弦振動(dòng)的實(shí)驗(yàn)研究

1、弦振動(dòng)的實(shí)驗(yàn)研究弦是指一段又細(xì)又柔軟的彈性長(zhǎng)線，比如二胡、吉它等樂器上所用的弦。用薄片撥動(dòng)或者用弓在張緊的弦上拉動(dòng)就可以使整個(gè)弦的振動(dòng),再通過音箱的共鳴,就會(huì)發(fā)出悅耳的聲音。對(duì)弦樂器性能的研究與改進(jìn)，離不開對(duì)弦振動(dòng)的研究，對(duì)弦振動(dòng)研究的意義遠(yuǎn)不只限于此，在工程技術(shù)上也有著極其重要的意義。比如懸于兩根高壓電桿間的電力線、大跨度的橋梁等，在一定程度上也是一根“弦”，它們的振動(dòng)所帶來的后果可不象樂器上的弦的振動(dòng)那樣使我們們感到愉快。對(duì)于弦振動(dòng)的研究，有助于我們理解這些特殊“弦”的振動(dòng)特點(diǎn)、機(jī)制，從而對(duì)其加以控制。同時(shí)，弦的振動(dòng)也提供了一個(gè)直觀的振動(dòng)與波的模型，對(duì)它的分析、研究是處理其它聲與振動(dòng)問題的

2、基礎(chǔ)。歐拉最早提出了弦振動(dòng)的二階方程，而后達(dá)朗貝爾等人通過對(duì)弦振動(dòng)的研究開創(chuàng)了偏微分方程論。本實(shí)驗(yàn)意在通過對(duì)一段兩端固定弦振動(dòng)的研究，了解弦振動(dòng)的特點(diǎn)和規(guī)律。預(yù)備問題1 復(fù)習(xí)DF4320示波器的使用。2 什么是駐波？它是如何形成的？3 什么是弦振動(dòng)的模式？共振頻率與哪些因素有關(guān)？4 張力對(duì)波速有何影響？試比較以基頻和第一諧頻共振時(shí)弦中的波速。一、 實(shí)驗(yàn)?zāi)康模?、了解駐波形成的條件，觀察弦振動(dòng)時(shí)形成的駐波；2、學(xué)會(huì)測(cè)量弦線上橫波傳播速度的方法：3、用作圖法驗(yàn)證弦振動(dòng)頻率與弦長(zhǎng)、頻率與張力的關(guān)系。二、實(shí)驗(yàn)原理x x+dxTT圖1 一根兩端固定并張緊的弦，靜止時(shí)處于水平平衡位置，當(dāng)在弦的垂直方向被拉

3、離平衡位置后，弦會(huì)有回到平衡位置的趨勢(shì)，在這種趨勢(shì)和弦的慣性作用下，弦將在平衡位置附近振動(dòng)。令弦線長(zhǎng)度方向?yàn)閤軸，弦被拉動(dòng)的方向（與x軸垂直的方向）為y軸，如圖1所示。若設(shè)弦的長(zhǎng)度為L(zhǎng)，線密度為，弦上的張力為T，對(duì)一小段弦線微元dl進(jìn)行受力分析，運(yùn)用牛頓第二定律定律，可得在y方向的運(yùn)動(dòng)微分方程 （1）若令， 上式可寫為 （2）（2）式反映了弦的位移與位置、時(shí)間的關(guān)系，其中代表了在弦線上橫波傳播的波速。對(duì)于兩端固定的弦，滿足上述方程的解為， （3）若令 ，（3）式又可寫為 （4）圖2 n=1,2,3時(shí)的三種振動(dòng)狀態(tài)由（4）式可以看出，代表了弦的振動(dòng)頻率，代表了在弦上傳播的機(jī)械波的波長(zhǎng)。兩端固定的

4、弦的振動(dòng)具有如下特點(diǎn)：對(duì)于某一固定的時(shí)間t0，弦的位移隨位置的變化為一正弦波形，最大波幅為Ancos (2)。對(duì)于某一固定的位置x0，弦表現(xiàn)為諧振動(dòng)，最大振幅為Ansin ()。在xo= 0，/2，3/2，2等處的波幅為零，具有該種特點(diǎn)的波形，我們稱之為駐波。弦上始終為零的點(diǎn)稱為波節(jié)，兩相鄰波節(jié)間的部分稱為波腹，兩相鄰波節(jié)間的距離正好為半個(gè)波長(zhǎng)。圖2給出了n分別為1、2、3的三種弦振動(dòng)的情形。從圖2不難看出，對(duì)于不同的n，其波的形狀不同，頻率也不同，它代表著弦振動(dòng)的一個(gè)狀態(tài)。所以，我們把一個(gè)個(gè)振動(dòng)狀態(tài)稱之為弦振動(dòng)的一個(gè)本征振動(dòng)模式。對(duì)應(yīng)于n=1的頻率，稱為基頻，對(duì)應(yīng)于n=2,3,的頻率稱為第一

5、諧頻、第二諧頻，等等。但基頻較其他諧頻強(qiáng)得多，因此它決定弦的頻率，而各諧頻則決定弦振動(dòng)的音色。弦的任何可能的振動(dòng)狀態(tài)都可以視為本征振動(dòng)的線性疊加，這些本征振動(dòng)中某一振動(dòng)的強(qiáng)度會(huì)因初始條件或外界激勵(lì)的不同而有所不同。當(dāng)用一頻率與某一本征振動(dòng)頻率相同的周期性激勵(lì)迫使弦振動(dòng)時(shí)，弦上與激勵(lì)頻率相同的本征振動(dòng)強(qiáng)度加強(qiáng)，這就是所謂的共振。我們可以利用弦的共振特性對(duì)一些物理量進(jìn)行測(cè)量。如波長(zhǎng)、波速等。當(dāng)弦上有n個(gè)半波區(qū)時(shí)有（弦長(zhǎng)等于半波長(zhǎng)的整數(shù)倍時(shí)產(chǎn)生駐波） （5）假設(shè)此時(shí)弦振動(dòng)的頻率為f，弦上橫波的傳播的速度v，則 （6）將代入（6）式得弦振動(dòng)的共振頻率與弦長(zhǎng)、弦張力和弦線密度的關(guān)系 （7）或 （8）上式

6、中為弦振動(dòng)的基頻故有： （9）三、實(shí)驗(yàn)儀器FB301型弦振動(dòng)實(shí)驗(yàn)儀一臺(tái)、DF4320雙蹤示波器一臺(tái)、FB303弦振動(dòng)信號(hào)源一臺(tái)圖中 1調(diào)節(jié)螺桿 2圓柱螺母 3驅(qū)動(dòng)傳感器 4弦 5接收傳感器 6支撐板 7拉力桿     8懸掛物塊 9信號(hào)源 10示波器四、實(shí)驗(yàn)內(nèi)容和步驟1、研究弦振動(dòng)時(shí)共振頻率與弦長(zhǎng)的關(guān)系（1）將一根密度已知的弦固定在弦音計(jì)上，并在張力桿上懸掛一定質(zhì)量的砝碼，給弦一定的張力，調(diào)張力桿水平，移動(dòng)兩橋的位置，先使弦長(zhǎng)為60cm，并把驅(qū)動(dòng)傳感器和接收傳感器放在適當(dāng)位置。（2）按上圖連接儀器，開啟信號(hào)源、示波器預(yù)熱約10分鐘，由低到高調(diào)節(jié)其輸出信號(hào)

7、的頻率，當(dāng)弦上產(chǎn)生n=1、2、3、4、5個(gè)半波區(qū)的情況下，即弦共振時(shí)（示波器上振幅達(dá)到最大），記下信號(hào)源輸出信號(hào)的頻率（你會(huì)發(fā)現(xiàn)示波器上讀出的頻率和信號(hào)源上的頻率不相等，為什么？哪個(gè)是弦的共振頻率？）。（3）保持弦的張力不變，改變弦的長(zhǎng)度，使弦長(zhǎng)分別為60、 55、45、40cm時(shí)重做步驟（2）。（4）作ln與ln L曲線，求出其斜率驗(yàn)證關(guān)系式（9）2、研究弦振動(dòng)共振頻率與張力的關(guān)系（1）固定弦長(zhǎng)，改變張力，使T=1、2、3、4、5Kmg時(shí)，始終使弦線只出現(xiàn)一個(gè)駐波，測(cè)出共振頻率（基頻）。（2）作ln與ln T曲線，求出其斜率驗(yàn)證關(guān)系式(9)3、研究弦共振時(shí)弦線的動(dòng)態(tài)線密度利用表二的數(shù)據(jù)計(jì)算不

8、同張力下弦線的線密度4、根據(jù)和分別計(jì)算波速值，并分析產(chǎn)生誤差的原因。五、數(shù)據(jù)記錄與處理1、研究弦振動(dòng)共振頻率與弦長(zhǎng)的關(guān)系表一 基頻與弦長(zhǎng)的關(guān)系弦線密度= 9.54×kg/m 物塊懸掛位置 2 張力= 19.6牛頓 弦長(zhǎng)(cm)共振頻率f（Hz）駐波數(shù)()波長(zhǎng)(cm)lnln L6055504540上表只作基頻與弦長(zhǎng)的對(duì)數(shù)關(guān)系曲線。基頻是駐波數(shù)為1的共振頻率作ln與ln L曲線，求斜率驗(yàn)證關(guān)系式2、研究弦振動(dòng)共振頻率與張力的關(guān)系表二 基頻與張力的關(guān)系弦長(zhǎng)(cm)懸掛位置張力(牛頓)基頻(Hz)ln ln T6019.8219.6329.4439.2549.0以上兩表中頻率均為信號(hào)源的顯示值，此值