多功能夫瑯禾費(fèi)演示儀光學(xué)原理

1、多功能夫瑯禾費(fèi)演示儀光學(xué)原理多功能夫瑯禾費(fèi)演示儀光學(xué)原該儀器將實(shí)現(xiàn)夫瑯禾費(fèi)衍射，展示衍射現(xiàn)象。夫瑯禾費(fèi)衍射是菲涅爾衍射的遠(yuǎn)場(chǎng)近似，弗朗禾費(fèi)近似是用平面波來當(dāng)作子波，夫瑯禾費(fèi)衍射積分公式為ik.ik22ik1)E(x,y)zelkzez(xy)E(xo,yo)eT<XX0yy0)dx0dyo(1根據(jù)衍射屏函數(shù)的不同將夫瑯禾費(fèi)分為以下幾類注：該儀器使用振幅為A的平行單色平面光源。一、夫瑯禾費(fèi)的單縫衍射的光強(qiáng)分布公式及特征單縫的屏函數(shù)為t(X0)1，Xio0,其他在(1-1)式中l(wèi)(x0)t(X0)在接收面上的坐標(biāo)x與衍射角有以下關(guān)系：sin,所以采用分號(hào)前與x0無(wú)關(guān)的復(fù)數(shù)用表示，并采用角坐標(biāo)

2、代替x,即(x)()。合丁32(此處假設(shè)以單色平行光照射，振幅為A)然后將(1-1)式簡(jiǎn)化進(jìn)行計(jì)算;ikxxo一E(x)t(%)ezdx0(12)即() "id%iksinlikasin (e 2ikasine2).,1,.、（此處運(yùn)用歐拉公式）sin(-kasin)一2-kasin2asinsin()caasin令A(yù)ca普一聲，旦-ax其中表示夾縫的邊緣與中心的光波在P點(diǎn)產(chǎn)生的相位差。所以2（）Aosn-所以I=E（）*（）A2sin-令101Ao門。表示。時(shí)，即在接收屏中心Po處的光強(qiáng)則有2I=Io厘（1-3）單縫衍射的主要特征：函數(shù)極大值的地方對(duì)應(yīng)于衍射圖象的亮條紋.函數(shù)值等于

3、0的地方對(duì)應(yīng)于暗條紋1主極大一零級(jí)衍射條紋由1-3式知當(dāng)0時(shí)，即sin0時(shí).imsn1,I10=0相當(dāng)于到達(dá)屏上Po點(diǎn)的各衍射子波之間相位相同，產(chǎn)生最大光強(qiáng)，P0點(diǎn)是衍射斑中心，也就是幾何光學(xué)像點(diǎn)位置。2次極大一高級(jí)衍射斑次極大出現(xiàn)在；（嘰）0的方位上，即tan解得d=± 1.433.47 sin ± 1.43- a3.47 aI0 =4.7% I00.8% I。3暗紋的位置暗紋出現(xiàn)在不等于1=0,即滿足=± 13 ± nsin ± a土土2.46土±2.46-土a1.7%I00而sin=0的方位上對(duì)應(yīng)的土2土2-±3-aa

4、土n-a可以將暗紋滿足的條件寫成4亮斑的角寬度對(duì)于中央亮條紋，其半角寬度a sin n , n 1, 2, 3,.sin 一 a等于其他各級(jí)亮條紋的角寬度矩形孔徑的屏函數(shù)；M%、)1,(x00,其他j,y0b 一2),當(dāng)用振,矩形孔徑;E(x, y)ik(x2 y2) ikz 2z e ei z幅為A的單色平面波垂直照孔徑，其夫瑯禾費(fèi)場(chǎng)分布為ik(xx()yy()At(x0,y°)ezdxody。.22、ik(xy).ikz27aikxx0bikyy0Aee2-z2-F人;2aezdx023ezdy0iz22axzik(x2 y2)Aeikze 2z sin(=ab一i zby,Iz

5、A2a2b2(z)2所以,I= (x y)axby、一)sin)zzaxzbyz(1-4)E*(X,y)=l0(Q)2(5)2 (1-5)。矩形孔衍射的主要特征一用射光強(qiáng)分布(1).對(duì)于沿x軸的光強(qiáng)分布，因Y=0,有2I。I。叫其特性光強(qiáng)分布與單縫時(shí)相同(2)對(duì)于沿Y軸的光強(qiáng)分布，因X=0有:2I。I。/其特性光強(qiáng)分布與單縫相同(3)在X,Y軸以外各點(diǎn)的光強(qiáng)度，可按1-8式進(jìn)行計(jì)算，圖1-1給出了一些特征點(diǎn)的光強(qiáng)相對(duì)值.顯然XOY面內(nèi)存在一些次極大點(diǎn)，但他們的光強(qiáng)極弱0.0070.00220.0470.00220.0170.04710.0470.00070.00220.0470.00220.0

6、0220.00070.0170.0007二中央亮斑矩形孔衍射的光能量主要集中在中央亮班處，其邊緣在X,Y軸的位置是x=±'和y=±.、一一、.22中央鳧斑的面積為S=1,ab該式說明，中央亮斑面積與矩形孔面積成反比。、*.八22,2.、一并由I。然知，中央鳧斑越大，相應(yīng)P0點(diǎn)光強(qiáng)越小。三夫瑯禾費(fèi)圓孔衍射。由于圓孔結(jié)構(gòu)的幾何對(duì)稱性，采用極坐標(biāo)系處理設(shè)：圓孔半徑為a,圓孔中心a位于光軸上，則圓孔上任意一點(diǎn)Q的位置坐標(biāo)1,1與相應(yīng)的直角坐標(biāo)系為X01cos1y01sin1設(shè)：觀察屏上任意一點(diǎn)P的位置坐標(biāo)，與相應(yīng)的直角坐標(biāo)系的關(guān)系cossin因此，P點(diǎn)的光場(chǎng)復(fù)振幅按照(1-

7、1)式，在經(jīng)過坐標(biāo)變換后為ik2a2.、.AAikzik1cos(1)/上八、E(，)二ee2ze1d1d1(1-8)iz00其中I是衍射方向與光軸的夾角，這里利用了sin的近似關(guān)系根據(jù)零階貝塞爾函數(shù)的積分表達(dá)式Jo(x)20可將(1-8)式變換為2ika(,)6kzeH2J0(k1)1d1(1-9)iz0這里已利用了J0(k1)為偶函數(shù)的性質(zhì)。再由貝塞爾函數(shù)的性質(zhì)xJ0(x)dxxJ1(x)式中Ji(x)為一階貝塞爾函數(shù)，可得Aikik22ka(,)(eze)*-r(k1)J°(k)d(k1)iz(k)0ik2q_2Aikz、2aaa2z)Ji(kaizeekaa2)2*22(1-

8、10)其中I0三是光軸上P0點(diǎn)的光強(qiáng)；Sa2是圓孔的Az面積ka是圓孔邊緣與中心點(diǎn)在統(tǒng)一方向上光線間的相位差夫瑯禾費(fèi)圓孔衍射圖樣及光強(qiáng)分布特征（1）衍射圖樣）由 ka及（1-10）式可知,夫瑯禾費(fèi)圓孔衍射的光強(qiáng)度分布僅與衍射 角度有關(guān)，而與方位角無(wú)關(guān)(2)衍射圖樣的極值特性由貝塞爾函數(shù)的級(jí)數(shù)定義，可將（1-10)變?yōu)?2422J1（ ）1，. 2!222!3!22=0時(shí)，即對(duì)應(yīng)光軸上的P。點(diǎn)，有I是衍射光強(qiáng)的主極大值。當(dāng) 值滿足J1（）I0,它0時(shí)，1=0 ,這些值決定了衍射暗環(huán)的位置 兩個(gè)暗環(huán)之間存在一個(gè)衍射極大值。d JK ） J2（ ） 0在相鄰的 其位置滿足其中J2（）為二階貝塞爾函數(shù)

9、，下表列出了幾個(gè)中央的幾個(gè)亮環(huán)和暗環(huán)的值即相對(duì)光強(qiáng)的大小。圓孔衍射的光強(qiáng)分布條紋序數(shù)2J1（）/2光能分布中央亮紋0183.78%第一暗紋1.220=3.83200第一亮紋1.635=5.1360.01757.22%第二暗紋2.233=7.01600第二亮紋2.679=8.4170.004152.77%第三暗紋3.238=10.17400第三亮紋3.699=11.6200.00161.46%(3)愛里斑中央亮紋叫愛里斑。愛里斑的半徑。由第一光強(qiáng)極小值處的值決定，即ioka1.22z因止匕01.22z0.61z2aa愛里斑的角半徑0.61-oa四，夫瑯禾費(fèi)多縫衍射設(shè)有N個(gè)縫，每個(gè)縫的寬度均為a,

10、縫間不透光的部分為b,光柵周期d=a+b稱為光柵常數(shù)，考慮在接收屏上某一點(diǎn)的光強(qiáng)，相鄰兩縫至點(diǎn)P的光程差和相位差分別為dsin第一個(gè)縫在點(diǎn)產(chǎn)生的光振動(dòng)復(fù)振幅為i凡紅第二個(gè)縫在點(diǎn)產(chǎn)生的光振動(dòng)復(fù)振幅為2A0叱ei第N個(gè)縫在點(diǎn)產(chǎn)生的光振動(dòng)復(fù)振幅為sininiEnAoe現(xiàn)將N個(gè)縫在p點(diǎn)產(chǎn)生的N個(gè)振動(dòng)疊加起來，其合成振幅為 sinEAo=A sin iAoesini1 e sin i n iAoeiNsin1eo-i1eiNiNiN一2一2一2e2e2e2=Aospiii_222eeeNsinini_sin2-=Aoesin一2令一則P點(diǎn)光強(qiáng)為2其中asinsind sin2sin Nsin夫瑯禾費(fèi)多縫

11、衍射的主要特征1,至極大的位置和光強(qiáng)當(dāng)dsinm,m=0)±1)±2)±3.2有snlN!n2即IN2I0sin2,極小(零點(diǎn))的位置當(dāng)dsinm1,m=0)±1)±2)±3-.)m=1,2,N-1時(shí)，2有sin(N)=0sin可見，在相鄰兩個(gè)主極大之間有N-1個(gè)極小(暗線)，有N-2個(gè)次級(jí)大。3.次級(jí)大2次級(jí)大的位置可以通過對(duì)亞3求導(dǎo)，近似sin得sinN21例如在m=0和m=1主極大之間，次級(jí)大出現(xiàn)的位一352N3N2,2,共N-2個(gè)，在n2時(shí)，衍射強(qiáng)度LLo22I-JSN2I0丁0.045Imaxsin3即靠近零級(jí)主極大的次級(jí)大

12、強(qiáng)度，只有零級(jí)主極大的0.045倍，此外次級(jí)大的寬度隨著N的增大而減小。當(dāng)N很大時(shí)，它將與強(qiáng)度零點(diǎn)混成一片。成為衍射圖樣的背景。4 .主極大的半角寬度第m級(jí)主極大峰值的角位置滿足sinmd第m級(jí)主極大旁第一個(gè)（ 滿足）極小的角位置應(yīng)sinsinsin Ndd得22cos sin cos 22 NdNdNd cos5 .缺級(jí)現(xiàn)象由于多縫衍射是干涉和衍射的共同效應(yīng)，所以存在缺級(jí)現(xiàn)象。對(duì)于某一級(jí)干涉主極大的位置，如果恰有嘰0,即相應(yīng)的衍射角同時(shí)滿足dsinmm=0)±1)±2)±3.a sinn= ± 1)±2)± 3, ,.則該級(jí)主極大將

13、消失，多縫衍射強(qiáng)度變?yōu)榱?，成為缺?jí)。*（特殊圖形的公式推導(dǎo)有待確認(rèn)）五.特殊圖形的衍射光強(qiáng)1d=0.25mm,a=0.04mma為縫寬，d為兩縫間距則將此組合看作由一個(gè)單縫和雙縫發(fā)生干涉，X軸方向看作無(wú)窮遠(yuǎn)。2單縫的光強(qiáng)IlI0應(yīng)其中0z22雙縫的光強(qiáng)I2I°S"其中厘4sinzz單縫與雙縫發(fā)生干涉其光程差dz其光強(qiáng)表達(dá)式IIlI22.I1I2cos，其中2一，sinsinsin2sinsin22=10+10+210cos-sinsin2.a 0.04mm,d10.50mm,d2 0.25mm則將此組合看作由兩個(gè)雙縫發(fā)生干涉, 看作無(wú)窮遠(yuǎn)。X軸方向第一個(gè)雙縫光強(qiáng)I1sins

14、in 2 isin 1其中ayzd1y1 z第二個(gè)雙縫光強(qiáng)I2sinsin 2 2sin其中ayzd2y2 T二個(gè)雙縫發(fā)生干涉,其光程差d1 d22z其光強(qiáng)分布為II1 I 22 ? I1 I 2 cos，其中2sin222+ 2I0sinsin21sinsin210+10sin1sin2sin21sin22一-cossin1sin25a10.08mm,d10.25mma20.04mm,d20.25mmX軸上看則將此組合看作兩個(gè)雙縫發(fā)生干涉在作無(wú)窮遠(yuǎn)第一個(gè)雙縫光強(qiáng)分布I1sin ii2sin2 1 其中sin 1a1yd1y11zz第二個(gè)雙縫光強(qiáng)分布Iisin222g其中sin2a2yd2y2

15、2z2z2 2sin 2 2sin 2二個(gè)雙縫發(fā)生干涉，其光程差a10.04mm,d10.125mma20.04mm,d20.125mm'則將此組合看作一個(gè)三雙縫和一個(gè)雙縫發(fā)生干涉，在X軸上看作無(wú)窮遠(yuǎn)對(duì)于三縫光I1對(duì)于雙縫光強(qiáng)2sin1sin3I01isin2sin21I2I02-22其中12sin22sin2其中a2yd2yz2z三縫與二縫進(jìn)行干涉光程差，dy2z則光強(qiáng)分布公式為II1I22.I1I2cos，其中22sin 3 1sin 1sin1=I01isin3sin2sin1sin2cos5.正方形矩陣可將此圖形衍射看作，在X軸方向11縫衍射與Y軸方向11縫衍射的疊加。因兩個(gè)多

16、縫垂直因此無(wú)干涉現(xiàn)象。在X軸方向的11個(gè)縫a=0.02mm,d=0.109mm22其光強(qiáng)分布IxI0也則U其中1sin1aydy11zz在Y軸方向的11個(gè)縫a=0.02mm,d=0.109mm22其光強(qiáng)分布IyI03到U其中2衛(wèi)2小2sin2z2z所 以I Ix Iy Io后 光22sin11 2sin 2疊力口22sin111sin2-I0sin126.菱形矩陣可將此圖形衍射看作，三個(gè)11縫衍射后再進(jìn)行干涉。建立如圖坐標(biāo)系，其中為11縫衍射的中央主極大位置，則接收屏上任意一點(diǎn)（x,y）到三個(gè)中主極大的距離為t，ti.所以一y3x_y3xy'sin1,sin2,sin3一2z2z2z22L1的11縫衍射光強(qiáng)分布I1I0”J其中1sin1a(yJ3x)d(yJ3x)1 -，1-，2 z2z22L2的11縫衍射光強(qiáng)分布I1I0J-其中21sin2a(yV3x)d(yJ