《點(diǎn)集拓?fù)淞x》學(xué)習(xí)筆記

1、第2章度量空間與連續(xù)映射從數(shù)學(xué)分析中已經(jīng)熟知單變量和多變量的連續(xù)函數(shù)，它們的定義域和值域 都是歐氏空間（直線，平面或空間等等）或是其中的一部分.在這一章中我們首先將連續(xù)函數(shù)的定義域和值域主要特征抽象出來用以定義度量空間，將連續(xù)函數(shù)的主要特征抽象出來用以定義度量空間之間的連續(xù)映射（參見§ 2.1 ）.然后將兩者再度抽象，給出拓?fù)淇臻g和拓?fù)淇臻g之間的連續(xù)映射（參見§ 2.2 ） 隨后再逐步提出拓?fù)淇臻g中的一些基本問題如鄰域，閉包，內(nèi)部, 基，序列等等.邊界，基和子§ 2.1 度量空間與連續(xù)映射本節(jié)重點(diǎn)：掌握拓?fù)鋵W(xué)中度量的概念及度量空間中的連續(xù)映射的概念.注意區(qū)別：數(shù)學(xué)

2、分析中度量、連續(xù)映射的概念與本節(jié)中度量、連續(xù)映射的概念.注意，在本節(jié)的證明中，應(yīng)細(xì)細(xì)體會證明的方法.首先讓我們回憶一下在數(shù)學(xué)分析中學(xué)習(xí)過的連續(xù)函數(shù)的定義.函數(shù)f : FHR稱為在點(diǎn)九 R處是連續(xù)的，如果對于任意實(shí)數(shù)8 >0,存在實(shí)數(shù)S >0,使得對于任何x R,當(dāng)|x-血|< S時,有|f（x）-f（九|）|v 8 .在這個定義中只涉及兩個實(shí)數(shù)之間的距離（即兩個實(shí)數(shù)之差的絕對值）這個概念；為了驗(yàn)證一個函數(shù)在某點(diǎn)處的連續(xù)性往往只要用到關(guān)于上述距離的最基本的性質(zhì)，而與實(shí)數(shù)的其它性質(zhì)無關(guān)，關(guān)于多元函數(shù)的連續(xù)性情形也完全類似.以下，我們從這一考察出發(fā)，抽象出度量和度量空間的概念.資料

3、個人收集整理，勿做商業(yè)用途定義2.1.1設(shè)X是一個集合，P : XX心R如果對于任何x，y，z X，3 / 42(正定性)，p (x,y)0并且p (x,y) = 0當(dāng)且僅當(dāng)x=y;(對稱性)p (x,y)= p (y,x)；(3)(三角不等式)P (x,z) < P (x,y)+p (y,z)則稱如果p是集合X的一個度量.p是集合X的一個度量，稱(X,)是一個度量空間，或稱 X是一一個對于pp早有約定，或者在行文中已作X是一個度量空間.此外，對于任而言的度量空間.有時，或者度量交代，不提它不至于引起混淆，這時我們稱 意兩點(diǎn)x, y X,實(shí)數(shù)p (x , y)稱為從點(diǎn)x到點(diǎn)y的距離.資料

4、個人收集整理，勿做商業(yè)用途著重理解：度量的本質(zhì)是什么?例2.1.1實(shí)數(shù)空間R.對于實(shí)數(shù)集合R,定義p ： RX FHR如下：對于任意x, y R,令 p (x, y) =|x-y| .容易驗(yàn)證p是R的一個度量，因此偶對(R, p )是一個 度量空間.這個度量空間特別地稱為實(shí)數(shù)空間或直線. 這里定義的度量p ,稱為R的通常度量，并且常常略而不提，逕稱 R為實(shí)數(shù)空間.(今后我們說實(shí)數(shù) 空間，均指具有通常度量的實(shí)數(shù)空間.)資料個人收集整理，勿做商業(yè)用途例2.1.2 n維歐氏空間卩.對于實(shí)數(shù)集合R的n重笛卡兒積用=RX RX-XR定義p :用xF-r如下：對于任意x=(九向),P (x，y容易驗(yàn)證（詳

5、見課本本節(jié)最后部分的附錄）P是慮的一個度量，因此偶對（左”，P）是一個度量空間.這個度量空間特別地稱為n維歐氏空間.這里定 義的度量P，稱為卩的通常度量，并且常常略而不提，逕稱 卩為n維歐氏空 間.2維歐氏空間通常稱為歐氏平面或平面.（今后說通常度量，均指滿足這 種公式的度量）資料個人收集整理，勿做商業(yè)用途例 2.1.3 Hilbert 空間 H.記H為平方收斂的所有實(shí)數(shù)序列構(gòu)成的集合，即H= x=(憐 “ )1定義P如下：對于任意x=（Xl內(nèi)】），y）h令。(x,y)=j0 加說明這個定義是合理的（即驗(yàn)證 陽'VX）以及驗(yàn)證P是H的一 個度量，均請參見課本本節(jié)最后部分的附錄.偶對（H

6、, P）是一個度量空間.這個度量空間特別地稱為Hilbert空間.這里定義的度量P稱為H的通常度量, 并且常常略而不提，逕稱 H為Hilbert空間.資料個人收集整理，勿做商業(yè)用途例2.1.4 離散的度量空間.設(shè)（X, P ）是一個度量空間.稱（X, P ）是離散的，或者稱P是X的一個離散度量，如果對于每一個 x X,存在一個實(shí)數(shù)a >0使得P （x, y）>4對于任何 y X, xMy,成立. 資料個人收集整理，勿做商業(yè)用途例如我們假定X是一個集合，定義P : XX XR使得對于任何x, y X,有P (x,y)= I容易驗(yàn)證P是X的一個離散的度量，因此度量空間（X, P ）是離

7、散的.通過這幾個例子，可知，度量也是一種映射，但它的象空間是實(shí)數(shù).離散的度量空間或許是我們以前未曾接觸過的一類空間，但今后會發(fā)現(xiàn)它的性質(zhì)是簡單的.定義2.1.2 設(shè)（X, p）是一個度量空間，x X.對于任意給定的實(shí)數(shù)& > 0,集合y X| p （x, y） <£ 記作B （x, £ ），或 恥），稱為一個以x為中心以£為半徑的球形鄰域，簡稱為x的一個球形鄰域，有時也稱為 x的一個£鄰域.資料個人收集整理，勿做商業(yè)用途此處的球形鄰域是球狀的嗎?定理2.1.1度量空間（X, P ）的球形鄰域具有以下基本性質(zhì):(1)每一點(diǎn)x X,至少有

8、一個球形鄰域，并且點(diǎn)x屬于它的每一個球形鄰域;對于點(diǎn)xX的任意兩個球形鄰域，存在x的一個球形鄰域同時包含于兩者;11 / 42(3)如果yX屬于xX的某一個球形鄰域，則y有一個球形鄰域包含 于x的那個球形鄰域.證明：(1)設(shè)x X.對于每一個實(shí)數(shù) £ > 0, B (x, £)是x的一個球形 鄰域，所以x至少有一個球形鄰域；由于 P (x, x) =0,所以x屬于它的每 個球形鄰域.資料個人收集整理，勿做商業(yè)用途(2)如果B (x，吊和B (x，匂)是xX的兩個球形鄰域，任意選取實(shí)£ >0,使得£ v min環(huán)匂，則易見有匂)即B (x, &

9、#163; )滿足要求.(3)設(shè) y B (x, £P (x, y).顯然.勾>0.如果zB(y, 1),則P (z, x) < P (z, y)(y,x) v 1 + p (y, x) = £所以z B ( x, £ ).這證明B (y, % 匚B (x,定義2.1.3 設(shè)A是度量空間X的一個子集.如果A中的每一個點(diǎn)都有一>0 使得 B( a, £ ) C個球形鄰域包含于A (即對于每一個a A,存在實(shí)數(shù)£A,則稱A是度量空間X中的一個開集.資料個人收集整理，勿做商業(yè)用途注意：此處的開集僅是度量空間的開集.例2.1.5實(shí)數(shù)空

10、間R中的開區(qū)間都是開集.設(shè)a, b R, avb.我們說開區(qū)間(a, b) =x R|av xv b是R中的一個開集.這是因?yàn)槿绻鹸( a, b),若令£ = minx-a , b-x,則有B （x，£）匚（a，b）.也同樣容易證明無限的開區(qū)間(a，x)= x R|x> a， (-， b) =x R|x< b (-S, x)= R都是R中的開集.然而閉區(qū)間a , b=x R|a<x< b卻不是R中的開集.因?yàn)閷τ赼 a , b而言，任何£ >0，B （x， £ ）匚a,b都不成立.類似地，半開半閉的區(qū)間 資料個人收集整理,勿

11、做商業(yè)用途(a, b=x R|avx<b, a , b) = x R|a<x< b無限的閉區(qū)問a，x)=x R|x>a, (-， b=x R|x<b都不是R中的開集.定理2.1.2度量空間X中的開集具有以下性質(zhì):(1)集合X本身和空集0都是開集;(3)任意兩個開集的交是一個開集;任意一個開集族（即由開集構(gòu)成的族）的并是一個開集.證明根據(jù)定理2.1.1(1)X中的每一個元素x都有一個球形鄰域，這個球形鄰域當(dāng)然包含在X中，所以X滿足開集的條件；空集0中不包含任何一個點(diǎn)，也自然地可以認(rèn)為 它滿足開集的條件.資料個人收集整理，勿做商業(yè)用途（2）設(shè)U和V是X中的兩個開集.如

12、果x un V,則存在x的一個球形鄰域B （x, 包含于U,也存在x的一個球形鄰域B （X,匂）包含于V.根據(jù)定理2.1.1（2）, x有一個球形鄰域B （x, £ ）同時包含于B （x, %和B£（X ,2），因此 資料個人收集整理，勿做商業(yè)用途B （x，£）C B （x，l）n B （x，匂）匚 Unv由于unv中的每一點(diǎn)都有一個球形鄰域包含于 un V,因此unv是一個開集.設(shè)* A是一個由X中的開集構(gòu)成的子集族.如果XE U鮎詡，則存在4)*使得x A由于是一個開集，所以x有一個球形鄰域包含于人，顯然這個球形鄰域也包含于蟲.這證明U從啊蟲是X中的一個開集.

13、資料個人收集整理，勿做商業(yè)用途此外，根據(jù)定理2.1.1(3)可見，每一個球形鄰域都是開集.球形鄰域與開集有何聯(lián)系?為了討論問題的方便，我們將球形鄰域的概念稍稍作一點(diǎn)推廣.定義2.1.4 設(shè)x是度量空間X中的一個點(diǎn)，U是X的一個子集.如果存 在一個開集V滿足條件：xV匚U,則稱U是點(diǎn)x的一個鄰域.資料個人收集整理，勿做商業(yè)用途F面這個定理為鄰域的定義提供了一個等價的說法，并且表明從球形鄰域推廣為鄰域是自然的事情.定理2.1.3 設(shè)x是度量空間X中的一個點(diǎn).貝U X的子集U是x的一個鄰域的充分必要條件是x有某一個球形鄰域包含于 U.資料個人收集整理，勿做商業(yè)用途證明 如果U是點(diǎn)x的一個鄰域，根據(jù)鄰

14、域的定義存在開集 V使得X V匚U,又根據(jù)開集的定義，x有一個球形鄰域包含于 V,從而這個球形鄰域也就包含于U.這證明U滿足定理的條件.資料個人收集整理，勿做商業(yè)用途反之，如果U滿足定理中的條件，由于球形鄰域都是開集，因此U是x的鄰域.現(xiàn)在我們把數(shù)學(xué)分析中的連續(xù)函數(shù)的概念推廣為度量空間之間的連續(xù)映射.定義2.1.5設(shè)X和丫是兩個度量空間，f:心Y,以及則X如果對于f（九） 的任何一個球形鄰域B（ fO ）, £ ），存在九的某一個球形鄰域B（XO, S）,使得f（B （血，S） ）UB（f “0）, £），則稱映射在點(diǎn)則處是連續(xù)的.資料個人收集整理，勿做商業(yè)用途如果映射f在

15、X的每一個點(diǎn)xX處連續(xù)，則稱f是一個連續(xù)映射.以上的這個定義是數(shù)學(xué)分析中函數(shù)連續(xù)性定義的純粹形式推廣.因?yàn)槿绻?設(shè)P和向分別是度量空間X和丫中的度量，貝U f在點(diǎn)血處連續(xù)，可以說成:對于任意給定的實(shí)數(shù)£>0,存在實(shí)數(shù)S>0使得對于任何xX只要P （x，Tr叫）V S （即x B （叫,S ）便有資料個人收集整理，勿做商業(yè)用途A(f(x),f( 血)V £ .(即 f(x) B (f(Xo), £F面的這個定理是把度量空間和度量空間之間的連續(xù)映射的概念推廣為拓?fù)淇臻g和拓?fù)淇臻g之間的連續(xù)映射的出發(fā)點(diǎn).資料個人收集整理，勿做商業(yè)用途定理2.1.4 設(shè)X和丫是

16、兩個度量空間，f : X-Y以及則 X.貝U下述條件（1）和（2）分別等價于條件（1） *和（2） * :資料個人收集整理，勿做商業(yè)用途(1)f在點(diǎn)卯I處是連續(xù)的;(1)*f（則）的每一個鄰域的原象是血的一個鄰域;f是連續(xù)的；*Y中的每一個開集的原象是 X中的一個開集.證明條件（1）蘊(yùn)涵（1） * :設(shè)（1）成立.令U為f （血）的一個鄰域.根據(jù)定理2.1.3 , f （血）有一個球形鄰域B （f （九），£ ）包含于U.由于f在點(diǎn)血處是連續(xù)的，所以則有一個球形鄰域S)使得 f (B “0, S)匚 B (f (皿)，£ ).然而，/" (B (f（陽），&

17、; ）匸廠（U）,所以B(Xo,S）匚廣"（U）,這證明（ U）是*0的一個鄰域.資料個人收集整理，勿做商業(yè)用途條件（1） *蘊(yùn)涵（1）.設(shè)條件（1） *成立.任意給定f （則）的一個鄰域 B( f(則)，&則（ B（ f（則），£ ）是“D的一個鄰域.根據(jù)定理2.1.3，X。有一個球形鄰域B（X（）, S）包含于/'（ B （f （X。），£）.資料個人收集整理，勿做商業(yè)用途因此f （B （卯，S ） C B （f （血），£ ）.這證明f在點(diǎn)則處連續(xù).條件（2）蘊(yùn)涵（2） * .設(shè)條件（2）成立.令V為丫中的一個開集，（V）.對于每一

18、個x U,我們有f （x） V.由于V是一個開集，所以V是f （x）的一個鄰域.由于f在每一點(diǎn)處都連續(xù)，故根據(jù)（1） * , U是x的一個鄰域.于是有包含x的某一個開集Ux使得UM U.易見U=U x UUx由于每一個Ux都是開集，根據(jù)定理2.1.2 , U是一個開集.資料個人收集整理，勿做商業(yè)用途條件（2） *蘊(yùn)涵（2）.設(shè)（2） *成立，對于任意x X,設(shè)U是f 一個鄰域，即存在包含f （x）的一個開集V CU.從而x /" （V）匚（X ）的(U).根據(jù)條件（2） * ,7 （V）是一個開集，所以J （U）是x的一個鄰域,對于x而言，條件（1） *成立，于是f在點(diǎn)x處連續(xù).由于

19、點(diǎn)x是任意選取的，所以 f是一個連續(xù)映射.資料個人收集整理，勿做商業(yè)用途從這個定理可以看出：度量空間之間的一個映射是否是連續(xù)的，或者在某一點(diǎn)處是否是連續(xù)的，本質(zhì)上只與度量空間中的開集有關(guān)（注意，鄰域是通過開集定義的）.這就導(dǎo)致我們甩開度量這個概念，參照度量空間中開集的基本 性質(zhì)（定理2.1.2 ）建立拓?fù)淇臻g和拓?fù)淇臻g之間的連續(xù)映射的概念 資料個人收集 整理，勿做商業(yè)用途作業(yè):P47 1.2.34§ 2.2拓?fù)淇臻g與連續(xù)映射本節(jié)重點(diǎn):拓?fù)渑c拓?fù)淇臻g的概念，并在此空間上建立起來的連續(xù)映射的概念 注意區(qū)別:拓?fù)淇臻g的開集與度量空間開集的異同；連續(xù)映射概念的異同現(xiàn)在我們遵循前一節(jié)末尾提到的

20、思路，即從開集及其基本性質(zhì)（定理2.1.2 ）出發(fā)來建立拓?fù)淇臻g的概念.定義2.2.1 設(shè)X是一個集合，T是X的一個子集族.如果 T滿足如下條件:(I ) X, 0 t(2)若 A, B T ，則 An B t（3）若百匚2 5肛T則稱T是X的一個拓?fù)?15 / 42如果T是集合X的一個拓?fù)?，則稱偶對（X, T ）是一個拓?fù)淇臻g，或 稱集合X是一個相對于拓?fù)銽而言的拓?fù)淇臻g；此外T的每一個元素都叫做 拓?fù)淇臻g（X，T ）或（X）中的一個開集.即：A T 0 A是開集.資料個人收集整理，勿做商業(yè)用途（此定義與度量空間的開集的性質(zhì)一樣嗎？留給大家思考）經(jīng)過簡單的歸納立即可見，以上定義中的條件（2）

21、蘊(yùn)涵著：有限多個開資料個人收集集的交仍是開集，條件（3）蘊(yùn)涵著：任意多個開集的并仍是開集.整理，勿做商業(yè)用途現(xiàn)在首先將度量空間納入拓?fù)淇臻g的范疇.定義2.2.2 設(shè)（X, P ）是一個度量空間令 為由X中的所有開集構(gòu) 成的集族.根據(jù)定理 2.1.2 ,（X,益）是X的一個拓?fù)?我們稱綣為X的由度量P誘導(dǎo)出來的拓?fù)?此外我們約定：如果沒有另外的說明，我們提到度量空間（X, P ）的拓?fù)鋾r，指的就是拓?fù)湟妫辉诜Q度量空間（X, P）為拓?fù)淇臻g時，指的就是拓扌卜空間（X，靄）資料個人收集整理，勿做商業(yè)用途因此，實(shí)數(shù)空間R,門維歐氏空間（特別，歐氏平面“），Hilbert 空間H都可以叫做拓?fù)淇臻g，它們

22、各自的拓?fù)浔闶怯衫?.1.1，例 2.1.2和例2.1.3中定義的各自的度量所誘導(dǎo)出來的拓?fù)?資料個人收集整理，勿做商業(yè)用途例2.2.1平庸空間.設(shè)X是一個集合.令T=X, 0.容易驗(yàn)證，T是X的一個拓?fù)洌Q之為X的平庸拓?fù)?；并且我們稱拓?fù)淇臻g（X, T）為一個平庸空間.在平庸空間（X,T）中，有且僅有兩個開集，即 X本身和空集0. 資料個人收集整理，勿做商業(yè)用途例2.2.2 離散空間.設(shè)X是一個集合.令T=P （X）,即由X的所有子集構(gòu)成的族.容易驗(yàn)證,T是X的一個拓?fù)?，稱之為X的離散拓?fù)洌徊⑶椅覀兎Q拓?fù)淇臻g（X, T）為一個離散空間.在離散空間（X, T）中，X的每一個子集都是開集.資料個

23、人收集整理,勿做商業(yè)用途例 2.2.3 設(shè) X=a , b, c.令 T = 0 , a , a , b, a , b, c.容易驗(yàn)證，T是X的一個拓?fù)?，因此（X, T）是一個拓?fù)淇臻g.這個拓?fù)?空間既不是平庸空間又不是離散空間.例2.2.4 有限補(bǔ)空間.設(shè)X是一個集合.首先我們重申：當(dāng)我們考慮的問題中的基礎(chǔ)集自明時，我們并不每次提起.因此在后文中對于X的每一個子集A,它的補(bǔ)集X- A我們寫為月. 令資料個人收集整理，勿做商業(yè)用途T =U UX|'是X的一個有限子集 U0先驗(yàn)證T是X的一個拓?fù)?（1）X T （因?yàn)閄;另外，根據(jù)定義便有0 T.（2）設(shè)A, B T如果A和B之中有一個是

24、空集，則 AG B T,假定A和B 都不是空集.這時（蟲蟲 5是X的一個有限子集，所以An B T .資料個人收集整理，勿做商業(yè)用途如果丁廠0，則U樹,U阿,0訂設(shè)E任意選取人$ .這時2阿曲=C血卅匚血是X 的一個有限子集，所以U山Ji蟲T根據(jù)上述（1）,（2）和（3）, P是X的一個拓?fù)?，稱之為X的有限補(bǔ)拓?fù)?拓?fù)淇臻g（X，P）稱為一個有限補(bǔ)空間.資料個人收集整理，勿做商業(yè)用途例225 可數(shù)補(bǔ)空間.設(shè)X是一個集合.令T =U UX|'是X的一個可數(shù)子集 U0通過與例2.2.4中完全類似的做法容易驗(yàn)證（請讀者自證）T是X的一個 拓?fù)?，稱之為X的可數(shù)補(bǔ)拓?fù)渫負(fù)淇臻g（X, T ）稱為一個

25、可數(shù)補(bǔ)空間.資料個人收集整理，勿做商業(yè)用途一個令人關(guān)心的問題是拓?fù)淇臻g是否真的要比度量空間的范圍更廣一 點(diǎn)？換句話就是問：是否每一個拓?fù)淇臻g的拓?fù)涠伎梢杂赡骋粋€度量誘導(dǎo)出 來?資料個人收集整理，勿做商業(yè)用途定義223 設(shè)（X, P）是一個拓?fù)淇臻g如果存在 X的一個度量p得拓?fù)銹即是由度量P誘導(dǎo)出來的拓?fù)?晶，則稱（X, P）是一個可度量化空間.資料個人收集整理，勿做商業(yè)用途根據(jù)這個定義，前述問題即是：是否每一個拓?fù)淇臻g都是可度量化空間?從§ 2. 1中的習(xí)題2和3可以看出，每一個只含有限個點(diǎn)的度量空間作為拓?fù)淇臻g都是離散空間.然而一個平庸空間如果含有多于一個點(diǎn)的話，它肯定不是 離散空

26、間，因此它不是可度量化的；例2.2.3中給出的那個空間只含有三個點(diǎn)， 但不是離散空間，也不是可度量化的.由此可見， 拓?fù)淇臻g是比可度量空間的 范圍要廣泛.進(jìn)一步的問題是滿足一些什么條件的拓?fù)淇臻g是可度量化的？這是點(diǎn)集拓?fù)鋵W(xué)中的重要問題之一，以后我們將專門討論.資料個人收集整理，勿做商業(yè) 用途現(xiàn)在我們來將度量空間之間的連續(xù)映射的概念推廣為拓?fù)淇臻g之間的連 續(xù)映射.定義2.2.4 設(shè)X和丫是兩個拓?fù)淇臻g，f:X -Y.如果丫中每一個開集 U的原象(U)是X中的一個開集，則稱f是X到丫的一個連續(xù)映射，或簡稱映射f連續(xù).資料個人收集整理，勿做商業(yè)用途按這種方式定義拓?fù)淇臻g之間的連續(xù)映射， 明顯是受到了

27、 § 2. 1中的定理 2.1.4的啟發(fā)并且那個定理也保證了：當(dāng)X和丫是兩個度量空間時，如果f:X -Y是從度量空間X到度量空間丫的一個連續(xù)映射，那么它也是從拓?fù)淇臻gX到拓 撲空間丫的一個連續(xù)映射，反之亦然.(按照約定，涉及的拓?fù)洚?dāng)然都是指誘 導(dǎo)拓扌卜)資料個人收集整理，勿做商業(yè)用途F面的這個定理盡管證明十分容易， 但所指出的卻是連續(xù)映射的最重要的 性質(zhì).定理2.2.1 設(shè)X, Y和Z都是拓?fù)淇臻g.則(1)恒同映射：X-X是一個連續(xù)映射;(2) 如果f:X -Y和g:Y-Z都是連續(xù)映射，則 gof:X -Z也是連續(xù)映射.證明(I )切4嚴(yán)呵所以L連續(xù).(2)設(shè)f:X -Y,g:Y-Z

28、都是連續(xù)映射V壯7U即;嚴(yán)(尹眇)疋7這證明gof連續(xù).在數(shù)學(xué)科學(xué)的許多學(xué)科中都要涉及兩類基本對象. 如在線性代數(shù)中我們考 慮線性空間和線性變換，在群論中我們考慮群和同態(tài)，在集合論中我們考慮集 合和映射，在不同的幾何學(xué)中考慮各自的圖形和各自的變換等等.并且對于后 者都要提出一類來予以重視，例如線性代數(shù)中的(線性)同構(gòu)，群論中的同構(gòu), 集合論中的一一映射，以及初等幾何學(xué)中的剛體運(yùn)動(即平移加旋轉(zhuǎn))等等.資料個人收集整理，勿做商業(yè)用途我們現(xiàn)在已經(jīng)提出了兩類基本對象，即拓?fù)淇臻g和連續(xù)映射.下面將從連續(xù)映射中挑出重要的一類來給予特別的關(guān)注.資料個人收集整理，勿做商業(yè)用途定義2.2.5 設(shè)X和丫是兩個拓

29、撲空間.如果f : X-Y是資料個人收集整并且f和Y-X都是連續(xù)的，則稱f是一個同胚映射或同胚.理，勿做商業(yè)用途定理2.2.2 設(shè)X, 丫和Z都是拓?fù)淇臻g.則(1) 恒同映射: X-X是一個同胚;(2)如果f : X-Y是一個同胚，貝j / I : Y-X也是一個同胚;(3) 如果 f: XY 和 g: YZ 都是同胚，貝j gof : XZ 也是一個同胚. 證明 以下證明中所涉及的根據(jù)，可參見定理2.2.1，定理I . 5. 3和定理 1. 5. 4.(I)是一個一一映射，并且S珂都是連續(xù)的，從而L是同胚.設(shè)f : X-Y是一個同胚.因此f是一個一一映射，并且f和/'都是連續(xù)的.于是

30、J也是一個一一映射并且丿和J 丿也都是連續(xù)的, 所以/ "也是一個同胚.資料個人收集整理，勿做商業(yè)用途(3) 設(shè)f : XY和g： YZ都是同胚.因此f和g都是一一映射，并且f，7-1-1J ， g和g都是連續(xù)的.因此gof也是一一映射，并且gof和'都是連續(xù)的.所以gof是一個同胚.資料個人收集整理，勿做商業(yè)用定義2.2.6 設(shè)X和丫是兩個拓?fù)淇臻g.如果存在一個同胚f :心丫，則 稱拓?fù)淇臻gX與拓?fù)淇臻g丫是同胚的，或稱X與丫同胚，或稱X同胚于Y資料個人收集整理，勿做商業(yè)用途粗略地說，同胚的兩個空間實(shí)際上便是兩個具有相同拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的空間.定理2.2.3 設(shè)X, 丫和Z都是拓?fù)淇?/p>

31、間.則(1)X與X同胚;19 / 42如來X與丫同胚，貝U 丫與X同胚;(3)如果X與丫同胚，丫與Z同胚，貝U X與Z同胚.證明從定理2.2.2直接得到.根據(jù)定理2.2.3，我們可以說：在任意給定的一個由拓?fù)淇臻g組成的族中,兩個拓?fù)淇臻g是否同胚這一關(guān)系是一個等價關(guān)系.因而同胚關(guān)系將這個拓?fù)淇?間族分為互不相交的等價類，使得屬于同一類的拓?fù)淇臻g彼此同胚，屬于不同 類的拓?fù)淇臻g彼此不同胚. 資料個人收集整理，勿做商業(yè)用途拓?fù)淇臻g的某種性質(zhì)P,如果為某一個拓?fù)淇臻g所具有，則必為與其同胚 的任何一個拓?fù)淇臻g所具有，則稱此性質(zhì) P是一個I拓?fù)洳蛔冃再|(zhì)I.換言之，拓?fù)洳蛔冃再|(zhì)即為同胚的拓?fù)淇臻g所共有的性質(zhì)

32、.資料個人收集整理，勿做商業(yè)用途拓?fù)鋵W(xué)的中心任務(wù)便是研究拓?fù)洳蛔冃再|(zhì).至此我們已經(jīng)做完了將數(shù)學(xué)分析中我們熟知的歐氏空間和歐氏空間之間 的連續(xù)函數(shù)的概念，經(jīng)由度量空間和度量空間之間的連續(xù)映射，一直抽象為拓?fù)淇臻g和拓?fù)淇臻g之間的連續(xù)映射這樣一個在數(shù)學(xué)的歷史上經(jīng)過了很長的一段時期才完成的工作.在數(shù)學(xué)的發(fā)展過程中對所研究的問題不斷地加以抽象這種做法是屢見不鮮的，但每一次的抽象都是把握住舊的研究對象（或其中的某一個方面）的精粹而進(jìn)行的一次提升，是一個去粗取精的過程.也正因?yàn)槿绱? 新的概念和理論往往有更多的包容.資料個人收集整理，勿做商業(yè)用途拓?fù)鋵W(xué)無疑也是如此，一方面它使我們對“空間”和“連續(xù)”有更為純

33、正 的認(rèn)識，另一方面也包含了無法列入以往的理論中的新的研究對象（特別是許多無法作為度量空間處理的映射空間）.這一切讀者在學(xué)習(xí)的過程中必然會不斷地加深體會.資料個人收集整理，勿做商業(yè)用途作業(yè):P55 2,5,6,8,9,10§ 2.3 鄰域與鄰域系本節(jié)重點(diǎn):掌握鄰域的概念及鄰域的性質(zhì);掌握連續(xù)映射的兩種定義；掌握證明開集與鄰域的證明方法（今后證明開集常用定理2.3.1 ）.我們在數(shù)學(xué)分析中定義映射的連續(xù)性是從“局部”到“整體”的，也就是說先定義映射在某一點(diǎn)處的連續(xù)性，然后再定義這個映射本身的連續(xù)性.然而對于拓?fù)淇臻g的映射而言，先定義映射本身的連續(xù)性更為方便，所以我們先在中做好了；現(xiàn)在輪

34、到給出映射在某一點(diǎn)處的連續(xù)性的定義了.在定理§ 2.22.1.4中我們已經(jīng)發(fā)現(xiàn)，為此只要有一個適當(dāng)?shù)姆Q之為“鄰域”的概念，而在§ 2.1中定義度量空間的鄰域時又只用到“開集”.因此我們先在拓?fù)淇臻g中x建立鄰域的概念然后再給出映射在某一點(diǎn)處的連續(xù)性的概念，這些概念的給出一點(diǎn)也不會使我們感到突然.資料個人收集整理，勿做商業(yè)用途定義2.3.1設(shè)（X, P）是一個拓?fù)淇臻g，x X.如果U是X的一個子集,滿足條件：存在一個開集V P使得xV U,則稱U是點(diǎn)x的一個鄰域.點(diǎn)的所有鄰域構(gòu)成的x的子集族稱為點(diǎn)x的鄰域系.易見，如果U是包含著點(diǎn) 的一個開集，那么它一定是x的一個鄰域，于是我們

35、稱U是點(diǎn)x的一個開鄰域.料個人收集整理，勿做商業(yè)用途首先注意，當(dāng)我們把一個度量空間看作拓?fù)淇臻g時（這時，空間的拓?fù)涫怯啥攘空T導(dǎo)出來的拓?fù)洌?，一個集合是否是某一個點(diǎn)的鄰域，無論是按§2.1中的定義或者是按這里的定義，都是一回事.資料個人收集整理，勿做商業(yè)用途定理2.3.1拓?fù)淇臻gX的一個子集U是開集的充分必要條件是U是它的 每一點(diǎn)的鄰域，即只要x U, U便是x的一個鄰域.資料個人收集整理，勿做商業(yè)用途證明 定理中條件的必要性是明顯的.以下證明充分性.如果U是空集0, 當(dāng)然U是一個開集.下設(shè)UM 0 .根據(jù)定理中的條件，資料個人收集整理，勿做商業(yè)用途Vx e E m你使得XE匕匚m =

36、 Um W匸UMuU故uJ" E，根據(jù)拓?fù)涞亩x，U是一個開集.定理2.3.2概括了鄰域系的基本性質(zhì).定理2.3.2設(shè)X是一個拓?fù)淇臻g.記"x為點(diǎn)xX的鄰域系.貝對于任何X X，；并且如果U，貝U X U;如果 U, V 4，貝U Un V S ;如果U S并且U匚V,貝U V 4 ；(1)(2)(3)（4）如果U S，貝U存在V 4滿足條件：（a）V匚U和（b）對于任何y V,有 V S .證明（1） VxEX,X P X S , 且由定義,如果U 4，貝U xU（2）設(shè)U, V 4 .則存在U. “0 P和% P使得XEUq匚"和匚卩成立.從而我們有 ZWUU

37、 叫叫E T, Un V 久設(shè)U S ,并且C你：36eTmeUq匚叮XE6 C幾：Z（4）設(shè)U / .令V P滿足條件XEF匚y . V已經(jīng)滿足條件（a）,根據(jù)定理2.3.1 ,它也滿足條件（b）.以下定理表明，我們完全可以從鄰域系的概念出發(fā)來建立拓?fù)淇臻g理論, 這種做法在點(diǎn)集拓?fù)浒l(fā)展的早期常被采用這種做法也許顯得自然一點(diǎn)，但不如現(xiàn)在流行的從開集概念出發(fā)定義拓?fù)鋪淼煤啙?資料個人收集整理，勿做商業(yè)用途定理233 設(shè)X是一個集合又設(shè)對于每一點(diǎn) xX指定了 x的一個子集族® ,并且它們滿足定理2.3.2中的條件（1）（4）.則x有惟一的一 個拓?fù)銽使得對于每一點(diǎn)x X,子集族"

38、;y恰是點(diǎn)x在拓?fù)淇臻g（X, P）中的鄰域系.（證明略）資料個人收集整理，勿做商業(yè)用途現(xiàn)在我們來將度量空間之間的連續(xù)映射在一點(diǎn)處的連續(xù)性的概念推廣到 拓?fù)淇臻g之間的映射中去.定義2.3.2 設(shè)X和丫是兩個拓?fù)淇臻g，f:X -Y, x X.如果f （x） Y的每一個鄰域U的原象（U是xX的一個鄰域，則稱映射f23 / 42業(yè)用途與連續(xù)映射的情形一樣,按這種方式定義拓?fù)淇臻g之間的映射在某一點(diǎn)處的連續(xù)性也明顯地是受到了§2.1中的定理2.1.4的啟發(fā).并且該定理也保證是一個在點(diǎn)x處連續(xù)的映射,或簡稱映射f在點(diǎn)x處連續(xù).資料個人收集整理，勿做商了：當(dāng)X和丫是兩個度量空間時，如果f: XY是從

39、度量空間X到度量空間丫的一個映射，它在某一點(diǎn)xX處連續(xù)，那么它也是從拓?fù)淇臻gX到拓?fù)淇臻g丫 的一個在點(diǎn)x處連續(xù)的映射；反之亦然.資料個人收集整理，勿做商業(yè)用途這里我們也有與定理2.2.1類似的定理.定理2.3.4 設(shè)X, 丫和Z都是拓?fù)淇臻g.則(1)恒同映射: XX在每一點(diǎn)xX處連續(xù);(2)如果f : X-Y在點(diǎn)xX處連續(xù)，g: Y-Z在點(diǎn)f (X)處連續(xù)，則 gof : X-Z在x處連續(xù).證明請讀者自己補(bǔ)上.以下定理則建立了“局部的”連續(xù)性概念和“整體的”連續(xù)性概念之間 的聯(lián)系.定理2.3.5 設(shè)X和丫是兩個拓?fù)淇臻g，f :心丫貝U映射f連續(xù)當(dāng)且僅當(dāng)對于每一點(diǎn)x X,映射f 在點(diǎn)x處連續(xù).資

40、料個人收集整理，勿做商業(yè)用途 證明必要性：設(shè)映射f連續(xù)，yy E 5惱3 卩已 丁2 /(孟)巨 7 匸xE匚 fS、這證明f在點(diǎn)X處連續(xù).充分性：設(shè)對于每一點(diǎn)x X,映射f在點(diǎn)x處連續(xù).這就證明了 f連續(xù).作業(yè):掌握證明一個子集是鄰域的方法，掌握證明一個映射是否連續(xù)的方法.§ 2.4 導(dǎo)集，閉集，閉包本節(jié)重點(diǎn):熟練掌握凝聚點(diǎn)、導(dǎo)集、閉集、閉包的概念;區(qū)別一個點(diǎn)屬于導(dǎo)集或閉包的概念上的不同;掌握一個點(diǎn)屬于導(dǎo)集或閉集或閉包的充要條件;掌握用“閉集”敘述的連續(xù)映射的充要條件.如果在一個拓?fù)淇臻g中給定了一個子集， 那么拓?fù)淇臻g中的每一個點(diǎn)相對于這個子集而言“處境”各自不同，因此可以對它們進(jìn)

41、行分類處理.資料個人收集 整理，勿做商業(yè)用途定義2.4.1 設(shè)X是一個拓?fù)淇臻g，AUX.如果點(diǎn)xX的每一個鄰域U 中都有A中異于x的點(diǎn)，即Un(A-x)工0，則稱點(diǎn)x是集合A的一個凝聚 點(diǎn)或極限點(diǎn).集合A的所有凝聚點(diǎn)構(gòu)成的集合稱為 A的導(dǎo)集，記作d (A).如 果X A并且x不是A的凝聚點(diǎn)，即存在x的一個鄰域U使得Un (A-x ) =(3 貝U稱x為A的一個孤立點(diǎn).資料個人收集整理，勿做商業(yè)用途即：(牢記)xed(A)(上-x)H0在上述定義之中，凝聚點(diǎn)、導(dǎo)集、以及孤立點(diǎn)的定義無一例外地都依賴于 它所在的拓?fù)淇臻g的那個給定的拓?fù)湟虼?，?dāng)你在討論問題時涉及了多個拓 撲而又談到某個凝聚點(diǎn)時，你必

42、須明確你所談的凝聚點(diǎn)是相對于哪個拓?fù)涠?言，不容許產(chǎn)生任何混淆.由于我們將要定義的許多概念絕大多數(shù)都是依賴于 給定拓?fù)涞模虼祟愃朴谶@里談到的問題今后幾乎時時都會發(fā)生，我們不每次者M(jìn)乍類似的注釋，而請讀者自己留心.資料個人收集整理，勿做商業(yè)用途某些讀者可能已經(jīng)在諸如歐氏空間中接觸過剛剛定義的這些概念，但絕不資料個人要以為對歐氏空間有效的性質(zhì)，例如歐氏空間中凝聚點(diǎn)的性質(zhì)，對一般的拓?fù)?空間都有效.以下兩個例子可以幫助讀者澄清某些不正確的潛在印象.收集整理，勿做商業(yè)用途例241 離散空間中集合的凝聚點(diǎn)和導(dǎo)集.設(shè)X是一個離散空間，A是X中的一個任意子集.由于 X中的每一個單點(diǎn)集都是開集，因此如果xX

43、 ,則X有一個鄰域X，使得 "門(蟲-仞戸0二兔敘(4),以上論證說明，集合A沒有任何一個凝聚點(diǎn), 從而A的導(dǎo)集是空集，即d (A)0. 資料個人收集整理，勿做商業(yè)用途例2.4.2平庸空間中集合的凝聚點(diǎn)和導(dǎo)集.設(shè)X是一個平庸空間，A是X中的一個任意子集.我們分三種情形討論:第1種情形：A=0 .這時A顯然沒有任何一個凝聚點(diǎn)，亦即d (A) =0 .(可以參見定理2.4.1中第(I )條的證明.)資料個人收集整理，勿做商業(yè)用途第2種情形：A是一個單點(diǎn)集，令A(yù) 則如果x X,，點(diǎn)X只有 惟一的一個鄰域X，這時心乂門(蟲-")，所以因此X 是A的一個凝聚點(diǎn)，即xd ( A).然而

44、對于X。的惟一鄰域X有: 肋少對)也：和饞)所以第3種情形：A包含點(diǎn)多于一個.請讀者自己證明這時 X中的每一個點(diǎn)都是A的凝聚點(diǎn)，即d（ A）= X.定理2.4.1設(shè)X是一個拓?fù)淇臻g，AUX.則(I )A匚B蘊(yùn)涵d (A)匚d ( B);d (AU B)= d (A)U d ( B);(4)d (d (A) C AU d (A).證明 （1）由于對于任何一點(diǎn)xX和點(diǎn)x的任何一個鄰域U,有 un(0-W) = 0.'x«；J(0) = 0設(shè)A匚B.如果X罰譏E ；5（心忙0；./n(5-x)0；,xeaf(5)這證明了 d (A) Cd (b).(3) 根據(jù)(2),因?yàn)?A, B

45、匚 AU B,所以有 d (A) , d (B)匚d (AU B),從而d （A）U d （ B）匚d （AU B）.資料個人收集整理，勿做商業(yè)用途另一方面，如果卜丸®l3UeU,3UnA-(xi) = Qe5 卩廠.3->) = 0才m Q c (/ u 0 - 0) = D c (乂-)u 3 - 對)=(Dc刀- 對)cCf/nC-對)n(B - 對)=0,DrAjB - x) = 0 nn綜上所述，可見（3）成立.（這是證明一個集合包含于另一個集合的另 方法：要證丄匸月，只要證yxgBnxg即可.）(4) 設(shè): yyeU.yeT 9Pu?7=>PcM-W) = 0

46、丁不年£=>fc/ = 0 =>心迪)=0二"(日(&-)=0即(4)二忑毎 d(dCj4)二 d(dA) U 乂 udG4)成立.定義2.4.2 設(shè)X是一個拓?fù)淇臻g，A匚X.如果A的每一個凝聚點(diǎn)都屬于A,即d (A)匚A,則稱A是拓?fù)淇臻gX中的一個閉集.資料個人收集整理，勿做商業(yè)用例如，根據(jù)例241和例2.4.2中的討論可見，離散空間中的任何一個子 集都是閉集，而平庸空間中的任何一個非空的真子集都不是閉集.資料個人收集整 理，勿做商業(yè)用途定理2.4.2設(shè)X是一個拓?fù)淇臻g，AUX.則A是一個閉集，當(dāng)且僅當(dāng) A的補(bǔ)集片是一個開集.證明 必要性：設(shè)A是一個閉

47、集：.xd(A),3UeU3Un(A-x) = 0充分性：設(shè)：:占 Pl (j1 - x) = 0 => X 吃 d ：/(/) u上即A是一個閉集.例243 實(shí)數(shù)空間R中作為閉集的區(qū)間.設(shè)a, b R, avb.閉區(qū)間a , b是實(shí)數(shù)空間R中的一個閉集，因?yàn)閍 ,b的補(bǔ)集r=（ -oo, a）n（ b, o）是一個開集. 資料個人收集整理，勿做商業(yè)用途同理，（-o, a , b ,o）都是閉集，（-o,o）= R顯然更是一個閉 集然而開區(qū)間（a, b）卻不是閉集，因?yàn)閍是（a, b）的一個凝聚點(diǎn)，但a毎（a, b）.同理區(qū)間（a, b , a , b）, （-o, &）和（b,

48、o）都不是閉集.資料個人收集整理，勿做商業(yè)用途定理243 設(shè)X是一個拓?fù)淇臻g.記F為所有閉集構(gòu)成的族.則:(1) X, 0 F(2) 如果 A, B F,則 AUBE F(從而如果缶妁"人e F/ 21二£ U4 U.屮e F) （3）如果0工耳匚在此定理的第（3）條中，我們特別要求0工久的原因在于當(dāng)0=Fi時所涉及的交運(yùn)算沒有定義.證明 根據(jù)定理2.4.2，我們有T=M|U F其中，T為X的拓?fù)?(i) vX, 0 T,.0 = F,乂 =(2) 若 AB F蟲:孑E T戶蟲S孑E T/匕5 =屮U B "=（占o(jì)BH（3）令：7； = 才匸衛(wèi)嗎蟲七乃 二 n嗎

49、 / W n 金""H（U 朋"丁 E F 定理證明完成.總結(jié)：(1)有限個開集的交是開集，任意個開集的并是開集.其余情形定.(2) 有限個閉集的并是閉集，任意個閉集的交是閉集.其余情形不一定.定義2.4.3 設(shè)X是一個拓?fù)淇臻g，ACX,集合A與A的導(dǎo)集d(A)的并AU d(A)稱為集合A的閉包,記作乂或乂資料個人收集整理，勿做商業(yè)用途容易看出人九"0 (注意:與x d(A)的區(qū)別)定理2.4.4拓?fù)淇臻gX的子集A是閉集的充要條件是A=證明：定理成立是因?yàn)椋杭螦為閉集當(dāng)且僅當(dāng)d(A)匚A而這又當(dāng)且僅當(dāng)A=AJ d(A)定理2.4.5 設(shè)X是一個拓?fù)淇臻g

50、,則對于任意A,B X,有:(1)0 - 0; / C A;(3)IU5-.4u 嗣d II證明(1)成立是由于0是閉集(2)成立是根據(jù)閉包的定義.(3) 成立是因?yàn)?4) 成立是因?yàn)榈髐d(/)=AU d (A)U d (d (A) =AU d (A) =A在第（3）條和第（4）條的證明過程中我們分別用到了定理 2.4.1中的第（3）條和第（4）條.定理246 拓?fù)淇臻gX的任何一個子集A的閉包刁都是閉集.證明根據(jù)定理2.4.4和定理2.4.5 （4）直接推得.定理2.4.7 設(shè)X是一個拓?fù)淇臻g，F(xiàn)是由空間X中所有的閉某構(gòu)成的族, 則對于X的每一個子集A,有即集合A的閉包等于包含A的所有閉集之

51、交.證明 因?yàn)锳包含于 仏心 0，而后者是一個閉集，由定理 2.4.5(4)與定理 2.4.4有刁C n氏FZ B另一方面，由于刁是一個閉集，并且AcA，所以仏jgBcA（ “交”包含于形成交的任一個成員）綜合這兩個包含關(guān)系，即得所求證的等式.由定理2.4.7可見，X是一個包含著A的閉集，它又包含于任何一個包含A的閉集之中，在這種意義下我們說：一個集合的閉包乃是包含著這個集合的最小的閉集.資料個人收集整理，勿做商業(yè)用途在度量空間中，集合的凝聚點(diǎn)，導(dǎo)集和閉包都可以通過度量來刻畫.定義2.4.5設(shè)（X，P ） 個度量空間.X中的點(diǎn)x到X的非空子集A的 距離P （x，A）定義為p (X, A)= i

52、nf p (X, y) |y A根據(jù)下確界的性質(zhì)以及鄰域的定義易見：p (X, A)= 0當(dāng)且僅當(dāng)對于任意實(shí)數(shù)£ >0,存在yA使得p (X, y)< c，換言之即是：對于任意B (x, £)有B(X, £)n A0,而這又等價于：對于X的任何一個鄰域U有un A0 , 應(yīng)用以上討論立即得至U.資料個人收集整理，勿做商業(yè)用途定理249 設(shè)A是度量空間(X,p)中的一個非空子集.則(1) x d ( A)當(dāng)且僅當(dāng) p (X, A-x ) =0;(2) x刁當(dāng)且僅當(dāng)p (X, A)= 0.以下定理既為連續(xù)映射提供了等價的定義,也為驗(yàn)證映射的連續(xù)性提供了41

53、 / 42另外的手段.定理2410 設(shè)X和丫是兩個拓?fù)淇臻g,f:X T丫則以下條件等價:f是一個連續(xù)映射;丫中的任何一個閉集B的原象廣'(B)是一個閉集;(3)對于X中的任何一個子集A, A的閉包的象包含于A的象的閉包，即 對于丫中的任何一個子集B, B的閉包的原象包含B的原象的閉包, 即證明 (1)蘊(yùn)涵(2).設(shè)BUY是一個閉集.則 E是一個開集，因此根據(jù)( 1), /"(為珂廠(冊是X中的一個開集，因此/ '(B)是X中的一個閉集.資料個人收集整理，勿做商業(yè)用途蘊(yùn)涵(3)設(shè)ACX.由于(A) 匚麗n肚嚴(yán)麗認(rèn),根據(jù)（2）,廠麗丘恥廣麗 n/匚麗 成立. 蘊(yùn)涵 設(shè)A匚

54、丫集合/'（B）匚X應(yīng)用（3）即得/cr価）C 7U弋）廣誦D廠（4）蘊(yùn)涵（I）.設(shè)U是丫中的一個開集.則是丫中的一個閉集.對此集合應(yīng)用（4）可見:廠（巧 珂廣3廠Q疋鳥總結(jié)一下，到目前為止，證明映射連續(xù)的方法有幾種？證明一個子集是開集， 閉集的方法有幾種？如何證明一個點(diǎn)是某個子集的凝聚點(diǎn) ？資料個人收集整理，勿做商業(yè)用途作業(yè):P69 1 . 2§ 2.6基與子基本節(jié)重點(diǎn):掌握基與子基的概念，點(diǎn)的鄰域與基之間的關(guān)系;掌握基、子基與開集的關(guān)系;掌握如何用基表示開集.在討論度量空間的拓?fù)涞臅r候，球形鄰域起著基本性的重要作用.一方面, 每一個球形鄰域都是開集，從而任意多個球形鄰域的并也是開集；另一方面, 假設(shè)U是度量空間X中的一個開集.則對于每一個xU有一個球形鄰域B（ x,£）匚U,因此匕7屏2 .這就是說，一個集合是某度量空間中的一個 開集當(dāng)且僅當(dāng)它是這個度量空間中的若干個球形鄰域的并.因此我們可以說, 度量空間的拓?fù)涫怯伤乃械那蛐梧徲蛲ㄟ^集族求并這一運(yùn)算“產(chǎn)生”出 來的.留意了這個事實(shí)，下面在拓?fù)淇臻g中提出“基”這個概念就不會感到突 然了.資料個人收集整理，勿做商業(yè)用途定義261 設(shè)（X，T）是一個拓?fù)淇臻g，B是T的