上海市閘北區(qū)2015屆高三二模數(shù)學(xué)理試題(含詳細(xì)答案)

1、閘北區(qū)2014學(xué)年度第二學(xué)期高三數(shù)學(xué)（理科）期中練習(xí)卷考生注意：1. 本次測(cè)試有試題紙和答題紙，解答必須在答題紙上，寫(xiě)在試題紙上的解答無(wú)效2. 答卷前，考生務(wù)必在答題紙上將姓名、學(xué)校、考試號(hào)，以及試卷類型等填寫(xiě)清楚，并在規(guī)定區(qū)域內(nèi)貼上條形碼3. 本試卷共有18道試題，滿分150分，考試時(shí)間120分鐘一、填空題（60分）本大題共有10題，要求在答題紙相應(yīng)題序的空格內(nèi)直接填寫(xiě)結(jié)果，每個(gè)空格填對(duì)得6分，否則一律得零分1.設(shè)冪函數(shù)的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則函數(shù)的奇偶性為 .2.設(shè)復(fù)數(shù)，在復(fù)平面的對(duì)應(yīng)的向量分別為，則向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為 .3.已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，是的反函數(shù)，若，則 .

2、4.一個(gè)籃球運(yùn)動(dòng)員投籃一次得3分的概率為，得2分的概率為，不得分的概率為，其中，已知投籃一次得分的期望是2，則的最大值是 .5.設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和，則 .6.設(shè)函數(shù)，若存在互不相等的實(shí)數(shù)滿足，則的取值范圍 .7.若二項(xiàng)式展開(kāi)式中只有第四項(xiàng)的系數(shù)最大，則這個(gè)展開(kāi)式中任取一項(xiàng)為有理項(xiàng)的概率是 .9.從雙曲線的左焦點(diǎn)引圓的切線，切點(diǎn)為，延長(zhǎng)交雙曲線右支于點(diǎn)，若是線段的中點(diǎn)，為原點(diǎn)，則的值是 .10.把正整數(shù)排成如圖（a）的三角形數(shù)陣，然后擦去第偶數(shù)行中的所有奇數(shù)，第奇數(shù)行中的所有偶數(shù)，可得如圖（b）三角形數(shù)陣，現(xiàn)將圖（b）中的正整數(shù)安小到大的順序構(gòu)成一個(gè)數(shù)列 . （a）(b)二、選擇題（15分）本大題共

3、有3題，每題都給出四個(gè)結(jié)論，其中有且只有一個(gè)結(jié)論是正確的，必須把答題紙上相應(yīng)題序內(nèi)的正確結(jié)論代號(hào)涂黑，選對(duì)得5分，否則一律零分11.下列命題中，正確的個(gè)數(shù)是（1）直線上有兩個(gè)點(diǎn)到平面的距離相等，則這條直線和這個(gè)平面平行；（2）為異面直線，則過(guò)且及平行的平面有且僅有一個(gè)；（3）直四棱柱是直平行六面體（4）兩相鄰側(cè)面所成角相等的棱錐是正棱錐（ ）A.0 B.1 C.2 D.312.在極坐標(biāo)系中，關(guān)于曲線:，下列判斷中正確的是（ ）A.曲線關(guān)于直線 B.曲線關(guān)于直線 C.曲線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱 D.曲線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱13.已知是正三角形內(nèi)部的一點(diǎn)，,則的面積及的面積之比是（ ）A. B. C. D.三、解答題（

4、本題滿分75分）本題共有5題，解答下列各題必須在答題紙的規(guī)定區(qū)域（對(duì)應(yīng)的題號(hào)）內(nèi)寫(xiě)出必要步驟14.（本題滿分12分，第（1）小題5分，第（2）小題7分）如圖是圓柱體的一條母線，已知過(guò)底面圓的圓心，是圓上不及重合的任意一點(diǎn)，（1）求直線及直線所成角的大??；（2）將四面體繞母線旋轉(zhuǎn)一周，求的三邊在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中所圍成的幾何體的體積15.（本題滿分13分，第（1）小題各5分，第（2）小題各8分）如圖所示，某市擬在長(zhǎng)為道路的一側(cè)修建一條運(yùn)動(dòng)賽道，賽道的前一部分為曲線段，該曲線段為函數(shù)的圖像，且圖像的最高點(diǎn)為，賽道的后一部分為折線段，且.（1）求兩點(diǎn)間的直線距離；（2）求折線段賽道長(zhǎng)度的最大值.16.（本題

5、滿分16分，第（1）小題5分，第（2）小題9分）已知圓，點(diǎn)，點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，的垂直平分線交于點(diǎn)（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；（2）過(guò)點(diǎn)且斜率為的動(dòng)直線交曲線于兩點(diǎn)，在軸上是否存在定點(diǎn)，使以為直徑的圓恒過(guò)這個(gè)點(diǎn)？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.17. （本題滿分18，第（1）小題4分，第（2）小題5分，第（2）小題9分）設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)椋涤驗(yàn)?，如果存在函?shù)，使得函數(shù)的值域仍是，那么稱是函數(shù)的一個(gè)等值域變換.（1）判斷下列函數(shù)是不是函數(shù)的一個(gè)等值域變換?說(shuō)明你的理由；（2）設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，值域?yàn)?，函?shù)的定義域?yàn)?，值域?yàn)?，那么“”是否是“是的一個(gè)等值變換”的一個(gè)必要條件？說(shuō)明理由.（3）設(shè)

6、的定義域?yàn)?，已知是的一個(gè)等值變換，且函數(shù)的定義域?yàn)椋髮?shí)數(shù)的值.18. （本題滿分18分，第（1）小題4分，第（2）小題6分，第（3）小題8分）我們把一系列向量按次序排成一列，稱之為向量列，記作.已知向量列滿足：， .（1）證明：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）設(shè)，問(wèn)數(shù)列中是否存在最小項(xiàng)？若存在，求出最小項(xiàng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由. （3）設(shè)表示向量及間的夾角，若，對(duì)于任意的正整數(shù)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.理科答案一 填空題1、偶函數(shù)； 2、 3、 4、 5、 6、 7、 8、 9、 10、1030二 選擇題 11、B 12、A 13、B 三解答題14、（1） 5分 （2） 7分15、解（1）依題

7、意，有 1分 又， 而， 1分 當(dāng)時(shí)，又 3分（2）解：法一：在中，. 設(shè)，則.1分由正弦定理得，3分 故3分，當(dāng)時(shí)，折線段賽道最長(zhǎng)為.2分解法二 ： （2）在中， 由余弦定理得， 即；3分故，從而4分 即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.2分 亦即，設(shè)計(jì)為時(shí)，折線段賽道最長(zhǎng)為.注：本題第（2）問(wèn)答案及其呈現(xiàn)方式均不唯一，除了解法一、解法二給出的兩種設(shè)計(jì)方法，還可設(shè)計(jì)為：；點(diǎn)在線段的垂直平分線上等.16、（1）的垂直平分線交于點(diǎn)，.1分 所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡是以點(diǎn)、為焦點(diǎn)的橢圓.2分 設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為2分（2） 直線l的方程為，聯(lián)立直線和橢圓的方程得，即，易知點(diǎn)在橢圓內(nèi)部，所以直線l及

8、橢圓必交于兩點(diǎn). 1分設(shè)，則，2分假設(shè)在y軸上存在定點(diǎn)滿足題設(shè)，則. 因?yàn)橐訟B為直徑的圓恒過(guò)點(diǎn)D，則.2分即，因?yàn)?，所?*)變?yōu)?.3分由假設(shè)得對(duì)于任意的，恒成立，即，解得. 因此，在y軸上存在點(diǎn)D，點(diǎn)D的坐標(biāo)為3分17、（1）不是2分，即的值域?yàn)?，?dāng)時(shí)，即的值域仍為，所以 是的一個(gè)等值域變換.2分（2）不必要性的反例：此時(shí)，但的值域仍為，即是的一個(gè)等值域變換.（反例不唯一）3分（3）定義域?yàn)椋驗(yàn)槭堑囊粋€(gè)等值域變換，且函數(shù)的定義域?yàn)?，所以的值域?yàn)椋?分，1分所以，恒有，3分解得.3分18、（1）數(shù)列是等比數(shù)列 3分 （2） ， 2分 假設(shè) 中的第 項(xiàng)最小，由 ，當(dāng)時(shí)，有，又由可得，即，.，