求解機(jī)械波的基本情況一例

1、求解機(jī)械波的基本情況一例一橫波沿繩子傳播時(shí)的波動(dòng)表達(dá)式為式中各量的單位為SI單位。（1） 求此波的振幅、波速、頻率和波長(zhǎng)；（2） 求繩上各單元振動(dòng)時(shí)的最大速度和最大加速度；（3） 求處的質(zhì)元在t=1S時(shí)的相位，它是原點(diǎn)處的質(zhì)元在哪一時(shí)刻的相位？這一位相所代表的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)在t=1.25S時(shí)刻到達(dá)哪一點(diǎn)？在t=1.5S時(shí)刻到達(dá)哪一點(diǎn)？（4）解：（1）已知波動(dòng)表達(dá)式為與波動(dòng)標(biāo)準(zhǔn)表達(dá)式比較，可得到振幅頻率，波長(zhǎng)，波速（2）繩上各質(zhì)元振動(dòng)時(shí)的最大速度最大加速度（3）處質(zhì)元的振動(dòng)比原點(diǎn)處質(zhì)元的振動(dòng)落后時(shí)間故x=0.2m,t=1S時(shí)質(zhì)元的振動(dòng)位相相當(dāng)于原點(diǎn)處質(zhì)元在時(shí)的振動(dòng)位相。設(shè)這一位相所代表運(yùn)動(dòng)狀態(tài)在時(shí)到達(dá)

2、點(diǎn)，在時(shí)到達(dá)點(diǎn)，則。（4）以及1.5S各時(shí)刻的波形如圖一所示。求解原點(diǎn)的振動(dòng)表達(dá)式和機(jī)械波的波動(dòng)表達(dá)式一平面簡(jiǎn)諧波以波速沿x軸負(fù)向傳播，時(shí)刻的波形如圖一所示。求：原點(diǎn)的振動(dòng)表達(dá)式以及此簡(jiǎn)諧波的波動(dòng)表達(dá)式。解：由圖可知，因而設(shè)原點(diǎn)的振動(dòng)表達(dá)式為：由圖可知，t=2S時(shí)，y=0,由此可得所以，原點(diǎn)的振動(dòng)表達(dá)式為簡(jiǎn)諧波的波動(dòng)表達(dá)式為求解振動(dòng)表達(dá)式和波動(dòng)表達(dá)式一例一沿x正方向傳播的平面余弦波，已知時(shí)的波形如圖一所示，其頻率為。（1） 寫(xiě)出原點(diǎn)O質(zhì)元的振動(dòng)表達(dá)式；（2） 寫(xiě)出該波的波動(dòng)表達(dá)式；（3） 寫(xiě)出A點(diǎn)處質(zhì)元的振動(dòng)表達(dá)式；（4） 求A點(diǎn)離原點(diǎn)的距離。解：（1）由波形圖可知振幅A=10cm=0.1m,

3、波長(zhǎng)波速角頻率當(dāng)時(shí)，O點(diǎn)的振動(dòng)相位即所以原點(diǎn)O質(zhì)元的振動(dòng)表達(dá)式為（2）波動(dòng)表達(dá)式為 （3）時(shí)A點(diǎn)的振動(dòng)相位即所以A點(diǎn)處質(zhì)元的振動(dòng)表達(dá)式為（4）利用振動(dòng)表達(dá)式求解波動(dòng)表達(dá)式一平面簡(jiǎn)諧波以速度沿直線傳播。已知在傳播路徑上某點(diǎn)A,如圖一，的簡(jiǎn)諧振動(dòng)的表達(dá)式為（1） 以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，寫(xiě)出波動(dòng)表達(dá)式；（2） 以距離點(diǎn)A為5m處的點(diǎn)B為坐標(biāo)原點(diǎn)，寫(xiě)出波動(dòng)表達(dá)式；（3） 寫(xiě)出傳播方向上點(diǎn)C和點(diǎn)D的簡(jiǎn)諧振動(dòng)的表達(dá)式（各點(diǎn)間距見(jiàn)圖）；（4） 分別求出點(diǎn)B與點(diǎn)C間、點(diǎn)C與點(diǎn)D間的相位差。解： 由A點(diǎn)的簡(jiǎn)諧振動(dòng)的表達(dá)式，可以得知（1） 以A點(diǎn)為原點(diǎn)的波動(dòng)表達(dá)式為（2）由于波由左向右傳播，故點(diǎn)B的相位比點(diǎn)A超前，其

4、簡(jiǎn)諧振動(dòng)的表達(dá)式為故以點(diǎn)B為原點(diǎn)的波動(dòng)表達(dá)式為（3）由于點(diǎn)C的相位比點(diǎn)A超前，故點(diǎn)C的振動(dòng)的表達(dá)式為而點(diǎn)D的相位落后于點(diǎn)A，故點(diǎn)D的振動(dòng)表達(dá)式為（4）由于BC間的距離根據(jù)波形求解振動(dòng)的表達(dá)式和波動(dòng)表達(dá)式 一列沿x正向傳播的簡(jiǎn)諧波，在和時(shí)刻的波形如圖一所示。試求：（1） P點(diǎn)的振動(dòng)表達(dá)式；（2） 波動(dòng)表達(dá)式；（3） 畫(huà)出O點(diǎn)的振動(dòng)曲線。解：（1）由圖可知，P點(diǎn)的振動(dòng)表達(dá)式為由于在t=0時(shí)，故或者（），于是（2）在t=0時(shí)，O點(diǎn)的振動(dòng)位置，故初相位，于是，O點(diǎn)的振動(dòng)表達(dá)式為（3）O點(diǎn)的振動(dòng)曲線如圖二所示。求解波的能量密度和聲強(qiáng)大小一平面簡(jiǎn)諧波在空氣中傳播，波速頻率為500。到達(dá)人耳時(shí)，振幅試求人耳

5、接收到聲波的平均能量密度和聲強(qiáng)的大小，聲壓幅為多大？此聲強(qiáng)相當(dāng)于多少分貝？已知空氣的密度為解：聲波的平均能量密度為聲強(qiáng)為聲壓幅 或者聲強(qiáng)級(jí) 求解因干涉而靜止的點(diǎn)的位置一媒質(zhì)中有兩個(gè)波源位于A、B兩點(diǎn)，如圖一，其振幅相同，頻率均為100，相位差為。若A、B兩點(diǎn)相距30m，波在媒質(zhì)中的傳播速度為400m/S,試求：A、 B連線上因干涉而靜止的各點(diǎn)的位置。解：取AB的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，如圖一。設(shè)波源B的初相為，則波源A的初相為。于是波源A、B所發(fā)出的波引起的P點(diǎn)的質(zhì)元振動(dòng)的相位分別為.其相位差為由干涉的減弱條件，有得到或者 依據(jù)已知條件，所以得到在A、B間因干涉而靜止的點(diǎn)的位置為（m）,共15個(gè)靜止點(diǎn)

6、。運(yùn)用干涉條件求解幾個(gè)關(guān)系如圖一所示，地面上的一波源S與一探測(cè)器D之間的距離為d。在D處測(cè)得從S直接發(fā)出的波與從S出發(fā)又經(jīng)高度為H的水平層B反射后的波的合成信號(hào)強(qiáng)度最大。當(dāng)水平層逐漸升高h(yuǎn)距離時(shí)，在D處測(cè)到的信號(hào)消失。設(shè)波在水平層的反射角等于入射角，不考慮大氣的吸收，求波長(zhǎng)與，h，H的關(guān)系。解：由于在B、C處反射的情況相同，所以兩次測(cè)量不會(huì)由于反射引起不同效果，故可設(shè)波在B、C處反射時(shí)都有半波損失。這樣，在B點(diǎn)反射的波與直射波在D處加強(qiáng)的條件為即。在C點(diǎn)反射的波與直射波在D處相消的條件為即所以，求解駐波中反射波的表達(dá)式和合成波的表達(dá)式設(shè)入射波的表達(dá)式為在x=0處發(fā)生反射，反射點(diǎn)為一固定端，求：

7、（1） 反射波的表達(dá)式；（2） 合成波的表達(dá)式；（3） 波腹和波節(jié)的位置。解：（1）由于反射點(diǎn)為固定端，所以這點(diǎn)必是波節(jié)。入射波和反射波在此點(diǎn)引起的振動(dòng)是反相的，所以反射波的表達(dá)式應(yīng)為（2）入射波和反射波相遇，疊加成駐波，其表達(dá)式為（3）波腹的位置：波節(jié)位置：求解駐波的波腹和波速一弦上駐波的表達(dá)式為式中各量單位為SI單位。（1） 組成此駐波的各行波的波腹和波速為多少？（2） 節(jié)點(diǎn)間的距離為多大？（3） 時(shí)，位于處的質(zhì)點(diǎn)的速度為多少？解：（1）與駐波的標(biāo)準(zhǔn)式比較得到各行波的波腹、波長(zhǎng)和周期為所以波速（2）波節(jié)的位置滿足關(guān)系式：所以波節(jié)間的距離為（3）質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)速度為將x=0.05m,代入，得到求

8、解駐波中入射波和反射波以及合成波的特點(diǎn)在一根線密度和張力的弦線上，有一列沿x軸正方向傳播的簡(jiǎn)諧橫波，其頻率為，振幅已知弦線上離坐標(biāo)原點(diǎn)處的質(zhì)元在t=0時(shí)刻的位移為，且沿y軸方向運(yùn)動(dòng)。當(dāng)波傳播到處的固定端時(shí)，被全部反射。（1） 試寫(xiě)出入射波和反射波的波動(dòng)表達(dá)式；（2） 求入射波和反射波疊加的合成波在區(qū)間內(nèi)波腹和波節(jié)處各點(diǎn)的坐標(biāo)。解：（1）由題給數(shù)據(jù)，可得到波長(zhǎng)為在處質(zhì)元振動(dòng)的初相為設(shè)原點(diǎn)處的初相為，則所以，入射波的波動(dòng)表達(dá)式為因?yàn)樵谔幏瓷溆邪氩〒p失，所以，反射波在處的振動(dòng)表達(dá)式為反射波的波動(dòng)表達(dá)式為（2）因波節(jié)間的間距離為，而處為波節(jié)，所以波節(jié)點(diǎn)的坐標(biāo)為波節(jié)與波腹間的間距為所以波節(jié)點(diǎn)的坐標(biāo)為x=

9、0.5,1.59.5m.描寫(xiě)合成駐波兩人各執(zhí)長(zhǎng)為的繩的兩端，以相同的角頻率和振幅在繩上激起波動(dòng)，右端的人的振動(dòng)比左端的人的振動(dòng)相位超前，試以中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)描寫(xiě)合成駐波。由于繩很長(zhǎng)，不必考慮反射，并設(shè)繩上的波速為u.解：設(shè)左端的振動(dòng)表達(dá)式為，則右端的振動(dòng)表達(dá)式為設(shè)右行波的波動(dòng)表達(dá)式為左行波的波動(dòng)表達(dá)式為由題意，當(dāng)時(shí)，即故當(dāng)時(shí)，即 故于是兩波的波動(dòng)表達(dá)式為合成波當(dāng)時(shí)，處為波腹；當(dāng)時(shí)，x=0處為波節(jié)。求解駐波的有關(guān)參量一平面簡(jiǎn)諧波沿x軸正方向傳播，在t=0時(shí)，原點(diǎn)O處質(zhì)元的振動(dòng)是經(jīng)過(guò)平衡位置向負(fù)方向運(yùn)動(dòng)。在距離原點(diǎn)O為處有一波密介質(zhì)的反射面，波被垂直界面反射，如圖一。設(shè)入射波和反射波的振幅都為A，頻

10、率都為。試求：（1） 入射波和反射波的波動(dòng)表達(dá)式；（2） 合成波的波動(dòng)表達(dá)式；（3） 在原點(diǎn)到反射面間各個(gè)波節(jié)和波腹點(diǎn)的坐標(biāo)；（4） 距反射面為的Q點(diǎn)處質(zhì)元的合振動(dòng)的表達(dá)式。解：（1）設(shè)入射波在原點(diǎn)O的振動(dòng)表達(dá)式為由于在t=0時(shí)，原點(diǎn)處質(zhì)元的位移，可得到因而入射波的波動(dòng)表達(dá)式為反射波在O點(diǎn)的振動(dòng)是入射波傳到反射面在傳到O點(diǎn)的，所以反射波在O點(diǎn)的振動(dòng)相位比入射波落后左式中后一項(xiàng)是考慮到波在波密媒質(zhì)面上反射發(fā)生相位突變而加上反射波的波動(dòng)表達(dá)式為（2）合成波（駐波）的波動(dòng)表達(dá)式為（3）波腹點(diǎn)坐標(biāo)滿足的條件為即波節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)滿足的條件為即由上可知，原點(diǎn)O為波腹，反射點(diǎn)為波節(jié)。（4）Q點(diǎn)的坐標(biāo)為因而，點(diǎn)處質(zhì)

11、元的合振動(dòng)的表達(dá)式為求解潛艇的速度一固定的超聲探測(cè)儀，在海水中發(fā)出一束頻率的超聲波，被一向著探測(cè)儀駛來(lái)的潛艇反射回來(lái)。探測(cè)儀測(cè)得反射波和入射波的頻率相差為220.求：該潛艇的速度。已知超聲波在海水中的波速為1500m/S.解：聲源不動(dòng)，潛艇向著聲源運(yùn)動(dòng)，潛艇接收到的頻率（潛艇相當(dāng)于觀察者），潛艇反射超聲波，此時(shí)潛艇相當(dāng)于聲源，發(fā)射頻率為的超聲波，聲源在運(yùn)動(dòng)，而接收器不動(dòng)，故探測(cè)儀接收到的頻率為根據(jù)題意，得到代入數(shù)據(jù)，得到求解波源的頻率（1） 一波源振動(dòng)頻率為2040，以速度向波源接近，如圖一，觀測(cè)者在A點(diǎn)所得的拍頻為，設(shè)聲速為340m/S,求波源移動(dòng)的速度.（2） 如果（1）中的波源沒(méi)有運(yùn)動(dòng)，

12、而以一反射面代替墻壁，以速度向觀測(cè)者A接近，所得到的拍頻為，求解波源的頻率。解：（1）觀測(cè)者從波源直接聽(tīng)到的聲波頻率為由墻壁反射的聲波頻率為觀察者測(cè)得的拍頻為以上兩者之差，即化簡(jiǎn)，可得解方程，得到因?yàn)樗裕?）觀測(cè)者從波源直接聽(tīng)到的聲波頻率為反射面接收到的聲波頻率（反射面相當(dāng)于觀察者，向著聲源運(yùn)動(dòng)）由于反射面在運(yùn)動(dòng)，此時(shí)反射面相當(dāng)于聲源，故觀測(cè)者所測(cè)得的反射面反射的聲波頻率為拍頻得到運(yùn)用多普勒效應(yīng)求解飛機(jī)的飛行高度飛機(jī)在上空以速度作水平飛行，發(fā)出頻率的聲波。靜止在地面上的觀察者測(cè)定飛機(jī)發(fā)出的聲波的頻率。當(dāng)飛機(jī)越過(guò)觀察者上空時(shí)，觀察者在4S內(nèi)測(cè)出的頻率從降為。已知聲波在空氣中的速度。試求：飛機(jī)的

13、飛行高度h. 解：設(shè)飛機(jī)在4S內(nèi)從A點(diǎn)水平飛行到B點(diǎn)，飛行高度為h，M為觀察者，如圖一所示。聲源在AM方向的分速度，聲波在BM方向的分速度。由多普勒效應(yīng)的公式解，得到又解，得到由幾何關(guān)系，得到可以得到，求解觀察者聽(tīng)到的聲音的頻率一聲源的頻率為，若聲源與觀察者分別以和在聲音的傳播方向上作同方向的運(yùn)動(dòng)，則觀察者聽(tīng)到聲音的頻率為多少？若空氣在流動(dòng)，風(fēng)速為，且風(fēng)速方向與和的方向也相同，試問(wèn)：此時(shí)觀察者聽(tīng)到聲音的頻率為多少？解：（1）聲源相對(duì)媒質(zhì)與聲波同向運(yùn)動(dòng)時(shí)，聲音的波長(zhǎng)變短。設(shè)T為聲源的發(fā)聲周期，此時(shí)聲波波長(zhǎng)觀察者相對(duì)媒質(zhì)與聲波同向運(yùn)動(dòng)，聲波相對(duì)觀察者的傳播速度因此，觀察者在單位時(shí)間內(nèi)接收到的波的個(gè)

14、數(shù)，即聽(tīng)到的聲音的頻率為（2）當(dāng)空氣在流動(dòng)，即媒質(zhì)也沿波的傳播方向運(yùn)動(dòng)，波相對(duì)媒質(zhì)的傳播速度為，媒質(zhì)相對(duì)地面的速度為。因此，波相對(duì)地面的傳播速度為。考慮到聲源也作同向運(yùn)動(dòng)，此時(shí)聲音的波長(zhǎng)為聲源相對(duì)觀察者的傳播速度為此時(shí)，觀察者在單位時(shí)間內(nèi)接收到波的個(gè)數(shù)，即聽(tīng)到聲音的頻率為求解觀測(cè)頻率的極值如圖一，音叉P沿著半徑的圓以角速度作勻速圓周運(yùn)動(dòng)。音叉發(fā)出頻率的聲波，聲波的速度為觀測(cè)者M(jìn)與圓周共面，與圓心O的距離d=2r。試問(wèn)：當(dāng)角為多大時(shí)，觀測(cè)到聲波的頻率為最高或者最低，并求其數(shù)值。解：當(dāng)音叉位于中心角為的位置時(shí)，聲源在觀測(cè)者方向上的分速度為。根據(jù)多普勒效應(yīng)的公式，觀測(cè)到聲波的頻率與角的關(guān)系為 （1）利用正弦定理以及余弦定理，把表示成的函數(shù)，由可得到，代入（1），得到為極值時(shí)滿足代入，得到或者可以解得或者2（舍去），當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，可見(jiàn)，當(dāng)時(shí)，觀測(cè)到聲波的最低頻率和最高頻率。運(yùn)用多普勒效應(yīng)求解聲音的頻率聲波