實數(shù)知識點+題型歸納

1、有理數(shù).甬限小數(shù)或循環(huán)小數(shù)分數(shù).實數(shù)/無限不循環(huán)小數(shù)三、平方根與立方根第六章實數(shù)知識講解+題型歸納知識講解實數(shù)的組成正整數(shù)整數(shù)零 負整數(shù) 正分數(shù) 負分數(shù)J正無理數(shù)負無理數(shù)1、實數(shù)乂可分為正實數(shù),零,負實數(shù)2. 數(shù)軸：數(shù)軸的三要素原點、正方向和單位長度.數(shù)軸上的點與實數(shù)對應、相反數(shù)、絕對值、倒數(shù)1. 相反數(shù)：只有符號不同的兩個數(shù)互為相反數(shù).數(shù) a的相反數(shù)是-a.正 數(shù)的相反數(shù)是負數(shù),負數(shù)的相反數(shù)是正數(shù),零的相反數(shù)是零 .性質(zhì)：互 為相反數(shù)的兩個數(shù)之和為0.2. 絕對值：表示點到原點的距離,數(shù) a的絕對值為| a|3倒數(shù)：乘積為1的兩個數(shù)互為倒數(shù).非0實數(shù)a的倒數(shù)為1 . 0沒有倒 a數(shù).4相反數(shù)

2、是它本身的數(shù)只有0;絕對值是它本身的數(shù)是非負數(shù)0和正數(shù)； 倒數(shù)是它本身的數(shù)是土 1.1. 平方根：如果一個數(shù)的平方等丁 a,這個數(shù)叫做a的平方根.數(shù)a的平方根記傕揭a>=0特性：一個正數(shù)有兩個平方根,它們互為相反數(shù),零的平方根還是零.負數(shù)沒有平方根.正數(shù)a的正的平方根也叫做a的算術(shù)平方根,零的算術(shù)平方根還是零.開平方:求一個數(shù)的平方根的運算,叫做開平方.2. 立方根：如果一個數(shù)的立方等丁 a,那么稱這個數(shù)為a立方根.數(shù)a的 立方根用石表小.任何數(shù)都有立方根,一個正數(shù)有一個正的立方根；一個負數(shù)有一個負的立方根,零的立方根是零.開立方：求一個數(shù)的立方根三次方根的運算,叫做開立方.四、實數(shù)的運

3、算有理數(shù)的加法法那么：a同號兩數(shù)相加,取相同的符號,并把絕對值相加；b異號兩數(shù)相加.絕對值相等時和為 0;絕對值不相等時,取絕對值較大的數(shù)的符號,并用較大的絕對值減去較小的絕對值. 任何數(shù)與零相加 等丁原數(shù).2. 有理數(shù)的減法法那么：減去一個數(shù)等丁加上這個數(shù)的相反數(shù).a-b = a+-b3. 乘法法那么：a兩數(shù)相乘,同號得正,異號得負,并把絕對值相乘；零乘以任何數(shù)都 得零.b 幾個不為0的有理數(shù)相乘,積的符號由負因數(shù)的個數(shù)決定,當負因數(shù) 的個數(shù)為奇數(shù)時,積為負,為偶數(shù),積為正c 幾個數(shù)相乘,只要有一個因數(shù)為 0,積就為04. 有理數(shù)除法法那么：a 兩個有理數(shù)相除除數(shù)不為0同號得正,異號得負,并

4、把絕對值相 除.0除以任何非0實數(shù)都得0.b除以一個數(shù)等丁乘以這個數(shù)的倒數(shù).5. 有理數(shù)的乘方：在an中,a叫底數(shù),n叫指數(shù)a 正數(shù)的任何次籍都是正數(shù)；負數(shù)的偶次籍是正數(shù),奇次籍是負數(shù)；0的任何次籍都是0ba0=1 a不等丁 06. 有理數(shù)的運算順序：a同級運算,先左后右b混合運算,先算括號內(nèi)的,再乘方、開方,接著算乘除,最后是加減.五實數(shù)大小比較的方法1數(shù)軸法：數(shù)軸上右邊的點表示的數(shù)總大丁左邊的點表示的數(shù)2比差法：假設(shè) a-b>0 那么 a>b;假設(shè) a-b<0 那么 a<b;假設(shè) a-b=0 那么 a=b3 比商法：A.兩個數(shù)均為正數(shù)時,a/b>1那么a>

5、;b; a/b<1那么a<bB.兩個數(shù)均為負數(shù)時,a/b>1那么a<b; a/b<1那么a>bCl正一負時,正數(shù) >負數(shù)4 平方法：a、b均為正數(shù)時,假設(shè)a2>b2,那么有a>b;均為負數(shù)時相反5倒數(shù)法：兩個實數(shù),倒數(shù)大的反而小不管正負題型歸納經(jīng)典例題類型一.有關(guān)概念的識別e 1 31 .下面幾個數(shù):0.1 23 , - VO 064 , 3兀,7,點,其 中,無理數(shù)的個數(shù)有A、 1B、 2C、 3D、 4,3兀,必是無理數(shù)應選C舉一反三：【變式1】以下說法中正確的選項是A、J前 的平方根是土 3 B、1的立方根是土 1 C、/ =

6、7; 1D、一右是5的平方根的相反數(shù)【答案】此題主要考察平方根、算術(shù)平方根、立方根的概念,.1的立方根是1 , 都不正確.=1,一名是5的平方根,B、C、D面 =9, 9的平方根是土 3,.A正確.【變式2】如圖,以數(shù)軸的單位長線段為邊做一個正方形,以數(shù)軸的原點為圓心,正方形對角線長為半徑畫弧,交數(shù)軸正半軸于點A,那么點A表示的數(shù)是()"個I/ I 旨101 A 21A、1 2B、1.4C、也D、名【答案】此題考察了數(shù)軸上的點與全體實數(shù)的一一對應的關(guān)系. .正方形的邊長為1,對角線為由圓的定義知|AO|=J,.A表示數(shù)為也,應選C.【變式3】辰奇+聲苛【答案】兀=3.1415 . 9

7、 V3 兀 V 10因此3兀-9> 0, 3兀-10 v 0J(3t-9)2+7(3z-10)2 =| 3ti-9 | +1 3ti-10 |= 371-9-(3ti-10) = 1.類型二.計算類型題2.設(shè)插二.,那么以下結(jié)論正確的選項是()A. ' : -.； -.J .B. : II : JC. :' J : IID. ' II". :-解析：(估算)由于5二炳描,所以選B舉一反三：【變式1】1) 1.25的算術(shù)平方根是 方根是 .2-27 立方根是). E -士、儷=w -., V5 32【答案】1)2；2 .2)-3. 3) 2,土13 ,3【

8、變式2】求以下各式中的(1) 了二25 (了一1)' = 9亍=-64【答案】(1) 1 =(2) x=4 或 x=-2 (3) x=-4類型三.數(shù)形結(jié)合3.點A在數(shù)軸上表示的數(shù)為&E ,點B在數(shù)軸上表示的數(shù)為 一后,那么A, B兩點的距離為解析：在數(shù)軸上找到A、B兩點,推卜舉一反三:【變式1】如圖,數(shù)軸上表示1,也 的對應點分別為A, B,點B關(guān) 于點A的對稱點為C,那么點C表示的數(shù)是().(1)| -1.4? |(2) | 兀-3.142|(3) | 屈4|(4) |x-|x-3| (x < 3)(5) |x 2+6x+10|A.也1 B.【答案】選CC. 2也 D.

9、分析：要正確去掉絕對值符號,就要弄清絕對值符號內(nèi)的數(shù)是正數(shù)、 負數(shù)還是零,然后根據(jù)絕對值的定義正確去掉絕對值.解：(1) n =1.414 < 1.42| ' -1.4 |=1.4 一 - (2) .兀=3.14159< 3.142二 |兀-3.142|=3.142-兀變式2實數(shù).、&、在數(shù)軸上的位置如下列圖:(4) . x< 3,x-3 < 0,. |x-|x-3|=|x-(3-x)|rnj化簡-+c-b-a+b-a-c-b【答案】:一：L=|2x-3| =類型四.實數(shù)絕對值的應用4 .化簡以下各式:說明：這里對|2x-3|的結(jié)果采取了分類討論的方法,

10、我們對以|=> 0)廠成況< °)這個絕對值的根本概念要有清楚的熟悉,并能靈活運用.(5) |x 2+6x+10|=|x 2+6x+9+1|=|(x+3) 2+1|由(3)得a>-7, . . a=-7不合題怠舍去.只取a=7.(x+3)2 > 0,(x+3)2+1 > 0. .|x2+6x+10|= x 2+6x+10把 a=7 代入(1)得 b=3a=21 a=7, b=21 為所求.【變式1】化簡：將,2啊+|外用-阡而|阡2邛任+阿-阡后吏項 +K+w【變式 1 】(x-6) 2+包)+|y+2z|=0,求(x-y) 3-z3 的值.解：(x-6

11、) 2+1""-« . +|y+2z|=0類型五.實數(shù)非負性的應用且(x-6) 2A 0,A0, |y+2z| >0,幾個非負數(shù)的和等于零,那么必有每個加數(shù)都為0.5.： 血日 =0,求實數(shù)a, b的值.分析：等式左邊分母 扁再不能為0,只能有據(jù)育>0,那么要求a+7>0,分子 也-b +|a2-49|=0,由非負數(shù)的和的性質(zhì)知：3a-b=0且a2-49=0 ,3a - d = 0 (x-y) 3-z3=(6-2) 3-(-1) 3=64+1=65由此得不等式組a -4? =0"'罰從而求出a, b的值.【變式2】-2 + 0+

12、5)+|c+l|=.那么a+b-c的值為解：由題意得3a - & = 0(1)4疽-49制(2)a + 7>0.,j(勾【答案】初中階段的三個非負數(shù)：&蘭.,a=2,b=-5,c=-1; a+b-c=-2由(2)得 a2=49 二 a=± 7類型六.實數(shù)應用題C6 .有一個邊長為11cm的正方形和一個長為13cm,寬為8cm的矩 形,要作一個面積為這兩個圖形的面積之和的正方形,問邊長應為多少cm.解：設(shè)新正方形邊長為 xcm,根據(jù)題意得x 當拼成的這個大正方形邊長比中間小正方形邊長多3cm時,大正方形的面積就比小正方形的面積多24cm2,求中間小正方形的邊長.=

13、ii 2+13 x 8 -x2=225x= 土 15.邊長為正,x=-15不合題意舍去,. .只取 x=15cm答：新的正方形邊長應取 15cm.舉一反三：【變式1】拼一拼,畫一畫： 請你用4個長為a,寬為b的矩形拼成一個 大正方形,并且正中間留下的空白區(qū)域恰好是一個小正方形.4個長方形拼圖時不重疊2a-h,所以面積為=.一句 一大正方形的面積 =.+可,一個長方形的面積=d.所以,：" '計算中間的小正方形的面積,聰明的你能發(fā)現(xiàn)什么 =a2 + 2ab+b2答：中間的小正方形的面積 卜折,發(fā)現(xiàn)的規(guī)律是：.+8二.'+ 2曲+臚或g-礦二瀝+臚2v大正方形的邊長： 浦

14、 ,Y小正方形的邊長：a-b,即26 = 3 , 6 = 1.5文:大正方形的面積比小正方形的面積多24 cm2所以有,| - -化簡得：'北 -'I解析：1如圖,中間小正方形的邊長是:將b-1.5代入,得：白二4hM4-L5=25 cm答：中間小正方形的邊長 2.5 cm.類型七.易錯題乙判斷以下說法是否正確(1 )(3)的算術(shù)平方根是-3 ;(2) 1云的平方根是土 15.(3) 當 x=0 或 2 時,一 Jx - 2 二.(4) 2 是分數(shù)解析：(1)錯在對算術(shù)平方根的理解有誤,算術(shù)平方根是非負數(shù).故1 =屈3(2) 表示225的算術(shù)平方根,即 J矛 =15.實際上,此題是求15的平方根,故厄!的平方根是士把.(3) 注意到,當x=0時,2 頊-2二4 ,顯然此式無意義,發(fā)生錯誤的原因是無視了 “負數(shù)沒有平方根,故*豐0,所以當 x=2 時,xJ" 2 =0.也(4) 錯在對實數(shù)的概念理解不清.2形如分數(shù),但不是分數(shù),它 是無理數(shù).類型八.引申提升8. (1)的整數(shù)局部為a,小數(shù)局部為b,求a2-b2的值. 1 1(2)把以下無限循環(huán)小數(shù)化成分數(shù)： 0.6.230107(1) 分析：確定算術(shù)平方根的整數(shù)局部與小數(shù)局部,首先判斷這個算術(shù)平 方根在哪兩個整數(shù)之間,那么較小的整