二階常微分方程解存在的問(wèn)題

1、二階常微分方程解的存在問(wèn)題分析摘要本文首先介紹了二階常系數(shù)齊次線性微分方程的一般解法一一特征方程法 及二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的待定系數(shù)法,然后又介紹了一些可降階的微 分方程類型.接著,討論了二階變系數(shù)微分方程的幕級(jí)數(shù)解法并論述了如何利用 變量代換法將某些變系數(shù)方程化為常系數(shù)方程.另外,本文還介紹了求解初值問(wèn)本的另一種方法一一拉普拉斯變換法. 最后,給出了二階微分方程的存在唯一性 定理的證實(shí)以及它在科學(xué)研究、工程技術(shù)以及數(shù)學(xué)建模中解決實(shí)際問(wèn)題的一些應(yīng) 用.1 .引言常微分方程的開(kāi)展過(guò)程與研究途徑二階線性微分方程是常微分方程中一類很重要的方程.這不僅是由于其一般理論已經(jīng)研究地比較清楚,而且還

2、由于它是研究非線性微分方程的根底,在工程 技術(shù)和自然科學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用. 在科學(xué)研究、工程技術(shù)中,常常需要將某些 實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為二階常微分方程問(wèn)題. 因此,研究不同類型的二階常微分方程的 求解方法及探討其解的存在唯一性問(wèn)題是十分重要的.常微分方程已有悠久的歷史,而且繼續(xù)保持著進(jìn)一步開(kāi)展的活力,主要原因 是它的根源深扎在各種實(shí)際問(wèn)題之中.牛頓最早采用數(shù)學(xué)方法研究二體問(wèn)題,其中需要求解的運(yùn)動(dòng)方程就是常微分 方程.他把兩個(gè)物體都理想化為質(zhì)點(diǎn),得到3個(gè)未知函數(shù)的3個(gè)二階方程組,經(jīng) 簡(jiǎn)單計(jì)算證實(shí),可化為平面問(wèn)題,即兩個(gè)未知函數(shù)的兩個(gè)二階微分方程組.用現(xiàn) 在叫做 首次積分的方法,完全解決了它的求解問(wèn)題.

3、17世紀(jì)就提出了彈性問(wèn)題, 這類問(wèn)題導(dǎo)致懸鏈線方程、振動(dòng)弦的方程等等.20世紀(jì)30年代直至現(xiàn)在,是常微分方程各個(gè)領(lǐng)城迅速開(kāi)展、形成各自相對(duì) 獨(dú)立的而又緊密聯(lián)在一起的分支學(xué)科的時(shí)期.1927 1945年間定性理論的研究主要是跟無(wú)線電技術(shù)聯(lián)系在一起的.第二 次世界大戰(zhàn)期間由于通訊等方面的要求越來(lái)越高, 大大地激發(fā)了對(duì)無(wú)線電技術(shù)的 研究,特別是非線性振動(dòng)理論的研究得到了迅速的開(kāi)展.40年代后數(shù)學(xué)家們的注意力主要集中在抽象動(dòng)力系統(tǒng)的拓?fù)涮卣?如閉軌是否存在、結(jié)構(gòu)是否穩(wěn)定等,對(duì)于二維系統(tǒng)已證實(shí)可以通過(guò)奇點(diǎn)及一些特殊的閉 軌和集合來(lái)判斷結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性與否；而對(duì)于一般系統(tǒng)這個(gè)問(wèn)題尚未解決.在動(dòng)力系 統(tǒng)理論方面,

4、我國(guó)著名數(shù)學(xué)家廖山濤教授,用從典范方程組到阻礙集一整套理論 和方法,解決了一系列主要問(wèn)題,特別是C'封閉引理的證實(shí),對(duì)結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性的充 要條件等方面都作出了主要奉獻(xiàn).問(wèn)題的研究現(xiàn)狀在當(dāng)代由電力網(wǎng)、城市交通網(wǎng)、自動(dòng)運(yùn)輸網(wǎng)、數(shù)字通訊網(wǎng)、靈活批量生產(chǎn)網(wǎng)、 復(fù)雜的工業(yè)系統(tǒng)、指令限制系統(tǒng)等提出大系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是常微分方程組描述 的.對(duì)這些系統(tǒng)的穩(wěn)定性研究,引起了越來(lái)越多學(xué)者的興趣,但目前得到的成果 仍然只是初步的.常微分方程的概念、解法和其它理論很多,比方,方程和方程組的種類及解 法、解的存在性和唯一性、奇解、定性理論等等.下面就方程解的有關(guān)幾點(diǎn)簡(jiǎn)述 一下,以了解常微分方程的特點(diǎn).求通解在歷史上曾

5、作為微分方程的主要目標(biāo), 一旦求出通解的表達(dá)式,就容 易從中得到問(wèn)題所需要的特解.也可以由通解的表達(dá)式,了解對(duì)某些參數(shù)的依賴 情況,便于參數(shù)取值適宜,使它對(duì)應(yīng)的解具有所需要的性能, 還有助于進(jìn)行關(guān)于 解的其他研究.后來(lái)的開(kāi)展說(shuō)明,能夠求出通解的情況不多,在實(shí)際應(yīng)用中所需要的多是 求滿足某種指定條件的特解.當(dāng)然,通解是有助于研究解的屬性的,但是人們已 把研究重點(diǎn)轉(zhuǎn)移到定解問(wèn)題上來(lái).一個(gè)常微分方程是不是有特解呢如果有,又有幾個(gè)呢這是微分方程論中一個(gè) 根本的問(wèn)題,數(shù)學(xué)家把它歸納成根本定理,叫做存在和唯一性定理.存在和唯一性定理對(duì)于微分方程的求解是十分重要的. 由于大局部的常微分 方程求不出十分精確的

6、解,而只能得到近似解.當(dāng)然,這個(gè)近似解的精確程度是 比較高的.微分方程的近似解法(包括數(shù)值解法)具有十分重要的實(shí)際意義,而 解的存在和唯一又是進(jìn)行近似計(jì)算的前提. 由于如果解根本不存在,卻要去近似 地求它,問(wèn)題本身是沒(méi)有意義的；如果有解存在而不唯一,由于不知道要確定是 哪一個(gè)解,卻要去近似地確定它,問(wèn)題也是不明確的.解的存在唯一性定理保證 了所要求的解的存在和唯一,因此它也是近似求解的前提和理論根底.止匕外,我 們將看到在定理的證實(shí)中還具體地提出了求近似解的途徑,這就更增添了存在唯一性定理的實(shí)用意義.由于種種條件的限制,實(shí)際測(cè)出的初始數(shù)據(jù)往往是不精確的, 它只能近似地 反映初始狀態(tài).因此我們以

7、它作為初值條件所得到的解是否能用做真正的解呢這 就產(chǎn)生了解對(duì)初值的連續(xù)依賴性問(wèn)題, 即當(dāng)初值微小變動(dòng)時(shí),方程的解的變化是 否也是很小呢如果不然的話,這樣所求得的解就失去了實(shí)用的意義,由于它可能 與實(shí)際情況產(chǎn)生很大的誤差.在科學(xué)研究、工程技術(shù)中,常常需要將某些實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為二階常微分方程 問(wèn)題,因此,研究不同類型的二階常微分方程的求解方法及探討其解的存在唯一 性問(wèn)題,是十分重要的.問(wèn)題研究存在的缺乏與前景現(xiàn)今對(duì)于二階線性微分方程的研究已經(jīng)取得了不少成就,尤其在二階常系數(shù) 線性微分方程的求解問(wèn)題和解的存在唯一性定理等方面卓有成效.二階微分方程的解的存在唯一性定理不僅可判斷解的存在唯一性,而且還有著

8、廣泛的應(yīng)用.而事級(jí)數(shù)解法作為求解二階變系數(shù)齊次線性微分方程的一種方法,其過(guò)程還是比較繁瑣的,計(jì)算量偏大,且需要考慮函數(shù)是否解析,幕級(jí)數(shù)在某個(gè)區(qū)間是否收斂等. 另外,對(duì)于二階變系數(shù)非齊次微分方程,目前還尚有通用的求解方法,只有一些 特殊類型是可以求解的.應(yīng)該說(shuō),應(yīng)用常微分方程理論已經(jīng)取得了很大的成就, 但是,它的現(xiàn)有理論也還遠(yuǎn)遠(yuǎn)不能滿足需要, 還有待于進(jìn)一步的開(kāi)展,使這門(mén)學(xué) 科的理論更加完善.2 .常系數(shù)線性微分方程的解法二階常系數(shù)齊次線性微分方程的解法一一特征方程法 假設(shè)yi,y2是二階常系數(shù)齊次線性微分方程y'' py' qy 0,其中p,q均為常數(shù)()的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)

9、的解,那么()的通解就可表示成y C» C2 y2 gQ為任意常數(shù)由此可知,只要找到方程的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的解,就能求出的通解.我們知道,當(dāng)r為常數(shù)時(shí),函數(shù)y erx和它的各階導(dǎo)數(shù)只相差一個(gè)常數(shù).因此,可以設(shè)想有形如y erx的解,將y erx代入方程得：erxr2 pr q 0又erx 0 ,那么必有2r pr q 0即如果y erx是的解,那么r必滿足方程.反之,假設(shè)r滿足方程,那么y erx就是的一個(gè)特解.我們稱方程是方程的特征方程,它的根就稱為特征根,且特征根PP2 4q1,22.下面根據(jù)特征根的不同情況分別進(jìn)行討論.1有兩個(gè)不相等的實(shí)根0：P P2 4qpp2 4qri , r

10、2 22易知y eri¥Dy er2x是方程的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的特解,那么方程的通 解為：y C1erix C2er2x ；2有兩個(gè)相等的實(shí)根0:Pri r22易知y erix是方程的一個(gè)特解,設(shè)另一特解為 y Cxerix ,將y2代入 到得：C'' 2 pC' ri2 pr qC 0又h 2p2 4q ,那么可得C'' 0,不妨取C(x) x ,代入()得:2y xe：那么方程()的通解為：y (Ci C2x)erix ；3)有一對(duì)共腕復(fù)根(0):r1i , r2i易知yi e( i)x與y2 e( i )x是方程()的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的復(fù)信解.而

11、e( i )x e x(cos x i sin x) , e( i )x e x(cos x i sin x)假設(shè)取11 yi(yiy2)excos x, y2 -(yiy)e xsin xy e x cos由解的疊加性知,yi,y2也是方程()的兩個(gè)特解,又常數(shù),xx - cot xy2 e sin x于是,y,y2就是方程()的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的實(shí)值解.從而方程()的通解為:x -y e (Ci cos x Czsin x).下面舉個(gè)例子進(jìn)行簡(jiǎn)單說(shuō)明. '''例 i ： y 2y y 0解：特征方程為2-2 i 0特征根為 年i (二重),故所求同解為x .y e (C

12、i C2x).例 2： y 4y i3y 0特征方程為4 i3 0特征根為1,2-2 3i,故所求同解為 y e2x(C1cos3x C2sin 3x)二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的解法現(xiàn)在討論二階常系數(shù)非齊次線性微分方程y'' py' qy f(x)()的求解問(wèn)題.這里p,q是常數(shù),f(x)是連續(xù)函數(shù).我們可以由其對(duì)應(yīng)的齊次線性微分方程的通解出發(fā),使用常數(shù)變易法求出()的特解.因而,只要能求出()的特征根,()的求解問(wèn)題就已經(jīng)解決.但是, 這樣的方法往往是比較繁瑣的,而且必須經(jīng)過(guò)積分運(yùn)算.事實(shí)上,只要求得方程()的通解,再求出該方程的一個(gè)特解,就可得出它的通解表達(dá)式.

13、下面,我們討論當(dāng)f(x)是某些特殊形式的連續(xù)函數(shù)時(shí),所適用的求解其特解的簡(jiǎn)便方法一一待定系數(shù)法. , 、 一 , 、 x類型：f(x) Pn(x)e設(shè)Pn(x)是n次多項(xiàng)式,即Pn(x) p°xn pxn 1 Pn / Pn ( n 1 )(1)當(dāng) 不是特征根時(shí),()有形如y(x) Qn(x)ex的特解,其中Qn(x)是關(guān)于x的n次待定的多項(xiàng)式,即n / nn 1Qn(x) q°xqxqn iX qn(2)當(dāng) 是? 1)重特征根時(shí),()有形如y(x) xkQn(x)ex的特解,其中Qn(x)也是形如上述的n次多項(xiàng)式.其中y(x)中Qn(x)的系數(shù)可以由待定系數(shù)法 求得.例

14、3: 2y 3y y 4 ex解：對(duì)應(yīng)齊次方程的特征方程為1、 . _.特征根為1 -1, 2 -,齊次萬(wàn)程的通解為1 xyC1ex C2e 2由于0, 1都不是特征根,故方程有形如y1 A Bex的特解.將上式代入方程,得1A 4, B6即1 xy14 -e6因而,所求通解為1 xyC1e x C2e 22)類型H :f (x) (Pm(x)cos x Pn (x)sin x)ex其中,Pm(x)、Pn(x)分別為兩個(gè)的關(guān)于x的m次和n次多項(xiàng)式,為常數(shù).由歐拉公式,得cosi x i xe e ,sin2i x i x e e2i故f (x)可以改寫(xiě)成f (x)Pm(x)ePn(x)ei x

15、 i xx e e2i(i ) xPm(x)ePn(x)e(i )x()其中,Pm(x), Pn(x)分別是m次和n次多項(xiàng)式.可以看出,()式就相當(dāng)于兩個(gè)類型I形狀的函數(shù)相加.由非齊次方程的疊 加原理,就可求出類型II的特解了.設(shè)有二階非齊次方程()y'' py' qyfi(x)f?(x)且y(x), y2(x)分別是方程y'' py' qy fi(x), y'' py' qy f2(x)的解,那么函數(shù)yi(x) y2(x)是方程()的解.根據(jù)疊加原理及類型I討論的結(jié)果,我們有1)當(dāng) i不是特征根時(shí),()有如下形式的特解y

16、(x)P:(1)(x)e( i )x pj2)(x)e( i )x即y(x) e xpl(1)(x)cos x p(x)sin x()2)當(dāng) i是女(1)重特征根時(shí),()有如下形式的特解/ kr *(1) / ( i )x *(2) / ( i )x_,八y(x) xR (x)epi(x)e ()即y(x) xke x pl(1)(x)cos x pl(x)sin x()其中 R*(1)(x),R*(x), R(x),R(2)(x)為兩個(gè)待定多項(xiàng)式,l max(m,n), l 、,、/,、,、/, 、,、/,/.注意：當(dāng)Pm(x)、P/x)中有一個(gè)恒為零時(shí),方程()仍具有形如()、()的特解.

17、即不能當(dāng)Pm(x) 0時(shí),就令Pi(x) 0,而Pn(x) 0時(shí),就令P(2)(x) 0.''''例 4: y 4y 4y cos2x解：特征方程為2,2 一44 (2)0 ,它有二重特征根-2.另一方面,方程的非齊次項(xiàng)為 cos2x -(ei2x ei2x).由2此可見(jiàn),相應(yīng)的 2i與特征根-2是不相等的.因此,我們可設(shè)方程有特解y1acos2x bsin 2x其中常數(shù)a和b待定.把它代入原方程,得出8bcos2x 8asin2x cos2x,由此推知1a 0, b 一.8所以,原方程的通解為y (C1 C2x)e2x 1sin2x.83二階微分方程的降階和哥

18、級(jí)數(shù)解法可將階的一些方程類型1.方程不顯含未知函數(shù)y和未知函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)y',即y'' f(x)()假設(shè)令y' P,那么y'1型 P',那么方程()即降為關(guān)于P的一階微分方程dxP' f(x),兩邊積分得：p f (x)dxCi ,兩邊再次積分,就能得到方程()的通解2.方程不顯含未知函數(shù)y,即()假設(shè)令y' p ,那么方程()就變?yōu)閥'' f(x, y')P' f(x, P),這是一個(gè)關(guān)于x, p的一階微分方程.例 5: xy'' (x2 1)(y1 1) 0解：將方程化為'

19、;'yy i令y,z,那么上式化為,x2 1ln(z -1)x兩邊積分得ln( z 1) In x因此x2y C1xe再積分一次的通解x2yC1e 2 x C2x,即假設(shè)令y' p ,那么那么方程就變?yōu)閥''()y,型 dx生包p曳dy dx dy3.方程不顯含自變量dpp f(y, p)dy這是一個(gè)關(guān)于y, p的一階微分方程.例 6:求解 yy (y )2 y2y0解：這是不顯含x的二階方程.易見(jiàn)y 0為一解.假設(shè)y 0,方程兩邊同除以y2得"'9y (yj_令y,''p, y型蛆業(yè)pdp,那么方程可化為 dx dy dx d

20、ydp dy即有p1, y所以上式通解為2p y Cy從而得到dy yy Cdx將變量別離,兩邊積分得InCx C1y c化簡(jiǎn)得原方程通解為、,CeCx C1y -Cx C11 eC,C為任意常數(shù),這是特解y 0包含于上述通解中.4.恰當(dāng)導(dǎo)數(shù)方程型二階微分方程也可以表示成F(x, y, y',y'1) 0的形式.假設(shè)方程F(x,y,y',y'') 0()的左端恰為某一函數(shù)G(x, y, y') 0對(duì)x的全導(dǎo)數(shù),即d G(x,y,y') F(x, y, y',y'') dx那么稱方程()為恰當(dāng)導(dǎo)數(shù)方程.于是,方程()

21、可寫(xiě)成d丁 G(x,y,y') 0dx那么有G(x,y,y') C , ( C為任意常數(shù))這樣就把原方程降為了一階微分方程.例 7: yy'' (y')2 2x 0解：這是一個(gè)不顯含x二階方程.將原方程寫(xiě)為 ''2_(yy) x c積分一次得yy x Ci即y21 2 '(- x ) Ci22兩邊積分得C1xC2因而,原方程的通解為3y2 2clx 2C235.關(guān)于未知函數(shù)及其各階導(dǎo)數(shù)都是齊次的方程方程F (x, y, y',y'1) 0關(guān)于未知函數(shù)及其各階導(dǎo)數(shù)都是齊次的是指F(x,y,y', y'

22、')滿足kF(x,ty,ty',ty'') t F(x, y,y',y'').zdx.作變換y e (z是新未知函數(shù)),那么有2dy zdx d yze ,2dxdx(z2dz、zdx代入到()中,有zdx 2 dz、 zdxF(x, ze ,(z2 dz)e )dx2 dz k zdxF(x,z,(z派90由于方程 F(x,y,y',y'')0關(guān)于未知函數(shù)及其各階導(dǎo)數(shù)都是齊次的,約去非零公zdx因子e ,得到F(x,z,(z2 dz) 0dx上式經(jīng)整理后可化為f(x,z,z') 0的形式,這就是關(guān)于新未知

23、函數(shù) z的一階微分zdx 、 一 、 一_. . zdxe.頭際問(wèn)題中,我們作變換y e 后,方程.注意:假設(shè)y 0 ,那么可作變換y還要考慮y 0是不是方程的解.例8:求解方程4 ''3/,、3 o 2/,22'23x y x (y ) 3x (y) (3xy 2x)y 2x y y 0解：這是左端關(guān)于x,y,y',y''的三次齊次方程.令dy dx d2y dx2du dedu)d2ududu(T)30(*)du(*)d2udpdu(*)將(* ), (* )代入(*),得到/dp d 2.P( 1 P ) 0du因此p 0或曲' 1

24、 p2du由dp ,21 Pdu覆行p tan(u C1)即dutan(u C1) d再積分可得sin(u C1)C2e即原方程的通解為代入原方程,消去公因子e3彳馬到y(tǒng) xar sin(C2x) C1x由p 0得u C,即y Cx也是解,但此解包含在上述通解中.二階線性微分方程的幕級(jí)數(shù)解法二階線性微分方程Po(x)y'' pi(x) y' P2(x)y 0在近代物理學(xué)以及工程技術(shù)中有著廣泛的應(yīng)用,但是,當(dāng)它的系數(shù)Po(x), Pi(x), P2(x)不為常數(shù)時(shí),它的解往往不能用“有限形式表示出來(lái).而幕級(jí)數(shù)解法就解決了這個(gè)問(wèn)題,它不但對(duì)于求解方程有意義,而且由此引出了很

25、多 新的超越函數(shù),在理論上具有很重要的地位.定理1如果Po(x), Pi(x), P2(x)在某點(diǎn)xo的鄰域內(nèi)解析,即它們可以展成(x xo)的幕級(jí)數(shù),且Po(xo) 0,那么()的解在x0的鄰域內(nèi)也能展成(x x°)的幕級(jí)數(shù)yan(x x°)n.()n 0定理2如果P0(x), Pi(x), P2(x)在某點(diǎn)x°的鄰域內(nèi)解析,而是P°(x)的s重零點(diǎn),是Pi(x)的不低于s 1重的零點(diǎn)(假設(shè)s 1),是P2(x)的不低于s 2重的零點(diǎn)(假設(shè)s 2),那么方程()至少有一個(gè)形如y (x x°)ran(x x°)n()n0的廣義幕級(jí)數(shù)解

26、,其中r是某一常數(shù).二階變系數(shù)線性微分方程的常系數(shù)化對(duì)二階變系數(shù)齊次線性微分方程y'' P(x)y' q(x)y 0()(其中P(x),q(x)均為連續(xù)函數(shù))作變換y f (x)z ,那么有y' f'(x)z f (x)z', y'' f''(x)z 2f'(x)z' f(x)z''代入到()中,得fz'' (2f' p(x)f)z' (f'' p(x) f' q(x)f )z 0()不妨令z的系數(shù)等于零,即2f' p(

27、x)f 0從而1p(x) dx f e 2一.11c 1那么f' - p(x)f, f'' - p2(x) p'(x)f242代入到方程中,整理得一 . 一 1 - 1 .z'' Q(x)z 0 (Q(x) q(x) - p (x) 2 P (x).)當(dāng)Q(x)取某些特殊的函數(shù)時(shí).我們有：C1) Q(x) 三(C為常數(shù)),萬(wàn)程()可化為歐拉萬(wàn)程. x2) Q(x) C (C為常數(shù)),方程()可化為常系數(shù)線性方程.4.拉普拉斯變換我們已經(jīng)知道二階常系數(shù)線性方程y'' py' qy f(x)()的通解結(jié)構(gòu)和求解方法,但是,在實(shí)

28、際問(wèn)題中往往還要求()的滿足初始條件y(x.) y0,y'(x.) y'.的解.我們當(dāng)然可以先求出()的通解,然后由初始條件確定其中的任意常數(shù).止匕外,還有另外一種方法可以求解初值問(wèn)題,即拉普拉斯(Laplace變換法.由于它無(wú)需求出方程的通解,而是直接求出它的特解來(lái), 從而在運(yùn)算上得到很大簡(jiǎn)化.1拉普拉斯變換的定義設(shè)函數(shù)f(t)在區(qū)間0,)上有定義,如果含參量s的無(wú)窮積分 ° e st f (t)dt |im o e st f (t)dt對(duì)s的某一取值范圍是收斂的,那么稱F(s) 0 estf(t)dt()為函數(shù)f(t)的拉普拉斯變換,f(t)稱為原函數(shù),F(s)稱

29、為象函數(shù),并且記為f(t) F(s)2 一些特殊函數(shù)的拉普拉斯變換11) 11(Res 0)s12) t -2 (Res 0)s3) tn E(n 是正整數(shù),Res 0) s14) eat (Res Rea) s a5) tneat J(n是正整數(shù),Res Rea) (s a)n16) sin t工一2 (Res 0) ss 7) cos t 2 s 2 (Res 0) s3拉普拉斯變換的根本性質(zhì)1)線性性質(zhì)：設(shè)函數(shù)L(t), f2(t)滿足定理3的條件,那么在它們的象函數(shù)共 同的定義域上,有Ci f1(t) C2 f2(t) Ci f1(t) C2 f2(t)其中Ci,C2為任意常數(shù).2)原

30、函數(shù)的微分性質(zhì)：如果f'(t), f''(t),f(t)均滿足定理3的條件,那么f'(t) s f (t) f(0),fn(t) snf(t) sn1f(0) sn2f'(0) f(n1)(0).3)象函數(shù)的微分性質(zhì)：如果f (t) F(s),那么ddnn n-F(s) tf (t),F(s) ( 1) t f(t).dsds4)如果 F(s)f ,那么eatf(t) F(s a).5二階微分方程的存在唯一性存在唯一性定理如果在二階微分方程y'' f(x,y,y')()中,令y'yi,那么y''yi'

31、;,它就可化為方程組dy dx dyi dxyi()f(x, y, yi)我們稱()為一階微分方程組.從而,要討論二階微分方程的初值問(wèn)題的存在唯 一性,就只需討論一階微分方程組的初值問(wèn)題的存在唯一性.人y(x)令 Y(x), F(x,Y)yi(x)并定義：dy dY(x)最dx 業(yè)dx那么()可記成向量形式dYdxyi f(x,y,yi)xF(x,Y)dx x.F(x,Y)xyidxx0xf(x, y,yi)dxx0()初始條件y(x0) y0, yi(x0),.可記為Y(x0) Yo,其中 Yoy0yio那么二階微分方程y'' f(x,y,y')y(x0) y0,y&

32、#39;(M) y'0()的初值問(wèn)題就可記為dYF(x,Y)dxY(xo) Yo()此外,我們把二維向量Y(x)y(x) yi(x)的范數(shù)|Y|定義為l|Y| |y| |yi |.下面,我們給出初值問(wèn)題()的解的存在與唯一性定理.定理3 如果函數(shù)F(x,Y)在三維空間的區(qū)域R:|x xo| a,|Y Yo| b上滿足：1)連續(xù)；2)關(guān)于Y滿足李普希茲Lipschitz條件,即存在L 0,使對(duì)于R上任意兩點(diǎn)(x,YJ(x,YJ ,有I|F(x,Yi) F(x,Y2)| L|Yi 丫2|,那么初值問(wèn)題()的解在區(qū)間Ix0 h, x0 h上存在唯一,其中h min(a,3,M max | F

33、(x,Y) |.M(x,Y)r類似于一階微分方程的初值問(wèn)題的存在唯一性定理的證實(shí),下面來(lái)簡(jiǎn)單證實(shí)一下定理3.引理：如果函數(shù)F(x,Y)在三維空間的區(qū)域R:|x x0 | a,|Y Y0 | b上連續(xù),那么初值問(wèn)題()的解 Y( x) (x),x Ix° h,x° h ,與積分方程xY(x) Y0F(x,Y(x)dx()x0b在區(qū)間Ix0 h,x° h上的連續(xù)解等價(jià),其中h min(a,一),Mm maxiiF(x,Y)ii. (x,Y ) R由引理我們知道,要證實(shí)定理 3,只要證實(shí)積分方程()的連續(xù)解在區(qū)間IXo h,x0 h上存在唯一就行了1存在性的證實(shí)下面用皮

34、卡Picard逐次逼近法來(lái)證實(shí)積分方程(6)的連續(xù)解的存在性,可分 三個(gè)步驟進(jìn)行.(1)構(gòu)造區(qū)間I上的逐次近似的連續(xù)向量函數(shù)列 Yn(x).令Yo(x) Yo,構(gòu)造畢卡逐次逼近向量函數(shù)序列如下：Yo(x) Yo XYn(x) YoF( Yn i( )d (n 1,2,)xo向量函數(shù)Yn(x)稱為()的第n次近似解.用數(shù)學(xué)歸納法可以證實(shí)： xxIIX(x) Y)| x |F( Yni( )|d | | Md | M |x xo| Mh b xoxo即曲線Y Yn(x)未越出區(qū)域R,保證了逐次逼近可以一直進(jìn)行下去.(2)證實(shí)函數(shù)序列 K(x)在區(qū)間I上一致收斂.考慮向量函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)Yo(x) Y(x

35、) Yo(x) Y2(x) Yi(x)Yn(x) Yn 1(x)()它的局部和是Sn1(x) Yo(x) Yi(x) Yo(x) Y2(x) Yi(x)Yn(x) Yn1(x)Y0(x)所以,要說(shuō)明函數(shù)序列 Yn(x)在區(qū)間I上一致收斂,只需證實(shí)級(jí)數(shù)()在區(qū) 問(wèn)I上一致收斂.xY(x) Y)J( Yo( )dxo x|Y(x) Yo| | |F( Yo( )|d | M |x xo| xo由數(shù)學(xué)歸納法,我們可以得到：n | x x01n 1|Ym(x) Yn(x)| L M 10(n 1)!而|x x0| h,易于看出級(jí)數(shù)()每一項(xiàng)的絕對(duì)值都不會(huì)超過(guò)正項(xiàng)級(jí)數(shù)h2|Y0 | Mh LM 2!lY

36、的對(duì)應(yīng)項(xiàng).上面的級(jí)數(shù)顯然是收斂的.從而,級(jí)數(shù)()在區(qū)間I上一致收斂.設(shè)其和函數(shù)為(x),從而函數(shù)序列Yn(x)在區(qū)間I上一致收斂于(x)由于K(x)在區(qū)間I上是連續(xù)的,因而 (x)也是連續(xù)的.(3)證實(shí)(x) lim Yn(x)是積分方程()的解. nx對(duì)Yn(x) Y0F( Ynl( )d兩邊取極限,得x0x(x) Y0 lim X F( ,Yni( )dnx0要證(x) limYn(x)是積分方程()的解,只需證 nxx呵("()d J(,()dYn(x)在區(qū)間I上一致收斂,0, N 0,使 n N 時(shí),有 |Yn(x)(x)| 一Lhx| F( "( )dx0xJ(

37、« )d |x0x| X |F( ,Yni( ) F( , 0(x0)1口 IxL| J|Yn l()()|d | x0xlim F( ,Yni( )dn xxL | d | L |x xo |x° LhLhxF(,()dxo那么(x) limK(x)是積分方程()的解. n2唯一性的證實(shí)設(shè)(x)也是積分方程(6)的解,且滿足0(x0) 丫0.那么有xY0x0F(,()d ,于是| (x) o(x)| | F( ,0(x0)F( ,0( )dII L| | O()照x0)I|d()|d ,|x% | h.xO | x L|0( x0由Bellman不等式得：| (x)(x)| 0,|x X0 | h.得出矛盾.因此,在|x x0 | h的解唯一.綜上,()的存在唯一性定理得證.結(jié)論關(guān)于二階線性微分方程的研究已經(jīng)取得了不少成就,尤其在二階常系數(shù)線性 微分方程的求解問(wèn)題和解的存在唯一性定理等方面卓有成效.二階微分方程的解 的存在唯一性定理不僅可判斷解的存在唯一性,而且還