函數(shù)最值的一些求法及錯(cuò)解分析

1、僅供個(gè)人參考函數(shù)最值的一些求法及錯(cuò)解分析一、教案描述教學(xué)課題：函數(shù)最值的一些求法及錯(cuò)誤分析教學(xué)目標(biāo)：1、 Forpersonaluseonlyinstudyandresearch;notforcommercialuse2、3、復(fù)習(xí)函數(shù)最值的一些主要求法；4、剖析求解過(guò)程中產(chǎn)生錯(cuò)誤的原因；5、進(jìn)一步樹(shù)立“實(shí)踐是檢驗(yàn)真理的唯一標(biāo)準(zhǔn)”的唯物論。Forpersonaluseonlyinstudyandresearch;notforcommercialuse教學(xué)重點(diǎn)：最值求法教學(xué)難點(diǎn)：掌握解題中產(chǎn)生錯(cuò)誤的原因?qū)W(xué)：引導(dǎo)學(xué)生在自主解題和互相討論的過(guò)程中抓住重點(diǎn)，突破難點(diǎn)，掌握主要的求Forpersonal

2、useonlyinstudyandresearch;notforcommercialuse解方法及正誤鑒別方法，從而提高思維能力。教學(xué)過(guò)程：亮題：這堂課擬通過(guò)大家對(duì)實(shí)例的研討，進(jìn)一步掌握求函數(shù)最值的一些主要方法及解題過(guò)程中產(chǎn)生錯(cuò)誤的原因。2x2例1、已知函數(shù)y=*（x父4）,請(qǐng)大家自己或與周?chē)瑢W(xué)一起探討出求這個(gè)函數(shù)最值x-3的各種方法。（學(xué)生舉手回答）解法一：2x299y=-=2（x一3）-6,22.（x一3），6=24x3x-3.x3當(dāng)且僅當(dāng)，即x=6時(shí)（舍去x=0）ymin=24,但無(wú)最大值。（教師指出）這種方法叫配湊法，同時(shí)用到了基本不等式，很好！應(yīng)注意什么?（答：等號(hào)是否能取到）。（

3、學(xué)生舉手回答）解法令x-3=t,貝xN,.!>1o1、注意新變量y=2（t：3）=2（t+9+6）>2（2!tX9+6）=24。余同解一。（教師提問(wèn)）此為何法？（答：換元法。）解題時(shí)應(yīng)注意什么？（答:t的變化范圍；2、在利用基本不等式時(shí)什么時(shí)候取到等號(hào)。）評(píng)：此法雖與解法一的實(shí)質(zhì)是一樣的，但它優(yōu)于解法一。問(wèn)：還有其他解法嗎？（學(xué)生舉手回答）解法三：.x4,x-3%,，轉(zhuǎn)化為方程2x2-yx+3y=0.利用判別式法得A=y2-24yR,則y或4或y<0。.x>4,，y>0,y注4,即ymin=24,但無(wú)最大值。（教師提問(wèn)）此解法對(duì)嗎？A>0能保證根xN嗎？部分

4、同學(xué)認(rèn)為不正確，如何改正？=y2-24y>0（學(xué)生舉手回答）利用實(shí)根分布法得（1）-3_4=24£y£3222f（4）=32-4y-3y_0對(duì)嗎？（教師指導(dǎo)）實(shí)踐檢驗(yàn)，取y=40代入，得x220x+60=0,解得x=10+2M'10>4或x=10-2，石<4（舍），可見(jiàn)存在x=10+2V7c,使y=40>32,可見(jiàn)上述解法還存在問(wèn)題，怎樣修正？（學(xué)生回答）上述不等式組僅僅給出在。,也）上有兩個(gè)實(shí)根的情形，還應(yīng)補(bǔ)上在4,也讓有一實(shí)卞B勺情形：（2）、f（4）q,即y總2。綜上（1）、（2）,得y>24。.ymin=24,但無(wú)最大值。評(píng)：此

5、法叫做實(shí)根分布法，有時(shí)簡(jiǎn)稱(chēng)判別式法。判別式法用到的是必要條件，并不充要，因此應(yīng)慎用。（教師問(wèn)）還有什么解法嗎?（學(xué)生舉手回答）解法四:2x2TT3 ;彳1-3 ) x211 2七一6）1+12當(dāng)x=6時(shí)ymin=24。又.0渭，當(dāng)一一6）2tJ時(shí)yTg但一弓一42號(hào)，y無(wú)最大值。（教師提問(wèn)）此為何法？（答：配方法。）（教師問(wèn)）還有其它解法嗎?（學(xué)生舉手回答）解法五（求導(dǎo)法）：由丫=熱得，y,=4x（x3£2x2=2x212x=2x（x£=0,即x=0（舍）或x=6時(shí)x-3x-32x-32x-32y'=0.列表如下：x4(4,6)6(6,+8)Fy-16一0+A,y3

6、224t由上表可得，當(dāng)x=6時(shí)ymin=24，但無(wú)最大值。教師指出：此法即為導(dǎo)數(shù)法。那么用導(dǎo)數(shù)法求最值的思路是：、先通過(guò)求導(dǎo)求出各個(gè)極值和函數(shù)端點(diǎn)值；、經(jīng)比較，取其中最小的就是函數(shù)的最小值，其中最大的就是函數(shù)的最大值。上例中當(dāng)x?（6,+8）時(shí)y遞增，所以函數(shù)取不到最大值。小結(jié):綜合以上，我們用到了哪些方法？（學(xué)生回答）配湊法、基本不等式法、換元法、判別式法（或?qū)嵏植挤ǎ?、配方法、求?dǎo)法等等。接下來(lái)我們擬通過(guò)對(duì)例1的變式再來(lái)復(fù)習(xí)一些求法。變式一：將例1中的xK"改為x'基"，其余條件不變。（請(qǐng)同學(xué)們繼續(xù)研究，討論。教師有意識(shí)地請(qǐng)用換元法和配方法的同學(xué)來(lái)回答。）解法

7、一：（換元法）y二"立二2（tt令x-3=t,貝x泡，t內(nèi)+9+6)>2(2tM9+6)=24。t一t-ymin=24o詢(xún)問(wèn)：“對(duì)嗎？”學(xué)生答：“錯(cuò)了。等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)t2=9,此時(shí)t=i3,而t著，等號(hào)取不到?！苯處熖岢觥霸趺崔k”，并引導(dǎo)學(xué)生分析函數(shù)y9 =x :的單調(diào)性。x,.y=1 .2-9 x2 -9x(-°0, -3)-3(-3 , 0)0(0, 3)3(3, +8)f y+o-0+y-61_1_6t=0時(shí)，x=±3,又x刈，故可列表得:2 -2x x9根據(jù)上表，易得函數(shù) y=x -的大致圖像（如右下圖所示）。x9由上表和右圖可以清楚地看到函數(shù)y

8、=x+9的單調(diào)性為:x分別在（-3,栓）上函數(shù)是單調(diào)遞增的，而分別在W0）,-39 ,一、一（0,3上函數(shù)是單倜遞減的。因此函數(shù)y =2（t+-+6）在區(qū)間t93一一5, F 上是增函數(shù)，故 ymin =f (5) =2(5+9+6) =25、,而無(wú)55-6最大值。（向?qū)W生指出，這里我們就用到了函數(shù)的單調(diào)性法）教師點(diǎn)評(píng)：當(dāng)用基本不等式法因等號(hào)取不到而失效時(shí)，往往利用函數(shù)的性質(zhì)（單調(diào)性法）去求函數(shù)的最值?？梢?jiàn)利用不等式法時(shí)必須考慮自變量的取值范圍是否能保證等號(hào)取到，這是一個(gè)陷阱，一定要小心！解法二：配方法2x22.11因?yàn)閥=:=一r，其中x?xH，也)故0<一&,所以在這里我們遇

9、到了自x_3W1121x83()x612變量有界的二次函數(shù)求最值問(wèn)題，必須考慮到xw，也就是說(shuō)ymin#24。為此觀察式中分6母.對(duì)稱(chēng)軸與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0),而<1，且拋物線開(kāi)口向下686在'0,-上時(shí)式11)2二為增函數(shù)，當(dāng)x=；時(shí)取到最大值，x8x61283，當(dāng)x=8時(shí)ymin=253,但無(wú)最大值。5點(diǎn)評(píng)：用配方法求最值時(shí)，特別應(yīng)注意拋物線的對(duì)稱(chēng)軸與自變量取值區(qū)間之間的相對(duì)位置關(guān)系，當(dāng)對(duì)稱(chēng)軸不落在區(qū)間內(nèi)時(shí)，最小值是區(qū)間端點(diǎn)值，而并不是頂點(diǎn)函數(shù)值！若區(qū)間兩端時(shí)開(kāi)的，則無(wú)最值。通過(guò)變式一我們又復(fù)習(xí)了用函數(shù)單調(diào)性求函數(shù)最值的方法，特別地，還遇到了兩個(gè)極易產(chǎn)生錯(cuò)誤的地方，這兩

10、個(gè)易錯(cuò)點(diǎn)務(wù)必請(qǐng)同學(xué)們弄懂并特別小心。變式二：將例1中的攵力“"改為x(a>3)”，其余條件不變。(請(qǐng)同學(xué)們繼續(xù)研究，討論，我們是否可以用變式一中的兩種方法去求解？)解法一：(換元法)令x-3=t,則2a2ymin =。a -3y=2(t*3)=2(t+9+6)之2(2jtM9+6)=24。這顯然不對(duì)。tt1t,x，t冷3當(dāng)a>6時(shí)等號(hào)取不到。此時(shí)利用函數(shù)單調(diào)性可得而當(dāng)3<a田時(shí)可利用基本不等式得ymin=24。24(3<a<6)此時(shí)x=6綜上可知，ymin也，但無(wú)最大值。、a3(a>6)止匕時(shí)x=a解法二：配方法因?yàn)閥 =：2x2X"Z3

11、2x 612當(dāng)a>6時(shí)，.“0l，ymin=f(a)=-2-。6xa_311一當(dāng)3<am時(shí),在7=6時(shí)，ymin=24綜上可知，答案與解法一相同。點(diǎn)評(píng):1、當(dāng)自變量X的范圍由參數(shù)給出時(shí)必須對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類(lèi)來(lái)討論函數(shù)所取得的不同最值2、若本題將“a>3”改為a>-1"，是否還存在最小值呢？請(qǐng)同學(xué)們課外去思考。下面給出一道應(yīng)用題請(qǐng)大家討論研究。x軸且B的橫坐標(biāo)為t例2、在函數(shù)y=3x2(-1aW1)的圖像上取A,B兩點(diǎn)使AB不得用于商業(yè)用途解：$ABc=2tIm-3t2I=2t(m-3t2)(,.m>3,0<t<1,.m-3t2>0)一&qu

12、ot; 22 24.S&bc =2t (m3t ) 玄、-226t2 -2m -6t2 3(3)4 二一 m、m69e當(dāng)且僅當(dāng)6t2=m-3t2,即t=(m時(shí)取到等號(hào)。想一想：當(dāng)m>3,0<t<1時(shí)，等號(hào)一定能取到嗎?顯然0<也W1,即0Vm論又m>3,即3Vm<9時(shí)能取到等號(hào)，而當(dāng)m>9時(shí)取不到等號(hào)。3這就要由S（t尸2t（m-3t2）在0<t<1上的單調(diào)性來(lái)求了。下面用定義法來(lái)證函數(shù)S（t）=2t（m-3t2）在0<t局上的單調(diào)性。在（0,1上任取t1,t2，且滿(mǎn)足0&<t2<1，則22、一S（t2）_

13、S（ti）=2（t2-）m_3（ti2tit2t22）.m>9,0<twi,，s(t2)S(ti)>0,即S(t2)>s(ti).函數(shù)S(t尸2t(m-3t2)在(0,i上單調(diào)遞增。，此時(shí)S(t)max=2MX(m-3xi2)=2m-6.r0-Q、此時(shí)C(2+im,2mm-)4(0<m<9)'313綜上所述,S(t) max-mjm=19。2m-6(m>9)止匕時(shí)C(3,2m-3)課堂小結(jié):請(qǐng)一位同學(xué)作代表歸納一下求函數(shù)最值的主要方法及易錯(cuò)點(diǎn)在何處，如何正確處理？（學(xué)生答）、配湊法（例一的解法一）；、基本不等式法（例一的解法一）；、換元法（例一

14、的解法二）；、判別式法（例一的解法三）；、配方法（例一的解法四）；、運(yùn)用函數(shù)單調(diào)性（變式一的解法一）；、導(dǎo)數(shù)法（例一的解法五）。應(yīng)注意的是：i、利用基本不等式求解時(shí)要注意等號(hào)是否能取到；2、在利用二次函數(shù)求最值時(shí)要注意變量取值范圍與對(duì)稱(chēng)軸的相對(duì)位置，要考慮區(qū)間的端點(diǎn)函數(shù)值。另外，自變量的取值范圍比較隱蔽，例如思考題i,需認(rèn)真挖掘，請(qǐng)同學(xué)們通過(guò)解思考題i去體會(huì)。思考題：i、已知渠道橫截面為等腰梯形，面積S（平方分米）為定值，梯形高為8分米，渠側(cè)壁的傾斜角為a（如圖所示）。問(wèn)a為何值時(shí)，修建成本最低。（即側(cè)壁的腰與下底的和最提示：易錯(cuò)點(diǎn)在于ADC2、利用數(shù)形結(jié)合的方法求Z=(xy)2+(x+-1+

15、1)2的最小值。y提示:設(shè)；1：1X2=y1,則Z=函_X2)2+(yi-y2)2°于是Z可以看作是直線上y2yl:y=x+1的點(diǎn)A(xyi)與雙曲線c:y=_1上點(diǎn)B%,y?)之間的距離IABI的平方，從而由圖X像分析出Z的最小值。二、教案分析本案例具有以下特點(diǎn)：1、例題簡(jiǎn)明，不貪多就難，易于調(diào)動(dòng)全體學(xué)生參予研討、探究的積極性。2、通過(guò)一個(gè)問(wèn)題的變化引導(dǎo)學(xué)生用多種方法探求解答，從而歸納出求最值的一些主要方法，思維升華自然，做到集思廣益。3、隨著同一問(wèn)題條件的稍稍變化，引導(dǎo)學(xué)生思維層層深入，直至深入到最易出錯(cuò)的核心點(diǎn)從而擊中要害，分析出錯(cuò)原因及處理方法，有利于發(fā)展學(xué)生思維的批判性和深

16、刻性。4、在出現(xiàn)錯(cuò)解時(shí)不急于當(dāng)裁判，給結(jié)論，而是讓學(xué)生通過(guò)實(shí)踐檢驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)差錯(cuò)，從而設(shè)法改正錯(cuò)誤。15、重視教學(xué)過(guò)程，讓學(xué)生進(jìn)一步掌握函數(shù)y=x+，的性質(zhì)和圖像，從而真正理解錯(cuò)誤x原因。6、教案力求獲得最佳教學(xué)效率和較好的教案效果，而并非面面俱到，一些未到之處引導(dǎo)學(xué)生繼續(xù)思考，留足發(fā)展余地。7、教案實(shí)施方法的特點(diǎn)是讓學(xué)生自由探索問(wèn)題，分析問(wèn)題，思維自由展開(kāi)，而不局限于一個(gè)例子講一兩種方法，讓學(xué)生去鉆套，這也是本教案與一般教案的顯著區(qū)別。8、形式題和應(yīng)用題兼顧，彌補(bǔ)在讀題、審題能力上的不足之處。僅供個(gè)人用于學(xué)習(xí)、研究；不得用于商業(yè)用途Forpersonaluseonlyinstudyandresearch;notforcommercialuse.Nurfurdenpers?nlich