定積分知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

1、定積分知識(shí)點(diǎn)總結(jié)北京航空航天大學(xué)李權(quán)州一、定積分定義與根本性質(zhì)1.定積分定義設(shè)有一函數(shù)f(x)給定在某一區(qū)間a,b上.我們?cè)赼與b之間插入一些分點(diǎn)a x0Xi X2. Xn b .而將該區(qū)間任意分為假設(shè)干段.以| |表示差數(shù)X X, 1 xi0,1,.,n 1)中最大者.在每個(gè)分區(qū)間Xi,Xi 1中各取一個(gè)任意的點(diǎn)X i .Xii Xi 1(i 0,1,.,n 1)而做成總和n1f( i) Xi0然后建立這個(gè)總和的極限概念:lim| |0,那么稱該總和在另用語(yǔ)言進(jìn)行定義:0,在| | 時(shí),恒有|110時(shí)有極限I .總和 在 0時(shí)的極限即f(X)在區(qū)間a到b上的定積分,符號(hào)表示為bI f(X)d

2、Xa2.性質(zhì) 設(shè)f(X) , g(X)在a,b上可積,那么有以下性質(zhì) 積分的保序性bbg(x)dx,如果任意 x a,b, f (X),g(X),貝U f (X)dXf(x)dx 0特別地,如果任意x a,b, f(x) 0,那么 a(2)積分的線性性質(zhì)bbb(f(x) g(x)dx f(x)dx g(x)dxaaabb特別地,有 cf (x)dx c f (x). aa設(shè)f(x)在a,b上可積,且連續(xù),(1) 設(shè)c為a,b區(qū)間中的一個(gè)常數(shù),那么滿足bcbf(x)dx f(x)dx f(x)dxaac實(shí)際上,將a,b,c三點(diǎn)互換位置,等式仍然成立.(4) 存在 a,b,使得bf (x)dx (

3、b a) f ()a二、達(dá)布定理1.達(dá)布和分別以mi和Mi表示函數(shù)f(x)在區(qū)間為,為i里的下確界及上確界并且做總和_nnS( ,f) Mi(xi xi i),S( ,f)mi (xi Xi)S( ,f)稱為f(x)相應(yīng)于分割兀的達(dá)布上和,S( ,f)稱為f(x)相應(yīng)于分割兀的達(dá)布下和特別地,當(dāng)f(x)連續(xù)時(shí),這些和就直接是相應(yīng)于任意分割法的積分和的最小者和最大者,由于在這種情形下f(x)在沒(méi)一個(gè)區(qū)間上都可以到達(dá)其上下確界.回到一般情況,有上下界定義知道m(xù)i f( i) Mi將這些不等式逐項(xiàng)各乘以xi( xi是正數(shù))并依i求其總和,可以得到S( ,f) S( ,f)推論1設(shè)f(x)在a,b上有

4、界.設(shè)有兩個(gè)分割 ,是在的根底上的加密分割,多加了 k個(gè)新分店,那么S( , f)S( ,f)S( ,f)k|,S( ,f)S( ,f)S( ,f)k|,這里 M m,M ,m分別為f在a,b上的上、下確界.推論2設(shè)f(x)在a,b上有界.對(duì)于任意兩個(gè)分割,有m(b a) S( , f)S( , F) M (b a)2. 達(dá)布定理定義 設(shè)f(x)在a,b上有界,定義I inf S( , f) | 為a,b上一個(gè)分割, L supS( , f)| 為a,b上一個(gè)分割.稱I為f(x)在a,b上的上積分,I為f(x)在a,b上的下積分.定理對(duì)于f(x)在a,b上的有界函數(shù),那么有l(wèi)im S( , f

5、) I, lim S( , f) I.ii ii 0ii ii 03. 函數(shù)可積分條件設(shè)f(x)在a,b上有界,以下命題等價(jià)：(1)f(x)在a,b可積；L(3) 對(duì)于a,b上的任何一個(gè)分割忡0 Q xi) 0;11 11 0 i 1(4) 任給 0,存在 0,對(duì)于a,b上的任何分割,當(dāng)| | ,有ni(x xi 1)i 1成立；(5壬給0,在a,b存在一個(gè)分割 ,當(dāng)| |時(shí)有n成立.這里i Mi mi為f(x)在區(qū)間xui上的振幅.三、微積分根本定理定理(Newton-Leibniz 公式) 設(shè)f(x)在a,b上可積,且在a,b上有原函數(shù)F(x), 那么bf (x)dx F(b) F(a)

6、a注：1.f(x)是f(x)的原函數(shù),故當(dāng)f R(a,b)時(shí),該公式可寫(xiě)為bf(x)dx f (b) f (a) a2.上述定理并不是說(shuō)可積函數(shù)一定有圓環(huán)數(shù),而是說(shuō)如果存在原函數(shù),那么可用來(lái)計(jì)算定積分的值.Newton-Leibniz公式把原先在復(fù)雜的定積分中的定義的積分值計(jì)算化為求原函數(shù)的 問(wèn)題,為普及微積分翻開(kāi)了大門(mén).四、定積分的計(jì)算除了利用Newton-Leibniz公式計(jì)算微積分外,還可以使用換元公式和分部積分計(jì)算 微積分.1定積分中變量替換公式設(shè)要計(jì)算積分f(x)dx,這里f(x)是在區(qū)間a,b內(nèi)連續(xù)a的.令x (t),函數(shù)(t)具備以下條件：1) 函數(shù)(t)在某一區(qū)間,內(nèi)有定義且連

7、續(xù),而其值當(dāng)t在,內(nèi)變化時(shí)恒不越出 區(qū)間a,b的范圍；2) ( ) a, ( ) b;3) 在區(qū)間,有一連續(xù)函數(shù)(t).于是成立公式f (x)dx f( (t) (t)dt由于被積函數(shù)假設(shè)是連續(xù)的,不但這些定積分存在,同時(shí)其相應(yīng)不定積分也存在,并 且在兩情形都可以用根本公式.v都是在考慮區(qū)間a,b里2定積分的分部積分法在不定積分局部曾經(jīng)討論過(guò)公式udv uv vdu,這里假設(shè)以x為白變量的函數(shù)u, v以及其導(dǎo)函數(shù)u,連續(xù)的.那么我們有budv uvab b vdua五、定積分中值定理微分中值公式F(b) F(a) F( )(ba),(a,b)說(shuō)明,函數(shù)值的差可以通過(guò)其導(dǎo)數(shù)值來(lái)表達(dá)和估算如果從微

8、分運(yùn)算的逆運(yùn)算來(lái)熟悉積分運(yùn)算,那么就有相應(yīng)的積分的中值公式：記F(x)=f(x),即把F(x)看作是可積函數(shù)f(x) 的原函數(shù),那么上述公式化為bf (x)dx f ( )(b a),(a,b)a這一類公式稱之為積分中值公式,它顯示出一個(gè)函數(shù)的定積分可以通過(guò)其白身進(jìn)行表 達(dá)和估算.上述公式的幾何意義可以從面積的意義來(lái)考察：設(shè) f(x)是a,b上的正值連續(xù)函數(shù),那么公式左邊的面積與右邊表達(dá)式所代表的舉矩形面積相等,而矩形的高f()正是f(x)在a,b上的積分平均值:1 bf()二 a1定積分第一中值公式設(shè)g R(a,b),且函數(shù)值不變號(hào)(即對(duì)一切使得(1)假設(shè) fR(a,b),且記 M SUp

9、f (x) , minf f(x),那么存在：m M ,xa,b,bf(x)g(x)dxaba g(x)dx 假設(shè)f C(a, b),那么存在a,b,使得bf (x)g(x)dxaf(b)g(x)dxa2定積分第二中值公式引理(Abel)設(shè)有兩組數(shù) 值122,.鬲,加,烷,.,如記A a(k 1,2,.,n),那么i1n1Ai(bi1bi) AA-尾0,那么有推論假設(shè)有 m Ak M(k 1,2,.,n),mb1ai bii1Mb1定理(Bonnet型) 設(shè) g R(a,b).(1)假設(shè) f(x)是a,b上非負(fù)遞減函數(shù),那么存在bf(x)g(x)dxaa,b,使得f(a) g(x)dxa假設(shè)f(x)是a,b上非負(fù)遞增函數(shù),那么存在a,b,使得bf (x)g(x)dx af (a) g(x)dxa3定積分第三中值公式使得定理(Weierstrassz 型)設(shè)f(x)在a,b上是單調(diào)函數(shù),g R( a, b),那么存在a,b,bf (x)g(x)dxabf(a) g(x)dx f (b) g(x)dx a六、函數(shù)可積分的勒貝格定理定義設(shè)A是實(shí)數(shù)集合,假設(shè),對(duì)任意0,存在至多可數(shù)的系列開(kāi)區(qū)間In,n它是A的一個(gè)開(kāi)覆蓋,并且|Inl,那么稱A為零測(cè)度集或者零測(cè)集