三元一次方程組提高知識講解

1、三元一次方程組(提升)知識講解【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1 .理解三元一次方程(或組)的含義；2 .會解簡單的三元一次方程組；3 .會列三元一次方程組解決有關(guān)實(shí)際問題.【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、三元一次方程及三元一次方程組的概念1 .三元一次方程的定義：含有三個未知數(shù),并且含有未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是1的整式方程.如x+y-z=1,2a- 3b+4c=5等都是三元一次方程.要點(diǎn)詮釋：(1)三元一次方程的條件： 是整式方程,含有三個未知數(shù), 含未知數(shù)的項(xiàng)的最高次數(shù) 是1次.(2)三元一次方程的一般形式：ax+by+cz+d=0 ,其中a、b、c不為零.2 .三元一次方程組的定義：一般地,由幾個一次方程組成,并且含有三個

2、未知數(shù)的方程組,叫做三元一次方程組.要點(diǎn)詮釋：(1)三個方程中不一定每一個方程中都含有三個未知數(shù),只要三個方程共含有三個未知量即可.(2)在實(shí)際問題中含有三個未知數(shù),當(dāng)這三個未知數(shù)同時滿足三個相等關(guān)系時,可以建立 三元一次方程組求解.要點(diǎn)二、三元一次方程組的解法解三元一次方程組的一般步驟(1)利用代入法或加減法, 把方程組中一個方程與另兩個方程分別組成兩組,消去兩組中的同一個未知數(shù),得到關(guān)于另外兩個未知數(shù)的二元一次方程組；(2)解這個二元一次方程組,求出兩個未知數(shù)的值；(3)將求得的兩個未知數(shù)的值代入原方程組中的一個系數(shù)比擬簡單的方程,得到一個一元一次方程；(4)解這個一元一次方程,求出最后一

3、個未知數(shù)的值；(5)將求得的三個未知數(shù)的值用“合寫在一起.要點(diǎn)詮釋：(1)解三元一次方程組的根本思路是：通過“代入或“加減消元,把“三元化為“二元.使解三元一次方程組轉(zhuǎn)化為解二元一次方程組,進(jìn)而轉(zhuǎn)化為解一元一次方程.其思想 方法是：嚙Jr . 喑#三元一次方程A二元一次方程細(xì) -一元二次方程(2)有些特殊的方程組可用特殊的消元法,解題時要根據(jù)各方程特點(diǎn)尋求其較簡單的解法.要點(diǎn)三、三元一次方程組的應(yīng)用列三元一次方程組解應(yīng)用題的一般步驟：1 .弄清題意和題目中的數(shù)量關(guān)系,用字母(如x, y, z)表示題目中的兩個(或三個)未知數(shù);2 .找出能夠表達(dá)應(yīng)用題全部含義的相等關(guān)系；3 .根據(jù)這些相等關(guān)系列

4、出需要的代數(shù)式,從而列出方程并組成方程組；4 .解這個方程組,求出未知數(shù)的值；5 .寫出答案(包括單位名稱).要點(diǎn)詮釋：(1)解實(shí)際應(yīng)用題必須寫 “答,而且在寫答案前要根據(jù)應(yīng)用題的實(shí)際意義,檢查求得的結(jié)果是否合理,不符合題意的應(yīng)該舍去.(2) “設(shè)、“答兩步,都要寫清單位名稱,應(yīng)注意單位是否統(tǒng)一.(3)一般來說,設(shè)幾個未知數(shù),就應(yīng)列出幾個方程并組成方程組.【典型例題】 類型一、三元一次方程及三元一次方程組的概念& 1,以下方程組不是三元一次方程組的是().工 x y =11x2-4 =0 工 x=2心-x-1III|A.2y+z = -2B.y+1=x C. 2y=-3 D. x +

5、z=3、3y =6xy-z = 3x-z = 1、2y z=1【思路點(diǎn)撥】根據(jù)三元一次方程組的定義來求解,對A、B C、D四個選項(xiàng)進(jìn)行一一驗(yàn)證.【答案】B解：由題意知,含有三個相同的未知數(shù),每個方程中含未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是1次,并且一共有三個方程,叫做三元一次方程組.A、滿足三元一次方程組的定義,故A選項(xiàng)錯誤；B x2-4=0,未知量x的次數(shù)為2次,不是三元一次方程,故B選項(xiàng)正確；C滿足三元一次方程組的定義,故C選項(xiàng)錯誤；D滿足三元一次方程組的定義,故D選項(xiàng)錯誤；應(yīng)選B.【總結(jié)升華】三元一次方程組中的方程不一定都是三元一次方程,并且有時需對方程化簡后再根據(jù)三元一次方程組的定義進(jìn)行判斷.類型二、

6、三元一次方程組的解法眇x+y2. (2021 春?蘇州校級期末)假設(shè) x： v： z=2: 7: 5, x - 2y+3z=6 ,求一的值.【思路點(diǎn)撥】 根據(jù)x： y： z=2 ： 7 ： 5,設(shè)x=2k , y=7k , z=5k,代入x - 2y+3z=6得出方程, 求出方程的解,即可求出 x、y、z的值,最后代入求出即可.【答案與解析】解：x： y: z=2: 7: 5,. .設(shè) x=2k, y=7k , z=5k,代入 x- 2y+3z=6 得：2k- 14k+15k=6 ,解得：k=2 ,1. x=4 , y=14 , z=10,x+y 4+14z 1Q=0.18.【總結(jié)升華】 假設(shè)

7、某一方程是比例形式,那么先引入?yún)?shù),后消元.舉一反三fx:2 = y:3,【變式】解方程組Jy:4=z:5,x -2y +3z =29 【答案】2 一斛：由,得3x = 2y,即x = y,35 由,得5y = 4z,即z = y,4215把、代入,得 y2y+y=29. 34解得y=12.把代入,得x=8,把代入,得 z=15.x = 8,所以原方程組的解為y=12,I z =15.卜+ y=3a "3.方程組?y +z =5a的解使得代數(shù)式x-2y+3z的值等于-10,求a的值. z + x = 4a 【思路點(diǎn)撥】 由題意可知,此方程組中的 a是數(shù),x、y、z是未知數(shù),先解方程組

8、,求 出x, y, z(含有a的代數(shù)式),然后把求得的x、v、z代入等式x-2y+3z=-10,可得關(guān)于a 的一元一次方程,解這個方程,即可求得a的值.【答案與解析】解法一：-,得z-x = 2a +,得 2z=6a, z= 3a把z= 3a分別代入和,得 y=2a, x=a. x =a y = 2a -I z = 3a把* = 2, y = 2a, z = 3a 代入 x-2y+3z = 10 得a-2x 2a+3X 3a=-10.一 5 斛得a 二 一一.3解法二：+,得2(x+y+z) = 12a.即 x+y+z=6a -,得z=3a,-,得x=a,-,得y=2a.x = a I c y

9、 = 2a, z = 3a把* = 2, y = 2a, z = 3a 代入 x-2y+3z = 10 得a-2x 2a+3X 3a=-10.一 5解得a - -5.3【總結(jié)升華】當(dāng)方程組中三個方程的未知數(shù)的系數(shù)都相同時,可以運(yùn)用此題解法 2中的技巧解這類方程組.舉一反三:什x3y+z=0 nt.【變式】右 W,那么x： y： z=.3x -3y -4z =0 【答案】15:7:6類型三、三元一次方程組的應(yīng)用C4.涼山甲、乙、丙三塊地,草長得一樣密,一樣快,甲地3；公頃可供12頭牛吃4周；乙地10公頃可供21頭牛吃9周,求丙地24公頃可供幾頭牛吃 18周？【思路點(diǎn)撥】 此題草地上原有一些草,其

10、數(shù)量不知,草地上的草還在不停地生長,但生長的速度不知道,因此解題時應(yīng)把原有的草量、草的生長速度及每頭牛每周的食草量用字母表示, 設(shè)成輔助未知數(shù),再根據(jù)題意便可列出方程組.【答案與解析】解：設(shè)每公頃草地原有牧草akg,每周每公頃草地生長草bkg,每頭牛每周吃草 ckg,丙地24公頃地可供x頭牛吃18周."a+4父1% =4父12c 根據(jù)題意得由得1a3310a +9M10b =9父21c04a +18父 24b =18Mxc =54c5 代入,得x=36.9二一 c10答：丙地24公頃可供36頭牛吃18周.【總結(jié)升華】用三元一次方程組解答實(shí)際問題的方法與用二元一次方程組解答實(shí)際問題的方 法類似,根據(jù)題目給出的條件尋找相等關(guān)系是利用方程解應(yīng)用題的重要一環(huán).【變式】2021?黃岡中學(xué)自主招生有鉛筆、練習(xí)本、圓珠筆三種學(xué)習(xí)用品,假設(shè)購鉛筆 3 支,練習(xí)本7本,圓珠筆1支共需3.15元；