3：14高斯定理38405

1、logo 第一章第一章 靜電場(chǎng)的基本規(guī)律靜電場(chǎng)的基本規(guī)律 主講教師：劉曉旭electromagnetics 1. 電場(chǎng)強(qiáng)度通量電場(chǎng)強(qiáng)度通量(electric flux) 均勻電場(chǎng)中穿過(guò)與電場(chǎng)垂直的平面均勻電場(chǎng)中穿過(guò)與電場(chǎng)垂直的平面s s的電場(chǎng)線的電場(chǎng)線總數(shù)，稱(chēng)為通過(guò)該平面的電場(chǎng)強(qiáng)度通量。總數(shù)，稱(chēng)為通過(guò)該平面的電場(chǎng)強(qiáng)度通量。 將曲面分割為無(wú)限多個(gè)面將曲面分割為無(wú)限多個(gè)面元，稱(chēng)為元，稱(chēng)為面積元矢量面積元矢量dsnssdd則電場(chǎng)穿過(guò)該面元的電通量為則電場(chǎng)穿過(guò)該面元的電通量為sedde電場(chǎng)穿過(guò)某曲面的電通量為電場(chǎng)穿過(guò)某曲面的電通量為sesed1-4 1-4 高斯定理高斯定理see均勻n 不閉合曲面：不

2、閉合曲面： 閉合曲面：閉合曲面： 面元的法向單位矢量可面元的法向單位矢量可有兩種相反取向，電通量可有兩種相反取向，電通量可正也可負(fù)；正也可負(fù)； 規(guī)定面元的法向單位規(guī)定面元的法向單位矢量取向矢量取向外為正外為正。 電場(chǎng)線穿出，電通量電場(chǎng)線穿出，電通量為正，反之則為負(fù)。為正，反之則為負(fù)。nnnn 電場(chǎng)強(qiáng)度通量電場(chǎng)強(qiáng)度通量sesed從方法論上認(rèn)識(shí)電場(chǎng)線的意義從方法論上認(rèn)識(shí)電場(chǎng)線的意義牛牛 頓：頓： 空間是盛放質(zhì)點(diǎn)的容器空間是盛放質(zhì)點(diǎn)的容器. . 法拉第：法拉第： 空間貫穿著力線，在空間尋找力的載體，空間貫穿著力線，在空間尋找力的載體， 各種自然力統(tǒng)一的物質(zhì)基礎(chǔ)各種自然力統(tǒng)一的物質(zhì)基礎(chǔ) 場(chǎng)場(chǎng)麥克斯韋：

3、總結(jié)出法拉第力線描述的數(shù)學(xué)形式。麥克斯韋：總結(jié)出法拉第力線描述的數(shù)學(xué)形式。 建立嚴(yán)密的電磁場(chǎng)方程。建立嚴(yán)密的電磁場(chǎng)方程。+q例：例：sedsesrqd4s2022044rrq0q1.1 1.1 當(dāng)點(diǎn)電荷在球心時(shí)當(dāng)點(diǎn)電荷在球心時(shí)sder高斯定理高斯定理高斯高斯srd4103srq+q1.2 任一閉合曲面任一閉合曲面s包圍該電荷包圍該電荷 在閉合曲面上任取一面積元在閉合曲面上任取一面積元ds，通過(guò)面元的電場(chǎng)強(qiáng)度通量通過(guò)面元的電場(chǎng)強(qiáng)度通量rs s例：例：seddesrd420rrqsrqdcos204204rsdqsde高斯定理高斯定理cosddss 是是d ds s在在垂直于電場(chǎng)方向的投影。垂直于

4、電場(chǎng)方向的投影。s ssde+1.2 任一閉合曲面任一閉合曲面s包圍該電荷包圍該電荷ds對(duì)電荷所在點(diǎn)的立體角為對(duì)電荷所在點(diǎn)的立體角為d2drsd d4d0qe seqd40440 q0q q204rsdqdedsds是是d ds s在在垂直于電場(chǎng)方向的投影垂直于電場(chǎng)方向的投影。例：例：1.3 閉合曲面閉合曲面s不包圍該電荷不包圍該電荷sde+d1s2s閉合曲面可分成兩部分閉合曲面可分成兩部分s1、s2，它們對(duì)點(diǎn)電它們對(duì)點(diǎn)電荷張的立體角絕對(duì)值相等而符號(hào)相反。荷張的立體角絕對(duì)值相等而符號(hào)相反。 seqd400 高斯定理高斯定理例：例：1.4 閉合曲面閉合曲面s包圍多個(gè)電荷包圍多個(gè)電荷q1-qk，同

5、時(shí)面外也有多個(gè)電荷同時(shí)面外也有多個(gè)電荷qk+1-qn由電場(chǎng)疊加原理由電場(chǎng)疊加原理 iiee nkinkiiee11sedse nkisikisisese11dd0 內(nèi)siq高斯定理高斯定理+q1s ssdeq2+qk+qk1+qk2+qnsedse例題小結(jié)：例題小結(jié)：1.1 1.1 當(dāng)點(diǎn)電荷在球心時(shí)當(dāng)點(diǎn)電荷在球心時(shí)1.2 1.2 任一閉合曲面任一閉合曲面s s包圍該電荷包圍該電荷sedse1.3 1.3 閉合曲面閉合曲面s s不包圍該電荷不包圍該電荷0qsedse0 1.4 1.4 閉合曲面閉合曲面s s包圍多個(gè)電荷包圍多個(gè)電荷q q1 1- -q qk k，同時(shí)面外也有多同時(shí)面外也有多個(gè)電荷

6、個(gè)電荷q qk+1k+1- -q qn n0 內(nèi)siqsedse高斯定理高斯定理0qvsesedq1d0 內(nèi)siseqse01d 在真空中，靜電場(chǎng)通過(guò)任意閉合曲面的電通在真空中，靜電場(chǎng)通過(guò)任意閉合曲面的電通量，等于面內(nèi)所包圍的自由電荷代數(shù)和除以真空量，等于面內(nèi)所包圍的自由電荷代數(shù)和除以真空介電常數(shù)。介電常數(shù)。連續(xù)分布帶電體連續(xù)分布帶電體高斯定理高斯定理2.高斯定理高斯定理關(guān)于高斯定理的討論：關(guān)于高斯定理的討論：1.1.式中各項(xiàng)的含義式中各項(xiàng)的含義高斯面，高斯面，封閉曲面封閉曲面 :s 真空電容率真空電容率:0內(nèi)的內(nèi)的凈凈電荷電荷sq ：內(nèi)通過(guò)通過(guò)s s的電通量，的電通量， 只有只有s s內(nèi)電荷

7、有貢獻(xiàn)內(nèi)電荷有貢獻(xiàn) :es 上上各點(diǎn)的總場(chǎng)，各點(diǎn)的總場(chǎng)， 內(nèi)外所有電荷均有貢獻(xiàn)內(nèi)外所有電荷均有貢獻(xiàn). .s:es 內(nèi)siseqse01d雖然電通量只與高斯面內(nèi)電荷有關(guān)，但是雖然電通量只與高斯面內(nèi)電荷有關(guān)，但是面上電場(chǎng)卻與面內(nèi)、面外電荷都有關(guān)。面上電場(chǎng)卻與面內(nèi)、面外電荷都有關(guān)。注意：注意：2. 2. 揭示了靜電場(chǎng)中揭示了靜電場(chǎng)中“場(chǎng)場(chǎng)”和和“源源”的關(guān)系的關(guān)系電場(chǎng)線有頭有尾電場(chǎng)線有頭有尾 :q:q發(fā)出發(fā)出 條電場(chǎng)線，是電場(chǎng)線的條電場(chǎng)線，是電場(chǎng)線的“頭頭” ” 吸收吸收 條電場(chǎng)線，是電場(chǎng)線的條電場(chǎng)線，是電場(chǎng)線的“尾尾” ” 0q0q“頭頭”、 “尾尾” ” “源源”靜電場(chǎng)的重要性質(zhì)靜電場(chǎng)的重要性質(zhì)

8、 靜電場(chǎng)是靜電場(chǎng)是有源場(chǎng)有源場(chǎng)3.3.利用高斯定理可方便求解具有某些對(duì)稱(chēng)分布的靜電場(chǎng)利用高斯定理可方便求解具有某些對(duì)稱(chēng)分布的靜電場(chǎng)成立條件：成立條件：靜電場(chǎng)靜電場(chǎng) 求解條件：求解條件：電場(chǎng)分布具有某些對(duì)稱(chēng)性電場(chǎng)分布具有某些對(duì)稱(chēng)性才能找到恰當(dāng)?shù)母咚姑?，使才能找到恰?dāng)?shù)母咚姑?，?中的中的 能夠能夠以標(biāo)量形式提到積分號(hào)外，從而簡(jiǎn)便地求出以標(biāo)量形式提到積分號(hào)外，從而簡(jiǎn)便地求出 分布。分布。 sse dee常見(jiàn)類(lèi)型：常見(jiàn)類(lèi)型：場(chǎng)源電荷分布場(chǎng)源電荷分布球?qū)ΨQ(chēng)性球?qū)ΨQ(chēng)性軸對(duì)稱(chēng)性軸對(duì)稱(chēng)性面對(duì)稱(chēng)性面對(duì)稱(chēng)性3. 高斯定理的應(yīng)用高斯定理的應(yīng)用1. . 均勻帶電球面的電場(chǎng)均勻帶電球面的電場(chǎng)4. . 均勻帶電球體的電

9、場(chǎng)均勻帶電球體的電場(chǎng) 3. . 均勻帶電無(wú)限大平面的電場(chǎng)均勻帶電無(wú)限大平面的電場(chǎng) 2. . 均勻帶電圓柱面的電場(chǎng)均勻帶電圓柱面的電場(chǎng)條件：條件： 電荷分布具有較高的空間對(duì)稱(chēng)性電荷分布具有較高的空間對(duì)稱(chēng)性 5. . 均勻帶電球體空腔部分的電場(chǎng)均勻帶電球體空腔部分的電場(chǎng) 高斯定理的應(yīng)用高斯定理的應(yīng)用rr+q例例1. 1. 均勻帶電球面的電場(chǎng)，球面半徑為均勻帶電球面的電場(chǎng)，球面半徑為r r, ,帶電為帶電為q q。電場(chǎng)分布也應(yīng)有球?qū)ΨQ(chēng)性，方向沿徑向。電場(chǎng)分布也應(yīng)有球?qū)ΨQ(chēng)性，方向沿徑向。作作同心且半徑為同心且半徑為r的高斯面的高斯面.ssed0q解：解：20r4qe 高斯定理的應(yīng)用高斯定理的應(yīng)用sde

10、sssesedd24 rer0er+r+rqr r時(shí)，高斯面包圍電荷時(shí)，高斯面包圍電荷q，204rqe204rq均勻帶電球面的電場(chǎng)分布曲線均勻帶電球面的電場(chǎng)分布曲線2r 高斯定理的應(yīng)用高斯定理的應(yīng)用 r r時(shí)，高斯面無(wú)電荷，時(shí)，高斯面無(wú)電荷，0e例例2 2 無(wú)限長(zhǎng)均勻帶電圓柱面的電場(chǎng)。圓柱半徑為無(wú)限長(zhǎng)均勻帶電圓柱面的電場(chǎng)。圓柱半徑為r r，沿軸線方向單位長(zhǎng)度帶電量為沿軸線方向單位長(zhǎng)度帶電量為 。rl作作與帶電圓柱同軸的圓柱形高斯面與帶電圓柱同軸的圓柱形高斯面, ,電場(chǎng)分布也應(yīng)有柱對(duì)稱(chēng)性，方向沿徑向。電場(chǎng)分布也應(yīng)有柱對(duì)稱(chēng)性，方向沿徑向。高為高為l,半徑為半徑為rseds由高斯定理知由高斯定理知l

11、rqe02解：解：rle2 高斯定理的應(yīng)用高斯定理的應(yīng)用側(cè)面sde0q 高斯定理的應(yīng)用高斯定理的應(yīng)用（1）當(dāng)）當(dāng)rr 時(shí)，時(shí)，lqre02外均勻帶電圓柱面的電場(chǎng)分布均勻帶電圓柱面的電場(chǎng)分布r0erer 關(guān)系曲線關(guān)系曲線r021r 高斯定理的應(yīng)用高斯定理的應(yīng)用（1）當(dāng)）當(dāng)rr 時(shí)，時(shí)， 0q0e內(nèi)lrqe02由ee 例例3 均勻帶電無(wú)限大平面的電場(chǎng)均勻帶電無(wú)限大平面的電場(chǎng).電場(chǎng)分布也應(yīng)有面對(duì)稱(chēng)性，電場(chǎng)分布也應(yīng)有面對(duì)稱(chēng)性，方向沿法向。方向沿法向。解：解： 高斯定理的應(yīng)用高斯定理的應(yīng)用 作軸線與平面垂直的圓柱形高斯面，底面積為作軸線與平面垂直的圓柱形高斯面，底面積為s，兩底面到帶電平面距離相同。兩底

12、面到帶電平面距離相同。eseesees2dd 兩底ss圓柱形高斯面內(nèi)電荷圓柱形高斯面內(nèi)電荷sq由高斯定理得由高斯定理得0/2ses 02e 高斯定理的應(yīng)用高斯定理的應(yīng)用rr例例4 均勻帶電球體的電場(chǎng)。球半徑為均勻帶電球體的電場(chǎng)。球半徑為r，體電體電 荷密度為荷密度為 。電場(chǎng)分布也應(yīng)有球?qū)ΨQ(chēng)性，方向沿徑向。電場(chǎng)分布也應(yīng)有球?qū)ΨQ(chēng)性，方向沿徑向。作作同心且半徑為同心且半徑為r r的高斯面的高斯面24 resesd0qa.r r時(shí)，高斯面內(nèi)電荷時(shí)，高斯面內(nèi)電荷3r34vqdr3e0b.r r時(shí)，高斯面內(nèi)電荷時(shí)，高斯面內(nèi)電荷334rq20313rre解：解：204rqe 高斯定理的應(yīng)用高斯定理的應(yīng)用eo

13、rrrrrr03rrrr20313e均勻帶電球體的電場(chǎng)分布均勻帶電球體的電場(chǎng)分布03rer 關(guān)系曲線關(guān)系曲線2r 高斯定理的應(yīng)用高斯定理的應(yīng)用2. .高斯面要經(jīng)過(guò)所研究的場(chǎng)點(diǎn)。高斯面要經(jīng)過(guò)所研究的場(chǎng)點(diǎn)。1. .要求電場(chǎng)具有高度對(duì)稱(chēng)性。要求電場(chǎng)具有高度對(duì)稱(chēng)性。3. .高斯面應(yīng)選取規(guī)則形狀。高斯面應(yīng)選取規(guī)則形狀。4. .面上各點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)大小相等，方向與高斯面上各點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)大小相等，方向與高斯面法線方向一致。面法線方向一致。小結(jié)高斯定例解題步驟：小結(jié)高斯定例解題步驟：（1）分析電場(chǎng)是否具有對(duì)稱(chēng)性。）分析電場(chǎng)是否具有對(duì)稱(chēng)性。（2）取合適的高斯面）取合適的高斯面(封閉面封閉面)， 即取在即取在e相等的曲面上

14、。相等的曲面上。（3）e相等的面不構(gòu)成閉合面時(shí)，相等的面不構(gòu)成閉合面時(shí)， 另選法線另選法線 的面，使其成為閉合面。的面，使其成為閉合面。en （4）分別求出）分別求出 ，從而求得，從而求得e。 sdee 內(nèi)內(nèi)sioeq1例例5. 均勻帶電球體空腔部分的電場(chǎng)，球半徑為均勻帶電球體空腔部分的電場(chǎng)，球半徑為r， 在球內(nèi)挖去一個(gè)半徑為在球內(nèi)挖去一個(gè)半徑為r（rr）的球體。的球體。試試證：空腔部分的電場(chǎng)為勻強(qiáng)電場(chǎng)，并求出該電場(chǎng)。證：空腔部分的電場(chǎng)為勻強(qiáng)電場(chǎng)，并求出該電場(chǎng)。rop031cpo在空腔內(nèi)任取在空腔內(nèi)任取一點(diǎn)一點(diǎn)p,e設(shè)想用一個(gè)半徑為設(shè)想用一個(gè)半徑為r且體電荷密度與大球相且體電荷密度與大球相同的小球?qū)⒖涨谎a(bǔ)上后，同的小球?qū)⒖涨谎a(bǔ)上后，p點(diǎn)場(chǎng)強(qiáng)變?yōu)辄c(diǎn)場(chǎng)強(qiáng)變?yōu)?e設(shè)該點(diǎn)場(chǎng)強(qiáng)為設(shè)該點(diǎn)場(chǎng)