機械優(yōu)化設計題庫

1、、緒論1. 思考題1. 何為約束優(yōu)化設計問題 ?什么是無約束優(yōu)化設計問題 ?試各舉一例說明。 機械優(yōu)化設計 問題多屬哪一類？2. 一般優(yōu)化問題的數(shù)學模型包括哪些部分 ?寫出一般形式的數(shù)學模型。3. 機械優(yōu)化設計的過程是怎樣的 ?它與常規(guī)的機械設計有什么不同 ?4. 怎樣判斷所求得的最優(yōu)解是不是全局最優(yōu)解？5. 試簡述優(yōu)化算法的迭代過程。6. 何為可行域？為什么說當存在等式約束則可行域?qū)⒋鬄榭s小?當優(yōu)化問題中有個等式約束時可行域是什么 ?當優(yōu)化問題中有兩個等式約束時可行域是什么 ?當 n 維優(yōu)化問題中 有 n 個等式約束時可行域是什么？7. 什么是內(nèi)點、什么是外點 ?在優(yōu)化設計中內(nèi)點和外點都可以

2、作為設計方案嗎 ?為什么 ?8. 試寫出第一節(jié)中第三個問題的數(shù)學模型。9. 目標函數(shù)及其等值線（等值面）的意義和特性是什么？2. 習題1. 設計一容積為 V 的平底、無蓋圓柱形容器，要求消耗原材料最少，試建立其優(yōu)化設計的數(shù)學模型，并指出屬于哪一類優(yōu)化問題。2. 當一個矩形無蓋油箱的外部總面積限定為 S 時，怎樣設計可使油箱的容量最大？試列 出這個優(yōu)化問題的數(shù)學模型，并回答：屬于幾維的優(yōu)化問題？是線性規(guī)劃還是非線性規(guī)劃？3. 欲造容積為 V 的長方形無蓋水箱，問應如何選定其長、寬、高尺寸，才能使用料消 耗最少？試寫出其數(shù)學模型。4. 試求直徑為 D 的圓內(nèi)所有內(nèi)接三角形面積中的最大值。5. 在曲

3、面fl(Xl,X2,X3)=0上找一點Pl，在曲面f2(Xl,X2,X3)=0上找一點P2,使得Pl與P2的距 離為最短，試建立優(yōu)化問題的數(shù)學模型。6. 有一薄鐵皮，寬b=14cm,長L=24cm，制成如圖2-9所示的梯形槽，求邊長x和傾斜 角a為多大時，槽的容積最大？試寫出此問題的優(yōu)化設計模型并指出該問題屬于哪一類的 優(yōu)化設計問題。7. 欲制批如圖 2-12 所示的包裝紙箱，其頂和底由四邊延伸的折紙板組成。要求紙箱 的容積為2m3,問如何確定a b和c的尺寸，使所用的紙板最省。試寫出該優(yōu)化問題的數(shù) 學模型。8. 一根長 l 的鉛絲截成兩段，一段彎成圓圈，另一段彎折成方形。問應以怎樣的比例截

4、斷鉛絲，才能使圓和方形的面積之和為最大，試寫出這一優(yōu)化問題的數(shù)學模型9. 某廠生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品：A每桶需用煤90kN、電4度、勞動日3個，獲利潤700元；B每桶需用煤40kN、電5度、勞動日10個，獲利潤1200元。但計劃規(guī)定可用煤3600kN、 電 200度、勞動日 300個，試問 A、 B 各生產(chǎn)多少桶時利潤最大？列出其教學模型，并說明 屬于何種數(shù)學規(guī)劃問題 ?10. 某廠生產(chǎn)兩種機器，兩種產(chǎn)品生產(chǎn)每臺所需鋼材分別為2噸和 3噸，所需工時數(shù)分別為 4千小時和 8千小時，而產(chǎn)值分別為 4萬元和 6萬元。如果每月工廠能獲得的原材料 為 100 噸，總工時數(shù)為 120 千小時。現(xiàn)應如何安排兩種

5、機器的月產(chǎn)臺數(shù)，才能使月產(chǎn)值最 高。試寫出這一優(yōu)化問題的數(shù)學模型。11. 要將 10 米長的鋼管截成 3 米和 4 米長的各 100根，要求設計出用料最省的下料方法。 試寫出其數(shù)學模型。12. 設計一個二級展開式漸開線標準直齒圓柱齒輪減速器， 已知總傳動比i二20,高速級 齒輪模數(shù)mi,2=2.5mm,低速級齒輪模數(shù)m3,4=3mm,要求減速器高速軸與低速軸間中心距 a 最小，試建立其優(yōu)化設計的數(shù)學模型，并指出屬于哪一類優(yōu)化問題。13. 設計一個展開式二級圓柱齒輪減速器，要求其高、低速軸間的中心距最小。已知總 傳動比i=hx i2=4，齒輪齒數(shù)Zi=Z3，模數(shù)均為2.5mm,試建立其數(shù)學模型，

6、并說明屬于何種 數(shù)學規(guī)劃問題。14. 自行提出一個數(shù)學規(guī)劃問題，并建立其數(shù)學模型。15如圖2-13所示，已知跨距為I、截面為矩形的簡支架，其材料密度為 p許用彎曲應力為GW,允許撓度為f,在梁的中點作用一集中載荷 P,梁的截面寬度b不得小于bmin，現(xiàn)要求設計此梁，使其質(zhì)量最輕試寫出其優(yōu)化設計數(shù)學模型16矩形截面簡支梁，在跨距I的全部長度內(nèi)受到均布載荷q,其材料密度為p許用彎 曲應力為cm。要求梁的寬度不小于bmin，最大撓度不大于才。試寫出此梁重量最輕優(yōu)化設 計的數(shù)學模型。17有一圓形等截面的銷軸，一端固定在機架上，另一端作用著集中載荷P和扭矩M ,其簡化模型如圖2-14所示。由于結(jié)構(gòu)的需要

7、，軸的長度I不得小于Imin。已知銷軸材料的許 用彎曲應力c和許用扭剪應力T，允許撓度為f；設計材料的密度為P和彈性模量為E。 現(xiàn)要求設計這根銷軸，在滿足使用要求下使其質(zhì)量為最輕，試寫出其優(yōu)化設計數(shù)學模型。18試按質(zhì)量最輕的原則選擇平均半徑 R和壁厚t，設計圖2-25所示的薄壁圓柱形容器， 要求容積不小于25.0m5,容器內(nèi)壓力p為3.5MPa切向應力怎不超過210Mpa,應變量不超 過 0.001。要求：(1)建立優(yōu)化設計的數(shù)學模型； (2)用圖解法求出最優(yōu)解。19三桿懸掛結(jié)構(gòu)(圖1-5)的材料已經(jīng)選定，其比重為p彈性模量為E，許用拉應力為£ 此結(jié)構(gòu)的設計載荷為2p。試寫出其重量最

8、輕優(yōu)化設計的數(shù)學模型。20平面桁架(圖l-6)由鋼管組成，承受載荷2p。鋼管的壁厚為t，桁架的跨度為2B。鋼 管的直徑d和桁架高度H可以選擇。桁架應滿足強度和剛度的要求。試寫出其重量最輕優(yōu) 化設計的數(shù)學模型。21當某試驗參數(shù)a為1, 2, 3, 4, 5時，其對應結(jié)果f(a)為3，5，4，2，1。試用一個 二項式p(a=a2X1+ax2+X3，去逼近f(a),求X1, X2, X3為多大時，使得當a=2, 3, 4, 5時各點 誤差平方和為最小，且要求 a=1時，p(a)=f(a。試寫出該問題的優(yōu)化設計數(shù)學模型。22.己知兩個物理量x和y之間的依賴關系為其中aias為待定參數(shù)。為了確定這些參數(shù)

9、的值，對 x和y測得m個實驗點：(xi，yi), (X2,y2),，(Xm,ym)。試將確定參數(shù)的問題表示成最優(yōu)化問題。23有一個初始的設計電路，內(nèi)有 m個可調(diào)整的電阻。如圖1-4所示。要求的響應是電 路內(nèi)m個節(jié)點電壓為給定的一組數(shù)，即 Vi=Vdi,V2=Vd2，VfVdn，而實際的響應里每一 個節(jié)點的電壓都依賴于這 m個可調(diào)的電阻，示為Vi = Ui(Ri,R2,Rm), i=1 n試建立優(yōu)化的數(shù)學模型。24某現(xiàn)象的理論公式為：F(t) Xi X2e X3t。透過實驗已測得 m個F(t)對應于t的值。 要求確定Xi、X2和X3三個參數(shù)，其中X3>0,使理論公式與實驗數(shù)據(jù)的偏差平方和為

10、最小。 試寫出這個問題的數(shù)學模型。25熱敏電阻R= x1 exp 丿 ，今測得溫度t與R的15組實驗數(shù)據(jù)。要求確定參數(shù)xi、 t X3X2和X3使電阻R的計算值與實測值的均方差最小。試建立其數(shù)學模型。26已知一圓形截面懸臂梁，在其懸臂端作用一集中載荷P和一扭矩M，要求懸伸長度L=ab，截面直徑d=dodi。問在滿足強度和剛度要求的條件下使所需材料最少，應如何建 立該優(yōu)化設計問題的數(shù)學模型？并示出。27試畫出下列約束條件下，x=xi X2t的可行域:(1) gi(x)=Xi2+(X2-1)2-1< 0g2(x)=(xr1)2+X22-1< 0g3(x)=Xi+X2-1< 0(2

11、) gi(x)=2xi+X2-6w 0g2(x)=-Xi< 0 g3(x)=-X2< 0g4(x)=Xi2+X22-16< 028試畫出下列約束條件下X=xi,X2T的可行域，并說明哪個是不起作用的約束。2(1) gi(x)=-xi +X2> 0g2(x)=x-X2+3 > 0g3(x)=-Xi-X2+8> 0(2) gi(x)=Xi+X2/2-3 >0g2(x)=Xi >0 g3(x)=X2> 0 h(x)=-Xi2-X22+i6> 029. 已知約束條件為22gi(x)=-+X2-3> 0g2(x)=-xi -X2 +9 &

12、gt; 0試問Xi=2,-2T, X2=3,3t, X3=-3,0t, X4=-i,iT等四點中有幾個可行點？并寫出可行點30. 畫出滿足下列約束的可行域。gi(x)=48-3xi-2x2>0 g2(x)=i8-Xi-X2>0g3(x)=x&0 g4(x)=X203i試將優(yōu)化問題的目標函數(shù)等值線和約束邊界曲線勾畫出來,并回答下列問題：(a) X=i,i 是不是可行點 ?(b) X=5/2,i/2 T是不是可行點？(c) 可行域D是否為凸集，用陰影線描繪出可行域的范圍32. 已知某約束優(yōu)化問題的數(shù)學模型為(1)該問題是線性規(guī)劃問題還是非線性規(guī)劃問題？(2)按一定比例畫出目標函

13、數(shù)F(X)的值分別等于1, 2, 3時的三條等值錢，并在圖上劃出可行域。(3) 在圖上確定無約束最優(yōu)解和約束最優(yōu)解。(4) 若在該問題中又加入等式約束h(X)=Xi-X2=0，其約束最優(yōu)解X*、F(X*)又為多少？33. 畫出下列目標函數(shù)的等值線，并指出函數(shù)值為正和負的區(qū)域；它有沒有極小值點？1)F(x1,x2)=x1x2；2)F(x1,x2)=x12-x22；3)F(x1,x2)=x12+3x1x2+4x22+634. 用圖解法求解下列優(yōu)化問題的最優(yōu)點。1)min F (x) (x1s.t. 2x1 x23)2(x2 3)20; x1, x202)minF(x) (x1s.t. x1 2x2

14、222)2 (x22)24; x1, x203)minF(x) (x1s.t. x1 /2 x2223)2 (x23)24; 3x1 x215 x1 x21 x1, x2035如圖所示，設有一箱形蓋板，已知長度l=600cm，寬度b=60cm，側(cè)板厚度ts=0.5cm， 翼板厚度為tf(cm),高度為h(cm),承受最大的單位載荷q=10000N/cm，蓋板的許用彎曲應 力同=70MPa,許用剪切應力T=45MPa,單位長度允許撓度f=0.0025mm,彈性模量 E=7 x 104MPa,泊松比u0.3要求在滿足強度、剛度和穩(wěn)定性等條件下，設計一個質(zhì)量最小的結(jié)構(gòu)方案。5-17 搪瓷廠要生產(chǎn)一種

15、容積為 785cm3 的圓柱形茶杯，試用拉格朗日乘子法設計茶杯 的尺寸使所用的原材料最省。1. 設計一曲柄搖桿機構(gòu)（見圖7-16）,已知：桿1的長度11=1，桿4的長度14=5（均為相對長度）。要求曲柄由 4。轉(zhuǎn)到 4。十 90。時，搖桿的輸出角實現(xiàn)如下給定的函數(shù)關免Vy，十方（4 40），式中4。和貝。分別為對應于搖桿在右極限位置時曲柄和搖桿的位置角. 運 動過程中的最小傳動角不小于 45。，即 7m, 7= 45。試建立上述問題的數(shù)學模利，并選擇優(yōu)化方法，有條件的同學可2:= 4. 1286, z:= 2. 3325占2. 如圖為一批量生產(chǎn)的壓力容器， 其結(jié)構(gòu)方案和有關尺寸已定。 內(nèi)部氣壓

16、為 p=12.75MPa,容器內(nèi)徑 A=120mm,安裝螺栓的中心圓直徑 D=200mm,壁厚E=H=20mm, 用襯墊密封，為保證拆裝時具有足夠的扳手空間，螺栓間的周向間隔不應小于 5d（d 為螺栓 直徑）,同時為保證螺栓間的密封壓力均勻,不致有局部漏氣,螺栓間的周向間距不應大于 10d。螺栓樹料選用35號鋼，長度為50mm,型式為六角頭半精制螺栓，其單價見下表：要求合理地選擇緊固螺栓的直徑 d和螺栓的數(shù)量n,使壓力容器的螺栓總成本最低。試建立上述優(yōu)化設計問題的數(shù)學模型,并選擇優(yōu)化方法,有條件的同學可上機計算。（答案為 d=25, n=3）。3. 設有一重量 P=10000N 的物體懸掛在兩

17、根鋼絲繩上,如圖 7-18所示。已知鋼絲繩長 l1=14.1m, l2=11.5m，許用應力d=100Mpa，彈性模量 E=2 x 105MPao為保證此裝置正常工作，除鋼絲繩的工作應力不應大于許用應力外， 還規(guī)定懸掛點的鉛垂位移不應越過 f4=5mm，現(xiàn)在要求得出鋼絲繩的橫截而積 Ai和A2,使承受該載荷的結(jié)構(gòu)重量為最輕。 試建立上述優(yōu) 化問題的數(shù)學模型，并選擇優(yōu)化方法，有條件的同學可上機計算。 （答案為 Al=0.81687， A2=1.15834）。15如圖所示的二級斜齒圓柱齒輪減速器，高速軸輸入功率N i=6.2kW，高速軸轉(zhuǎn)速ni=1450r/min，總傳動比 i=31.5，齒輪的齒寬系數(shù) 怦0.4;大齒輪材料為 45鋼正火 HBS=