016第六章曲線運(yùn)動(dòng)

1、第二章曲線運(yùn)動(dòng)一、概念和公式：1、曲線運(yùn)動(dòng)：曲線運(yùn)動(dòng)定義：曲線運(yùn)動(dòng)是一種軌跡是曲線的運(yùn)動(dòng)，其速度方向隨時(shí)間不斷變化曲線運(yùn)動(dòng)中質(zhì)點(diǎn)的瞬時(shí)速度方向：就是曲線的切線 方向曲線運(yùn)動(dòng)是一種變速運(yùn)動(dòng)，因?yàn)槲矬w速度方向不斷 變化，所以曲線運(yùn)動(dòng)的物體總有加速度說(shuō)明：曲線運(yùn)動(dòng)一定是變速運(yùn)動(dòng)，一定具有加速度；但變速運(yùn)動(dòng)或具有加速度的運(yùn)動(dòng)不一定是曲線運(yùn)動(dòng)兩種常見(jiàn)的曲線運(yùn)動(dòng)：平拋運(yùn)動(dòng)和勻速圓周運(yùn)動(dòng)2、物體做曲線運(yùn)動(dòng)的條件：曲線運(yùn)動(dòng)的物體所受的合外力不為零，合外力產(chǎn)生加速度，使速度方向（大?。┌l(fā)生變化曲線運(yùn)動(dòng)的條件：物體所受的合外力F與物體速度方向不在同一條直線上力決定了給定物體的加速度，力與速度的方向關(guān)系決定了物體運(yùn)

2、動(dòng)的軌跡F （或a）跟v在一直線上t直線運(yùn)動(dòng)：a恒定t 勻變速直線運(yùn)動(dòng)；a變化t變加速直線運(yùn)動(dòng)。F （或a）跟v不在一直線上t直線運(yùn)動(dòng)： a恒定 t勻變速曲線運(yùn)動(dòng)；a變化t變加速曲線運(yùn)動(dòng)根據(jù)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡大致判斷受力方向：做曲線運(yùn) 動(dòng)的物體所受的合外力必指向運(yùn)動(dòng)軌跡的內(nèi)側(cè)， 也就 是運(yùn)動(dòng)軌跡必夾在速度方向與合外力方向之間。例1:如圖所示，物體在恒力 F作用下沿曲線從 A運(yùn) 動(dòng)到B，這時(shí)，突然使它所受力反向，大小不變，即 由F變?yōu)橐籉。在此力作用下，物體以后運(yùn)動(dòng)情況， 下列說(shuō)法正確的是A .物體不可能沿曲線 Ba運(yùn)動(dòng)；B 物體不可能沿直線 Bb運(yùn)動(dòng)；C 物體不可能沿曲線 Bc運(yùn)動(dòng)；D物體不可能沿原

3、曲線由 B返回A解析：因?yàn)樵谇€運(yùn)動(dòng)中，某點(diǎn)的速度方向是軌 跡上該點(diǎn)的切線方向，如圖所示，在恒力作用下AB為拋物線，由其形狀可以畫出Va方向和F方向。同樣， 在B點(diǎn)可以做出vB和一F方向。由于vB和一F不在一 條直線上，所以以后運(yùn)動(dòng)軌跡不可能是直線。又根據(jù) 運(yùn)動(dòng)合成的知識(shí)，物體應(yīng)該沿 BC軌道運(yùn)動(dòng)。即物體 不會(huì)沿Ba運(yùn)動(dòng)，也不會(huì)沿原曲線返回。掌握好運(yùn)動(dòng)和力的關(guān)系以及物體的運(yùn)動(dòng)軌跡形 狀由什么決定是解好本題關(guān)鍵。答案：A、B、Do3、運(yùn)動(dòng)的合成和分解速度的合成和分解合運(yùn)動(dòng)和分運(yùn)動(dòng)：如果物體同時(shí)參與了幾個(gè)運(yùn)動(dòng)， 那么物體實(shí)際發(fā)生的運(yùn)動(dòng)就叫做那幾個(gè)運(yùn)動(dòng)的合運(yùn) 動(dòng)；那幾個(gè)運(yùn)動(dòng)叫做這個(gè)實(shí)際運(yùn)動(dòng)的分運(yùn)動(dòng)合

4、運(yùn)動(dòng)與分運(yùn)動(dòng)的關(guān)系： 等效性：各分運(yùn)動(dòng)的規(guī)律疊加起來(lái)與合運(yùn)動(dòng)規(guī) 律有完全相同的效果 獨(dú)立性：某個(gè)方向上的運(yùn)動(dòng)不會(huì)因?yàn)槠渌较?上是否有運(yùn)動(dòng)而影響自己的運(yùn)動(dòng)性質(zhì)。 運(yùn)動(dòng)獨(dú)立性原理（疊加原理）：一物體可同時(shí)參 與幾種不同的運(yùn)動(dòng)，在研究問(wèn)題時(shí)可以把各分運(yùn)動(dòng)都 看作互相獨(dú)立進(jìn)行，它們互不影響。而一個(gè)物體的運(yùn)動(dòng)可以看成由幾個(gè)各自獨(dú)立進(jìn)行的運(yùn)動(dòng)的疊加而成 等時(shí)性：合運(yùn)動(dòng)通過(guò)合位移所需的時(shí)間和對(duì)應(yīng) 的每個(gè)分運(yùn)動(dòng)通過(guò)分位移的時(shí)間相等。即各分運(yùn)動(dòng)總 是同時(shí)開(kāi)始，同時(shí)結(jié)束運(yùn)動(dòng)合成分解： 運(yùn)動(dòng)的合成和分解：已知分運(yùn)動(dòng)求合運(yùn)動(dòng)叫運(yùn) 動(dòng)的合成，已知合運(yùn)動(dòng)求分運(yùn)動(dòng)叫運(yùn)動(dòng)的分解 運(yùn)動(dòng)的合成和分解的運(yùn)算法則：是指物體運(yùn)動(dòng) 的

5、各物理量即位移、速度、加速度的合成與分解a、 合運(yùn)動(dòng)的位移等于二分運(yùn)動(dòng)位移的矢量和，符 合平行四邊形法則b、 合運(yùn)動(dòng)的速度等于二分運(yùn)動(dòng)速度的矢量和，符合平行四邊形法則 豎直方向是自由落體運(yùn)動(dòng):tan :_ y _ gtx2VoX 二 VotC、合運(yùn)動(dòng)和分運(yùn)動(dòng)具有等時(shí)性當(dāng)兩直線運(yùn)動(dòng)的合速度的方向和合加速度的方向 重合時(shí)，合運(yùn)動(dòng)為直線運(yùn)動(dòng)曲線運(yùn)動(dòng)可分解為兩個(gè)方向上的直線運(yùn)動(dòng)，分別 研究?jī)煞较蛏系氖芰瓦\(yùn)動(dòng)規(guī)律4、繩拉物體的速度分解問(wèn)題：原理：物體運(yùn)動(dòng)的速度 v為合速度，這個(gè)速度在沿 繩子方向的分速度Vi就是繩子拉長(zhǎng)或縮短的速度，物 體速度V的另一個(gè)分速度V分就是繩子的擺動(dòng)速度，它 一定和Vi垂直總

6、之一句話：繩端速度總沿著繩子方向 和垂直于繩子方向分解，以物體的實(shí)際運(yùn)動(dòng)為合運(yùn)動(dòng)。5、小船渡河的四個(gè)極值問(wèn)題渡河問(wèn)題，是運(yùn)動(dòng)合成與分解的典型模型，這里介 紹四個(gè)極值問(wèn)題及其應(yīng)用設(shè)船對(duì)水的速度為 Vi（即船在靜水的速度），水的速度 為V2 （即水對(duì)河岸的速度），河的兩岸平行，寬度為 L當(dāng)船頭垂直河岸時(shí)，渡河時(shí)間最短：t =-Vi當(dāng)V2，合速度方向垂直河岸時(shí)，渡河位移最小：s=L當(dāng)Vi說(shuō)明：研究勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)常常采用的是控制變量法。2、勻速圓周運(yùn)動(dòng)解題步驟：明確研究對(duì)象，確定它在哪個(gè)平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)， 找出圓心和半徑確定研究對(duì)象在某位置（某時(shí)刻）所處狀態(tài)，進(jìn) 行受力分析，作岀受力分析圖，找岀提供向

7、心力 的力（或合力）。寫岀需要的向心力公式：2 2 2Fn= m3 r=m v /r=m 3 v=m （2n /T） r列方程，總是取指向圓心的方向?yàn)檎?。檢查結(jié)果的合理性，并進(jìn)行必要的分析討論。例6:質(zhì)量相等的小球A B分別固定在輕桿0B的中 點(diǎn)及端點(diǎn)，當(dāng)桿在光滑水平面上繞0點(diǎn)勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，女口圖所示，求桿的 0A段及AB段對(duì)球的拉力之比？解析：A、B小球受力如圖所示，在豎直方向上 A與B處于平衡態(tài)。在水平方向上根據(jù)勻速圓周運(yùn)動(dòng)規(guī)律Na NaJTaL Jl t汽、* (T套f* rmg ms2Ta -Tb = mOA，2TB . OB，OB =2OA。2 2Ta = m 3OA， Tr =2 OA

8、，Ta : Tb = 3 : 2答案：Ta : Tb = 3 : 23、勻速圓周運(yùn)動(dòng)的實(shí)例分析火車拐彎問(wèn)題：由于火車的質(zhì)量比較大，火車拐彎時(shí)所需的向心 力就很大。如果鐵軌內(nèi)外側(cè)一樣高，則外側(cè)輪緣所受 的壓力很大，容易損壞；實(shí)用中使外軌略高于內(nèi)軌， 從而重力，鐵軌支持力和側(cè)向壓力的合力提供火車拐 彎時(shí)所需的向心力。例7 :鐵軌拐彎處半徑為 R,內(nèi)外軌高度差為H兩軌間 距為L(zhǎng),火車總質(zhì)量為 M貝U:火車在拐彎處運(yùn)動(dòng)的“規(guī)定速度Vp ”大小為，若火車實(shí)際速度大于 Vp，則軌將受到側(cè)向壓力，若火車實(shí)際速度小于 Vp，則軌將受到側(cè)向壓力。2解析： mgtan 0 =m Rv = . gRtan j :

9、. g R H/L火車做離心運(yùn)動(dòng)，夕卜軌受到側(cè)向壓力?；疖囎鱿蛐倪\(yùn)動(dòng)，內(nèi)軌受到側(cè)向壓力。例8:在高速公路的拐彎處，路面造得外高內(nèi)低，即 當(dāng)車向右拐彎時(shí)，司機(jī)左側(cè)的路面比右側(cè)的要高一些， 路面與水平面間的夾角為 0設(shè)拐彎路段是半徑為 R 的圓弧，要使車速為v時(shí)車輪與路面之間的橫向（即垂 直于前進(jìn)方向）摩擦力等于零，0應(yīng)等于（）2vA .arcsinRg2vB . arctan Rg21 2vC . arcsin2 Rg2vD. arccotRg解析：如圖所示，要使摩擦力為零，必使車受的重力與支持力的 合力捉供F n =mgtan 02=m ，故所以0R向心力，貝U ：2varctanRg。即答案

10、為B。說(shuō)明：鐵路、高速公路、雜技表演等，都是利用自 身的重力分力提供轉(zhuǎn)彎所需的向心力。“水流星”節(jié)目分析例9:繩系杯子在豎直平面內(nèi)圓運(yùn)動(dòng)，最高點(diǎn)杯中 水不流出的原因是：杯在最高點(diǎn)的最小速度 vmin=，設(shè)杯內(nèi)水的質(zhì)量為 m,則當(dāng)最高點(diǎn)的速度 v1 vmin時(shí)，杯對(duì)水的壓力 N 設(shè)杯運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)速度為v2，則此時(shí)水對(duì)杯的壓力N=。解析：水和重力提供水做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力mgmg2v 二 mlgl N -mg2v=m一l2v二 ml2VN = m -mg2vN 二 m mg“繩模型”繩拴一小球在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)、小球在豎直平面內(nèi)單軌道的內(nèi)單側(cè)做圓周運(yùn)動(dòng)都屬于繩模 型。臨界條件：繩子或軌道對(duì)小球沒(méi)

11、有作用力2vmgv臨界二.gRR說(shuō)明：如果小球帶電，且空間存在電、磁場(chǎng)，臨界條 件應(yīng)是小球所受重力、電場(chǎng)力和洛侖茲力的合力等于向心力，此時(shí)臨界速度 v臨界-gR小球能過(guò)最高點(diǎn)的條件：V _ I gR小球不能過(guò)最高點(diǎn)條件：V , gR繩拴小球或小球在豎直平面內(nèi)單軌道內(nèi)側(cè)做圓周運(yùn)動(dòng)，在最高點(diǎn)的最小速度 Vmjn = . gR例10 :一宇航員抵達(dá)一半徑為 R的星球表面后，為了 測(cè)定該星球的質(zhì)量 M，做如下的實(shí)驗(yàn)，取一根細(xì)線穿 過(guò)光滑的細(xì)直管，細(xì)線一端拴一質(zhì)量為m的砝碼，另一端連接在一固定的測(cè)力計(jì)上，手握細(xì)直管掄動(dòng)砝碼， 使它在豎直平面內(nèi)做完整的圓周運(yùn)動(dòng)，停止掄動(dòng)細(xì)直 管，砝碼可繼續(xù)在同一豎直平面內(nèi)

12、做完整的圓周運(yùn)動(dòng)， 如圖所示，此時(shí)觀察測(cè)力計(jì)得到當(dāng)砝碼運(yùn)動(dòng)到圓周的 最低點(diǎn)和最高點(diǎn)兩位置時(shí)測(cè)力計(jì)的讀數(shù)差F，已 知引力常量為G,試根據(jù)題中所提供的條件和測(cè)量結(jié) 果，求岀該星球的質(zhì)量 M。2V1 解析：最咼點(diǎn) Fi+mg=m，r2最低點(diǎn)，r根據(jù)機(jī)械能守恒定律：11vi2+mg 2r=22可得g=2mv2，m m星球表面上質(zhì)量為 m的物體所受重力等于萬(wàn)有引力,即GMmR2=mg，M止QG 6Gm點(diǎn)評(píng)這是一道與萬(wàn)有引力知識(shí)相結(jié)合的試題，- 要解決圓運(yùn)動(dòng)的問(wèn)題，二要處理星球表面重力加速度 的概念。“桿模型”桿粘小球在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)或小球在豎直平 面內(nèi)雙軌道的內(nèi)側(cè)做圓周運(yùn)動(dòng)。臨界條件：v=0 （有

13、物體支承的小球不會(huì)脫落軌 內(nèi)，只要還有向前速度都能向前運(yùn)動(dòng)）小球在最高點(diǎn)的受力分析：（桿或雙軌道的內(nèi)外 環(huán)對(duì)小球產(chǎn)生的彈力即可指向圓心也可背向圓心）當(dāng)V = 0時(shí)，桿對(duì)球作用力為支持力或內(nèi)環(huán)對(duì)球有支持力，方向和指向圓心方向相反，大小為：N= mg。當(dāng)0 ： V ： . gR時(shí)，桿對(duì)球作用力為支持力或內(nèi)環(huán)對(duì)球有支持力，方向和指向圓心方向相反，2亠亠V大小為：N=mg-m ； n隨v的增大而減小y R 當(dāng)v = . gR時(shí)，桿對(duì)球作用力n= 0或內(nèi)外環(huán)對(duì)球均無(wú)作用力。 當(dāng)v 、gR時(shí)，桿對(duì)球作用力為拉力或外環(huán)對(duì)其有支持力，方向指向圓心方向，大小為：2N = m - mg; N隨v的增大而增大。R例

14、11:長(zhǎng)為L(zhǎng)的輕桿，一端固定一個(gè)小球，另一端固 定在光滑的水平軸上，使小球在豎直平面內(nèi)作圓周運(yùn) 動(dòng)，關(guān)于小球在過(guò)最高點(diǎn)的速度v，下列敘述中正確的是A. v極小值為、gLB. v由零增大，向心力也逐漸增大C. 當(dāng)v由、gL逐漸增大時(shí)，桿對(duì)小球的彈力也D.當(dāng)V由gL逐漸減小時(shí)，桿對(duì)小球的彈力逐逐漸增大漸減小解析：由于桿既可以承受壓力又可以承受拉力，因此 小球受合力既可以大于小球重力又可以小于小球重 力，也可以等于小球重力。當(dāng)桿受力為零時(shí)，重力充2當(dāng)向心力mg， v = ,*gL。當(dāng)v .gL時(shí)桿對(duì)小球施拉力；v ：,. gL時(shí)桿對(duì)小球施壓力，因此 v極小值可以小于,gL，只要大于0即可。故正確選項(xiàng)

15、是B、C D例12 :一內(nèi)壁光滑的環(huán)形細(xì)圓管，位于豎直平面內(nèi)， 環(huán)的半徑為R（比細(xì)管的半徑大得多）在圓管中有兩個(gè) 直徑與細(xì)管內(nèi)徑相同的小球（可視為質(zhì)點(diǎn)）.A球的質(zhì)量 為m B球的質(zhì)量為 m2.它們沿環(huán)形圓管順時(shí)針運(yùn) 動(dòng)，經(jīng)過(guò)最低點(diǎn)時(shí)的速度都為 vo.設(shè)A球運(yùn)動(dòng)到最低 點(diǎn)時(shí)，B球恰好運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)，若要此時(shí)兩球作用于 圓管的合力為零，那么m m2、R與v0應(yīng)滿足的關(guān)系 式是。解析：這是一道圓周運(yùn)動(dòng)與機(jī)械能守恒的綜合題目，也是一道情景新穎的討論題，要求能正確地對(duì) A、B 兩球進(jìn)行受力分析，判斷出A、B受到圓管對(duì)它們的作 用力的方向，列出正確的方程式，問(wèn)題便會(huì)迎刃而解。 由題意可知，為了使在最高點(diǎn)的

16、B球和最低點(diǎn)的A球 對(duì)圓管的作用力的合力為零，則有：2v0對(duì)A，N A -m1g= mr（ Na的方向必向上）。R2v0對(duì)B， N B +m 2 g= m 2 （Nb的方向必向下）.又知B球在最低點(diǎn)時(shí)速度為 v0，在最高點(diǎn)時(shí)速度為V，則應(yīng)有22m 2 v + m 2 g 2R,2則有A、B對(duì)圓管的合力為零整理得m2v0故所以得（口丄一m? ） + （mi +m 2 ） g = 0。R汽車過(guò)橋問(wèn)題，汽車質(zhì)量為m通過(guò)一橋：當(dāng)汽車以速率v通過(guò)半徑為r的拱形橋，在最高點(diǎn)2v對(duì)橋的壓力為：N =mg-m；且壓力隨v的增R大而減小； 當(dāng)車的速度v = . gR時(shí)，其在最高點(diǎn)對(duì)橋的壓力為零； 如汽車以速率v通過(guò)半徑為R的凹形橋，則最低點(diǎn)2橋?qū)嚨闹С至?n = m= mg；且支持力隨vR的增大而增大。水平轉(zhuǎn)臺(tái)上物體運(yùn)動(dòng)分析，水平轉(zhuǎn)臺(tái)上的物體 m隨 轉(zhuǎn)臺(tái)一起勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，當(dāng)半徑不變，角速度增大時(shí)， 設(shè)物體仍作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，則物體受到的靜摩擦力增 大，彈力不變，向心力增大，向心加速度增大；當(dāng)角速度不變，半徑增大時(shí)，設(shè)物體仍作勻速圓周 運(yùn)動(dòng)，則物體受到的靜摩擦力增大，線速度增大，向 心加速度增大例14：如圖所示，水平轉(zhuǎn)臺(tái)上放有質(zhì)量均為m的兩小物塊A、B，A離轉(zhuǎn)