2.1.2平面直角坐標(biāo)系中的基本公式

1、層級一學(xué)業(yè)水平達(dá)標(biāo)1若點P到原點的距離為2,點P在原點的左側(cè)，則點P的坐標(biāo)為（）A . 2B. 2C. ±D.不確定解析：選B設(shè)點P的坐標(biāo)為x,則|x|= 2,由點P在原點的左側(cè)，可知 x= 2.2.數(shù)軸上三點 A，B，C，已知AB= 2.5, BC = -3,若A點坐標(biāo)為0，則C點坐標(biāo)為（）A . 0.5B. 0.5C . 5.5D. 5.5解析：選B由 Xb 0 = 2.5 得 xb= 2.5,由 xc xb= 3 得 xc= 0.5.3. 已知數(shù)軸上兩點 A, B,若點B的坐標(biāo)為3,且A, B兩點間的距離d（A, B）= 5，則點A的坐標(biāo)為（)A . 8B. 2C. 8D .

2、8或2解析：選D記點 A(xi), B(X2)，貝9 X2= 3, d(A, B)=|AB|=|X2-xi|= 5，即 |3 xi|= 5,解得xi= 2 或 xi = 8.4.在數(shù)軸上從點A（ 2）引一線段到B（1），再同向延長同樣的長度到C,則點C的坐標(biāo)為（）A. 13解析：選C 如下圖所示，故C（4）為所求.5.在數(shù)軸上，已知任意三點 A,B,O,下列關(guān)系中，不正確的是 （）A. AB= OB OAB . AO+ OB+ BA = 0C . AB= AO + OBD . AB+ AO+ BO = 0解析：選 D OB OA = OB + AO = AO+ OB = AB,AB= OB-O

3、A，故選項 A正確；選項 B、C顯然正確；AB+ AO+ BO= 2AO工0,故選項 D不正確.6. 已知數(shù)軸上點 A, B的坐標(biāo)分別為xi, X2,若X2= 1,且|AB|= 5,則Xi的值為_解析：|AB|= |x2 xi|= 5，即 |xi + 1|= 5，解得 xi = 6 或 xi = 4.答案：6或47. 已知數(shù)軸上一點 P(x),它到點A( 8)的距離是它到點B( 4)的距離的2倍，則x=解析：由題意，得 d(P, A) = 2d(P , B),i6-| 8 x|= 2| 4 x|,解得 x= 0 或 x=.答案：0或一詈;已知點N的坐標(biāo)為2, |MN|8. 在數(shù)軸上，已知點 B

4、的坐標(biāo)為3, AB = 4,則點A的坐標(biāo)為=i,則點M的坐標(biāo)為解析：設(shè)點 A 坐標(biāo)為 x. TAB = 3 x= 4,.x = i.設(shè) M 點坐標(biāo)為 y/|MN |= |2 y|= i, y= i 或y= 3.答案：i i或39. 在數(shù)軸上，討論點 A(3a + i)與點B(i 2a)的位置關(guān)系.解：當(dāng)3a+ i> i 2a,即a> 0時，點A在點B右側(cè)；當(dāng)3a+ i = i 2a，即a= 0時，點 A與點B重合；當(dāng)3a+ iv i 2a，即av 0時，點B在點A右側(cè).10. 已知M , N , P是數(shù)軸上三點，若|MN|= 5, |NP|= 2,求d(M , P).解：因為M ,

5、 N, P是數(shù)軸上三點，|MN|= 5, |NP| = 2.(1) 當(dāng)點P在點M , N之間時(如圖所示).d(M , P) = |MN | |NP| = 5 2 = 3.(2) 當(dāng)點P在點M , N之外時(如圖所示).弋一二一:d(M , P) = |MN|+ |NP| = 5+ 2 = 7.綜上所述：d(M , P) = 3 或 d(M , P)= 7.層級二應(yīng)試能力達(dá)標(biāo)1在數(shù)軸上，已知 A, B, C三點的坐標(biāo)分別為x,2x,3 x,若使AB+ CB>AC，則實數(shù)x的取值范圍是（）A. x> 2B. x> 1C. xv 3D . x v 1解析：選BAB + CB>

6、; AC,.由向量坐標(biāo)公式，得(2x x) + 2x (3 x)>(3 x) x,解得x > 1,故選B.2.如圖所示，數(shù)軸上標(biāo)出若干個點，每相鄰兩個點相距1個單位，點A, B,C, D對應(yīng)的數(shù)分別是整數(shù) a, b, c, d,且d 2a = 10,那么數(shù)軸的原點 應(yīng)是（）A .A點B.B點C .C點D.D點解析:選B用排除法，如原點為A,則a = 0, d= 7, d 2a = 7豐10,排除 A，同樣的方法,排除C、D;當(dāng)B為原點時，a= 3, d= 4, d 2a= 4 2X （ 3） = 10,滿足條件，故選 B.3.數(shù)軸上點P, M , N的坐標(biāo)分別為一2,8, 6,則在

7、 MN = NM :MP = 10;PN = 4中 ，正確的表示有（）A. 0個B . 1 個C . 2個D . 3個解析：選C 數(shù)軸上的兩點對應(yīng)的向量的數(shù)量是實數(shù)，等于終點的坐標(biāo)減去起點的坐標(biāo)，故MN = NM 不正確，MP = 10, PN = 4 正確.4. 設(shè)數(shù)軸上三點 A, B, C,點B在A, C之間，則下列等式成立的是 ()A. |AB CB |=| AB|CB|B. | AB + CB|=|AB| + |CB |C. | AB CB |=| AB|+ |CB |D. |AB + CB |= | AB CB|解析：選C 根據(jù)A, B, C三點的相對位置可知，| AB CB |=

8、| AB + BC |= |AC |= | AB| + |CB|,故 C 成立.5. 已知數(shù)軸上兩點 A(a), B(5.5)，并且 d(A, B) = 7.5，貝U a=，若 AB = 7.5，則 a=解析：vd(A, B) = 7.5,二|5.5-a| = 7.5，解得 a =- 2 或 a = 13.若 AB = 7.5，則 5.5 a= 7.5,解 得 a= 2.答案：2或13 26. 在數(shù)軸上，已知 A, B, C三點的坐標(biāo)分別為一 3,7,9，貝U AB+ BC + CA=, |AB|+ |BC汁 |CA|=.解析：AB + BC+ CA = AC + CA= 0; |AB|+ |

9、BC| + |CA| = |7 ( 3)| + |9 7|+ | 3 9|= 24.答案：0247. 數(shù)軸上A, B兩點的坐標(biāo)分別為xi= a + b, x?= a b,分別求向量AB 的坐標(biāo)，BA, d(A, B),d(B, A).解：向量 AB 的坐標(biāo) AB = X2 xi= (a b)(a+ b)= 2b,BA= xi X2= (a+ b) (a b) = 2b 或 BA= AB= ( 2b) = 2b.d(A, B) = |AB|= |X2 xi| = | 2b|= 2|b|,d(B, A) = d(A, B) = 2|b|.8. 已知數(shù)軸上的點 A, B, C的坐標(biāo)分別為一1,3,5

10、.(1) 求AB , BA, |AB|, |BC|, |AC|;(2) 若數(shù)軸上還有兩點 E , F，且AE = 8 , CF = 4，求點E , F的坐標(biāo).解：(1)AB = 3 ( 1) = 4;BA= AB = 4;|AB|= |3 ( 1)| = 4;|BC|= |5 3|= 2;|AC|= |5 ( 1)| = 6.(2)設(shè)E , F點的坐標(biāo)分別為 xe , xf.AE = 8, axe ( 1) = 8,得 xe = 7.'CF = 4,.xf 5= 4,得 xf = 1.故E, F兩點坐標(biāo)分別為7,1.2. 1.2 平面直角坐標(biāo)系中的基本公式課前自上學(xué)習(xí)基橙才能樓高預(yù)習(xí)課

11、本P6871,思考并完成以下問題 1兩點間距離公式是什么？2.中點坐標(biāo)公式又是什么？新知初探1. 兩點的距離公式兩點A(x1 , y1), B(X2, y2)的距離表示為d(A, B) = |AB|= X2 X1 2+ y2 2.(1) 當(dāng)AB平行于x軸時，d(A, B)= |AB| =兇二厶1.(2) 當(dāng)AB平行于 y軸時，d(A, B)=|AB|= M二/仆 當(dāng)B點是原點時，d(A, B) = |AB|= ,x1+ y2.2. 中點坐標(biāo)公式已知平面直角坐標(biāo)系中的兩點X1 + X2A(X1, y1), B(X2, y2)，點 M(x, y)是線段 AB的中點，貝U X=V1 + y2 工2

12、'.小試身手1.判斷下列命題是否正確.(正確的打“V”，錯誤的打“X”)(1) A, B兩點的距離與A, B的順序無關(guān)()(2) 中點坐標(biāo)公式中兩點位置沒有先后順序()答案：(1)2V2.設(shè)A(3,4)，在x軸上有一點P(x,O)，使得|PA|= 5,則x等于A. 0B . 6C . 0或6D. 0或6答案：C3.點P(2, 1)關(guān)于點M(3,4)的對稱點Q的坐標(biāo)為A. (1,5)B. (4,9)C . (5,3)D . (9,4)答案：B題型一碟堂講練設(shè)計舉一能通類題兩點的距離公式(1)已知 ABC三個頂點的坐標(biāo)分別為A(4,1), B( 3,2), C(0,5)，則 ABC 的周長

13、為(A . 4 2C . 12 2B . 8 2D . 16 2(2)若A( 5,6), B(a, 2)兩點的距離為 10,則 a =,解析 TA(4,1), B( 3,2), C(0,5),|AB|=#(- 3- 4丫+ (2- 1 2 =50= 5邁,|BC|=0 3 2+ 5 2 2= 18= 3 2,|AC=0 4 2+ 5 1 2= 32= 4 2. kBC 的周長為 |AB|+ |BC| + |AC| =5 2 + 3 ,2+ 4 2 = 12 2.(2) |AB|= p(X1 X2(+ (屮y2$=5 a I + 6+ 2.i = 10,:a = 1 或一11.答案(1)C(2)

14、1 或11兩點的距離公式應(yīng)用的兩種形式(1) 求到某點的距離滿足某些條件的點P(x, y)的坐標(biāo)時，需要根據(jù)已知條件列出關(guān)于x, y的方程或方程組，解之即可.(2) 利用兩點的距離公式可以判斷三角形的形狀，從三邊長入手，根據(jù)邊長相等判斷是等腰或等 邊三角形，根據(jù)勾股定理判斷是直角三角形.還可以根據(jù)兩個距離之和等于第三個距離判斷三點共 線.活學(xué)活用已知點A( - 1,2), B(2,7)，在x軸上求一點P，使|PA|=|PB|，并求|PA |的值.解：由已知設(shè)所求點 P的坐標(biāo)為(x,0),于是有|PA|= d(P, A)=x + 1 2+ 0-2 2 = “ x2+ 2x+ 5,|PB|= d(

15、P, B)=x- 2 2 + 0 7 2=x2-4x+ 11 ,22由 |PA|= |PB|，得 x + 2x+ 5= x - 4x+ 11,解得x= 1.所以，所求點為 P(1,0)，且 |PA|= d(P, A)= 1+ 1 2+ 0 - 2 2= 2 2.題型二典例(1)已知三點A(x,5), B(-2, y), C(1,1)，且點C是線段AB的中點，求x, y的值;(1)由題意知x-22 一 1,(2)求點M(4,3)關(guān)于點N(5, - 3)的對稱點.x = 4, 解得Uy一一 3.(2)設(shè)所求點的坐標(biāo)為x+ 4T 一5,(x, y),則寧=-3,x= 6,解得故所求對稱點的坐標(biāo)為(6

16、, 9).y一 9,盤點中點公式解決問題的類型(1)中點公式常用于求線段的中點、三角形的中線長、平行四邊形的對角線交點等，解決這類問題的關(guān)鍵是根據(jù)幾何概念，提煉出點之間的“中點關(guān)系”，從而根據(jù)中點公式解決.(2)因為兩點關(guān)于其中點對稱，所以利用中點公式可以解決中心對稱問題.活學(xué)活用已知：ABCD的兩個頂點坐標(biāo)分別為 A(4,2), B(5,7)，對角線的交點為E(-3,4)，求另外兩個頂點C, D的坐 標(biāo).解：設(shè) C(xi, yi), D(X2, y2),E為AC的中點,3 =xi+ 4yi + 22丁 xi= 10, 解得y1 = 6.又TE為BD的中點,3 =5 + X22 ，7+ y22

17、X2= 11, 解得y =1.C點的坐標(biāo)為(10,6), D點的坐標(biāo)為(11,1).坐標(biāo)法的應(yīng)用題型三'典例在厶ABC中，D為BC邊上任意一點(D與B, C不重合)，且|AB|2= |AD|2+ |BD| |DC|.求證： ABC為等腰三角形.證明如圖，作A0丄BC,垂足為0,以BC所在直線為x軸，以0A所在直線為y軸，建立平面直角系.坐標(biāo)設(shè) A(0, a), B(b,0), C(c,0), D(d, 0)(bvd<c).因為 |AB|2= |AD|2+ |BD| |DC|,所以，由兩點的距離公式可得2 2 2 2 b + a = d + a + (d b)(c d),即一(d

18、b)(b+ d) = (d b)(c d).又 d 0,故一b d= c d,即一b= c.所以 |AB|= |AC|,即AABC為等腰三角形.4 用坐標(biāo)法解決平面幾何問題的“三步曲第一步：建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，用坐標(biāo)和方程表示問題中的幾何元素，將平面幾何問題 轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題；第二步：通過代數(shù)運算，解決代數(shù)問題；第三步：把代數(shù)運算結(jié)果翻譯成幾何結(jié)論.活學(xué)活用1已知 ABC是直角三角形，斜邊 BC的中點為M，建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，證明：|AM|= -|BC|.證明：如圖所示，以 Rt/ABC的直角邊AB，AC所在直線為坐標(biāo)軸，建立直角坐標(biāo)系，設(shè) B，C兩點的坐標(biāo)分別為（b,0），（0，c）.

19、0 + b 0 + c !/b c X'i因為點M是BC的中點，故點M的坐標(biāo)為y，即$，2丿.由兩點間距離公式得|BC|=0 b2+ c 0 2=“ b2+ c2,所以 |AM|= -|BC|.課石層級訓(xùn)練.歩步提升能力層級一學(xué)業(yè)水平達(dá)標(biāo)1.已知點 A（ 3,4）和B（0，b），且 |AB|= 5,則 b等于（）B. 0或- 8C. 0或6D. 0或6解析：選A由-'3 2+ 4 b 2= 5，解得b= 0或8.2.點A(2, 3)關(guān)于坐標(biāo)原點的中心對稱點是()A. (3， 2)B . ( 2， 3)C . ( 2,3)D . ( 3,2)解析：選C 設(shè)所求點的坐標(biāo)為B(x,

20、y)，則由題意知坐標(biāo)原點是點A , B的中點，則2+ x丁 = 0,解得x= 2, y= 3.故選C.3.若點P(x, y)到兩點M(2,3), N(4,5)的距離相等，則 x+ y的值為()A. 5B. 6C. 7D .不確定解析：選C由兩點距離公式，得x 2 2+ y 3 2=x 4 2+ y 5 2,兩邊平方，得 x + y=7,故選C.4.已知A(x,5)關(guān)于C(1, y)的對稱點是B( 2, 3)，則P(x, y)到原點的距離為()A. 4B.13C. 15D. 17解析：選D由題意知點C是線段AB的中點，x 2 = 2,x = 4,則丫|0P|2= 17,.|OP|=V17.2y=

21、 2,y= 1.5以A(1,5), B(5,1), C( 9, 9)為頂點的三角形是()A .等邊三角形C.不等邊三角形B .等腰三角形D .直角三角形解析：選B 根據(jù)兩點的距離公式,|AB|=1 5 2+ 5 1 2= 4 2,|AC|=1 + 9 2+ 5+ 9 2= 296,|BC|=5+ 9 2+ 1 + 9 2= .296,|AC|= |BC| 豐 |AB|,.ZABC 為等腰三角形.6. 已知 A(a,6), B( 2, b),點 P(2,3)平分線段 AB，則a + b=.a 2 b+ 6解析：由中點公式知2 =丁，一廠=3,'a = 6, b= 0,.a + b= 6.

22、答案：67. 設(shè)P點在x軸上，Q點在y軸上，PQ的中點是M( 1,2),則|PQ|等于解析：設(shè)P(a,0), Q(0, b),由中點坐標(biāo)公式得'a+ 0T = 1,a = 2,0+ bb= 4,2 = 2,|PQ|=寸 a2 + b2=近=2 晶答案：2 58.若x軸正半軸上的點M到原點的距離與到點(5, 3)的距離相等，則點 M的坐標(biāo)為 解析：設(shè) M(x,O)(x> 0),貝U x2+ 02= (x 5)2+ (0 + 3)2,解得x= ¥，所以點M的坐標(biāo)為¥，0 .答案：警09.已知 ABC的頂點坐標(biāo)為 A(1,2), B( 2, 2), C(3,4)，求

23、BC邊上的中線 AM的長.解：由中點公式，得BC邊的中點M的坐標(biāo)為即BC邊上的中線 AM的長為A2，10已知 A(6,1), B(0, 7), C( 2, 3).(1) 求證： ABC是直角三角形；(2) 求厶ABC的外心的坐標(biāo).解：(1)證明：|AB|2= (0 6)2 + ( 7- 1)2= 100,222|BC| = ( 2 0) + ( 3 + 7) = 20,222|AC| = ( 2 6) + ( 3 1) = 80,2 2 2因為 |AB| = |BC| + |AC| ,AB的中點，所以外心坐標(biāo)為6 + 02，所以ABC為直角三角形，/ C = 90 °(2)因為ABC

24、為直角三角形，所以其外心是斜邊即(3, 3).層級二應(yīng)試能力達(dá)標(biāo)1.已知 ABC的兩個頂點A(3,7) , B( 2,5)，若AC , BC的中點都在坐標(biāo)軸上，貝U C點的坐標(biāo)是( )A. ( 3, 7)B . ( 3, 7)或(2, 5)C . (3, 5)D . (2, 7)或(3, 5)解析：選D 設(shè)C(x, y),顯然AC, BC的中點不同在一條坐標(biāo)軸上.若AC的中點在x軸上,BC中點在y軸上，則有 y+ 7 = 0, 2+ x = 0，即C(2, 7);若AC中點在y軸上，BC中點在x 軸上，則有 3 + x= 0,5 + y= 0, 即卩 C( 3, 5).2. 光線從點A( 3,

25、5)射到x軸上，經(jīng)反射以后經(jīng)過點 B(2,10),則從A到B的光線的距離為()A. 5 2B. 2 5C. 5 10D. 10 5解析：選C 點B(2,10)關(guān)于x軸的對稱點為 B ' (2, 10)，由光線的對稱性可知，從A到B的光線的距離就是線段AB'的長度， |AB ' |=2 3 2+ 10 52= 5 10.3. 已知直線上兩點 A(a, b), B(c, d),且，a2+ b2 c2 + d2= 0,貝V()A .原點一定是線段AB的中點B. A, B定都與原點重合C .原點一定在線段 AB上，但不是線段 AB的中點D .原點一定在線段AB的垂直平分線上解析：選 D 由a2 + b2“ c2+ d2= 0得 a2+ b2=c2+ d2,即A, B兩點到坐標(biāo)原點的距離相等，故選D.4.已知點 A(2,0)，B(4,2),若 |AB|= 2|AC|，則 C點坐標(biāo)為()A. (1,1)B . ( 1,1)或(5, 1)C . (1,1)或(1,3)D .無數(shù)多個解析：選 D 設(shè) C(x, y),由 |AB|= 2|AC|2222得(2 4) + (0 2) = 4(2 X) + 4y ,2 2即(x 2) + y = 2,.存在無數(shù)多個C點.5等腰三角形ABC的頂點是A(3,0)，底邊長|BC|= 4, BC邊的中點是D(5,