概率論與數(shù)理統(tǒng)計-公式(全)

1、第1章隨機事件及其概率（1）排 列組合 公式P：!從m個人中挑出n個人進行排列的可能數(shù)。（m n）!一 nm!, Cm 從m個人中挑出n個人進行組合的可能數(shù)。n!（m n）!力口 法和乘 法原理加法原理（兩種方法均能完成此事）：m+n某件事由兩種方法來完成， 第一種方法可由 m#方法完成，第二種方法 可由n種方法來完成，則這件事可由m+n種方法來完成。乘法原理（兩個步驟分別不能完成這件事）：mx n某件事由兩個步驟來完成， A 個步驟可由 m#方法完成，第二個步驟 可由n種方法來完成，則這件事可由mx n種方法來完成。（3） 一 些常見 排列重復排列和非重復排列（有序） 對立事件（至少有一個）

2、 順序問題（4）隨 機試驗 和隨機 事件如果一個試驗在相同條件卜可以重復進行，而每次試驗的可能結果不止一個，但在進行一次試驗之前卻不能斷言它出現(xiàn)哪個結果，則稱這種試驗為隨機試驗。試驗的可能結果稱為隨機事件。（5）基本 事 件、樣本空間 和事件在一個試驗下，不管事件有多少個，總可以從其中找出這樣一組事件，它具有如下性質：每進行一次試驗，必須發(fā)生且只能發(fā)生這一組中的一個事件；任何事件，都是由這一組中的部分事件組成的。這樣一組事件中的每一個事件稱為基本事件，用來表示?；臼录娜w，稱為試驗的樣本空間，用表示。一個事件就是由中的部分點（基本事件）組成的集合。通常用大寫字母A, B, C,表示事件，它

3、們是的子集。為必然事件，？為不可能事件。不可能事件（？）的概率為零，而概率為零的事件不一定是不可能事件； 同理，必然事件（）的概率為 1,而概率為1的事件也不一定是必然 事件。（6）事 件的關 系與運 算關系：如果事件A的組成部分也是事件 B的組成部分，（A發(fā)生必有事件 B 發(fā)生）：A B如果同時有 A B, B A,則稱事件A與事件B等價，或稱A等 于 B: A=BA B中至少有一個發(fā)生的事件：A B,或者A+B。屬于A而不屬于B的部分所構成的事件，稱為A與B的差，記為A-B,也可表示為 A-AB或者AB ,它表示 A發(fā)生而B不發(fā)生的事件。A B同時發(fā)生：A B,或者AB A B=?,則表示

4、A與B不可能同時發(fā)生，稱事件A與事件B互小相容或者互斥?；臼录腔バ∠嗳莸摹?A稱為事件A的逆事件，或稱 A的對立事件，記為 A。它表示A不發(fā)生的事件?；コ馕幢貙αⅰ＿\算：結合率：A(BC)=(AB)C A U(BU C)=(A U B) U C分配率：(AB) U C=(A U C) A (B U C) (A U B) n C=(AC) U (BC)德摩根率：AiAi _ _ _ _i 1i 1AB AB, AB AB概 率的公 理化定 義設 為樣本空間，A為事件，對每一個事件 A都有一個實數(shù)P(A), 若滿足卜列三個條件：1° 0WP(A)W 1,2 P( Q ) =130對于

5、兩兩互不才目容的事件A1, A2,有PAiP(Ai)i 1i 1常稱為可列(完全)可加性。則稱P(A)為事件A的概率。(8)古 典概型1 1 ,2n ,_12 P( 1) P( 2)P( n) -0n設任一事件A,它是由1, 2m組成的，則有P(A)= ( 1)(2)( m) = P( 1) P( 2)P( m)m A所包含的基本事件數(shù)n基本事件總數(shù)(9)幾 何概型若隨機試驗的結果為無限不可數(shù)并且每個結果出現(xiàn)的可能性均勻，同時樣本空間中的每一個基本事件可以使用一個有界區(qū)域來描述，則稱此隨機試驗為幾何概型。對任一事件 A,P(A) 上四。其中L為幾何度量(長度、面積、體積)。L()(1。) 加法

6、公 式P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)當 P(AB) = 0 時，P(A+B)=P(A)+P(B)(11 ) 減法公 式P(A-B)=P(A)-P(AB)當 B A 時，P(A-B)=P(A)-P(B)當 A=時，P( B)=1- P(B)(12) 條件概定義 設A、B是兩個事件，且P(A)>0,則稱P(AB)為事件A發(fā)生條件P(A)率下，事件B發(fā)生的條件概率，記為 P(B/A) P(AB)。P(A)條件概率是概率的一種，所有概率的性質都適合于條件概率。例如 P(Q /B)=1P( B7A)=1-P(B/A)(13) 乘法公 式乘法公式：P(AB) P(A)P(B/A)更一般

7、地，對事件 A1, A2, - An,若P(A1AA-1)>0 ,則有P(A1A2. An) P(A1)P(A21 A1)P(A31 A1A2)P(An|A1A2 An 1)o(14)獨立性兩個事件的獨立性設事件A、B滿足P(AB) P(A)P(B),則稱事件A、B是相互 獨立的。若事件A、B相互獨立，且P(A) 0,則有P(AB) P(A)P(B)P(B| A)； P(B)P(A)P(A)若事件A、B相互獨立，則可得到 A與B、A與B、A與"B也 都相互獨立。必然事件和不可能事件？與任何事件都相互獨立。?與任何事件都互斥。多個事件的獨立性設ABC是三個事件，如果滿足兩兩獨立的

8、條件，P(AB)=P(A)P(B) ; P(BC)=P(B)P(C) ; P(CA)=P(C)P(A)并且同日滿足 P(ABC)=P(A)P(B)P(C)那么A B、C相互獨立。對于n個事件類似。(15)全概公 式設事件B1,B2, ,Bn滿足1。B1,B2,相容，P(Bi) 0(i 1,2, ,n),nABi2i 1,則有P(A) P(B1)P(A| B1) P(B2)P(A| B2)P(Bn)P(A| Bn)。(16) 貝葉斯 公式設事件B1, B2 ,，Bn及A滿足1° B1 , B2 ,，Bn 兩兩互/、相容,P(Bi)>0, i 1, 2,， n ,nABi2i 1,

9、 P(A) 0,則c/c，八P(Bi)P(A/Bi).P(Bi / A) n, i=1 , 2, n。P(Bj)P(A/Bj) j 1此公式即為貝葉斯公式。P(Bj),(i 1,2,，n),通常叫先驗概率。 P(Bj/A),(i 1, 2,，n),通常稱為后驗概率。貝葉斯公式反映了 “因果”的概率規(guī)律，并作出了 “由果朔因”的推斷。(17)伯努利 概型我們作了 n次試驗，且滿足每次試驗只用兩種可能結果，A發(fā)生或A不發(fā)生；n次試驗是重復進行的，即A發(fā)生的概率每次均一樣；每次試驗是獨立的，即每次試驗A發(fā)生與否與其他次試驗 A發(fā)生與否是互耳、影響的。這種試驗稱為伯努利概型，或稱為n重伯努利試驗。用p

10、表示每次試驗 A發(fā)生的概率，則 A發(fā)生的概率為1 p q，用Pn(k)表示n重伯努利試驗中 A出現(xiàn)k(0 k n)次的概率，八、_kknk_Pn(k) Cnp q , k 0,1,2, ,no第二章隨機變量及其分布(i)離散型隨機變量的分布律設離散型隨機變量 X的可能取值為Xk(k=1,2,)且取各個值P(X=Xk)=pk, k=1,2,，則稱上式為離散型隨機變量X的概率分布或分布律。有時也X| X1,x2, ,xk,P(X xk) p1, p2, , pk,o顯然分布律應滿足卜列條件：pk 1(1) pk 0, k 1,2,(2) k1。(2)連續(xù)型隨機變量的分布密度設F(X)是隨機變量X的

11、分布函數(shù)，若存在非負函數(shù)f(x),對彳XF(x)f (x)dx則稱X為連續(xù)型隨機變量。f (x)稱為X的概率密度函數(shù)或密度密度函數(shù)具有卜面 4個性質：1 f(x) °。f(x)dx 12 o(3)離散與連續(xù)型隨機變量的關 系P(X x) P(x X x dx) f (x)dx積分元f(x)dx在連續(xù)型隨機變量理論中所起的作用與P(X >(4)分布函數(shù)設X為隨機變量，X是任意實數(shù)，則函數(shù)F(x) P(X x)稱為隨機變量X的分布函數(shù)，本質上是一個累積函數(shù)。P(a X b) F(b) F(a) 可以得到X落入?yún)^(qū)間(a,b分布函數(shù)具有如下性質：100 F(x) 1,x ;2 F(x)

12、是單調不減的函數(shù)，即 xi x2時，有 F(xi)3 F( ) lim F(x)x4。F(x 0) F(x),5°P(X x) F(x)對于離散型隨機變量，F(xiàn)(x)對于連續(xù)型隨機變量，F(xiàn)(x)0, F( ) lim F(x) 1x即F(x)是右連續(xù)的；F(x 0)。Pk ；xk xxf(x)dx 。(5)八大分布0-1分布P(X=1)=p, P(X=0)=q在n重貝努里試驗中，設事件 A發(fā)生的概率為 p。事件P(X k) Pn(k) Ckpkqnk,其中 q 1p,0則稱隨機變量 X服從參數(shù)為n , p的二項分布。記為 X當 n 1 時，P(X k)pkq1k, k 0.1 ,這就是

13、(0-0, k 0,1,2,的泊松分布，記為 X (泊設隨機變量X的分布律為松k分P(X k)e ,布k!則稱隨機變量X服從參數(shù)為泊松分布為二項分布的極限分布(np=X , n-8)。超 幾 何 分 布 幾 何 分 布 均 勻 分 布P(X k)CM ?CN M k 01,2 ,lCN ，l min(M ,n)隨機變量X服從參數(shù)為n,N,M的超幾何分布，記為 H(n,N,P(X k) qk1p,k 1,2,3,，其中 p>0, q=1-p。隨機變量X服從參數(shù)為p的幾何分布，記為 G(p)。設隨機變量X的值只落在a , b內，其密度函數(shù)f(x)在1f(x) b a0,aw x< b其

14、他，則稱隨機變量 X在a, b上服從均勻分布，記為XU(a,分布函數(shù)為0,F(x)xf (x)dxa< x< b1,x>b。當awx1<x2Wb時，X落在區(qū)間(x1,x2)內的概率為P(XiX2XiX X2)21 。b af(x)0,苴匚/、0,則稱隨機變量X服從參數(shù)為 的指數(shù)分布。X的分布函數(shù)為F(x)1 e0,x<0。記住積分公式:xne xdx n!0正 態(tài) 分 布設隨機變量X的密度函數(shù)為1(X 2)2f(x) =-e 2,x，J2其中、0為常數(shù)，則稱隨機變量 X服從參數(shù)為f (x)具有如下性質：1 。 f(x)的圖形是關于x 對稱的；12 當x 時，f(

15、)為最大值；2, J2若X-N(:x.則X2的分布函數(shù)為F(x) = e 2 dtJ2oo參數(shù)0、1苗時的正態(tài)分布稱為標準正態(tài)分布，記為(x) rre 2V2,x,分布函數(shù)為1 x f(x) -j= e 2 dt。(x)是不可求積函數(shù)，其函數(shù)值，已編制成表可供查用。 1(-x) = 1-(x)且 (0)=。X 2如果 X N( , 2),則N(0,1)。P(x1 X x2) 。(6)分位數(shù)下分位表：P(X)=;上分位表：P(X)=。(7)函數(shù)分布離 散 型已知X的£XP(X ) Y g(X)Y'布<i)g列為x1, x2, xn,p1, p2, pn,布列(yig(xj

16、互/、相等)如下：(x1), g(x2), g(xn),P(Y 4) 若有某些g(xi)p,等，喻應將對應白'pi相加作為g(xi)的M連 續(xù) 型先利用X的概率密度fX(x)寫出Y的分布函數(shù)FY(y) =P(g()第三章二維隨機變量及其分布(1)聯(lián) 合分布離散型如果二維隨機向量(X, Y)的所有口能取值為至多口設 =(X, Y)的所用可能取值為(Xi,yj)(i,j1,2,P(X,Y) 3»)pj(i, j 1,2,)為 二(X, Y)的分布律或稱為 X和Y的聯(lián)合分布律。聯(lián)合工yy2yjX1p11p12puX2P21p22p2jXipi1pij這里pij具有卜面兩個性質：(1

17、) Pij >0 (i,j=1,2,)；Pij1.連續(xù)型對于二維隨機向量(X,Y),如果存在非負函數(shù)f (x, y即 D=(X,Y)|a<x<b,c<y<d有P(X,Y) Df(x,y)dxdy,D則稱為連續(xù)型隨機向量；并稱 f(x,y)為=(X, Y)的夕分布密度f(x,y)具有卜面兩個性質：(1) f(x,y) >0;(2) f (x, y)dxdy 1.(2)二 維隨機 變量的 本質(X x,Y y) (X x Y y)(3)聯(lián) 合分布 函數(shù)設(X, Y)為二維隨機變量，對于任意實數(shù)x,y,二元函數(shù)F(x,y)稱為二維隨機向量(X, Y)的分布函數(shù)，或

18、稱為隨機變量X和Y的聯(lián)合分布函數(shù)。分布函數(shù)是一個以全平面為其定義域，以事件( 1, 2)|X( 1) x, Y(1) 0 F(x, y) 1;(2) F (x,y )分另1J對x和y是非減的，即當 x2>xi 時,有 F (x2,y ) > F(xi,y);當 y2>yi 時,有 F(x,y 2) > F(x,y 1);(3) F (x,y )分別對x和y是右連續(xù)的，即F(x,y) F(x 0,y),(4) F( ,) F( ,y) F(x, ) 0,F(,) 1.(5)對于 x1 x2, y1y2,F(x2, y?) F(x2, y)F(x1，幻F(x1，y1)0.(

19、4)離 散型與 連續(xù)型P(X x, Y y) P(xX x dx,y y ydy)f(x, y)dxdy的關系(5)邊 緣分布離散型X的邊緣分布為P?P(X為)Pj(i,j1,2,);Y的邊緣分布為P?jP(Yyj)Pij(i, j1,2,)。連續(xù)型X的邊緣分布.密度為fX(x)f(x, y)dy;Y的邊緣分布密度為fy(y)f(x, y)dx.(6)條 件分布離散型在已知X=x的條件下，Y取值的條件分布為PijP(Y yj|X xi);Pi?在已知Y=y的條件下，X取值的條件分布為PijP(X X |Y yj)J ,P?j連續(xù)型在已知Y=y的條件下，X的條件分布密度為f(x|y)答； fY(

20、y)在已知X=x的條件下，Y的條件分布密度為f(y|x)筌fx(X)獨立性一般型F(X,丫尸F(xiàn) x(x)F Y(y)離散型Pj Pi?P?j后零不獨立連續(xù)型f(x,y)=f x(x)f Y(y)直接判斷，充要條件：可分離交量正概率密度區(qū)間為矩形二維正態(tài)分布2ix i2 (x i)( y 2) y12(1 2)11 22f(x,y) -e212<1=0隨機變量的函數(shù)若X1,X2，X,Xm+1,X相互獨立，h,g為連續(xù)函數(shù)，則：h (X1, X2,Xm)和 g (Xm+1,Xn)相互獨立。特例：若X與Y獨立，則：h (X)和g (Y)獨立。例如：若X與Y獨立，則：3X+1和5Y-2獨立。設隨

21、機向量(X, Y)的分布密度函數(shù)為221x 12 (x i)(y2) y 212(1 2)11 22f(x, y) ,2 e,212/2其中1，2, 10，20,11 1是5個參數(shù)，則稱(X, Y)服從二維正態(tài)分布，記為(X, Y) -N( 1，2, 12, 2，).由邊緣密度的計算公式，可以推出二維止態(tài)分布的兩個邊緣分布仍為正態(tài)分布，即 XN( 1，12),YN( 2,力.但是若XN( 1，；)，YN( 2，2), (X, Y)未必是二維正態(tài)分布。Z=X+Y根據(jù)定義計算：FZ(z) P(Z z) P(X Y z)對于連續(xù)型，f Z(z) = f (x，z x)dx兩個獨立的正態(tài)分布的和仍為正

22、態(tài)分布(12, 2n個相互獨立的正態(tài)分布的線性組合，仍服從正態(tài)分布。_2-22Ci i ,Ci iZ=max，min(X 1，X2，Xn)若Xi,X2Xn相互獨立，其分布函數(shù)分別為Fx1(x), FFmax(x)Fx1(x)?Fx2(x)Fxn(x)Fmin(x)1 1 Fx1(x)?1 FX2(x)1 Fxn(x)(9)二 維正態(tài) 分布(10)函數(shù)分 布2分布設n個隨機變量Xi,X2,Xn相互獨立，且服從標準正態(tài)的分布密f我們稱隨機變量 W服從自由度為n的2分布，記為 W所謔自由度是指獨立正態(tài)隨機變量的個數(shù)，它是隨機變2 .一 一分布滿足可加性：設則Zt分布設X, Y是兩個相互獨立的隨機變量

23、，且可以證明函數(shù)的概率密f(t)r我們稱隨機變量T服從自由度為n的t分布，記為Tt(nti (n)t (n)F分布、一2 ,、2 ,、_tX(n1),Y(n2)，且X與丫獨立，可以證明Fn1_、n22ni 2， niLy1十"f(y)n1n2n2n2220,y 0我們稱隨機變量F服從A個自由度為 ni,第二個自由度為L ，、1Fi (ni,n2)廣，、F (n2,n1)第四章隨機變量的數(shù)字特征(i) 一維 隨機 變量 的數(shù) 字特 征離散型連續(xù)型期望期望就是平均值設X是離散型隨機變量，其分 布律為 P( X xk ) = pk ,k=i,2,n,nE(X)XkPkk i(要求絕對收斂)

24、設X是連續(xù)型隨機變量，其E(X) xf (x)dx(要求絕對收斂)函數(shù)的期望Y=g(X)nE(Y)g(Xk)Pkk iY=g(X)E(Y) g(x)f(x)dx力差_2D(X)=EX-E(X),標準差(X)向X),D(X)Xk E(X)2pkk2D(X) x E(X)2 f電對于的k階原點丫對于 與E (望為)即k.k=1,2,正整數(shù)k,稱隨機變量X對于正整凌欠哥的數(shù)學期望為 X的k卜矩，記為vk,即，k=E(X)=k=E(Xk)=X：Pi ,k=1,2,i對于正整清k=1,2,.正整數(shù)k,稱隨機變量XX)差的k次哥的數(shù)學期k E(X.(的k階中心矩，記為k ,= (x Ekk=1,2,.E(

25、X E(X)(XiE(X)kpi ,.攵k,稱隨機變 xk f (x)dx,.攵k,稱隨機變E(X)kk(X) f(x)dx刃比雪夫不等式設隨機P( X切比雪的一種變量X具有數(shù)學期望E (X)二醫(yī),方差D (X)二一，21 ) h 一夫不等式給出了在未知X的分布的情況下，對概率估計，它在理論上啟重要忌義。期望 的性 質(1) E(C尸C(2) E(CX尸CE(X)n(3) E(X+Y尸E(X)+E(Y) , E( Cii 1(4) E(XY尸E(X) E(Y),充分條件：充要條件：nXi)CiE(Xi)i 1X和Y獨立；X和Y不相關。(3) 方差 的性 質(1) D(C)=0 ; E(C)=C

26、(2) D(aX尸a 2D(X) ; E(aX)=aE(X)(3) D(aX+b)= a 2D(X) ; E(aX+b)=aE(X)+b(4) D(X)=E(X2)-E 2(X)(5) D(X±Y)=D(X)+D(Y),充分條件：X和 Y獨立；充要條件：X和Y不相關。D(X±Y尸D(X)+D(Y) ± 2E(X-E(X)(Y-E(Y),無條件成立。而E(X+Y尸E(X)+E(Y),無條件成立。(4)期望常見 分布0-1 分布 B(1, p)P泊松分布P()幾何分布G(p)1P超幾何分布 H (n, M, N)nMN均勻分布U(a,b)a b2指數(shù)分布e()1正態(tài)分

27、布N ( , 2)2分布nt分布0期望nE(X)xi 1 nE(Y)yj 1i pi?j p?jE(X)xfx(x)dxE(Y)yfY(y)dy函卜的期望EG(X,Y)G(Xi,yj)pjEG(X,Y) =G(x, y)f(x, y)dxd力*D(X)D(Y)】_2XiE(X) pi?Xj E(Y)2p?jD(X)x E(X)2f2D(Y)y E(Y)2f(協(xié)方差對于隨機變量X與Y,稱它們的二階?!合中心矩11為X與維機量數(shù)特 二隨變的字征期和差的望方項分布B(n, p)npxy 11 E(X E(X)(Y E(Y).與記號 xy相對應，X與Y的方差D (X)與D (Y)也可分另相關系數(shù)對于隨

28、機變量X與Y,如果D (X) >0, D(Y)>0 ,則稱為X與丫的相關系數(shù)，記作XY (有時可簡記為)|W1,當|=1時，稱X與丫完全相關：P(X完全在而當0時，稱X與Y不相關。以下三個命題是等價的:0; cov(X,Y)=0; E(XY)=E(X)E(Y);D(XD(X+Y)=D(X)+D(Y);-Y)=D(X)+D(Y).協(xié)方差矩陣XXXYYXYY混合矩.一 一 、一 .一,， k l 、對于隨機變量X與Y,如果有E(X Y )存在，則稱之為 X(6)(i)cov (X, Y)=cov (Y, X);協(xié)方(ii)cov(aX,bY)=ab cov(X,Y);差的(iii)co

29、v(X 1+X2, Y)=cov(X i,Y)+cov(X 2,Y);性質(iv)cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y).uki獨立 和不 相關若隨機變量X與丫相互獨立，則 XY 0；反之不真。若(X, Y)N ( 1，2, 12 ,22,),則X與丫相互獨立的充要條件是X和Y不相關。第五章大數(shù)定律和中心極限定理(1)大數(shù)定律X比同一常數(shù)C所界：D (X) <C(i=1,2,)，則對于任意的正雪數(shù)e ,有夫1 n1 n大lim P-Xi -E(Xi)1.數(shù)nn i 1n i 1定特殊情形：若X1, X 具有相同的數(shù)學期望 E (XI)切 設隨機變量X1, X2,相互獨立，均具有有

30、限方差，且被律 =(1,則上式成為lim P _ Xi1.nc-(2)中心極限定理_2X N(,一) n伯 努 利 大 數(shù) 定 律設科是n次獨立試驗中事件 A發(fā)生的次數(shù)，p是事件A在每次試驗中發(fā)生的概率，則對于任意的正數(shù)e,有l(wèi)im P p 1. n n伯努利大數(shù)定律說明， 當試驗次數(shù)n很大時，事彳A 發(fā)生的頻率與概率有較大判別的可能性很小，即lim Pn0.這就以嚴格的數(shù)學形式描述了頻率的穩(wěn)定性。¥設X1, X2,，Xn,是相互獨立同分布的隨機變量序列，欽 大且E (X)二科，則對于任意的正數(shù)£有1 nlim P - Xi1.nn i 1數(shù) 定 律列設隨機變量X1, X2

31、,相互獨立，服從同一分布，且維具有相同的數(shù)學期望和方差：一林 德 伯 格 定一一、一，一、2一，,，一、一E(Xk) ,D(Xk)0(k 1,2,)，則隨機變量nXk n7k 1Yn喜理的分布函數(shù)Fn(X)對任意白實數(shù)X,有nXk nt2I X clim Fn (x) lim P ： x e 2 dt.nn. n2此定理也稱為 獨立同分布 的中心極限定理。棣 莫 弗一拉 普 拉 斯 定 理設隨機變里 Xn為具后參數(shù)n, p(0<p<1)的一項分布，則對于任意實數(shù)x,有t2.D Xn np1x T .lim P_ x.e 2 dt.n"np(1 p)v12（3）二項定理若當

32、N時,Mp（n,k/、父），則Nk kn kCM CN Mckk/彳、nknCnP （1 P）（N）.CN超幾何分布的極限分布為二項分布。（4）泊松定理若當n時,np0,則k八 k k n k/、Cn P （1 P）-e（n）.k!其中k=0, 1, 2,，n,。二項分布的極限分布為泊松分布。第六章樣本及抽樣分布(1)總體在數(shù)理統(tǒng)計中，常把被考察對象的某一個（或多個）指標的數(shù)理全體稱為總體（或母體）。我們總是把總體看成一個具有分布統(tǒng)計的隨機變量（或隨機向量）。的基個體總體中的每一個單元稱為樣品（或個體）。本 念概樣本我們把從總體中抽取的部分樣品x1, x2, ,xn稱為樣本。樣本中所含的樣品數(shù)

33、稱為樣本容量，一般用n表示。在一般情況下，總是把樣本看成是 n個相互獨立的且與總體有相同分 布的隨機變量，這樣的樣本稱為簡單隨機樣本。在泛指任一次抽取的結果時，Xi, x2, , xn表示n個隨機變量（樣本）；在具體的一次抽取之后，Xi,X2, ,Xn表示n個具體的數(shù)值（樣本值）。我們稱之為樣本的兩重性。樣本函數(shù) 和統(tǒng)U里設Xi,X2, ,Xn為總體的一個樣本，稱(X1,X2, ,Xn)為樣本函數(shù)，其中方-個連續(xù)函數(shù)。如果中不包含任何未知參數(shù)，則稱(X1,X2, ,Xn)為一個統(tǒng)計量。常見統(tǒng)計 量及其性 質一 1n 樣本均值X Xi .n i i樣本力差nn一S2-(XiX)2.n 1 i i

34、樣本標準差S J n (Xi x)2.n n 1 i 1樣本k階原點矩1 n , Mk Xik,k 1,2,.n i 1樣本k階中心矩1 n- kMk 一(Xi x) ,k 2,3,.n i 12E(X) , D(X)一, nE(S2)2, E(S*2)2,n,_91 n 9.其中S*2 (Xi X)2 ,為二階中心矩。n i 1正態(tài) 總體 下的 四大 分布正態(tài)分布設X1,X2,Xn為來自止態(tài)總體 N( , 2 )的一個樣本，則樣本函數(shù)def XU-lN(0,1)./鄧nt分布設Xi,X2,Xn為來自止態(tài)總體 N( , 2)的一個樣本，則樣本函數(shù)def x t -k t(n 1),s/ Jn其

35、中t(n-1)表示自由度為n-1的t分布。2分布2設Xi,X2, ,Xn為來自止態(tài)總體 N( , 2)的一個樣本，則樣 本函數(shù)def(n 1)S22,八w-2 (n 1),其中2(n 1)表示自由度為n-1的2分布。F分布2設X1，X2,Xn為來臼止態(tài)息體 N ( , 1 )的一個樣本)而 一，2 .y1，y2, ,yn為來自止態(tài)總體 N( , 2)的一個樣本，則樣 本函數(shù)def S12 / 12F-41TF(n1 1,n2 1), S2/ :其中1n1_1n2_ 212_ 212S11 (Xi X) ,S21(yiy);n1 1 i 1n2 1 i 1F(n1 1, n2 1)表示第一自由度

36、為 n1 1,第二自由度為n2 1的F分布。(3) 正態(tài) 總體 下分 布的 性質一._ 2 .X與S獨立。第七章參數(shù)估計(1)點估 計矩估 計設總體X的分布中包含有未知數(shù)1, 2, , m ,則其分布函數(shù)可以表成 F(X； 1, 2, , m).它的 k 階原點矩Vk E(X )(k 1,2, ,m)中也包含了未知參數(shù)1, 2, , m,即Vk Vk( 1, 2, , m)。又設X1,X2, ,Xn為總體X的n個樣 本值，其樣本的k階原點矩為1 n ,1Xik (k 1,2,m).n i 1這樣，我們按照“當參數(shù)等于其估計量時，總體矩等于相應的樣本矩”的原則建立方程，即有1 nV1( 1, 2

37、, m) - Xi,n i 1一11 n 2V2 ( 1 , 2 , , m)Xi ,n i 11 n1、.mVm(1,2, , m)Xi .n i 1由上面的m個方程中，解出的 m個未知參數(shù)(1, 2, , m)即為參數(shù)(1, 2, m)的矩估計量。若 為 的矩估計，g(X)為連續(xù)函數(shù)，則g(3為g()的矩估 計。極大 似然當總體X為連續(xù)型隨機變量時，設其分布密度為f(x； 1, 2, m),其中1 , 2, m為未知參數(shù)。又設Xi ,X2 , ,Xn為總體的一個樣本，稱nL( 1 , 2, m)f(Xi； 1,2, , m)i 1為樣本的似然函數(shù)，簡記為 L.當總體X為離型隨機變量時，設其

38、分布律為PX X p(X； 1,2, m),則稱nL(x1 ,X2 , ,Xn； 1, 2 , , m )P(Xi； 1, 2 , , m)i 1為樣本的似然函數(shù)。若似然函數(shù) L(X1,X2, ,Xn； 1, 2, m)在 1, 2 , m處取到最大值，則稱1, 2, , m分別為1, 2, , m的最大似然倩計值，相應的統(tǒng)計量稱為最大似然估計量。1n 0,i 1,2, ,m若 為 的極大似然估計，g(x)為單調函數(shù)，則9(?)為9()的 極大似然估計。估計 量的 評選 標準無偏 性設(X1,X2, ,Xn)為未知參數(shù) 的估計重。右E ()二,則稱 為的無偏估計量。E ( X ) =E (X)

39、, E (S2) =D (X)功效 性設 11(X1, X,2, ,Xn)和 22(X1, X,2 , , Xn )參數(shù) 的兩個無偏估計量。若D( 1) D( 2),則稱1比2有效。性設n是 的一串估計量，如果對于任意的正數(shù)，都有l(wèi)im P(| n |) 0,則稱n為的一致估計量(或相合估計量)。若 為的無偏估計，且D(?)0(n工則為的一致估計。只要總體的E(X)和D(X)存在，一切樣本矩和樣本矩的連續(xù)函數(shù)都 是相應總體的一致估計量。(3) 區(qū)間置信 區(qū)間 和置 信度設總體X含有一個待估的未知參Xi,X,2,Xn出發(fā)，找出兩個統(tǒng)計量22 (X1, X, 2 , , Xn ) ( i2 ) ,1(01)的概率包含這個待估參tP 12那么稱區(qū)間1，2為 的置信區(qū)間，1 置信水平)。數(shù)。如果我們從樣本11(X1, X,2 , , Xn )與使得區(qū)間1, 2以攵,即1,為該區(qū)間的置信度(或單正 態(tài)總 體的 期望 和方 差的 區(qū)間設X1,X,2, ,Xn為總體XN(, 2)的一個樣本，在置信度為. 一2 1下，我們來確定和的置信區(qū)間1, 2。具體步驟如下