平方根和立方根知識點總結和練習

1、【根底知識穩(wěn)固】一、平方根、算數(shù)平方根和立方根1、平方根(1) 平方根的定義：如果一個數(shù)x的平方等于a,那么這個數(shù)x就叫做a的平方根.即:如果x2 =a ,那么x叫做a的平方根.(2) 開平方的定義：求一個數(shù)的 平方根的運算,叫做開平方.開平方 運算的被開方數(shù) 必須是非負數(shù)才有意義.(3) 平方與 開平方互為逆運算：±3的平方等于9, 9的平方根是±3(4) 一個正數(shù)有兩個平方根,即正數(shù)進行開平方運算有兩個結果； 一個負數(shù)沒有禎根, 即負數(shù)不能進行開平方運算(5) 符號：正數(shù)a的正的平方根可用 石 表示,4搭也是a的算術平方根；正數(shù)a的負的平方根可用-ja表示.(6) x2

2、 =a < > 乂 = ±捐a是x的平方x的平方是ax是a的平方根a的平方根是 x2、算術平方根(1) 算術平方根的定義：一般地,如果一個正數(shù)x的平方等于a,即x2 =a,那么這個正數(shù)x叫做a的算術平方根.a的算術平方根記為 Va,讀作“根 號a , a叫做被開方數(shù).規(guī)定：0的算術平方根是 0.也就是,在等式 x2 =a (x >0)中,規(guī)定x =時.(2) 后的結果有兩種情況：當a是完全平方數(shù)時,出是一個有限數(shù)；當a不是一個完全平方數(shù)時,ja是一個無限不循環(huán)小數(shù).(3) 當被開方數(shù)擴大 時,它的算術平方根 也擴大；當被開方數(shù)縮小時與它的算術平方根也縮小.般來說,被

3、開放數(shù)擴大(或縮小)a倍,算術平方根擴大(或縮小)da倍,例如山K=5,癖用誠=50.(4) 夾值法及估計一個(無理)數(shù)的大小(5) x2 =a (x >0) < > x = Jaa是x的平方xx是a的算術平方根a的平方是a的算術平方根是x(6)正數(shù)和零的算術平方根都只有一個,零的算術平方根是零.a (a 芝0)Ja2 = a =;注意握的雙重非負性：-a ( a <0)a 20(7) 平方根和算術平方根 兩者既有區(qū)別又有聯(lián)系：區(qū)別在于正數(shù)的平方根有兩個,而它的算術平方根只有一個；聯(lián)系在于 正數(shù)的正平方根 就是它的算術平方根,而正數(shù)的負平方根 是它的算術平方根 的相反數(shù)

4、.3、立方根(1) 立方根的定義：如果 一個數(shù)x的立方等于a,這個數(shù)叫做a的立方根(也叫做三次方根),即如果x3 =a ,那么x叫做a的立方根(2) 一個數(shù)a的立方根,記作Va ,讀作：“三次根號 a,其中a叫被開方數(shù),3叫根指數(shù),不能省略,假設省略表示平方.(3) 一個正數(shù)有一個正的立方根；0有一個立方根,是它本身；一個負數(shù)有一個負的立方根；任何數(shù)都有唯一的立方根.(4) 利用開立方和立方互為逆運算 關系,求一個數(shù)的立方根,就可以利用這種互逆關 系,檢驗其正確性,求負數(shù)的立方根,可以先求出這個負數(shù)的絕對值的立方根,再取其相反數(shù),即切-a = yfa (a a 0 ).(5) x3 = a &

5、lt; > x =3；aa是x的立方x的立方是 ax是a的立方根a 的立方根是x(6) =-Va ,這說明三次根號內的負號可以移到根號外面.【典型例題分析】知識點一：有關概念的識別1、下歹0說法中正確的選項是()A、面 的平方根是±3 B、1的立方根是±1 C、瑚=± 1» -名 是5的平方根的相反數(shù)2、以下語句中,正確的選項是()A. 一個實數(shù)的平方根有兩個,它們互為相反數(shù)B. 負數(shù)沒有立方根C. 一個實數(shù)的立方根不是正數(shù)就是負數(shù)D. 立方根是這個數(shù)本身的數(shù)共有三個3、以下說法中：±3都是27的立方根, 打=v,即的立方根是 2,y(&

6、#177;8 2 = +4.其中正確的有A、1 個 B 、2 個 C 、3 個 D2 »4、( -0.7 )的平萬根是()C . 0.7 D . 0.49C 、一-與 2 D、| 一 2 | 和 22A. -0.7B . ±0.75、以下各組數(shù)中,互為相反數(shù)的組是(A -2 與 J( 2) 2 B 、-2 和匯8知識點二：計算類題型1、 25的算術平方根是 ; 平方根是. -27 立方根是, 4 土儷= W .2、 £(Y)2 =;&-6)3=；(M96)2=.3匚8=3、 T2+3J2 5扼.7A7 3 8一22 一, 4 |3 - .2 | + |、3

7、 -2|- |2 -1 |4、 1 «匚27 + ?一32 -心E項SE+卜63*39,+J3a10,知識點三：利用平方根和立方根解方程1、1 2x-1 2-169=0 ;2 4x2 =12133x 2 =125知識點四：關丁有意義的題、a本身為非負數(shù),有非負性,即、a > 0；、a有意義的條件是 a> 0.1要使 1有意義,必須滿足 a = 0.a1、 假設t a的算術平方根有意義,那么 a的取值范圍是A、一切數(shù)B 、正數(shù) C 、非負數(shù) D 、非零數(shù)2、 要使J2x -6有意義,x應滿足的條件是 x T3、 當X時,式子 x-2有意義.知識點五：有關平方根的解做題1、一

8、個正數(shù)a的平方根是3x4與2x,那么a是多少2、假設5a+1和a- 19是數(shù)m的平方根,求 m的值.3、x、y都是實數(shù),且y = Jx -3 +J3-x +4,求yx的平方根.知識點六：非負性的應用1、 實數(shù)x, y滿足 Jx _2+(y+1) 2=0,那么x-y等于解答：根據題意得,x-2=0 , y+1=0,解得 x=2, y=-1 ,所以,x-y=2- (-1 ) =2+1=3.2、a、b滿足J'2a十8十bV3 =0,角牟關于x的方程(a+2'+b2 =a13、假設(痔 +(3x + y _1)2 =0 ,求(5x + y2 的值.b c4、右 a、b、c 7兩足 a-

9、3+、(5+b)2 + Jc-1 = 0,求代數(shù)式的值.a5、J1 -3a和| 8b 3 I互為相反數(shù),求(ab227的值.【重點知識穩(wěn)固】考點、平方根、算術平方根、立方根1、概念、定義(1) 如果一個正數(shù)x的平方等于a,即矽 3,那么這個正數(shù)x叫做a的算術平方根.(2) 如果一個數(shù)的平方等于 a,那么這個數(shù)就叫做 a的平方根(或二次方跟).如果=a ,那么x叫做a的平方根.(3) 如果一個數(shù)的立方等于 a,那么這個數(shù)就叫做 a的立方根(或 a的三次方根).如果1? -d,那么x叫做a的立方根.2、運算名稱(1) 求一個正數(shù)a的平方根的運算,叫做開平方.平方與開平方互為逆運算.(2) 求一個數(shù)

10、的立方根的運算,叫做開立方.開立方和立方互為逆運算.3、運算符號(1) 正數(shù)a的算術平方根,記作" j廠.(2) a(a >0)的平方根的符號表達為 士 七°).(3) 一個數(shù)a的立方根,用 沂 表示,其中a是被開方數(shù),3是根指數(shù).4、運算公式a = Cia <0-a(插y*0)& =“i=<宙沂<>il：這說明三次根號內的負號可以移到根號外面)4、開方規(guī)律小結(1) 假設a>0,那么a的平方根是±J< , a的算術平方根 ；正數(shù)的平方根有兩個,它們互為相反數(shù),其中正的那個叫它的算術平方根；0的平方根和算術平方根都是 0;負數(shù)沒有平方根.實數(shù)都有立方根,一個數(shù)的立方根有且只有一個,并且它的符號與被開方數(shù)的符號相同.正數(shù)的立方根是正數(shù),負數(shù)的立方根是負數(shù),0的立方根是0.(2) 假設a<0,那么a沒有平方根和算術平方根；假設 a為任意實數(shù),那么a的立方根是 物.(3) 正數(shù)的兩個平方根互為相反數(shù),兩個互為相反數(shù)的實數(shù)的立方根也互為相反數(shù).enjoy the trust of 得到.的信任have / put trust in 信任 in trust受托的,代為保管的take .on trust 對.不加考察信以為真trust on 信賴 give a new turn to