曲線的參數(shù)方程（課堂PPT）

1、1第二講第二講 參數(shù)方程參數(shù)方程一一 曲線的參數(shù)方程曲線的參數(shù)方程21、參數(shù)方程的概念：、參數(shù)方程的概念： 如圖如圖,一架救援飛機(jī)在離災(zāi)區(qū)地面一架救援飛機(jī)在離災(zāi)區(qū)地面500m高處以高處以100m/s的速度作水平直線飛行的速度作水平直線飛行. 為使投放救援物資準(zhǔn)為使投放救援物資準(zhǔn)確落于災(zāi)區(qū)指定的地面確落于災(zāi)區(qū)指定的地面(不記空氣阻力不記空氣阻力),飛行員應(yīng)如何飛行員應(yīng)如何確定投放時(shí)時(shí)機(jī)呢？確定投放時(shí)時(shí)機(jī)呢？提示：提示：即求飛行員在離救援點(diǎn)的水平距離即求飛行員在離救援點(diǎn)的水平距離多遠(yuǎn)時(shí)，開始投放物資？多遠(yuǎn)時(shí)，開始投放物資？救援點(diǎn)救援點(diǎn)投放點(diǎn)投放點(diǎn)31、參數(shù)方程的概念：、參數(shù)方程的概念：xy500o

2、物資投出機(jī)艙后，它的運(yùn)動(dòng)由下列兩種運(yùn)動(dòng)合成：物資投出機(jī)艙后，它的運(yùn)動(dòng)由下列兩種運(yùn)動(dòng)合成：（1）沿）沿ox作初速為作初速為100m/s的勻速直線運(yùn)動(dòng)；的勻速直線運(yùn)動(dòng)；（2）沿）沿oy反方向作自由落體運(yùn)動(dòng)。反方向作自由落體運(yùn)動(dòng)。 如圖如圖,一架救援飛機(jī)在離災(zāi)區(qū)地面一架救援飛機(jī)在離災(zāi)區(qū)地面500m高處以高處以100m/s的速度作水平直線飛行的速度作水平直線飛行. 為使投放救援物資準(zhǔn)為使投放救援物資準(zhǔn)確落于災(zāi)區(qū)指定的地面確落于災(zāi)區(qū)指定的地面(不記空氣阻力不記空氣阻力),飛行員應(yīng)如何飛行員應(yīng)如何確定投放時(shí)機(jī)呢？確定投放時(shí)機(jī)呢？4xy500o0,y 令10.10 .ts得100 ,1010 .xtxm代入

3、得.1010 所m以，飛行員在離救援點(diǎn)的水平距離約為時(shí)投放物資，可以使其準(zhǔn)確落在 指定位置 txy解：物資出艙后，設(shè)在時(shí)刻 ，水平位移為 ， 垂直高度為 ，所以2100 ,1500.2xtygt)2（g=9.8m/s1、參數(shù)方程的概念：、參數(shù)方程的概念： 如圖如圖,一架救援飛機(jī)在離災(zāi)區(qū)地面一架救援飛機(jī)在離災(zāi)區(qū)地面500m高處以高處以100m/s的速度作水平直線飛行的速度作水平直線飛行. 為使投放救援物資準(zhǔn)為使投放救援物資準(zhǔn)確落于災(zāi)區(qū)指定的地面確落于災(zāi)區(qū)指定的地面(不記空氣阻力不記空氣阻力),飛行員應(yīng)如何飛行員應(yīng)如何確定投放時(shí)機(jī)呢？確定投放時(shí)機(jī)呢？5一、方程組有一、方程組有3個(gè)變量，其中的個(gè)變量

4、，其中的x,y表示點(diǎn)的表示點(diǎn)的坐標(biāo)，變量坐標(biāo)，變量t叫做參變量，而且叫做參變量，而且x,y分別是分別是t的的函數(shù)。函數(shù)。二、由物理知識(shí)可知，物體的位置由時(shí)間二、由物理知識(shí)可知，物體的位置由時(shí)間t唯唯一決定，從數(shù)學(xué)角度看，這就是點(diǎn)一決定，從數(shù)學(xué)角度看，這就是點(diǎn)M的坐標(biāo)的坐標(biāo)x,y由由t唯一確定，這樣當(dāng)唯一確定，這樣當(dāng)t在允許值范圍內(nèi)連在允許值范圍內(nèi)連續(xù)變化時(shí)，續(xù)變化時(shí)，x,y的值也隨之連續(xù)地變化，于是的值也隨之連續(xù)地變化，于是就可以連續(xù)地描繪出點(diǎn)的軌跡。就可以連續(xù)地描繪出點(diǎn)的軌跡。三、平拋物體運(yùn)動(dòng)軌跡上的點(diǎn)與滿足方程組三、平拋物體運(yùn)動(dòng)軌跡上的點(diǎn)與滿足方程組的有序?qū)崝?shù)對(duì)（的有序?qū)崝?shù)對(duì)（x,y）之間

5、有一一對(duì)應(yīng)關(guān)系。）之間有一一對(duì)應(yīng)關(guān)系。6( ),( ).xf tyg t（2）并且對(duì)于并且對(duì)于t的每一個(gè)允許值的每一個(gè)允許值, 由方程組由方程組(2) 所確定的點(diǎn)所確定的點(diǎn)M(x,y)都在這條曲線上都在這條曲線上, 那么方程那么方程(2) 就叫做這條曲線的就叫做這條曲線的參數(shù)方程參數(shù)方程, 聯(lián)系變數(shù)聯(lián)系變數(shù)x,y的變數(shù)的變數(shù)t叫做參變數(shù)叫做參變數(shù), 簡(jiǎn)稱參數(shù)簡(jiǎn)稱參數(shù). 相對(duì)于參數(shù)方程而言，直接給出點(diǎn)的坐標(biāo)間關(guān)系相對(duì)于參數(shù)方程而言，直接給出點(diǎn)的坐標(biāo)間關(guān)系的方程叫做普通方程。的方程叫做普通方程。關(guān)于參數(shù)幾點(diǎn)說(shuō)明：關(guān)于參數(shù)幾點(diǎn)說(shuō)明： 參數(shù)是聯(lián)系變數(shù)參數(shù)是聯(lián)系變數(shù)x,y的橋梁的橋梁,參數(shù)方程中參數(shù)可以

6、是有物理意義參數(shù)方程中參數(shù)可以是有物理意義, 幾何意義幾何意義, 也可以沒有明顯意義。也可以沒有明顯意義。2.同一曲線選取參數(shù)不同同一曲線選取參數(shù)不同, 曲線參數(shù)方程形式也不一樣曲線參數(shù)方程形式也不一樣3.在實(shí)際問(wèn)題中要確定參數(shù)的取值范圍在實(shí)際問(wèn)題中要確定參數(shù)的取值范圍1、參數(shù)方程的概念：、參數(shù)方程的概念： 一般地一般地, 在平面直角坐標(biāo)系中在平面直角坐標(biāo)系中,如果曲線上任意一點(diǎn)的如果曲線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)坐標(biāo)x, y都是某個(gè)變數(shù)都是某個(gè)變數(shù)t的函數(shù)的函數(shù)7例例1: 已知曲線已知曲線C的參數(shù)方程是的參數(shù)方程是 （1）判斷點(diǎn)）判斷點(diǎn)M1(0, 1)，M2(5, 4)與曲線與曲線C的位置關(guān)系；的位置

7、關(guān)系；（2）已知點(diǎn)）已知點(diǎn)M3(6, a)在曲線在曲線C上上, 求求a的值。的值。23 ,()21.xttyt為參數(shù) 一架救援飛機(jī)以一架救援飛機(jī)以100m/s的速度作水平直線飛行的速度作水平直線飛行.在離在離災(zāi)區(qū)指定目標(biāo)災(zāi)區(qū)指定目標(biāo)1000m時(shí)投放救援物資（不計(jì)空氣阻力時(shí)投放救援物資（不計(jì)空氣阻力,重力加速重力加速 g=10m/s）問(wèn)此時(shí)飛機(jī)的飛行高度約是多少？問(wèn)此時(shí)飛機(jī)的飛行高度約是多少？（精確到（精確到1m）變式變式:82、方程、方程 所表示的曲線上一點(diǎn)的坐標(biāo)是所表示的曲線上一點(diǎn)的坐標(biāo)是（ ） 練習(xí)1sin,(cosxy為參數(shù)）A、（、（2，7）；）；B、 C、 D、（、（1，0） 1 2

8、( , );3 31 1( , );2 21、曲線、曲線 與與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是( )A、（、（1，4）；）；B、 C、 D、21,(43xttyt 為參數(shù)）25(,0);16(1, 3);25(,0);16B9 已知曲線已知曲線C的參數(shù)方程是的參數(shù)方程是 點(diǎn)點(diǎn)M(5,4)在該在該 曲線上曲線上. （1）求常數(shù)）求常數(shù)a; （2）求曲線）求曲線C的普通方程的普通方程.212 ,().xttyat 為參數(shù),aR解解:(1)由題意可知由題意可知: 1+2t=5at2=4解得解得:a=1t=2 a=1(2)由已知及由已知及(1)可得可得,曲線曲線C的方程為的方程為: x=1+2t y=t

9、2由第一個(gè)方程得由第一個(gè)方程得: 12xt代入第二個(gè)方程得代入第二個(gè)方程得: 21() ,2xy2(1)4xy為所求.訓(xùn)練2：10思考題：思考題：動(dòng)點(diǎn)動(dòng)點(diǎn)M作等速直線運(yùn)動(dòng)作等速直線運(yùn)動(dòng), 它在它在x軸和軸和y軸方向軸方向的速度分別為的速度分別為5和和12 , 運(yùn)動(dòng)開始時(shí)位于點(diǎn)運(yùn)動(dòng)開始時(shí)位于點(diǎn)P(1,2), 求點(diǎn)求點(diǎn)M的軌跡參數(shù)方程。的軌跡參數(shù)方程。解：設(shè)動(dòng)點(diǎn)M (x,y) 運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，依題意，得tytx12251所以，點(diǎn)M的軌跡參數(shù)方程為tytx12251參數(shù)方程求法參數(shù)方程求法: （1）建立直角坐標(biāo)系）建立直角坐標(biāo)系, 設(shè)曲線上任一點(diǎn)設(shè)曲線上任一點(diǎn)P坐標(biāo)為坐標(biāo)為(x,y) （2）選取適當(dāng)?shù)?/p>

10、參數(shù)）選取適當(dāng)?shù)膮?shù)（3）根據(jù)已知條件和圖形的幾何性質(zhì)）根據(jù)已知條件和圖形的幾何性質(zhì), 物理意義物理意義, 建立點(diǎn)建立點(diǎn)P坐標(biāo)與參數(shù)的函數(shù)式坐標(biāo)與參數(shù)的函數(shù)式（4）證明這個(gè)參數(shù)方程就是所由于的曲線的方程）證明這個(gè)參數(shù)方程就是所由于的曲線的方程11小結(jié)：小結(jié)： 一般地，在平面直角坐標(biāo)系中，一般地，在平面直角坐標(biāo)系中，如果曲線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)如果曲線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)x，y都是某個(gè)變數(shù)都是某個(gè)變數(shù)t的函數(shù)的函數(shù) ( ),( ).xf tyg t（2）并且對(duì)于并且對(duì)于t的每一個(gè)允許值，由方程組（的每一個(gè)允許值，由方程組（2）所確定的點(diǎn)）所確定的點(diǎn)M(x,y)都在這條曲線上，都在這條曲線上， 那么方程（

11、那么方程（2）就叫做這條曲線的）就叫做這條曲線的參數(shù)方程參數(shù)方程， 系變數(shù)系變數(shù)x,y的變數(shù)的變數(shù)t叫做參變數(shù)，簡(jiǎn)稱參數(shù)。叫做參變數(shù)，簡(jiǎn)稱參數(shù)。122、圓的參數(shù)方程、圓的參數(shù)方程13yxorM(x,y)0M14)()(sincossin,cos),(速圓周運(yùn)動(dòng)的時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)作勻有明確的物理意義程。其中參數(shù)的圓的參數(shù)方，半徑為這就是圓心在原點(diǎn)為參數(shù)即角函數(shù)的定義有：，那么由三，設(shè)，那么，坐標(biāo)是轉(zhuǎn)過(guò)的角度是，點(diǎn)如果在時(shí)刻trOttrytrxrytrxtrOMtyxMMt15轉(zhuǎn)過(guò)的角度。的位置時(shí)，到逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)繞點(diǎn)的幾何意義是其中參數(shù)的圓的參數(shù)方程，半徑為這也是圓心在原點(diǎn)為參數(shù)為參數(shù)，于是有，也可以取考慮

12、到00)(sincosOMOMOOMrOryrxt16圓的參數(shù)方程的一般形式圓的參數(shù)方程的一般形式么樣的呢？的圓的參數(shù)方程又是怎半徑為那么，圓心在點(diǎn)普通方程是的參數(shù)方程，它對(duì)應(yīng)的以上是圓心在原點(diǎn)的圓ryxoryx),(,002222220000cos()s()()inxxyxxryyyrr對(duì)應(yīng)的普通方程為為參數(shù)17由于選取的參數(shù)不同，圓有不同的參由于選取的參數(shù)不同，圓有不同的參數(shù)方程，一般地，同一條曲線，可以數(shù)方程，一般地，同一條曲線，可以選取不同的變數(shù)為參數(shù)，因此得到的選取不同的變數(shù)為參數(shù)，因此得到的參數(shù)方程也可以有不同的形式，形式參數(shù)方程也可以有不同的形式，形式不同的參數(shù)方程，它們表示不同

13、的參數(shù)方程，它們表示 的曲線可的曲線可以是相同的，另外，在建立曲線的參以是相同的，另外，在建立曲線的參數(shù)參數(shù)時(shí)，要注明參數(shù)及參數(shù)的取值數(shù)參數(shù)時(shí)，要注明參數(shù)及參數(shù)的取值范圍。范圍。18例、例、已知圓方程已知圓方程x x2 2+y+y2 2 +2x-6y+9=0 +2x-6y+9=0，將它，將它化為參數(shù)方程?；癁閰?shù)方程。解：解： x x2 2+y+y2 2+2x-6y+9=0+2x-6y+9=0化為標(biāo)準(zhǔn)方程，化為標(biāo)準(zhǔn)方程， （x+1x+1）2 2+ +（y-3y-3）2 2=1=1，參數(shù)方程為參數(shù)方程為sin3cos1yx(為參數(shù)為參數(shù))19例例2 如圖，圓如圖，圓O的半徑為的半徑為2，P是圓上

14、的動(dòng)點(diǎn)，是圓上的動(dòng)點(diǎn)，Q(6,0)是是x軸上的定點(diǎn)，軸上的定點(diǎn)，M是是PQ的中點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)的中點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P繞繞O作勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)作勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)M的軌跡的參數(shù)方的軌跡的參數(shù)方程。程。yoxPMQ20)(sin3cossin2sin2, 3cos26cos2),sin2 ,cos2(,),(為參數(shù)的軌跡的參數(shù)方程是所以，點(diǎn)由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得：的坐標(biāo)是則點(diǎn)，的坐標(biāo)是解：設(shè)點(diǎn)yxMyxPxOPyxM21徑，并化為普通方程。表示圓的圓心坐標(biāo)、半所為參數(shù)、指出參數(shù)方程)(sin235cos22yx4)3()5(22yx22_4)0(sin2cos3，則圓心坐標(biāo)是是的直徑為參數(shù)，、圓rrryrrx（2

15、，1）23參數(shù)方程和普通方程的互化參數(shù)方程和普通方程的互化 24例3：把下列參數(shù)方程化為普通方程，并說(shuō)明它們各表示什么曲線？1sincos(1)().(2)()1 sin21 23cos(3)().sinxtxtyytxy 為參數(shù)為參數(shù)為參數(shù)1.1.將曲線的參數(shù)方程化為普通方程，有利于識(shí)別曲線將曲線的參數(shù)方程化為普通方程，有利于識(shí)別曲線的類型。的類型。2.2.曲線的參數(shù)方程和普通方程是曲線方程的不同形式。曲線的參數(shù)方程和普通方程是曲線方程的不同形式。3.3.在參數(shù)方程與普通方程的互化中，必須使在參數(shù)方程與普通方程的互化中，必須使x x、y y的取的取值范圍保持一致。值范圍保持一致。代入代入(

16、(消參數(shù)消參數(shù)) )法法恒等式恒等式( (消參數(shù)消參數(shù)) )法法25曲線C的普通方程和參數(shù)方程是曲線C的兩種不同代數(shù)形式，以本質(zhì)上講它們是互相聯(lián)系的，一般可以進(jìn)行互化.通常使用代入消參，加減消參，使用三角公式消參。曲線的參數(shù)方程曲線的普通方程.消去參數(shù)引入?yún)?shù)26說(shuō)明說(shuō)明:把參數(shù)方程化為普通方程把參數(shù)方程化為普通方程,常用方法有常用方法有:(1)代入代入(消參數(shù)消參數(shù))法法(2)加減加減(消參數(shù)消參數(shù))法法(3)借用代數(shù)或三角恒等式借用代數(shù)或三角恒等式(消參數(shù)消參數(shù))法法常見的代數(shù)恒等式常見的代數(shù)恒等式:22222222222222222211(1)()()42(2)()()12(3)()()

17、1tttttaattatataattata 在消參過(guò)程中注意在消參過(guò)程中注意變變量量x、y取值范圍的取值范圍的一致性一致性，必須根據(jù)參，必須根據(jù)參數(shù)的取值范圍，確定數(shù)的取值范圍，確定f(t)和和g(t)值域得值域得x、y的取值范圍。的取值范圍。27如果知道變數(shù)如果知道變數(shù)x，y中的一個(gè)與參數(shù)中的一個(gè)與參數(shù)t的關(guān)系，的關(guān)系，例如例如x=f(t),把它代入普通方程，求出另一個(gè)變把它代入普通方程，求出另一個(gè)變數(shù)與參數(shù)的關(guān)系數(shù)與參數(shù)的關(guān)系y=g(t)，那么，那么)()(tgytfx這就是曲線的參數(shù)方程。這就是曲線的參數(shù)方程。二、普通方程二、普通方程 參數(shù)方程參數(shù)方程例4 (1)設(shè)x=3cos ， 為參

18、數(shù)；22194xy求 橢 圓的 參 數(shù) 方 程 。28)(sin2cos3149,sin2sin2sin4)cos1 (4, 149cos9cos312222222為參數(shù)的參數(shù)方程是所以橢圓的任意性，可取由參數(shù)即所以代入橢圓方程，得到）把解：（yxyxyyyyx例4 (1)設(shè)x=3cos ， 為參數(shù)；22194xy求 橢 圓的 參 數(shù) 方 程 。還有其它還有其它方法嗎？方法嗎？29例4 (1)設(shè)x=3cos ， 為參數(shù)；22194xy求 橢 圓的 參 數(shù) 方 程 。22cossin1cos,sin3cos2sinxyxy令32為參數(shù)法二：法二：2.tt(2)設(shè)y=， 為參數(shù)30tytxttyt

19、xyxtxtxtxty213)(21314913),1 (9144922222222222和為參數(shù)的參數(shù)方程是所以，橢圓于是代入橢圓方程，得）把（思考：為什么思考：為什么(2)中的兩個(gè)參數(shù)方程合起來(lái)才是橢圓中的兩個(gè)參數(shù)方程合起來(lái)才是橢圓的參數(shù)方程？的參數(shù)方程？2.tt(2)設(shè)y=， 為參數(shù)分別對(duì)應(yīng)了橢圓在分別對(duì)應(yīng)了橢圓在y軸的右，左兩部分。軸的右，左兩部分。31（1 1）判斷點(diǎn)）判斷點(diǎn)P P1 1（1 1，2 2），），P P2 2（0 0，1 1）與曲線）與曲線C C的位置關(guān)系的位置關(guān)系（2 2）點(diǎn)）點(diǎn)Q(2,a)Q(2,a)在曲線在曲線l l上，求上，求a a的值的值. .（3 3）化為普

20、通方程，并作圖）化為普通方程，并作圖（4 4）若）若t0t0， 化為普通方程，并作圖化為普通方程，并作圖. .補(bǔ)例補(bǔ)例1 1已知曲線已知曲線C C的參數(shù)方程為的參數(shù)方程為1322tytx（t t為參數(shù)）為參數(shù)）3321132212tttt分析與解答分析與解答: :（1）若點(diǎn)P在曲線上，則可以用參數(shù)t表示出x, y，即可以求出相應(yīng)t值.所以，令t無(wú)解， 點(diǎn)P1不在曲線C上.0131202ttt同理，令 點(diǎn)P2在曲線C上.32（2）Q在曲線C上，2221431ttaat2xt （3）將代入y=3t2+11432xy, ,如圖如圖. .（4）t0, x=2t0, y=3t2+11, 消去t，得：14

21、32xy t0時(shí)，曲線C的普通方程為1432xy(x0, y1).331432xy點(diǎn)評(píng)點(diǎn)評(píng):在（4）中，曲線C的普通方程的范圍也可以只寫出x0, 但不能寫成y1，這是因?yàn)槭且?x為自變量，y為因變量的函數(shù)，由x的范圍可以確定y的取值范圍，但反過(guò)來(lái)不行.即:所得曲線方程為y=f(x)或x=g(y)形式時(shí)，可以只寫出自變量的范圍，但對(duì)于非函數(shù)形式的方程，即F(x,y)=0，一般來(lái)說(shuō)，x,y的范圍都應(yīng)標(biāo)注出來(lái).34（1）互化時(shí)，必須使坐標(biāo)x, y的取值范圍在互化前后保持不變，否則，互化就是不等價(jià)的. 如曲線y=x2的一種參數(shù)方程是（ ）2224sin.; .; .;sinxtxtxtxtABCDyt

22、ytytyt分析分析:在y=x2中，xR, y0，在A、B、C中，x,y的范圍都發(fā)生了變化，因而與y=x2不等價(jià)，而在D中，x,y范圍與y=x2中x,y的范圍相同，且以x=t,y=t2代入y=x2后滿足該方程，從而D是曲線y=x2的一種參數(shù)方程.（2）在求x,y 的取值范圍時(shí)，常常需用求函數(shù)值域的各種方法。如利用單調(diào)性求函數(shù)值域，二次函數(shù)在有限區(qū)間上求值域，三角函數(shù)求值域，判別式法求值域等。注意:35解：y=cos2 =1-2sin2 =1-2x2應(yīng)選C.補(bǔ)補(bǔ)例例2 方程sincos2xy所表示的曲線一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)是( )(為參數(shù))1211.(2,7);.(,);.(,);.(1,0).3322

23、ABCD補(bǔ)補(bǔ)例3.參數(shù)方程cos1sincos1cosyx（為參數(shù)） 化成普通方程為 .36補(bǔ)補(bǔ)例例4： 下列參數(shù)方程(t為參數(shù))與普通方程x2-y=0表示同一曲線的方程是( )2cos.1cos 21cos 2cos1cos 21cos 2xtgtxtgtxtxtABCDttyyytyttt解：普通方程x2-y中的xR，y0，A.中x=t0，B.中x=cost-1,1，故排除A.和B.C.中222cos2sintyt=ctg2t=2211xttg即x2y=1，故排除C.應(yīng)選D.補(bǔ)補(bǔ)例5.直線：3x-4y-9=0與圓：)(,sin2cos2為參數(shù)yx的位置關(guān)系是( ) A.相切 B.相離 C.

24、直線過(guò)圓心 D.相交但直線不過(guò)圓心37A線段B雙曲線一支 C圓弧D射線答案：答案：A。分析分析 由ytty2211解得，將其代入xtxy323122得，整理得：xy350050252771242ttxy，得，故該曲線是直線xy350上的一條線段，故選A。補(bǔ)補(bǔ)例例6：曲線的參數(shù)方程為2232051xttyt ，則曲線是：38補(bǔ)補(bǔ)例例7：參數(shù)方程xycossinsin2212102表示：B拋物線一部分，這部分過(guò)點(diǎn)112，C雙曲線一支，這支過(guò)點(diǎn)112，D拋物線一部分，這部分過(guò)點(diǎn)112，分析分析 因?yàn)閤 cossinsin222242225020 |sin| 102424424111 sinsinco

25、ssin2222241022xyyxx又，即又因此，參數(shù)方程表示拋物線yx122的一部分，這部分過(guò)點(diǎn)112，故選，故選B。112，A雙曲線一支，這支過(guò)點(diǎn)39補(bǔ)補(bǔ)例例8 8已知直線已知直線l l1 1: x-ky+k=0, : x-ky+k=0, l l2 2:kx-y-1=0. :kx-y-1=0. 其中其中k k為參數(shù)，求為參數(shù)，求l l1 1, , l l2 2交點(diǎn)的軌跡方程交點(diǎn)的軌跡方程. .解法解法1:1:求出兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，即解方程組:010ykxkkyx 當(dāng)k21時(shí)，得到這就是所求軌跡的參數(shù)方程，但如果要求軌跡的普通方程，需消去參數(shù)k.1112222kkykkx（k為參數(shù)）40解

26、法解法2 2： 由kx-y-1=0，當(dāng)x0時(shí)，可得xyk1代入方程x-ky+k=0 得:012xyxyyx點(diǎn)評(píng)點(diǎn)評(píng):解法2中，方程兩邊同除以x，會(huì)丟x=0的解；方程兩邊同乘以x，會(huì)增x=0的根，所以最后得到軌跡方程后應(yīng)檢驗(yàn)是否是同解變形同解變形.兩種方法得到軌跡的不同形式的方程，只要把參數(shù)方程中的參數(shù)消去，便可得到同樣的普通方程.（不妨試試，可利用加減消元法消去k，但應(yīng)關(guān)注y1的限制條件。）去分母，化簡(jiǎn)得:x2-y2+1=0(x0) 當(dāng)x=0時(shí)，存在k=0，使得y=-1. 所以，所求軌跡的普通方程為:x2-y2+1=0(y1).41補(bǔ)補(bǔ)例例9: 在圓x2+y2-4x-2y-20=0上求兩點(diǎn)A和

27、B，使它們到直線4x+3y+19=0的距離分別最短和最長(zhǎng).解： 將圓的方程化為參數(shù)方程：sin51cos52yx（為參數(shù)）則圓上點(diǎn)P坐標(biāo)為(2+5cos ，1+5sin )，它到所給直線之距離22|20cos15sin30|4cos3sin6| |5cos()6|43d故當(dāng)故當(dāng)cos(-)=1，即，即=時(shí)時(shí) ，d最長(zhǎng)，這時(shí)，點(diǎn)最長(zhǎng)，這時(shí)，點(diǎn)A坐標(biāo)坐標(biāo)為為(6，4)；當(dāng)；當(dāng)cos(-)=-1,即即-時(shí)，時(shí)，d最短，這時(shí)，最短，這時(shí)，點(diǎn)點(diǎn)B坐標(biāo)為坐標(biāo)為(-2，2).42例例10：等腰直角三角形ABC，三頂點(diǎn)A、B、C按順時(shí)針方向排列， A是直角，腰長(zhǎng)為a，頂點(diǎn)A、B分別在x軸y軸上滑動(dòng)，求頂點(diǎn)C的

28、軌跡方程（要求把結(jié)果寫成直角坐標(biāo)系的普通方程）分析分析 設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為(x,y) ，不易直接建立x,y之間的關(guān)系，所以可考慮建立x,y之間的間接關(guān)系式. CAX完全確定了頂點(diǎn)C的位置，即頂點(diǎn)C的位置是CAX的函數(shù)，所以可選CAX為參數(shù)解：解：如圖所示，設(shè)CAX，則xOAADaaayDCasincossincossinC點(diǎn)的參數(shù)方程為：xayasincossin為參數(shù)消去參數(shù)，得普通方程為：xxyya2222小結(jié)：小結(jié)：與旋轉(zhuǎn)有關(guān)的軌跡問(wèn)題，常選角為參數(shù)。43補(bǔ)補(bǔ)例11：已知線段BB=4，直線l垂直平分BB=于點(diǎn)O，在屬于l并且以O(shè)為起點(diǎn)的同一射線上取兩點(diǎn)P、P，使OP. .OP9 。求直線BP

29、與直線BP，的交點(diǎn)M的軌跡方程。分析分析 以O(shè)為原點(diǎn)，l為x軸，BB為y軸建立一直角坐標(biāo)系xoy，如右圖所示，則B(0,2),B(0,-2).如圖可知，當(dāng)P點(diǎn)的位置一定時(shí)，P點(diǎn)的位置完全確定，從而完全確定了M點(diǎn)的位置，所以可選P點(diǎn)的坐標(biāo)為參數(shù)。44解：解：設(shè)P aa，00，則由OPOP 9，得Pa90，直線BP的方程為：xay21直線 B P的方程為：xay921兩直線方程化簡(jiǎn)為：22029180 xayaaxy解和組成的方程組?？傻弥本€BP與 B P的交點(diǎn)坐標(biāo)為：2221891829axaaya消去參數(shù)a，得：4936022xyx45本題也可將直線BP和 B P的方程變形為：xayaxy12

30、912、兩式相乘，得xy22914小結(jié)：小結(jié)：本題第二種解法，即交軌法。它是求兩條曲線系交點(diǎn)軌跡的常用方法，這種方法不解方程組，而是直接由方程組消去參數(shù)而得交點(diǎn)的軌跡方程。所求點(diǎn)M的軌跡是長(zhǎng)軸長(zhǎng)為6，短軸長(zhǎng)為4的橢圓，但不包含點(diǎn)B和B46參數(shù)方程與普通方程互化47sincosbyax例例1 、 將下列參數(shù)方程化為普通方程將下列參數(shù)方程化為普通方程解：由式變形得：解：由式變形得： cos222axsin222by將兩式相加得：將兩式相加得：12222byax由式變形得由式變形得：4821sin,cos200gttvytvx例例2 、將下列參數(shù)方程化為普通方程、將下列參數(shù)方程化為普通方程解：由得：解：由得：cos0vxt 代入，消去參數(shù)代入，消去參數(shù) t ，得普通方程，得普通方程xxvgycossincos2222049例例3 、 將直線的點(diǎn)斜式方程將直線的點(diǎn)斜式方程 y-y0=tg(x-x0) 化為參數(shù)方程化為參數(shù)方程解解:將直線的點(diǎn)斜式方程變形為將直線的點(diǎn)斜式方程變形為txxyycossin00是參數(shù)）ttyytxx(.sin,cos00即即50例例4 、將下面參數(shù)方程化為普通方、將下面參數(shù)方程化為普通方程程為參數(shù)）(.tg,secbyax解：將參數(shù)方程變形為：解：將參數(shù)方程變形為：.tg,secbyax再將兩方