利用韋達(dá)定理求一元二次方程的根

1、利用韋達(dá)定理求一元二次方程的根一、關(guān)于韋達(dá)定理的性質(zhì)1.韋達(dá)定理：假設(shè)一元二次方程ax2+ bx+ c = 0的兩根分別為xi、X2，則有X1 + X2 =ba，cXlX2=.a2.推導(dǎo)：（法一）根據(jù)一元二次方程的求根公式 x b，b -4ac2a不妨假設(shè)Xi b+、b 仕2aX2 =2a不難得出Xi+ X2ba，X1X2Xi、X2,則方程可以寫(xiě)成以下形式 （雙根式）2ax a（x1 + x2） x + ax1x2 0b-Xi+X2a，cX1X2-a（法二）若一兒次方程的兩根分別為a（x xi）（ x X2） 0 （ a 0）按照x的次數(shù)降幕排列，得對(duì)比一元二次方程的一般式 ax2 + bx+

2、 c 0，得b a（xi + X2）， c axiX2，3. 推論：（一）當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)為1時(shí)，即一元二次方程滿足x2+ px + q 0的形式假設(shè)方程的兩根分別為Xi、X2，則有Xi + X2 p，X1X2 q.（二）已知一元二次方程兩根分別為 Xi、X2,則方程可以寫(xiě)成以下形式2X （Xi + X2） x+ X1X2 0.4. 實(shí)質(zhì)：韋達(dá)定理告訴了我們一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系.、利用韋達(dá)定理求一元二次方程的根例如，求一兀二次方程 X 2 2x6 0的根. 很明顯，根據(jù)我們所學(xué)習(xí)慣，首選方法是十字相乘法（法一）門(mén)a ax/2,v 3 x/2x = 2 J2x因式分解，得 （X 3；2）（x

3、 + ：2） 0，解得，Xi 3 2， X2 2當(dāng)然，利用十字相乘法很難湊數(shù)時(shí)，我們就會(huì)選用求根公式法（法二）a i， b 2 2， c 6，b2 4ac 8 + 24 32，X = b 丄4ac=乙亠=2土 2 2,2a于是有 X1 = 3 2, X2=2.結(jié)合以上兩種方法，我們發(fā)現(xiàn)，十字相乘法計(jì)算速度快，但是湊數(shù)的過(guò)程十 分靈活，若每一個(gè)系數(shù)都是整數(shù)，且滿足 X2 （X1+ X2）X + X1X2= 0形式的方程可 以很快算出來(lái)，但如果系數(shù)是分?jǐn)?shù)、根式我們發(fā)現(xiàn)利用這種方法解方程是十分困 難的，而且這種方法并不是對(duì)一切一元二次方程都適用.而利用求根公式解 一 二次方程時(shí)，雖然是一種萬(wàn)能的方法

4、，但有時(shí)會(huì)給我們帶來(lái)無(wú)比的計(jì)算量.那有 什么方法既可以減少計(jì)算量，使運(yùn)算變得簡(jiǎn)單快捷，同時(shí)又可以用來(lái)解一切的一 元二次方程呢接下來(lái)，我們看以下解法.（法三）已知方程X22 2X6 = 0,根據(jù)韋達(dá)定理有X1+ X2 = 2 2, X1X2 = 6.在方程有解的情況下，必然會(huì)存在某一個(gè)實(shí)數(shù) a （假定為正數(shù)），使得（滿足條件X1 + X2= 2羽） （滿足條件X1X2= 6）因此a = 2 2x=2+ a, X2 = 2 a,且（2+ a）（ 2 a） = 6.于是有2 a = 6,貝U a = 8,X1= 2+ 2 2 = 3 2, X2= ：2 2 2= 2.上述解法中a取正取負(fù)并不影響計(jì)算

5、的最終結(jié)果, 為了方便，習(xí)慣上可以假 定a為正數(shù).觀察以上解法，我們可以發(fā)現(xiàn)，這種解法并不像十字相乘法需要有 湊數(shù)的靈感，也不像求根公式法會(huì)帶來(lái)無(wú)比的計(jì)算量，反而還結(jié)合兩者的優(yōu)點(diǎn)， 計(jì)算快捷且萬(wàn)能通用.當(dāng)然我們也可以看以下例子.2例1: 解方程X 6X25 = 0,根據(jù)韋達(dá)定理有X1+ X2 = 6, X1X2 = 25.在方程有解的情況下，必然會(huì)存在某一個(gè)實(shí)數(shù) a （假定為正數(shù)），使得（滿足條件X1 + X2=6）（滿足條件X1X2 = 25）因此a= 34X2 =X1 = 3+ a, X2= 3 a, 且 （3+ a）（3 a） = 25.于是有 9 a = 25, 則 a = 34,X1

6、 = 3+ 34, X2= 3 34. 例 2: 解方程 X2+ 24x63= 0, 根據(jù)韋達(dá)定理有X1+ X2 = 24, X1X2 = 63. 在方程有解的情況下，必然會(huì)存在某一個(gè)實(shí)數(shù)a （假定為正數(shù)），使得滿足條件X1 + X2= 24）（滿足條件X1X2= 63） 因此a= .207X2 =Xi= 12+ a, X2= 12-a, 且（一12+ a）（ 12 a） = 63. 于是有 144 a2= 63,貝U a2= 207, X1= 12+ .207, X2 = 12 , 207.例 3:解方程 X 14x + 48 = 0, 根據(jù)韋達(dá)定理有X1+ X2 = 14, X1X2 =

7、48.在方程有解的情況下，必然會(huì)存在某一個(gè)實(shí)數(shù)a （假定為正數(shù)），使得（滿足條件X1 + X2= 14）（滿足條件X1X2 = 48） 因此a= 1X2 =則a =X2 =X1 = 7 + a, X2= 7 a, 且（7+ a）（7 a） = 48.22于是有 49 a = 48,貝U a = 1,二X1 = 7 + 1 = 8, X2= 7 1 = 6.2例 4:解方程 x + 18x + 40 = 0,根據(jù)韋達(dá)定理有Xi+ X2 =- 18, X1X2 = 40. 在方程有解的情況下，必然會(huì)存在某一個(gè)實(shí)數(shù)a （假定為正數(shù)），使得Xi= 9 + a， X2= 9 a， （滿足條件 Xi +

8、X2= 18）且 （ 一9+ a）（ 9 a） = 40（滿足條件 XiX2= 40）于是有 81 a2= 40，貝U a2=41，因此 a= 41Xi= 9 +、.j41， X2= 9 41.通過(guò)以上4個(gè)例子，我們可以熟悉，若二次項(xiàng)系數(shù)為 1時(shí)，利用韋達(dá)定理解 一元二次方程的流程.實(shí)際上當(dāng)一元二次方程二次項(xiàng)系數(shù)不為 1時(shí)，我們也可以 離此流程解一元二次方程.如例 5:解方程 2x2+ 9x5 = 0，95（法一）根據(jù)韋達(dá)定理有 X1 + X2= 2，X1X2= 29（滿足條件X1 + X2= 在方程有解的情況下，必然會(huì)存在某一個(gè)實(shí)數(shù) a （假定為正數(shù)），使得99X1= 4+ a，X2= 4 a，9954+ a）（ 4 a）=25（滿足條件X1X2= ）8125a =_162，911114+ 4 2，（法二）a= 2， b = 9，于是有則 a2121X2 =16，9114c = 5，11因此a =匚5.當(dāng)然