時(shí)間序列模型案例

1、2.6案例分析1中國(guó)人口時(shí)間序列模型圖2.11中國(guó)人口序列(1949-2000)file:b2c1)圖2.12中國(guó)人口一階差分序列(1950-2000)從人口序列圖可以看出我國(guó)人口總水平除在1960和1961兩年出現(xiàn)回落外，其余年份基本上保持線性增長(zhǎng)趨勢(shì)。47年間平均每年增加人口1451.5萬(wàn)人，年平均增長(zhǎng)率為17.5%o 。由于總?cè)丝跀?shù)逐年增加，實(shí)際上的年人口增長(zhǎng)率是逐漸下降的。把47年分為兩個(gè)時(shí)期，即改革開(kāi)放以前時(shí)期(19491978)和改革開(kāi)放以后時(shí)期(19781996),則前一個(gè)時(shí)期的年 平均增長(zhǎng)率為 20%，后一個(gè)時(shí)期的年平均增長(zhǎng)率為13.4 %。從人口序列的變化特征看，這是一個(gè)非平

2、穩(wěn)序列。見(jiàn)人口差分序列圖。建國(guó)初期由于進(jìn)入和平環(huán)境，同時(shí)隨著國(guó)民經(jīng)濟(jì)的迅速恢復(fù)，人口的年凈增數(shù)從1950年的1029萬(wàn)人，猛增到1957年的1825萬(wàn)人。由于糧食短缺，三年經(jīng)濟(jì) 困難時(shí)期是建國(guó)后我國(guó)惟一一次人口凈負(fù)增長(zhǎng)時(shí)期(1960, 1961),人口凈增值不但沒(méi)有增加，反而減少。隨著經(jīng)濟(jì)形勢(shì)的好轉(zhuǎn)，從1962年開(kāi)始人口年增加值迅速恢復(fù)到1500萬(wàn)的水平，隨后呈連年遞增態(tài)勢(shì)。1970年是我國(guó)歷史上人口增加最多的一個(gè)年份，為2321萬(wàn)人。隨著70年代初計(jì)劃生育政策執(zhí)行力度的加強(qiáng)，從1971年開(kāi)始。年人口增加值逐年下降，至1980年基本回落到建國(guó)初期水平。1981至1991年人口增加值大幅回升，主

3、要原因是受19621966年高出生率的影響(1963年為43.73%。)。這種回升的下一個(gè)周期將在2005年前后出現(xiàn)，但強(qiáng)勢(shì)會(huì)有所減弱。從數(shù)據(jù)看，1992年以后，人口增加值再一次呈逐年下降趨勢(shì)。由于現(xiàn)在的人口基數(shù)大于以往年份，所以盡管年增人口仍在1千萬(wàn)人以上，但人口增長(zhǎng)率卻是建國(guó)以來(lái)最低的(1996年為10.5%) o從厶yt的變化特征看，1960, 1961年數(shù)據(jù)可看作是兩 個(gè)異常值，其它年份數(shù)據(jù)則表現(xiàn)為平穩(wěn)特征。但也不是白噪聲序列，而是一個(gè)含有自相關(guān)和(或)移動(dòng)平均成分的平穩(wěn)序列。下面通過(guò)對(duì)人口序列 yt和人口差分序列 Dyt的相關(guān)圖，偏向關(guān)圖分析判別其平穩(wěn)性以及 識(shí)別模型形式。Autoc

4、orrelation Partial Correlation AC PAC Q*Stat Prob2 3 4567890196172 7 2749483 7 263.8.877;e£,9 . ,0.0. ,0.0.o,3.51.604LI0.949 49.534 0.0000.D41 94,572 0,0000.038 135.15 0.000.036 171.36 0.0000.033 203.35 0.0000.031 231.32 0.0000.034 265 45 0.000.031 275.96 0.0000.D25 293 16 0.0000.032 307.29 0.0

5、00圖2.13 yt的相關(guān)圖，偏相關(guān)圖Autocorrelation Partial Correlation AC PAC Q-Stat Prob1 0.609 0.6092 0.247 -0.1950 130 0.1150 074 -0.041-0.001 .061-0.062 -.043-0/39 -0.120-0/63 0.D02-0.185 -0.130-0 219 -0.0653456789 0JI20 020 0 00023.394 0.00024.352 0.00024.670 0.00024.670 0.00024 898 0.0002B.D92 0.00027.565 0.0

6、0129773 0.00032 946 Li Ui：IU圖2.14 Dyt的相關(guān)圖，偏相關(guān)圖(虛線到中心線的距離是2 (1/ -,51 ) = 0.28)見(jiàn)圖2.13和圖2.14。人口序列 y是非平穩(wěn)序列。人口差分序列Dyt是平穩(wěn)序列。應(yīng)該用 Dyt建立模型。因?yàn)镈yt均值非零，結(jié)合圖2.14擬建立帶有漂移項(xiàng)的AR(1)模型。估計(jì)結(jié)果如下：Dyt = 0.1429 + 0.6171 ( Dyt-1 - 0.1429) + vt(8.7)(5.4)2R = 0.38, Q = 5.2, Q：.(k-p-q)= Q0.05(10-1-0)= 16.9整理：Dyt = 0.0547 + 0.6171

7、 Dyt-1 + vt特征根是1 / 0.62 = 1.61。EViews操作方法：從 EViews主菜單中點(diǎn)擊 Quick鍵，選擇 Estimate Equation功能。隨 即會(huì)彈出Equation specification對(duì)話框。輸入1階自回歸時(shí)間序列模型估計(jì)命令( C表示漂 移項(xiàng))如下：DY C ARDependent Variable: DYMethod： Least SquaresDate: 06/07/D3 Time: 11:45Sample(adjusted): 1951 200QIncluded observations: 50 after adjusting endpoi

8、ntsConvergence achieved after3 iterationsVariableCoefficientStd. Error StatisticProb.C0.1428620.0164670.6757360.0000AR(1)0.6171160.1139535.415526BOOOR-squared0.379267Mean dependent vair0.143094Adjusted R-squared0.366335S D. dependentvar0.056004S. E. of regression0.044581Akaike info criteirion-3 343S

9、28Sum squared resid0.095399Schwarz criterion-3.2E7348Log likelihood85.59571F-statistic29.32792Durbin-Watson stat1.757605F'robfF-statistic)0.000002Inverted AR Roots.62Autocorrelation Partial Correlation AC PAG Q-Stat Prob1 >1 0.116 0 118 0.7424>112 -0.182 -0.199 2.5330 0J111 1111 '3 -0

10、023 0.028 2.5626 0.27811 1114 0.044 0.000 2 6733 0.4J5II11 115 -.024 -0.033 2 7064 0.60S11 111 '6 0.008 0.029 2.7106 0 7441 1> 117 -0.078 -0.101 3.0814 0.7991118 0 031 0.001 3 1407 0.3721 1-< 19 -0.046 -0.076 3.2726 0.916<>110 -0.172 -0.17S 5.2061 0.816圖2.15表2.5中模型（1）殘差序列的相關(guān)圖，偏相關(guān)圖F面進(jìn)

11、行預(yù)測(cè):obsYDY199612.238900.126800199712.362600.123700199812.476100.113500199912.578600.102500200012.674300.095700Dy2ooi = 0.0547 + 0.6171 Dy2ooo + vt = 0.0547 + 0.61710.0957 = 0.1138y200i = y2000 + Dy 2001 = 12.6743 + 0.1138 = 12.7881EViews給出的預(yù)測(cè)值是12.78806,兩種計(jì)算途徑的結(jié)果相同。obs¥YFYFSE200012.6743012.69655

12、0 045074200112.7627012.78S060 045117EViews操作是，把樣本容量調(diào)整到 1949-2001。打開(kāi)估計(jì)式窗口，在方程設(shè)定（Equation Specification ）選擇框輸入命令，D（Y） C AR（1），保持方法（Method）選擇框的缺省狀態(tài) （LS 方法），在樣本（Sample）選擇框中把樣本范圍調(diào)整至1949-2000。點(diǎn)擊OK鍵，得到估計(jì)結(jié)果后，點(diǎn)擊功能條中的預(yù)測(cè)（Forecast）鍵。得對(duì)話框及各種選擇狀態(tài)見(jiàn)下圖。點(diǎn)擊0K鍵，YF和YFse序列出現(xiàn)在工作文件中。打開(kāi)YF序列窗口，得 2001年預(yù)測(cè)值12.78806，見(jiàn)前圖。已知2001年中

13、國(guó)人口實(shí)際數(shù)是 12.7627億人。預(yù)測(cè)誤差為12込皂竺=0.00212.7627解法2：yt必須是把中國(guó)人口序列 yt看作是含有確定性趨勢(shì)的時(shí)間序列。前提是中國(guó)人口序列 退勢(shì)平穩(wěn)序列。用 yt對(duì)時(shí)間t回歸，得yt = 5.0152 + 0.1502 t + ut(110)(102)R2 = 0.995,(1949-2001)單位根檢驗(yàn)式如下。dut = -0.0940 ut-1 + 0.6681 dut-12(-2.5)(6.3)R2 = 0.45, (1951-2001)ut是一個(gè)平穩(wěn)序列。所以yt是一個(gè)退勢(shì)平穩(wěn)序列。 有理由建立一個(gè)含有固定趨勢(shì)項(xiàng)的是時(shí)間 序列模型。通過(guò)觀察 比的相關(guān)圖和

14、偏相關(guān)圖，判定 q是一個(gè)二階自回歸過(guò)程。建立含有固 定趨勢(shì)項(xiàng)的二階自回歸模型如下：yt = 4.9729 + 0.1508 t + 1.5503 ut-1 - 0.6491 ut-2 + vt ,(1949，t = 1)(34.9)(35.4)(13.7)(-5.9)R2 = 0.995, (1951-2000)或?qū)憺閥t = 4.9729 + 0.1508 t + ut,(1949，t = 1)(34.9)(35.4)其中ut = 1.5503 ut-1 - 0.6491 ut-2 + vt ,(1949，t = 1)(13.7)(-5.9)根據(jù)上式預(yù)測(cè)，2001年中國(guó)人口預(yù)測(cè)數(shù)是12.96

15、64億人。已知2001年中國(guó)人口實(shí)際數(shù)是12.7627億人。預(yù)測(cè)誤差為12.9664 12.7627= =0.01612.7627Dep endent Variable: YMethod: Least SquaresDate: 07/2E/04 Time: 22:10Sample(adjusted): 1951 2000Included observations: 50 after adjusting endpaintsConvergence achieved after3 iterationsVariableCoefHcientStd Errort-StatisticProb.04.9728

16、56014262734.866100 0000TREND(194B)0.1508220 00426535.362540 0000AR1.650338D. 11203613 739600.0000AR(2)-0 6490570110151-5 89241170 0000R-squared0.999653Mean dependent var9.141142Adjusted R-squared0.999630S.D. dependent var2 219306S.E of regression0042670Akaike info criterion-3.394029Sum squared resid

17、0.083753Schwarz criterion-3.241063Log likelihood88.05073F-statiistic44168.83Durbin-Watson stat1 ”052560Prob(F-statistiic)0 000000Inverted AR Roots78 22i78+.22i案例2日本人口時(shí)間序列模型日本歷史上有兩次大規(guī)模向國(guó)外學(xué)習(xí)的過(guò)程。一次是大化改新。大化改新（公元645-649）是一場(chǎng)以圣德太子政治理念為基礎(chǔ)的貴族革命。圣德太子（公元 574-622） 一心加強(qiáng)皇權(quán)，決心向中國(guó)學(xué)習(xí)，啟蒙日本。他四度向中 國(guó)派遣使團(tuán)和留學(xué)生。在它的影響下，其死后

18、23年，即公元645年，中大兄皇子發(fā)動(dòng)政變， 成功地建立了類(lèi)似唐朝的中央集權(quán)機(jī)構(gòu)。一次是明治維新。明治維新始于1868年。從而開(kāi)始了全面向西方學(xué)習(xí)的歷史?？谔?hào)是“富國(guó)強(qiáng)兵”。主要措施是（1）加強(qiáng)中央集權(quán)，1871年實(shí)施“廢藩治縣” ，（2）1872年采取 美國(guó)三權(quán)分立的政治體制，（3）1872年統(tǒng)一貨幣，實(shí)行1日元=1美元的兌換率，（3）1872 年開(kāi)始修鐵路、建立現(xiàn)代統(tǒng)計(jì)制度，采用陽(yáng)歷等，（4） 1873年遷都東京。福澤諭吉（1835-1901）教育家、啟蒙思想家122人口數(shù)字之所以起于1872年，是因?yàn)?872年日本才有了全國(guó)人口統(tǒng)計(jì)數(shù)字。在年間(1872-1994),日本人口從3480.

19、6萬(wàn)人增至12503.4萬(wàn)人(3.6倍)。日本人口增加的特 點(diǎn)是兩頭慢，中間快。同時(shí)在 1944-1946年和1972年人口總量出現(xiàn)了激烈波動(dòng)。1944-1946年的波動(dòng)是因?yàn)閼?zhàn)敗，1972年的波動(dòng)是由于美國(guó)歸還沖繩。由圖1中的相關(guān)圖可以判定日本人口序列yt是一個(gè)非平穩(wěn)序列。由圖 2可以看出日本人口差分序列Dyt是一個(gè)平穩(wěn)序列。圖3是日本人口的二次差分序列DDyt。它也是一個(gè)平穩(wěn)序列。差分序列Dyt的極差是0.059，差分序列DDyt的極差是0.087?？梢?jiàn)DDyt是一個(gè)過(guò)度差分序列。應(yīng)該用Dyt建立時(shí)間序列模型。圖1日本人口序列（yt）日本人口差分序列（Dyt）0.06Autocorrela

20、tior Partial CorrelationAutocarrelaiion Partial CorrelationDyt的相關(guān)圖與偏相關(guān)圖圖2 yt的相關(guān)圖與偏相關(guān)圖0.040.020.00-0.02-0.04圖3日本人口二次差分序列D2ytAutocorrelation Partial CorrelationD2yt相關(guān)圖、偏相關(guān)圖由Dyt的相關(guān)圖、偏相關(guān)圖(見(jiàn)圖2)初步判定應(yīng)建立 AR(3)或AR(4)模型。估計(jì)結(jié)果如下：AR(3)模型Dependent Variable: DYMethod: Least SquaresDate; 04/3001 Time： 02 22Sample (

21、adjusted): 1876 1994Included observations: 119 after adjusting endpointsConvergence achieved after 3 iterationsVariableCoefficientStd Errort-StatisticProb.C0.0075690.0010207.4189260.0000AR(1)0.2626730.0877722 9926900 0034AR0.27668100S73613.1670880.0020R-squared0.192971Mean dependent var0.007539Adjus

22、ted squared0.179057S D. dep endent rar0.005668S.E of regression0.005126Akaike info criterion-10.52192Sum squared resid0.003048Schwarz criterion-10.45186Log likelihood460.2005F-statistic13.86854Durbin-Watson stat2171019Prob(F-statistic)0 000004Inverted AR Roots.75-.24 +. 56i-.24 -,56i圖4 EViews估計(jì)結(jié)果Aut

23、oc口rrelHi口nPartial CorrelationobsActualFittedI Residual19B90 00460O.OOB51-0 0019119900,004060.00630-0 0022419910.004320.00595-0.0016319920.004090.00589-0.0018019930.003120.00568-0.0025619940.002700.00550-0 00230圖5模型(2.79)殘差的相關(guān)圖與偏相關(guān)圖Residual Plot對(duì)應(yīng)的模型表達(dá)式是Dyt = 0.0076 + 0.2627 ( Dyt-i - 0.0076) + 0.27

24、67 ( Dyt-3 - 0.0076) + vt(7.4)(3. 0)(3.2)2R = 0.19, Q = 7.0, Q :-(k-p-q)= Q0.05(15-3-0) = 21.0整理:Dyt = 0.0076 (1-0.2627-0.2767) + 0.2627 Dyt-i + 0.2767 Dyt-3 + vtDyt = 0.0035 + 0.2627 D yt-i + 0.2767 D yt-3 + vt5顯示模通過(guò)t值、DW值、F值和Q值，說(shuō)明(2.79)式是一個(gè)滿意的日本人口模型。圖型(2.79)的殘差中已不含有自回歸和移動(dòng)平均成分。模型特征方程的3個(gè)根是zi = 1 / 0

25、.75 = 1.33Z2 = 1 / (-0.24 - 0.56 i ) = 0.9375 - 2.1875 iZ3 = 1 / (-0.24 + 0.56 i ) = 0.9375 +2.1875 i下面利用模型(2.79)預(yù)測(cè)1995,并計(jì)算預(yù)測(cè)誤差。已知dy1994 = 0.0027，dy1992 = 0.00409， 則預(yù)測(cè)結(jié)果是，Dy 1995 = 0.0035 + 0.2627 Dy 1994 + 0.2767 Dy1992=0.0035 + 0.26270.0027 + 0.27670.0041 = 0.0053?1995 = y1994 + Dy 1995 = 1.25034

26、+ 0.0053 = 1.25564已知1995年日本人口實(shí)際數(shù)是1.25569億人。預(yù)測(cè)誤差為=0.00004口 = 1.255641.25569=1.25569日本人口數(shù)據(jù)也可以擬合成一個(gè)不含漂移項(xiàng)的AR(4)模型。估計(jì)結(jié)果如下,(11.59)Dyt = 0.2559 Dyt-1 + 0.1933 Dyt-2 + 0.2687 Dyt-3 + 0.2096 Dy t-4 + ut(2.8)(2.1)(2.9)(2.3)2 2R = 0.18, DW=2.0, F=8.1, Q(15)= 6.0,0.05(11)= 19.7-.o(11.59)式中的所有自回歸系數(shù)都通過(guò)了 t檢驗(yàn)。DW=2.

27、0，Q(15) = 6.0 <0.05 (15-4) = 19.7。模型特征方程的4個(gè)根是Z1 = 1 / 0.97 = 1.03Z2 = 1 / (-0.09 - 0.63 i ) = 0.23 -1.62 iZ3 = 1 / (-0.09 + 0.63 i ) = 0.23 +1.62 iZ4 = 1 / (-0.54) = -1.854個(gè)根的值都在單位圓以外?？梢?jiàn)(11.59)式也是一個(gè)滿意的日本人口時(shí)間序列模型。下面利用模型(11.59)預(yù)測(cè)1995，并計(jì)算預(yù)測(cè)誤差。已知Dy1994 = 0.0027, Dy 1993 = 0.0031,Dy1992 = 0.0041, Dy19

28、91 = 0.0043 (可以由原始數(shù)據(jù)計(jì)算出來(lái))，則預(yù)測(cè)結(jié)果是，ADy 1995 = 0.2559 Dy 1994 + 0.1933 Dy 1993 + 0.2687 Dy1992 + 0.2096 Dy 1991=0.2559 0.0027+0.1933 0.0031+0.2687 0.0041+0.2096 0.0043 =0.00329A?1995 = y1994 + Dy 1995 = 1.25034 + 0.00329 = 1.25363已知1995年日本人口實(shí)際數(shù)是1.25569億人。預(yù)測(cè)誤差為1.25363 -1.255691.25569=0.00164案例3日元兌美元匯價(jià)序列

29、模型Autocorrelation Partial CorrelationAC PAC Q-Stal Probr 10.9970.9971421.40.0002 0.994-0.D292834.80.0003 0.990-0.0504239.40.0004 0.9070.0795636.40.000(50.984-0 02170257O.DODO60.961-.,0198407.00.000H70.9780.0129780.50.000m80.975-0.003111460.000U90.9720.01012504.0.000I 100.969-0.03613854.0,00020040060

30、08001000120014002.2127 01375.9288 D 06215 972 0 00116.207 0 0031B.373 D 00616.499 0.01116.535 0.02116.902 0 03119 473 0.02119.491 0 034AC PAC Q-Stat ProbAutocorrelation Partial Correlation1 0.039 0.0392 0.051 0 0503 -0.084 -0 0S84 0.013 0.0175 0.011 0 0196 -0.009 *0 0207 -0.005 -0.0038 -0.016 -0 012

31、9 0.042 0.04110 0.004 0.001Dependent Variable: D(JPV)Method; Least SquaresDate: 06/08y03 Time: 11:30Sample (adjusted): 5 1427In eluded obseivatio n 密 1423 after adjusting endpoirtsConvergence achieved afier2 iterationsVariableCoefficientStd Errort-StatisticProb.C0.0037690.0255010.1473480 8829AR0.042

32、2080.0264421,6962260 1107AR1 (2)0.0525420.0264271.9581650.0470AR (3)-.0880080.026434-33293480.0009R-squared0.011726Mean dependent var0.0D3717Adjusted R-squared0.009637S.D dependent var0 963127S.E. of regression0.958476Aka ike info criterion2.755062Sum squared resid1303.600Schwarz criterion2.770649Lo

33、g likelihood-1956 796F-statistic5612164Durbin-Watson stat1.995686Prob(F-statistic)0.000798Inverted AR Roots26+.35i26-35i-.47Dependent Variable: D(JPY)Method: Least SquaresDate: 068/03 Time: 11:17Sample(adjusted): 5 1427Included observations: 1423 after adjusting endpointsConvergence achieved 2 itera

34、tionsVariableCoefficientStd. Error t-StatisticProbAR(2)0 0541450.0264142.0498950.0406AR (3)-0.0859000.026407-3.2529B10.0012R-squared0 009935Mean dependent var0.003717Adjusted R-squaned0.009238S D dependent varQ 963127S.E of regression0.958668Akaike info criterion2.754861Sum squared resid1305.963Schw

35、arz criterion2762255Log likelihood-1958,084Durbin-Watson start1.911506Inverted AR Roots24+J5i.24 - 35i7日對(duì)應(yīng)的模型表達(dá)式是Dyt = 0.0541 Dyt-2 - 0.0859 Dyt-3 + vt(2.0)(-3. 3)2Q(i0)= 7.0, R = 0.01, Q :-(k-p-q)= Q0.05(10-3-0)= 14.0通過(guò)t值、DW值和Q值，說(shuō)明上式是一個(gè)滿意的模型。模型的殘差中已不含有自回歸和移 動(dòng)平均成分。Dependent Variable: D(JPV)Method: L

36、east SquaresDate: 0EASA3 Time: 11:18Sample (adjusted): 2 1427Included obseivations: 1426 after adjusting endpoirtsConvergence achieved! afier3 iteratignsBackcast: -1 1VariableCoefficientStd. Error t-StatisticProbMAP)0.0555350.0263792 1052540 0354MA.0886160,026381*3.359123o.ooosR-squared0.010290Mean

37、dependent var0 00430BAdjusted R*squared0,009595S D, dep endent var0.962519S.E of regression0.957090Akaike infb criterion2.753233Sum squared resid1306 595Schwarz criterion2 760B14Log likelihood-1961.055Durbin-Watson stat1.912887Inverted MA Roots.40-,20+.42i-20 - 42i對(duì)應(yīng)的模型表達(dá)式是Dyt = vt + 0.0555 vt-2 - 0.08886 vt-3(2.1)2Q(10)= 6.6, R(-3. 4)=0.01, Q ：. (k-p-q) = Q0.05 (10-3-0)= 14.0通過(guò)t值、DW值和Q值，說(shuō)明上式是一個(gè)滿意的模型。模型的殘差中已不含有自回歸和移 動(dòng)平均成分。轉(zhuǎn)換函數(shù)模型(transfer function model)已經(jīng)