江蘇省南通市2015屆高三第三次調(diào)研測(cè)試數(shù)學(xué)試題（解析版）

1、南通市2015屆高三第三次調(diào)研測(cè)試數(shù)學(xué)學(xué)科參考答案及評(píng)分建議一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共計(jì)70分請(qǐng)把答案填寫(xiě)在答題卡相應(yīng)位置上1設(shè)集合A=3，m，B=3m，3，且A=B，則實(shí)數(shù)m的值是 【答案】0 考查集合相等的概念，集合的性質(zhì).2已知復(fù)數(shù)z=(i為虛數(shù)單位)，則z的實(shí)部為 【答案】3考查復(fù)數(shù)及模的概念與復(fù)數(shù)的運(yùn)算，考查運(yùn)算求解的能力.3已知實(shí)數(shù)x，y滿足條件則z=2x+y的最小值是 【答案】-3考查簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃（第5題）開(kāi)始輸入xy5x<4yx2-2x+2輸出y結(jié)束YN（第4題）時(shí)間（小時(shí)）頻率組距0.0040.0080.0120.016050751001251504

2、為了解學(xué)生課外閱讀的情況，隨機(jī)統(tǒng)計(jì)了n名學(xué)生的課外閱讀時(shí)間，所得數(shù)據(jù)都在50，150中，其頻率分布直方圖如圖所示已知在中的頻數(shù)為100，則n的值為 【答案】1000考查簡(jiǎn)單統(tǒng)計(jì)知識(shí)，直方圖，頻率、 5在如圖所示的算法流程圖中，若輸出的y的值為26，則輸入的x的值為 【答案】-4考查算法流程圖、簡(jiǎn)單的不等式運(yùn)算，考查閱讀圖表的能力和計(jì)算能力.6從集合1，2，3，4，5，6，7，8，9中任取一個(gè)數(shù)記為x，則log2x為整數(shù)的概率為 【答案】考查概率的基本概念及古典概型的基本計(jì)算方法.7在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)F為拋物線x2=8y的焦點(diǎn)，則F到雙曲線的漸近線的距離為 【答案】考查雙曲線、拋物線的

3、標(biāo)準(zhǔn)方程及幾何性質(zhì)點(diǎn)到直線之間的距離公式 8在等差數(shù)列an中，若an+an+2=4n+6（nN*），則該數(shù)列的通項(xiàng)公式an= 【答案】2n+1考查等差數(shù)列，數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查學(xué)生的運(yùn)算能力，靈活運(yùn)用有關(guān)知識(shí)解決問(wèn)題的能力9給出下列三個(gè)命題：“ab”是“3a3b”的充分不必要條件；“”是“coscos”的必要不充分條件；“a=0”是“函數(shù)f(x) = x3+ax2（xR）為奇函數(shù)”的充要條件其中正確命題的序號(hào)為 【答案】考查命題的概念，充要條件，指數(shù)函數(shù)，三角函數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)的奇偶性，考查學(xué)生分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力 10已知一個(gè)空間幾何體的所有棱長(zhǎng)均為1 cm，其表面展開(kāi)圖如圖所示，則該空間幾

4、何體的體積V= cm3（第10題）ABCDEF（第11題）P【答案】空間幾何體，幾何體的展開(kāi)圖，棱柱、棱錐的體積11如圖，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)以A為圓心，AE為半徑，作弧交AD于點(diǎn)F若P為劣弧上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為 【答案】考查向量的概念，向量的數(shù)量積，向量的坐標(biāo)運(yùn)算知識(shí)，建系等 法一：設(shè)P(cos，sin)，0，D(0，2)，C(2，2)，則·(cos，2sin)·(2cos，2sin)52cos4sin52sin(+)52 法二：設(shè)PAB，·()·()2·4·+1 52cos4sin(下同一)·

5、 法三：設(shè)P(x，y)，則x2+y21，·(x，2y)·(2x，2y)52 x4y， 因?yàn)?x+2y)2(1+22)(x2+y2)5，所以，·5212已知函數(shù)若函數(shù)f(x)的圖象與x軸有且只有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為 【答案】（-5，0）考查函數(shù)與方程、函數(shù)性質(zhì)、分段函數(shù)、遞推關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí). 考查數(shù)形結(jié)合和分類(lèi)討論的思想方法，考查抽象概括能力和綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題能力解:因?yàn)?x3+3x2+m在區(qū)間0,1上是增函數(shù)，所以mx+5在區(qū)間(1，)函數(shù)， f(1)0，f(0)0，得(5,0)13在平面直角坐標(biāo)系xOy中，過(guò)點(diǎn)P（-5，a）作圓x2+y2

6、-2ax+2y-1=0的兩條切線，切點(diǎn)分別為M(x1，y1)，N(x2，y2)，且，則實(shí)數(shù)a的值為 【答案】3或-2考查圓與直線的位置關(guān)系，直線方程，直線的斜率等知識(shí)，考查數(shù)形結(jié)合，式的恒等變換等數(shù)學(xué)思想方法提示：由條件，得，所以，點(diǎn)(1,0)在直線PC上，其中C是圓心由些可得a=3，或2又解：，兩式相減由得代入上式又代入上式，得，求解后，檢驗(yàn)。14已知正實(shí)數(shù)x，y滿足，則xy的取值范圍為 【答案】1，考查不等式的概念，基本不等式，求最值的取值范圍 解法一：令xy=t，則x=，代入x+3y+10，得所以，10=，解得1t當(dāng)時(shí)，得y=當(dāng)t=1時(shí)，y=1，x=1；當(dāng)t=時(shí)，y=，x=2 所以，1t

7、為所求 法二：提示由(1)可得(1+)x210x+2+3t=0，由1004(1+)(2+3t)0，得1t，以下同一二、解答題：本大題共6小題，共計(jì)90分請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟ABCDA1B1C1（第15題）E15（本小題滿分14分）如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，B1CAB，側(cè)面BCC1B1為菱形（1）求證：平面ABC1平面BCC1B1；（2）如果點(diǎn)D，E分別為A1C1，BB1的中點(diǎn)，求證：DE平面ABC1解：（1）因三棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)面BCC1B1為菱形，故B1CBC12分ABCDA1B1C1（第15題答圖）EF又B1CAB，且AB

8、，BC1為平面ABC1內(nèi)的兩條相交直線，故B1C平面ABC1 5分因B1C平面BCC1B1，故平面ABC1平面BCC1B1 7分（2）如圖，取AA1的中點(diǎn)F，連DF，F(xiàn)E又D為A1C1的中點(diǎn)，故DFAC1，EFAB因DF平面ABC1，AC1平面ABC1，故DF面ABC1 10分同理，EF面ABC1因DF，EF為平面DEF內(nèi)的兩條相交直線，故平面DEF面ABC112分因DE平面DEF，故DE面ABC114分xyO2-2（第16題）16（本小題滿分14分）已知函數(shù)（其中A，為常數(shù)，且A0，0，）的部分圖象如圖所示（1）求函數(shù)f(x)的解析式； （2）若，求的值解：（1）由圖可知，A=2，2分T=，

9、故，所以，f(x) =4分又，且，故于是，f(x) =7分（2）由，得9分所以，12分=14分17（本小題滿分14分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓(ab0)的兩焦點(diǎn)分別為F1(，0)，F(xiàn)2(，0)，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)(，)（1）求橢圓的方程及離心率； （2）設(shè)點(diǎn)B，C，D是橢圓上不同于橢圓頂點(diǎn)的三點(diǎn)，點(diǎn)B與點(diǎn)D關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱設(shè)直線CD，CB，OB，OC的斜率分別為k1，k2，k3，k4，且k1k2=k3k4 yxOF1F2BC（第17題）D求k1k2的值；求OB2+OC2的值解：（1）方法一依題意，c=，a2=b2+3，2分由，解得b2=1(b2=，不合，舍去)，從而a2=4故所求橢圓方程為：

10、離心率e=5分方法二由橢圓的定義知，2a=4，即a=22分又因c=，故b2=1下略（2）設(shè)B(x1，y1)，C(x2，y2)，則D(-x1，-y1)，于是k1k2=8分方法一由知，k3k4=k1k2=，故x1x2=所以，(x1x2)2=(-4y1y2)2，即(x1x2)2=，所以，=411分又2=，故所以，OB2+OC2 =514分方法二由知，k3k4=k1k2=將直線y=k3x方程代入橢圓中，得9分同理，所以，=411分下同方法一18（本小題滿分16分）為豐富市民的文化生活，市政府計(jì)劃在一塊半徑為200 m，圓心角為120°的扇形地上建造市民廣場(chǎng)規(guī)劃設(shè)計(jì)如圖：內(nèi)接梯形ABCD區(qū)域?yàn)?/p>

11、運(yùn)動(dòng)休閑區(qū)，其中A，B分別在半徑OP，OQ上，C，D在圓弧上，CDAB；OAB區(qū)域?yàn)槲幕故緟^(qū)，AB長(zhǎng)為m；其余空地為綠化區(qū)域，且CD長(zhǎng)不得超過(guò)200 mABCDPQ（第18題）O（1）試確定A，B的位置，使OAB的周長(zhǎng)最大？（2）當(dāng)OAB的周長(zhǎng)最大時(shí)，設(shè)DOC=，試將運(yùn)動(dòng)休閑區(qū)ABCD的面積S表示為的函數(shù)，并求出S的最大值解：（1）設(shè)，在中，即，2分所以，4分所以，當(dāng)且僅當(dāng)m=n=50時(shí)，取得最大值，此時(shí)周長(zhǎng)取得最大值A(chǔ)BCDPQ（第18題答圖）OEF答：當(dāng)都為50 m時(shí)，的周長(zhǎng)最大6分（2）當(dāng)AOB的周長(zhǎng)最大時(shí)，梯形ACBD為等腰梯形過(guò)作OFCD交CD于F，交AB于E，則分別為AB，CD的

12、中點(diǎn)，所以，由，得8分在中，又在中，故10分所以，=，12分（一直沒(méi)有交代范圍扣2分）令，又y=及y=在上均為單調(diào)遞減函數(shù)，故在上為單調(diào)遞減函數(shù)因0，故0在上恒成立，于是，在上為單調(diào)遞增函數(shù) 14分所以當(dāng)時(shí)，有最大值，此時(shí)S有最大值為答：當(dāng)時(shí)，梯形面積有最大值，且最大值為 m216分19（本小題滿分16分）已知數(shù)列an，bn中，a1=1，nN*，數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為Sn（1）若，求Sn；（2）是否存在等比數(shù)列an，使對(duì)任意nN*恒成立？若存在，求出所有滿足條件的數(shù)列an的通項(xiàng)公式；若不存在，說(shuō)明理由；（3）若a1a2an，求證：0Sn2解：（1）當(dāng)an=時(shí)，bn=2分所以，Sn=4分（2）滿足

13、條件的數(shù)列an存在且只有兩個(gè)，其通項(xiàng)公式為an=1和an=證明：在中，令n=1，得b3=b1設(shè)an=，則bn=6分由b3=b1，得若q=，則bn=0，滿足題設(shè)條件此時(shí)an=1和an=8分若q，則，即q2 =1，矛盾綜上，滿足條件的數(shù)列an存在，且只有兩個(gè)，一是an=1，另一是an=10分（3）因1=a1a2an，故，01，于是01所以，0，n=1，2，3，所以，Sn=b1+b2+bn013分又，=故，Sn=b1+b2+bn=2所以，0Sn216分20（本小題滿分16分）已知函數(shù)（aR）（1）若a=2，求函數(shù)在(1，e2)上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）；（2）若恰有一個(gè)零點(diǎn)，求a的取值集合；

14、（3）若有兩零點(diǎn)x1，x2(x1x2)，求證：2x1+x2-1解：（1）由題設(shè)，=，故在(1，e2)上單調(diào)遞減2分所以在(1，e2)上至多只有一個(gè)零點(diǎn)又0，故函數(shù)在(1，e2)上只有一個(gè)零點(diǎn)4分（2）=，令=0，得x=1當(dāng)x1時(shí)，0，在上單調(diào)遞減；當(dāng)0x1時(shí)，0，在(0，1)上單調(diào)遞增，故=f(1)=a-16分當(dāng)=0，即a=1時(shí)，因最大值點(diǎn)唯一，故符合題設(shè)；8分當(dāng)0，即a1時(shí)，f(x)0恒成立，不合題設(shè)；當(dāng)0，即a1時(shí)，一方面，1，0；另一方面，1，2a-ea0(易證：exex)，于是，f(x)有兩零點(diǎn)，不合題設(shè)綜上，a的取值集合為110分（3）證：先證x1+x22依題設(shè)，有a=，于是記=t，

15、t1，則，故于是，x1+x2=x1(t+1)=，x1+x2-2=記函數(shù)g(x)=，x1因0，故g(x)在上單調(diào)遞增于是，t1時(shí)，g(t)g(1)=0又lnt0，所以，x1+x2213分再證x1+x2-1因f(x)=0h(x)=ax-1-xlnx=0，故x1，x2也是h(x)的兩零點(diǎn)由=a-1-lnx=0，得x=(記p=)仿（1）知，p是h(x)的唯一最大值點(diǎn)，故有 作函數(shù)h(x)=，則0，故h(x)單調(diào)遞增故，當(dāng)xp時(shí)，h(x)h(p)=0；當(dāng)0xp時(shí)，h(x)0于是，ax1-1=x1lnx1整理，得0，即，0同理，0 故，于是，綜上，2x1+x2-116分21【選做題】本題包括A、B、C、D

16、四小題，請(qǐng)選定其中兩題，并在相應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)作答 若多做，則按作答的前兩題評(píng)分解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟A選修4-1：幾何證明選講（本小題滿分10分）CABOP（第21（A）題）H如圖，BC為圓O的直徑，A為圓O上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作圓O的切線交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P，AHPB于H求證：PA·AH=PC·HB證：連AC，AB因BC為圓O的直徑，故ACAB又AHPB，故AH2=CH·HB，即5分CABOP（第21（A）題答圖）H因PA為圓O的切線，故PAC=B在RtABC中，B+ACB=90°在RtACH中，CAH+ACB=90°所以，HAC

17、=B所以，PAC=CAH，所以，即所以，即PA·AH=PC·HB10分B選修4-2：矩陣與變換（本小題滿分10分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A（0，0），B（2，0），C（1，2），矩陣，點(diǎn)A，B，C在矩陣M對(duì)應(yīng)的變換作用下得到的點(diǎn)分別為，求的面積解：因，即6分故10分C選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程（本小題滿分10分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為（為參數(shù)，r為常數(shù)，r0）以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線l的極坐標(biāo)方程為若直線l與曲線C交于A，B兩點(diǎn)，且，求r的值解：由，得，即直線l的方程為3分由得曲線的普通方程為，圓心坐標(biāo)為，6分所

18、以，圓心到直線的距離，由，則10分D選修4-5：不等式選講（本小題滿分10分）已知實(shí)數(shù)a，b，c，d滿足abcd，求證：證：因abcd，故a-b0，b-c0，c-d0 故，6分所以，10分【必做題】第22、23題，每小題10分，共計(jì)20分請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出ABCDA1B1C1D1（第22題） 文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟22（本小題滿分10分）如圖，正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，（1）求與面所成角的正弦值；（2）點(diǎn)在側(cè)棱上，若二面角E-BD-C1的余弦值為，求的值解：（1）以為原點(diǎn)，DA，DC，DD1分別為軸，軸，軸，ABCDA1B1C1D1（第22題答圖）xyz建

19、立如圖所示空間直角坐標(biāo)系D-xyz設(shè)，則D（0，0，0），A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），D1（0，0，2），A1（1，0，2），B1（1，1，2），C1（0，1，2） 2分（1）設(shè)與面所成角的大小為，設(shè)平面的法向量為n=（x，y，z），則，即令，則，所以，所以與平面所成角的正弦值為6分（2）設(shè)E(1，0，)，02設(shè)平面的法向量為n1=（x1，y1，z1），平面的法向量為n2=（x2，y2，z2），由，得，令，則，由，得，令z2=1，則x2=2，y2=-2，所以，得所以10分23（本小題滿分10分）袋中共有8個(gè)球，其中有3個(gè)白球，5個(gè)黑球，這些球除顏色外完全相同從袋中隨機(jī)取出一球，如果取出白球，則把它放回袋中；如果取出黑球，則該黑球不再放回，并且另補(bǔ)一個(gè)白球放入袋中重復(fù)上述過(guò)程n次后，袋中白球