結(jié)構(gòu)力學(xué)五章位移計(jì)算

1、2022-1-171第第 五五 章章2022-1-1725-1 應(yīng)用虛功原理求剛體體系的位移應(yīng)用虛功原理求剛體體系的位移一、結(jié)構(gòu)位移計(jì)算概述一、結(jié)構(gòu)位移計(jì)算概述計(jì)算位移的目的：（計(jì)算位移的目的：（1）剛度驗(yàn)算，（）剛度驗(yàn)算，（2）超靜定結(jié)構(gòu)分析的基礎(chǔ)）超靜定結(jié)構(gòu)分析的基礎(chǔ)產(chǎn)生位移的原因：（產(chǎn)生位移的原因：（1）荷載）荷載cc1t12tt （2）溫度變化、材料脹縮）溫度變化、材料脹縮（3）支座沉降、制造誤差）支座沉降、制造誤差A(yù)VBV以上都是絕對(duì)位移以上都是絕對(duì)位移以上都是相對(duì)位移以上都是相對(duì)位移廣義位移廣義位移位移計(jì)算雖是幾何問(wèn)題，但是用虛功原理解決最方便位移計(jì)算雖是幾何問(wèn)題，但是用虛功原理解

2、決最方便2022-1-173二、虛功原理二、虛功原理 1、實(shí)功與虛功、實(shí)功與虛功 實(shí)功實(shí)功是力在自身引起的位移上所作的功。如是力在自身引起的位移上所作的功。如 T11，T22， 實(shí)功恒為正。實(shí)功恒為正。 虛功虛功是力在其它原因產(chǎn)生的位移上作的功。如是力在其它原因產(chǎn)生的位移上作的功。如T12， 如力與位移同向，虛功為正，反向時(shí)，虛功為負(fù)。如力與位移同向，虛功為正，反向時(shí)，虛功為負(fù)。P1P2112212荷載由零增大到荷載由零增大到P1，其作用點(diǎn)的位移也由零增大到，其作用點(diǎn)的位移也由零增大到11，對(duì)線彈性體系，對(duì)線彈性體系P與與成正比。成正比。P11P1元功：元功：再加再加P2， P2在自身引起的位

3、移在自身引起的位移22上作的功為：上作的功為：在在12過(guò)程中，過(guò)程中，P1的值不變，的值不變，12與與P1無(wú)關(guān)無(wú)關(guān)dTOABKj位移發(fā)生的位置位移發(fā)生的位置產(chǎn)生位移的原因產(chǎn)生位移的原因dPdT1111121PdTT2222221PT12112 PT2022-1-1742、廣義力與廣義位移、廣義力與廣義位移 作功的兩方面因素：力、位移。與力有關(guān)的因素，稱為廣義力作功的兩方面因素：力、位移。與力有關(guān)的因素，稱為廣義力S。與位移。與位移有關(guān)的因素，稱為廣義位移有關(guān)的因素，稱為廣義位移。 廣義力與廣義位移的關(guān)系是：它們的乘積是虛功。即：廣義力與廣義位移的關(guān)系是：它們的乘積是虛功。即：T=S1）廣義力是

4、單個(gè)力，則廣義位移是該力的作用點(diǎn)的位移在力作用方向上的分量）廣義力是單個(gè)力，則廣義位移是該力的作用點(diǎn)的位移在力作用方向上的分量Pm2）廣義力是一個(gè)力偶，則廣義位移是它所作用的截面的轉(zhuǎn)角）廣義力是一個(gè)力偶，則廣義位移是它所作用的截面的轉(zhuǎn)角。3）若廣義力是等值、反向的一對(duì)力）若廣義力是等值、反向的一對(duì)力PPPttABBA這里這里是與廣義力相應(yīng)的廣義位移。是與廣義力相應(yīng)的廣義位移。表示表示AB兩點(diǎn)間距的改變，即兩點(diǎn)間距的改變，即AB兩點(diǎn)的相對(duì)位移。兩點(diǎn)的相對(duì)位移。4）若廣義力是一對(duì)等值、反向的力偶）若廣義力是一對(duì)等值、反向的力偶 mABmm A B這里這里是與廣義力相應(yīng)的廣義位移。是與廣義力相應(yīng)的廣

5、義位移。表示表示AB兩截面的相對(duì)轉(zhuǎn)角。兩截面的相對(duì)轉(zhuǎn)角。BAPPT)(BAP PBAmmT)(BAm m2022-1-175abABC1c?P=1ABCab1R三、虛力原理三、虛力原理已知已知1c求求虛功方程虛功方程設(shè)虛力狀態(tài)設(shè)虛力狀態(tài)abR0bPaR110cR1111cab小結(jié)：小結(jié)： （1）形式是虛功方程，實(shí)質(zhì)是幾何方程；）形式是虛功方程，實(shí)質(zhì)是幾何方程；（2）在擬求位移方向虛設(shè)一單位力，利用平衡條件求出與已知位移相）在擬求位移方向虛設(shè)一單位力，利用平衡條件求出與已知位移相 應(yīng)的支座反力。應(yīng)的支座反力。構(gòu)造一個(gè)平衡力系構(gòu)造一個(gè)平衡力系；（3）特點(diǎn)是用靜力平衡條件解決幾何問(wèn)題。）特點(diǎn)是用靜力

6、平衡條件解決幾何問(wèn)題。單位荷載其虛功正好等于擬求位移。單位荷載其虛功正好等于擬求位移。虛設(shè)力系求剛體體系位移虛設(shè)力系求剛體體系位移2022-1-176四、支座位移時(shí)靜定結(jié)構(gòu)的位移計(jì)算四、支座位移時(shí)靜定結(jié)構(gòu)的位移計(jì)算（1）C點(diǎn)的豎向位移點(diǎn)的豎向位移c（2）桿）桿CD的轉(zhuǎn)角的轉(zhuǎn)角l3l 23lABCDABCD13134ABCD1l 21l2l 23已知位移已知位移Ac求求:cAc 03111DccAcc31 02112AclAcl 21 所得正號(hào)表明位移方所得正號(hào)表明位移方向與假設(shè)的單位力方向向與假設(shè)的單位力方向一致。一致。求解步求解步驟驟（1）沿所求位移方向加單位力，求出虛反力；）沿所求位移方向

7、加單位力，求出虛反力；（3）解方程得）解方程得kkcR 定出方向。定出方向。（2）建立虛功方程）建立虛功方程01kkcR2022-1-177dBAaamaaBAdm1aaABMiiaMsin1虛功方程：虛功方程：01dMmdMmBAiiBAQdQ1AQsin1Q01dQQdQQ 例例1、懸臂梁在截面、懸臂梁在截面B處由于某種原因處由于某種原因產(chǎn)生相對(duì)轉(zhuǎn)角產(chǎn)生相對(duì)轉(zhuǎn)角d ，試求，試求A點(diǎn)在點(diǎn)在ii方向的方向的位移位移 。m 例例2、懸臂梁在截面、懸臂梁在截面B處由于某種原因處由于某種原因產(chǎn)生相對(duì)剪位移產(chǎn)生相對(duì)剪位移d ，試求試求A點(diǎn)在點(diǎn)在ii方向方向的位移的位移 。Q2022-1-178 例例3

8、、懸臂梁在截面、懸臂梁在截面B處由于某種原因產(chǎn)生軸向位移處由于某種原因產(chǎn)生軸向位移d 試求試求A點(diǎn)在點(diǎn)在方向的位移方向的位移 。NBABAii NNBA 1NN由平衡條件：由平衡條件：cos1N虛功方程：虛功方程：01dNNdNN 當(dāng)截面當(dāng)截面B同時(shí)產(chǎn)生三種相對(duì)位移時(shí)，在同時(shí)產(chǎn)生三種相對(duì)位移時(shí)，在ii方向所產(chǎn)生的位移方向所產(chǎn)生的位移 ，即是三者的疊加，有：即是三者的疊加，有：dNdQdMNQMd2022-1-1795-2 5-2 結(jié)構(gòu)位移計(jì)算的一般公式結(jié)構(gòu)位移計(jì)算的一般公式 變形體的位移計(jì)算變形體的位移計(jì)算推導(dǎo)位移計(jì)算公式的兩種途徑推導(dǎo)位移計(jì)算公式的兩種途徑由變形體虛功原理來(lái)推導(dǎo)；由變形體虛功

9、原理來(lái)推導(dǎo)；由剛體虛功原理來(lái)推導(dǎo)由剛體虛功原理來(lái)推導(dǎo)局部到整體局部到整體。一、局部變形時(shí)的位移計(jì)算公式一、局部變形時(shí)的位移計(jì)算公式基本思路：基本思路：dsdddRii ddsddsddRdsR1（1）三種變形：）三種變形：在剛性桿中，取微段在剛性桿中，取微段ds設(shè)為變形體，分析局部變形設(shè)為變形體，分析局部變形所引起的位移。所引起的位移。2022-1-1710dsRdsddsddsddsdddRiiddsddsddRds 1Q,N,M（2）微段兩端相對(duì)位移：）微段兩端相對(duì)位移：續(xù)基本思路：設(shè)續(xù)基本思路：設(shè),0ds 微段的變形以截面微段的變形以截面B左右兩端的相對(duì)位移的左右兩端的相對(duì)位移的形式出現(xiàn)

10、，形式出現(xiàn)，即剛體位移即剛體位移，于是可以利用剛體虛功原理求位移。，于是可以利用剛體虛功原理求位移。（3）應(yīng)用剛體虛功原理求位移）應(yīng)用剛體虛功原理求位移d 即前例的結(jié)論。即前例的結(jié)論。dQdNdMdQNM或或ds)QNM(d2022-1-1711二、結(jié)構(gòu)位移計(jì)算的一般公式二、結(jié)構(gòu)位移計(jì)算的一般公式iids)QNM(d一根桿件各個(gè)微段變形引起的位移總和：一根桿件各個(gè)微段變形引起的位移總和：ds)QNM(d如果結(jié)構(gòu)由多個(gè)桿件組成，則整個(gè)結(jié)構(gòu)變形引起某點(diǎn)的位移為：如果結(jié)構(gòu)由多個(gè)桿件組成，則整個(gè)結(jié)構(gòu)變形引起某點(diǎn)的位移為：ds)QNM(若結(jié)構(gòu)的支座還有位移，則總的位移為：若結(jié)構(gòu)的支座還有位移，則總的位移

11、為：kkcRds)QNM(2022-1-1712kkcRds)QNM(適用范圍與特點(diǎn)：適用范圍與特點(diǎn)：2） 形式上是虛功方程，實(shí)質(zhì)是幾何方程。形式上是虛功方程，實(shí)質(zhì)是幾何方程。關(guān)于公式普遍性的討論：關(guān)于公式普遍性的討論：（1）變形類型：軸向變形、剪切變形、彎曲變形。）變形類型：軸向變形、剪切變形、彎曲變形。（2）變形原因：荷載與非荷載。）變形原因：荷載與非荷載。（3）結(jié)構(gòu)類型：各種桿件結(jié)構(gòu)。）結(jié)構(gòu)類型：各種桿件結(jié)構(gòu)。（4）材料種類：各種變形固體材料。）材料種類：各種變形固體材料。1） 適于小變形，可用疊加原理。適于小變形，可用疊加原理。2022-1-1713位移計(jì)算公式也是變形體虛功原理的一種

12、表達(dá)式。位移計(jì)算公式也是變形體虛功原理的一種表達(dá)式。kkcRds)QNM(1c2cdsds1t2tKK 11R2RdsddsdddsdsdsMdsNdsQ外虛功：外虛功：kkecR1W內(nèi)虛功：內(nèi)虛功：dsQNMWi變形體虛功原理：各微段內(nèi)力在應(yīng)變上所作的內(nèi)虛功總和變形體虛功原理：各微段內(nèi)力在應(yīng)變上所作的內(nèi)虛功總和Wi ，等于荷載在位等于荷載在位移上以及支座反力在支座位移上所作的外虛功總和移上以及支座反力在支座位移上所作的外虛功總和We 。即：即：dsQNMcRkk12022-1-1714三、位移計(jì)算的一般步驟三、位移計(jì)算的一般步驟:1c2c1t2tKK 11R2R實(shí)際變形狀態(tài)虛力狀態(tài)kkcRd

13、s)QNM(1) 建立虛力狀態(tài)：在待求位移方向上加單位力；建立虛力狀態(tài)：在待求位移方向上加單位力；(2) 求虛力狀態(tài)下的內(nèi)力及反力求虛力狀態(tài)下的內(nèi)力及反力kR.Q.N.M表達(dá)式表達(dá)式;(3) 用位移公式計(jì)算所求位移，注意正負(fù)號(hào)問(wèn)題。用位移公式計(jì)算所求位移，注意正負(fù)號(hào)問(wèn)題。kR.Q.N.M2022-1-17155-3 5-3 荷載作用下的位移計(jì)算荷載作用下的位移計(jì)算研究對(duì)象：靜定結(jié)構(gòu)、線性彈性材料。研究對(duì)象：靜定結(jié)構(gòu)、線性彈性材料。ds)QNM(重點(diǎn)在于解決荷載作用下應(yīng)變重點(diǎn)在于解決荷載作用下應(yīng)變 的表達(dá)式。的表達(dá)式。、一、計(jì)算步驟一、計(jì)算步驟（1）在荷載作用下建立）在荷載作用下建立 的方程，可

14、經(jīng)由荷載的方程，可經(jīng)由荷載內(nèi)力內(nèi)力應(yīng)力應(yīng)力應(yīng)變應(yīng)變 過(guò)程推導(dǎo)應(yīng)變表達(dá)式。過(guò)程推導(dǎo)應(yīng)變表達(dá)式。PPPQ.N.M（2）由上面的內(nèi)力計(jì)算應(yīng)變，其表達(dá)式由材料力學(xué)知）由上面的內(nèi)力計(jì)算應(yīng)變，其表達(dá)式由材料力學(xué)知GAQkEANEIMPPPk-為截面形狀系數(shù)為截面形狀系數(shù)1.29101AA(3) 荷載作用下的位移計(jì)算公式荷載作用下的位移計(jì)算公式dsGAQQkdsEANNdsEIMMPPP2022-1-1716二、各類結(jié)構(gòu)的位移計(jì)算公式二、各類結(jié)構(gòu)的位移計(jì)算公式（1 1）梁與剛架）梁與剛架dsEIMMP（2 2）桁架）桁架EAlNNdsEANNdsEANNPPP（3 3）拱）拱dsEANNdsEIMMPP20

15、22-1-1717q2l2lACBAV(a) 實(shí)際狀態(tài)實(shí)際狀態(tài)xP=1ACB2l2l(b) 虛設(shè)狀態(tài)虛設(shè)狀態(tài)AC段段2lx00NP0MP0QP0NxM1QCB段段lx2l0NP2P2lx2qM2lxqQP0N xM1Qx例例1. 試計(jì)算懸臂梁試計(jì)算懸臂梁A點(diǎn)的豎向位移點(diǎn)的豎向位移CEI,AV。1）列出兩種狀態(tài)）列出兩種狀態(tài)的內(nèi)力方程：的內(nèi)力方程：2022-1-1718AC段段2lx00NP0MP0QP0N xM1QCB段段lx2l0NP2P2lx2qM2lxqQP0N xM1Q2) 將上面各式代入位移公式分段積分計(jì)算將上面各式代入位移公式分段積分計(jì)算AVAC段段2lx0在荷載作用下的內(nèi)力均為零

16、，故積分也為零。在荷載作用下的內(nèi)力均為零，故積分也為零。CB段段lx2lllPP2l2ldxGAQQkdxEIMMl2lPM2l2lEIdx2lx2qxdxEIMM EI384ql7192l7EI2q442022-1-1719CB段段lx2l0NP2P2lx2qM2lxqQP0N xM1Ql2lPM2l2lEIdx2lx2qxdxEIMM EI384ql7192l7EI2q44 l2lPQ2l2lGA20ql3GAdx2lxq12 . 1dxGAQQkGA20ql3EI384ql724QM設(shè)為矩形截面設(shè)為矩形截面 k=1.22022-1-17203）討論）討論比較剪切變形與彎曲變形對(duì)位移的影響

17、。比較剪切變形與彎曲變形對(duì)位移的影響。GAqlEIqlQM20338472424223. 83847203GAlEIEIqlGAqlMQ設(shè)材料的泊松比設(shè)材料的泊松比 , 由材料力學(xué)公式由材料力學(xué)公式 。 313812GE設(shè)矩形截面的寬度為設(shè)矩形截面的寬度為b、高度為、高度為h，則有，則有,12bhI ,bhA3代入上式代入上式22283. 11213823. 823. 8lhlhGAlEIMQ%32. 7,51%;83. 1,101MQMQlhlh時(shí)當(dāng)時(shí)當(dāng)2022-1-17212P2PPm/NqP4qlP 1111.51.5-4.74-4.42-0.954.51.53.0PN10.50.5-1

18、.58-1.58001.51.5N2P2P例例2 計(jì)算屋架頂點(diǎn)的豎向位移。計(jì)算屋架頂點(diǎn)的豎向位移。0.25l0.25l0.25l0.25lADCEFGB2022-1-17221111.51.5-4.74-4.42-0.954.51.53.0PN10.50.5-1.58-1.58001.51.5NEAlNNPCADDCDE材料桿件PNNlAEAlNNPEAlNNP鋼筋砼鋼CEAEEGccAEPl97. 1ccAEPl81. 3ssAEPl63. 0ssAEPl13. 1ssccCEAEAPl13. 181. 32ABCDEFGP74. 458. 1l263. 0P42. 458. 1l263. 0cAcAccAEPl84. 1P95. 00l088. 0cA75. 00P50. 10l278. 0sA0P50. 450. 1l278. 0sA3P00. 350. 1l222. 0sA2ssAEPl50. 02022-1