山東大學量子力學復習大綱

1、量子力學復習一、關于狀態(tài)1.波函數(shù)及其幾率詮釋i.i.甲x,t與平H,t1.1.1相對幾率密度 1.1.2歸一化、“歸一化到&函數(shù)及箱歸一化1.2 申p,t與平p,t1.3. Q表象中狀態(tài)用列矩陣表達 1.4.右矢W1.5旋雖波函數(shù)wr%；t=*】<%r；tj=ir；t1 2r；t i2 21.5.1電子自旋狀態(tài)的描述1、自旋向上態(tài)«' 1/ ? , 1,2©自旋向下態(tài)J P12<1>1.5.2旋量波函數(shù)1.6多粒子體系波函數(shù)* ££11；"1.6.1非全同粒子體系波函數(shù)-不考慮交換對稱性 1.6.2全同玻色子

2、體系波函數(shù)-粒子交換對稱1.6.3全同費米子體系波函數(shù)-粒子交換反對稱 1.7常用的特殊態(tài)1.7.1(x)1.7.2；產(chǎn)1.7.3無線深方勢阱中的能雖本征函數(shù)n(x) = Jsin, Ox 壬 a - wn(x) = 0, x<0,x?a a a1.7.4 一維線性諧振子能H本征函數(shù)-2v2 /O'n(x) =1一 '/2兒(：x)xn= 1【伽 T)+ Fln+1? n)= -血由 n 1) J I n + 1)1.7.5 l?的本征函數(shù)即平面轉子能雖本征函數(shù)1=eim2-1.7.6 l?2的本征函數(shù)即空間轉子能雖本征函數(shù)Ym("廣 N|mPm(cosu)ei

3、m1.7. 7氫原子能雖本征函數(shù)Llm (,"')= Rl()Ym(L ')W nlmmsr,"氣5=巳|丫業(yè)嘰.ms2.波函數(shù)的標準條件連續(xù)單值有限3.束縛態(tài)與非束縛態(tài) 游離態(tài)、電離態(tài)4.波函數(shù)滿足薛定謂方程仍d!K_M：±"v(x,t)(x,t)：'t2m浦一 = - 史'、知(F,t) v(F,t廣 *,t)：t2m5.定態(tài)與非定態(tài)6. 薛定謂方程的求解6.1能雖本征方程定態(tài)薛定謂方程F?n=E¥ n6.2含時薛定謂方程的特解定態(tài)解中n",t=平nreEM6.3含時薛定謂方程的一般解甲tt=

4、63; Cn甲nre墮"n6.4含時薛定謂方程的定解0滿足 VF, 0=巾 r 的解,Cn =W n* J X dX -oO7. 幾率密度及幾率流密度I i力*枚T= 一胃 " d = Re E.8. 態(tài)疊加原理8.1= ' Cn nn8.2測雖值及相應概率假設*是力學H A具有確定值an的狀態(tài),那么體系處于w =W C«n時 nA 的測值：3, a2 Jll , an,川相應概率-q|2,C22J|,q,2,山8.3波函數(shù)坍縮雖子態(tài)坍縮假設測得A的值為an,那么體系狀態(tài)由甲坍縮至平二、關于力學量1. 力學雖算符1.1用線性厄密算符表示1.2測雖值是算符本

5、征值1.3從經(jīng)典H向H子力學的力學H過渡：先對稱化再H子化2常用力學雖算符2.1坐標算符x2.2動量算符syi2.3角動雖算符"南一,儼=2.4宇稱算符就和粒子交換算符2.4.11?平&=平一內(nèi),即 i?w x, y,z=平x, y, z或!?,6,甲=甲r/ e,兀 + 中2.4.2 P?jr1,iiF,Hirj,iii；t= *iii*iiirbii；t2.5電子自旋算符與泡利矩陣2.6哈密頓算符及能雖本征值一一ln2節(jié)22.6.1無限深方勢阱,分立譜 En = g _22.6.3 一維線性諧振子 =-2.6.2有限深方勢阱,分立譜 +連續(xù)譜 d212 212md? 2m

6、 X,分立譜 En = (n 2南2.6.4 中央力場 H?=-=£(r2£) + = +V(r) 2mr r r 2mrR 2l e2 _ 一, r ,Eie2分立譜+連續(xù)譜弟e413.6 “ey2 222n n2.6.5 氫原子 - - 2mr2 疽濟)* 2mr3. 算符代數(shù)3.1根本對易關系七,飾=訪8邵3.2算符恒等式3.3常用對易關系3.3.1 l?, y=布乙3.3.2l?, ?y = i/i?z,333i? i?=洌?.f f = i/jf3.3.3 x, y z,； IF3.3.4 x, ?n = ni沛x, f?(x, ?) = #?F3.3.5 ?,x

7、n =-ni/jxn, ?, f?(x, ?) =-iZx4. 力學雖平均值4.1 F = (?,f?)或巨=(平,時)/.,平)4.2假設FUn =,將甲按F的正交歸一化的本征函數(shù)系吊展開w =44+a2u2 +山,那么平均值 F = |a2 匕+辰2 f2+|ll = £ ©n2fn2anfnan5. 厄密算符本征函數(shù)的性質(zhì)QO5.1 正交性 J U；(X)Un(X)dX = &mn-cO i5.2 完備性 W(r,t)=2： Cn(t)Un(r)n5.3 封閉性 £ u；(x)Un(x') = 6(x-x')n6. A,B=o= &a

8、mp;E有共同的本征函數(shù)系&,由=o且系統(tǒng)處于&甘的共同本征態(tài),那么AE同時有確定值7. 不確定度及不確定度關系4= JA _ A)2 = A 2A 21 c cIAAAB 芝一R, B ,AEAt 芝業(yè)2 '28. 力學雖平均值的時間變化率牛=土 帝dt fl9. 守恒雖10. 兩個角動雖的耦合H- 2,1 J-I 2111 ,廣 2二、表象理論1. Q表象中1態(tài)矢雖用列矩陣表示2. Q表象中力學雖用厄密方陣表示3. 表象變換矩陣為幺正矩陣 S3.1 Smn =老 m 新 n3.2新表象基矢在老表象中的列矩陣按列排起來4. 表象變換4.1 ,= S4.2 F '

9、; = S FS5. 狄拉克符號5.1狀態(tài)|甲)5.2內(nèi)積叩)5.3算符卜)也6. 用狄拉克符號表達的公式6.1 正交歸一mn) =、n6.2 完備性 £ |n)(n =1n6.3薛定謂方程海上/ =召叩),4 甲 n)=E )n -16.4平均值F = V述平)7. 平(x)=")四、近似方法1.定態(tài)非簡并能級微擾仟,.(0) = E；" ；0)Ek HnkE=(0) .Hnk .(0)一 k匚(0) _ 1=(0) nn 次 EkEn毛0) Hkk '、n=k(0)(0)k - En2.定態(tài)簡并能級微擾二 1,2,川-c2- 20)fH"E H；2IIIH；nnoH2iH-E III