希爾伯特-黃變換Hilbert-HuangTransform,HHT

1、希爾伯特-黃變換Hilbert-Huang Transform , HHT0前言傳統(tǒng)的數(shù)據(jù)分析方法都是基于線性和平穩(wěn)信號(hào)的假設(shè),然而對(duì)實(shí)際系統(tǒng),無論是自然的還是人為建 立的,數(shù)據(jù)最有可能是非線性、非平穩(wěn)的.希爾伯特-黃變換Hilbert-Huang Transform , HHT是一種經(jīng)驗(yàn)數(shù)據(jù)分析方法,其擴(kuò)展是自適應(yīng)性 的,所以它可以描述非線性、非平穩(wěn)過程數(shù)據(jù)的物理意義.1 HHT簡(jiǎn)介賀禮平.希爾伯特-黃變換在電力諧波分析中的應(yīng)用研究D.湖南：中南大學(xué),2021HHT的開展.1995年,Norden E.Huang為研究水外表波構(gòu)思出一種所謂“ EMD-HSA的時(shí)間序列分析法,通過這 種方法他

2、發(fā)現(xiàn)水波的演化不是連續(xù)的,而是突變、離散、局部的.1998年,Norden E.Huang等人提出了經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解方法,并引入了Hilbert 譜的概念和 Hilbert 譜分析的方法,美國國家航空和宇航局NASA將這一方法命名為 Hilbert-Huang Transform ,簡(jiǎn)稱HHT即希爾伯特-黃變換.HHT是一種新的分析非線性非平穩(wěn)信號(hào)的時(shí)頻分析方法,由兩局部組成：第一局部為經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解 Empirical Mode Decomposition , EMD the sifting process ,篩選過程,它是由Huang提出的,基于一個(gè)假設(shè)：任何復(fù)雜信號(hào)都可以分解為有限數(shù)目且具有一

3、定物理定義的固有模態(tài)函數(shù) Intrinsic Mode Function , IMF;也稱作本征模態(tài)函數(shù)；EMD方法能根據(jù)信號(hào)的特點(diǎn),自適應(yīng)地將信號(hào)分解成從高到低不同頻率的一系列IMF;該方法直接從信號(hào)本身獲取基函數(shù),因此具有自適應(yīng)性,同時(shí)也存在計(jì)算量大和模態(tài)混疊的缺點(diǎn).第二局部為 Hilbert 譜分析Hilbert Spectrum Analysis , HSA,利用 Hilbert 變換求解每一階 IMF 的瞬時(shí)頻率,從而得到信號(hào)的時(shí)頻表示,即Hilbert譜.簡(jiǎn)單說來,HHT處理非平穩(wěn)信號(hào)的根本過程是：首先,利用EMW法將給定的信號(hào)分解為假設(shè)干 IMF,這些IMF是滿足一定條件的分量；

4、然后,對(duì)每一個(gè) IMF進(jìn)行Hilbert 變換,得到相應(yīng)的 Hilbert 譜,即 將每個(gè)IMF表示在聯(lián)合的時(shí)頻域中；最后,匯總所有 IMF的Hilbert 譜就會(huì)得到原始信號(hào)的時(shí)間 -頻率- 能量分布,即Hilbert 譜.在HHT中,為了能把復(fù)雜的信號(hào)分解為簡(jiǎn)單的單分量信號(hào)的組合,在進(jìn)行EM防法時(shí),所獲得的IMF必須滿足以下兩個(gè)條件：1在整個(gè)信號(hào)長(zhǎng)度上,一個(gè) IMF的極值點(diǎn)和過零點(diǎn)數(shù)目必須相等或至多只相差一點(diǎn).2在任意時(shí)刻,由極大值點(diǎn)定義的上包絡(luò)線和由極小值點(diǎn)定義的下包絡(luò)線的平均值為零,也就是說IMF的上下包絡(luò)線對(duì)稱于時(shí)間軸.滿足上述兩個(gè)條件的IMF就是一個(gè)單分量信號(hào).連續(xù)時(shí)間信號(hào)x(t)

5、的Hilbert變換洲)定義為： 11 x( ),1 x(t ).X(t) x(t) z 廣" d2 HHT理論經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解(Empirical Mode Decomposition , EMD對(duì)于給定的信號(hào),Huang所介紹的EMDT法是：(1) 首先找到信號(hào)的極大值和極小值,用三次樣條插值擬合上下包絡(luò)線u(t)和v(t),計(jì)算上下包絡(luò)線在每一點(diǎn)上的平均值,從而獲得一平均值曲線m 1,即mu(t) v(t)/2 ；(2) 設(shè)分析信號(hào)為x(t),用x(t)減去平均值m1(t),即h1x(t) m1 .如果,h1滿足IMF的兩個(gè)條件,那么h1就是x(t)的第一個(gè)IMF分量；否那么,將

6、加作為原始信號(hào),重復(fù)(1) (2),得上下包絡(luò)的平均值m11,再判斷h11 h1 m11是否滿足IMF的兩個(gè)條件；假設(shè)不滿足,重復(fù)循環(huán)k次,得到h1kh1(k 1)m1k ,直到h1k滿足IMF的兩個(gè)條件.記c1為信號(hào)x(t)經(jīng)EMD尋到的第1個(gè)IMF分量.其中,有兩種不同的篩分停止標(biāo)準(zhǔn):類似柯西收斂準(zhǔn)那么的SDkT2t 0；當(dāng)SDk小于一個(gè)預(yù)定值時(shí),篩選停止.Th2h1 k 1t 0篩分次數(shù)預(yù)先選定,在 s次連續(xù)篩選內(nèi),當(dāng)零點(diǎn)數(shù)和極點(diǎn)數(shù)相等或最多相差一個(gè),篩選過程將停止.困難：如何設(shè)定篩選次數(shù)(3)將c1從x(t)中別離出來,得到r1 x(t) c1 ；將1作為原始數(shù)據(jù),重復(fù)(1)(3),得

7、到x(t)的第2個(gè)IMF分量c2 ;重復(fù)循環(huán)n次,得到信號(hào)x(t) 的n個(gè)IMF分量,那么有nx(t)ci ni 1式中rn稱為剩余分量,分解結(jié)束時(shí)是一個(gè)恒定值或單調(diào)函數(shù),代表信號(hào)的平均趨勢(shì).上面的分解過程可以解釋為尺度濾波過程,每一個(gè)IMF分量都反映了信號(hào)的特征尺度,代表著非線性非平穩(wěn)信號(hào)的內(nèi)在模態(tài)特征.,HSAHilbert 譜分析(Hilbert Spectrum Analysis那么有獲得了信號(hào)的IMF分量以后,即可對(duì)每一階IMF 做 Hilbert 變換；設(shè) ci (t)的 Hilbert 變換為 (t),八11?(t) Ci(t)- t從而,信號(hào)x(t)的解析信號(hào)(analytic

8、 signal捋d 1ClILJd)為zi (t)Ci (t)j?(t)ai (t)ej i(t)這里ai (t) jq2(t) ?2(t),即瞬時(shí)振幅;i (t) arctg也,即瞬時(shí)相位.q(t)解析信號(hào)的極坐標(biāo)形式反映了Hilbert變換的物理含義：它通過一正弦曲線的頻率和幅值調(diào)制獲得局部的最正確逼近.根據(jù)瞬時(shí)頻率的定義,IMF分量的瞬時(shí)頻率為i(t),fi (t)dt1 d i(t)2 dtTZi (t)ci (t) j?(t)ai(t)ej i(t)ai (t)ej 0i(t)dt對(duì)每一階IMF作Hilbert 變換,并求出相應(yīng)的解析函數(shù)的幅值譜和瞬時(shí)頻率,從而原始信號(hào)x(t)可以表

9、小為nx(t)Ci (t)i 1nRei 1nn i dtZj(t) Reai (t)ej i(t) Reaj (t)ei 1i 1其數(shù)學(xué)表達(dá)式反映了HHT是FT的一種擴(kuò)展形式.上式反映了信號(hào)幅值、時(shí)間和瞬時(shí)頻率之間的關(guān)系.信號(hào)的幅值可表示為時(shí)間、瞬時(shí)頻率的函數(shù)H( ,t),從而獲得信號(hào)幅值的時(shí)間、頻率分布Hilbert 譜,即nH( ,t)ai (t)ejidt進(jìn)而,對(duì)時(shí)間積分可獲得信號(hào)的Hilbert邊際譜Th( )0 H( ,t)dt.而h()描述了信號(hào)在每個(gè)頻率上H ( ,t)描述了信號(hào)的幅值在整個(gè)頻率上隨時(shí)間和頻率的變化規(guī)律;的總振幅(或能量).3 HHT的優(yōu)點(diǎn)與傳統(tǒng)的信號(hào)或數(shù)據(jù)處理

10、方法相比,HHT具有如下特點(diǎn)：(1) HHT分析非線性非平穩(wěn)信號(hào).傳統(tǒng)的數(shù)據(jù)處理方法,如傅立葉變換只能處理線性非平穩(wěn)的信號(hào),小波變換雖然在理論上能處理非 線性非平穩(wěn)信號(hào),但在實(shí)際算法實(shí)現(xiàn)中卻只能處理線性非平穩(wěn)信號(hào).歷史上還出現(xiàn)過不少信號(hào)處理方法, 然而它們不是受線性束縛,就是受平穩(wěn)性束縛,并不能完全意義上處理非線性非平穩(wěn)信號(hào).HHT那么不同于這些傳統(tǒng)方法,它徹底擺脫了線性和平穩(wěn)性束縛,適用于分析非線性非平穩(wěn)信號(hào).(2) HHT具有完全自適應(yīng)性.HHT能夠自適應(yīng)產(chǎn)生“基,即由“篩選過程產(chǎn)生的IMF.這點(diǎn)不同于傅立葉變換和小波變換.傅立葉變換的基是三角函數(shù),小波變換的基是滿足“可容性條件的小波基,

11、小波基也是預(yù)先選定的.在 實(shí)際工程中,如何選擇小波基不是一件容易的事,選擇不同的小波基可能產(chǎn)生不同的處理結(jié)果.我們也 沒有理由認(rèn)為所選的小波基能夠反映被分析數(shù)據(jù)或信號(hào)的特性.(3) HH邙受Heisenberg測(cè)不準(zhǔn)原理制約適合突變信號(hào).傅立葉變換、短時(shí)傅立葉變換、小波變換都受Heisenberg測(cè)不準(zhǔn)原理制約,即時(shí)間窗口與頻率窗口的乘積為一個(gè)常數(shù).這就意味著如果要提升時(shí)間精度就得犧牲頻率精度,反之亦然,故不能在時(shí)間和頻 率同時(shí)到達(dá)很高的精度, 這就給信號(hào)分析處理帶來一定的不便.而HH邙受Heisenberg測(cè)不準(zhǔn)原理制約,它可以在時(shí)間和頻率同時(shí)到達(dá)很高的精度,這使它非常適用于分析突變信號(hào).(

12、4)HHT的瞬時(shí)頻率是采用求導(dǎo)得到的.傅立葉變換、短時(shí)傅立葉變換、小波變換有一個(gè)共同的特點(diǎn),就是預(yù)先選擇基函數(shù),其計(jì)算方式是通過與基函數(shù)的卷積產(chǎn)生的.HH懷同于這些方法,它借助 Hilbert變換求得相位函數(shù),再對(duì)相位函數(shù)求導(dǎo)產(chǎn)生瞬時(shí)頻率.這樣求出的瞬時(shí)頻率是局部性的,而傅立葉變換的頻率是全局性的,小波變換的頻率 是區(qū)域性的.4 HHT存在的問題HHT的關(guān)鍵技術(shù)是 EM防法,然而EMD在以下幾個(gè)困難：1) 包絡(luò)曲線和均值曲線的擬合.Huang的方法在整個(gè)數(shù)據(jù)長(zhǎng)度上采用三次樣條插值擬合包絡(luò)曲線, 在數(shù)據(jù)長(zhǎng)度大且波動(dòng)劇烈的情況下,其計(jì)算量將是很大的,這種方法要占用大量的機(jī)時(shí),實(shí)時(shí)性太差.采用不同的

13、包絡(luò)算法會(huì)產(chǎn)生不同的IMF,如何包絡(luò)算法的優(yōu)劣如何判斷采用某種包絡(luò)算法,EMD收斂的(即經(jīng)過有限次“篩選獲得有限階IMF) ?賀禮平.希爾伯特-黃變換在電力諧波分析中的應(yīng)用研究D.湖南：中南大學(xué),20212) 邊界處理問題.對(duì)有限長(zhǎng)信號(hào)的分析一般都會(huì)遭遇邊界處理問題,如小波分解等.但小波分解中的邊界處理誤差,如果采用直接時(shí)間算法不會(huì)在各小波分量間傳遞,而HHT的分解過程注定了其邊界處理結(jié)果將在分解過程中一直傳播下去,引起結(jié)果的較大擺動(dòng),這就決定了研究HHT邊界處理算法的重要性.3模態(tài)混疊.由于EM協(xié)解過程可解釋為尺度濾波的過程,因此獲得的Ci i 1 n在尺度上表現(xiàn)為從小到大變化,解釋為頻率就

14、是從高頻到低頻的分解過程.但Ci未必嚴(yán)格單調(diào)從小到大變化,可能會(huì)產(chǎn)生尺度交叉現(xiàn)象,其結(jié)果有可能產(chǎn)生尺度混疊的現(xiàn)象.4篩法.篩法是 HHT的核心,它包括兩方面的問題：一是篩法的依據(jù)問題,即篩法有沒有可靠的理論依據(jù),如果篩法沒有將會(huì)導(dǎo)致分析結(jié)果不唯一或者錯(cuò)誤；二是篩法的效率問題,就是要提升篩法的速度.由于Huang等人在提出EMD時(shí)采用的是包絡(luò)線擬合經(jīng)驗(yàn)篩法,每次篩選需要擬合兩條曲線,因而速度慢.提升運(yùn)算速度的一種自然設(shè)想是直接擬合均值曲線,而不通過擬合兩條包絡(luò)線,這樣運(yùn)算量幾乎可以減少一倍,但總結(jié)現(xiàn)有的經(jīng)驗(yàn)篩法,無論是Huang等人提出的連續(xù)均值篩法SM$,還是余泊提出的自適應(yīng)時(shí)變?yōu)V波分解ATV

15、FD和蓋強(qiáng)提出的極值域均值模式分解EMMD,都沒有從理論上說明直接擬合信號(hào)均值曲線的理論依據(jù).Huang本人提出了確定一個(gè)篩分過程停止的準(zhǔn)那么.該條件準(zhǔn)那么可以通過限制標(biāo)準(zhǔn)差的大小來實(shí)現(xiàn),標(biāo)準(zhǔn)差SD通過兩個(gè)連續(xù)的處理結(jié)果來計(jì)算得出:h1 k 1 h1kSD2 h1 k 1 t 0SD稱為篩分門限值,一般取0.20.3.如果SD小于這個(gè)門限值,篩分過程就停止,從而認(rèn)為第一階IMF.而法國學(xué)者Gabriel Rilling等提出中止條件,在我們大多數(shù)人手中的EMD勺程序中,定義函數(shù),emaxemina temaxemin(emax.emin分別為上下包絡(luò)線作為判定是否中止篩選過程的判據(jù).設(shè)定三個(gè)門

16、限值at里面小于1的比率到達(dá)a,且不存在大于 2的值時(shí),中止篩選過程.默認(rèn)值為,1=0.05 ,2=0.5,a =0.95.安懷志.希爾5 HHT是基于EMD勺時(shí)頻分析方法；因而,缺少適宜的方法或準(zhǔn)那么對(duì)其結(jié)果進(jìn)行評(píng)估和判定伯特-黃變換的理論和應(yīng)用的研究D.黑龍江：哈爾濱工程大學(xué),2021.6如何將HHT從一維空間開展到二維空間或者高維空間安懷志.希爾伯特-黃變換的理論和應(yīng)用的研究D.黑龍江:哈爾濱工程大學(xué),2021.a山.Ftp?安懷志.希爾伯特-黃變換的理論和應(yīng)用的研究D.黑龍江：哈爾濱工程大學(xué),20217緬點(diǎn)延拓|可題.文獻(xiàn)譚善文.多分辨希爾伯特-黃Hilbert-Huang變換方法的研究D.重慶：重慶大學(xué),2001在EMD方法的根底上引入了多分辨分析技術(shù),提出了分段IMF,建立了多分辨EMDT法,通過可調(diào)的時(shí)間矩形窗對(duì)信號(hào)進(jìn)行篩分,實(shí)現(xiàn)了信號(hào)的多尺度分解,并且顯著地減小了計(jì)算量,增加了信號(hào)處理的實(shí)時(shí)性,有 效地消除了 IMF中的模態(tài)混疊現(xiàn)象.由于多分辨EMD方法是基于信號(hào)的局部時(shí)間尺度特征的,因此該方法特別適合于分析非線性非平穩(wěn)信號(hào).