊的中點(diǎn)，且 AMD 小關(guān)系。小雪同學(xué)的思路是：作 B點(diǎn)關(guān)于AM的對稱點(diǎn)E,連接AE、ME、 得到解決。請你參考小雪同學(xué)的思路，探究并解決下列問題：寫出上面問題中 AB + CD與AD之間的大小關(guān)系；90DE，試判斷AB + CD與AD之間的大構(gòu)造全等三角形，經(jīng)過推理使問題如圖2，若將 AMD的度數(shù)改為1證明：AB -BC CD > AD ;2120°，原問題中的其他條件不變,如圖3，若 AMD 135，AB1, BC 2/2，求AD的最大值。1.若屬于類比

13、探究常見的結(jié)構(gòu)類型, 類比探究常見結(jié)構(gòu)：解決類比探究問題的處理思路 調(diào)用結(jié)構(gòu)類比解決.2.若不屬于常見結(jié)構(gòu)類型:中點(diǎn)結(jié)構(gòu)常考慮平行夾中點(diǎn)旋轉(zhuǎn)結(jié)構(gòu)特征：等線段共點(diǎn)平行結(jié)構(gòu)作平行，造相似直角結(jié)構(gòu)“斜直角放正”根據(jù)題干條件，結(jié)合分支條件先解決第一問. 類比解決下一問.如果不能，分析條件變化，尋找 不變特征.結(jié)合所求目標(biāo)，依據(jù)不變特征，大膽猜測、嘗試、驗(yàn)證.借助上面填寫的內(nèi)容，做下面的小題【試題1】如圖1，在等腰直角 ABC和等腰直角 CDE中, CD>BC點(diǎn)C, B, D在同一直線上，M是AE的 中點(diǎn)，易證 MDL MB MDMB45°，使 CDE勺斜邊CE恰好與 ABC的邊BC垂直

14、，題(1) 如圖2,將圖1中的 CDE繞點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)干中的其他條件不變，則上述結(jié)論是否仍然成立？且小于451中的結(jié)論.首先需要證明圖的角，如圖3所示，請直接寫出你的結(jié)論.(2) 將圖2中的 ABC繞點(diǎn)C逆時針旋轉(zhuǎn)大于0°DACNE由M是AE的中點(diǎn)，AB/ DE發(fā)現(xiàn)有 平行夾中點(diǎn) 結(jié)構(gòu),延長BM交DE于點(diǎn)N,可以得到 ABM2AENM 進(jìn)而得至y BM=MNAB=BC=EN DN=DB DBN是等腰直角三角形， MD_ MB MD=MBD(1)圖1和圖2中沒有發(fā)生變化的是 M是AE的中點(diǎn)，AB/ DE.分析AB/CE補(bǔ)全“平行夾中點(diǎn)”的結(jié)構(gòu)，照搬圖1中的證明思 路.延長BM交CE于點(diǎn)

15、N,連接 BD DN能夠得到 ABM2 ENM ,進(jìn)而得到BM=MN進(jìn)一步證明 BCD2A NED可以得 到 DBN是等腰直角三角形，得到結(jié)論 MD_ MB MD=MB(2)圖2和圖3兩個等腰直角三角形沒有變化，M是AE的中點(diǎn)也沒有發(fā)生變化，所以可以照搬(1)中的證明思路.第一步構(gòu)造“平行夾中點(diǎn)”的輔助線，過點(diǎn) E作AB的平行線，交BM的延長線于點(diǎn)N,連接BD DN第二步證明 ABM2A ENM;第三步證明_ DBN是等腰直角三角形_，過程中需要證明/ BCD= / NED請在圖中給出簡要證明；第四步根據(jù) DBN是等腰直角三角形，得到結(jié)論 MDLMB MD=MB【試題2】如圖1,已知/ MAN

16、 120°, AC平分/ MAN / ABC/ ADC90°,可以證明DOBQAC= A&AD(1) 如圖2,把題干中的條件“/ ABC/ ADC90° ”改為/ ABC/ ADC18O°,其他條件不變，證明結(jié)論 和結(jié)論仍然成立.(2) 如圖3,如果D在AM的反向延長線上，把題干中的條件“/ ABC/ ADC90°” 改為/ 立，請說明理由.AB(=/ ADC其他條件不變，結(jié)論和是否仍然成立？成立，請證明；不成1.2.3.角平分線的性質(zhì)得到 DCBC結(jié)論成立，利用含 30°角的直角三角形中AB-AC , AD - AC 證2

17、2明結(jié)論成立.第二問與第一問相比，垂直、直角三角形特征已經(jīng)變化，但化，屬于不變特征，考慮角平分線的性質(zhì)，構(gòu)造與圖1 一致的三角形，添加輔助線證明的路線圖為第一步：第二步：第三步：CD=CB第四步：不變特征/ MAN120°,AC平分/ MAN沒有發(fā)生變輔助線.由題干可知AC和AE, AF的關(guān)系是 CE笑(條件是),得到 ED=FBAC=AE+AF=FB+AD+AF=AD+a論均成立._，沒有發(fā)生變化，照搬上一問的證明思路.第一步：輔助線，第二步：第三步：第四步：由題干可知ac=ae+af結(jié)論成立，結(jié)論變?yōu)椤驹囶}11】在等腰直角三角形 ABC中,/ BAC90°, ABmAC直線MN過點(diǎn)A且MN/ BC以點(diǎn)B為一銳角頂點(diǎn)作 Rt BDE/ BDE9O°, 且點(diǎn)D在直線MN上(不與點(diǎn) A重合)如圖1, de與AC交于點(diǎn)P,易證：B&DP(1) 在圖2中，請說明理由.(2) 在圖3中，de與 CA的延長線交于點(diǎn)de與 AC的延長線交于點(diǎn)E圖1P,P,則BD=DP是否成立？如果成立，請給予證明；如果不成立,BD與 DP是否相等？請直接寫出你的結(jié)論，無需證明.方法一：首先梳理易證的思路,CFD發(fā)現(xiàn)等線段共點(diǎn)，考慮“旋轉(zhuǎn)結(jié)構(gòu)”，可得DFBA dap所以B=DP梳理路線圖：過D作