分?jǐn)?shù)的拆分問(wèn)題講義

1、方法一、將分子，分母數(shù)字較大的采用“等值放大”分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)例1分?jǐn)?shù)8的分子加上9，要使分?jǐn)?shù)值不變，分母要擴(kuò)大多少倍 分析：8 =8(+9)，分子增加3倍，說(shuō)明分子擴(kuò)大了 4倍，分母也要增加 3倍或擴(kuò)大4倍。8 8+()拓展：分?jǐn)?shù)的分子加上8，要使分?jǐn)?shù)值不變，分母要擴(kuò)大多少倍1543例2、分?jǐn)?shù)7的分子和分母都加上一個(gè)數(shù)，得到的新分?jǐn)?shù)化簡(jiǎn)以后是 -，求分子和分母都加上的這個(gè)數(shù)是幾3分析：方法一試一試：將3的分子、分母同時(shí)擴(kuò)大相同的倍數(shù)43 6912154= 用這些分?jǐn)?shù)的分子、分母與的分子、分母相減，結(jié)果相同的就是。4 812162072439416方法二先觀察下面的幾組等式：-=36515312

2、a d交叉相乘可以發(fā)現(xiàn) 3X 4=2X 6 5 X 9=3X 15 4 X 12=3X 16,因此我們得出這樣一個(gè)結(jié)論，當(dāng)= 時(shí)，ab cX c=b X do解：設(shè)分子和分母都加上的這個(gè)數(shù)為x，根據(jù)題意可得：4+x_ 37+x= 4(4+x)X 4=(7+x) X 316+4x=21+3xX=21-16X=5方法三：【利用分母與分子差不變】3，求分子和分母都加上的這個(gè)數(shù)是幾11拓展：分?jǐn)?shù)的分子和分母都加上一個(gè)數(shù)，得到的新分?jǐn)?shù)化簡(jiǎn)以后是41原來(lái)相差30加同樣的數(shù)還是相差 30但新數(shù)相差為5,必須5X 6 =30例3: 個(gè)分?jǐn)?shù)，分子比分母大20, 如果分子減去6,得到新分?jǐn)?shù)約分后等于1彳，求原分?jǐn)?shù)

3、。方法：【利用分母與分子差不變】31例4、一個(gè)分?jǐn)?shù)，如果分子加上 1,就變成4，如果分子減去1，就變成-，那么原來(lái)的分?jǐn)?shù)是多少看分子減2倍 可以不可以變成1/2方法二、通分4 1拓展：一個(gè)分?jǐn)?shù)，如果分子加上1,分母減去1,就變成三，如果分子減去1，分母加上1，就變成75 2分?jǐn)?shù)是多少將分子，分母數(shù)字較大的采用“等值放大”將分子，分母數(shù)字較小的數(shù)，變成分子比第一個(gè)數(shù)小 2,分母比第一個(gè)數(shù)大 2方程法：23一個(gè)分?jǐn)?shù)，如果分母減去 2,就變成3，如果分母加上5，就變成8，那么原來(lái)的分?jǐn)?shù)是多少方法一、等值放大兩數(shù)分母相差7方法二、通子3一個(gè)分?jǐn)?shù)，如果分母減去 4,就變成1，如果分子減去2,就變成5，那

4、么原來(lái)的分?jǐn)?shù)是多少將分子，分母數(shù)字較大的采用“等值放大”將分子，分母數(shù)字較小的數(shù)，變成分子比第一個(gè)數(shù)大 2,分母比第一個(gè)數(shù)小 41 例5、一個(gè)分?jǐn)?shù)，分子分母的和是122,如果分子分母都減去 19，得到是新分?jǐn)?shù)化簡(jiǎn)后是 -,5求原來(lái)的分?jǐn)?shù)是多少利用和變拓展：55亠4、分?jǐn)?shù)的分子減去某數(shù)，而分母同時(shí)加上這個(gè)數(shù)后，所得的新分?jǐn)?shù)化簡(jiǎn)后為，求某數(shù)是多少6413利用和不變例6 一個(gè)分?jǐn)?shù)，如果分子加上16,分母減去166，那么約分后是 -，如果分子加上124,分母加上4那么原來(lái)的340,那么約1分后是-。求原分?jǐn)?shù)是多少2用方程組分?jǐn)?shù)的拆分問(wèn)題一、分?jǐn)?shù)拆分的初步知識(shí)拆分主要有以下幾個(gè)步驟：把的分母寫(xiě)成質(zhì)因數(shù)乘

5、積的形式4即：;蘭召斟巴召的分子和分母同吋乘以5成為占鼻的形石式，這 叫做擴(kuò)分。注意：為什么要乘以5因?yàn)?正好是分母6的兩個(gè)質(zhì)因數(shù)的和。把分子拆成分母的兩個(gè)質(zhì)因數(shù)的和，再拆成兩個(gè)分?jǐn)?shù)的和。即：1X52 + 3232x3x52x3x52X3X52X3X5把拆開(kāi)后的兩個(gè)分?jǐn)?shù)約分，化成最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù) 例1填空：丄=八十丄，并寫(xiě)岀過(guò)程1_：_ X9 _2十？142><72x7x92X7X9_ 1 1 11_ H * 2X9帀坨事實(shí)上，我們把分母分解質(zhì)因數(shù)后，可以得到這個(gè)分母的不同的約數(shù)，只要把分子、分母 都乘以這個(gè)分母的任意兩個(gè)約數(shù)的和，就可以把一個(gè)分?jǐn)?shù)拆成兩個(gè)分?jǐn)?shù)的和。9、18,取不同的兩個(gè)約

6、數(shù)的和，可以得到例2填空,存古占解: 18分解質(zhì)因數(shù)后共有六個(gè)約數(shù)：1、2、3、6、 不同的解。如：丄=1X(H2) 丄十=丄+丄nU1S 二 13X(1 + 23 = 54 + 54427存IX (2+ 3518. (2+ 3) 2一 +90311M斗9045 30丄=lx(3 + 6) 361 1 + 18X(3+6)16S16251271冥(6 + 9) 69F=1 1+1SlSX(6 + 9)27027045 30® =1X(9十適918-* 1 1=+1818X(9 + 18)4864865427可以看出，由于每次所選用的兩個(gè)約數(shù)不同，所得的解也不相同。但是當(dāng)選用的四個(gè)約數(shù)

7、成比例時(shí)，它們的解就相同。如：選用 1和2, 3和6, 9和18；或選用2和3； 6和9時(shí)，解 就相同。、把一個(gè)分?jǐn)?shù)拆成幾個(gè)分?jǐn)?shù)的和以上拆分的方法同樣也適用于把一個(gè)分?jǐn)?shù)拆成三個(gè)或三個(gè)以上分?jǐn)?shù)的和例唇卜+F 解：18的約數(shù)有1、2、3、6、9、18?？梢匀我馊∑渲腥齻€(gè)約數(shù)，得到不同的解。108 100 108 丄_ 1艾(1廣2嚴(yán)耳12= 18X (1 + 2 + 3)1 1 1=+ + 51CJS 刃 36 1 _ 1X(2匕尢)18 18X(2 + 3 + ® 1船 15S1981 1 14 + 9966331X(143 + 6)12X (1 + 36)13611ISO 130 I

8、SO1 1 1Tso + 60+30答案不只一種三、把一個(gè)分?jǐn)?shù)拆成兩個(gè)分?jǐn)?shù)的差能不能把一個(gè)分?jǐn)?shù)拆成兩個(gè)分?jǐn)?shù)差的形式呢觀察下面的分?jǐn)?shù)運(yùn)算，看左右兩邊有什么關(guān) 系。1 11111X2 '21221111 _12><3623 -61 111 _13X4 =123A 12由上面的例子可知！當(dāng)一個(gè)分?jǐn)?shù)為比時(shí),&為自然數(shù))，可n x (n + 1)拆分為-4?的形式。即：勻公式dii n+1i例4填空丄6()(c 11 |56 t ) ( )!解卜蕓r !；丄二亠.二丄.丄O62X323123X4? 41 1 _ 1 _ 156 ' 7X8 78觀察下面幾個(gè)分?jǐn)?shù)的運(yùn)算，

9、左右兩邊有什么關(guān)系5511U-ll5UXU一 176TF1617617&66 3i18-2632XS16_ 828 _詢16_ 822119-727X95375363以上每個(gè)分?jǐn)?shù)的分子d都是分母中兩個(gè)因數(shù)的差。當(dāng)n、n+d,都是自然數(shù)時(shí)，沖可臥轉(zhuǎn)化為兩個(gè)分?jǐn)?shù)相減的形式。即，Il X （n + dj當(dāng)d=1時(shí)，公式（2）則轉(zhuǎn)化為公式（1）。利用公式（2）可以把 差的形式。例5把下面各分?jǐn)?shù)寫(xiě)成兩個(gè)分?jǐn)?shù)差的形式。（1） A（2）A（3）（4）些分?jǐn)?shù)拆成兩個(gè)分?jǐn)?shù)解 CD = -_=243X838© 284X?47么丄丿丄637X979182X92?邛話丄弓可推導(dǎo)也x (n + dj

10、a n + d 亠(Dti (n + d) d xn n + <1由公式女口: 一 X 一 j圧245'±4x632 ±=lx(l-l)8; 28 3 4 7X X 18 7 2 T觀察下面等式，左右兩邊有什么關(guān)系。1 1 r1 . 11X2X3 " 61 12X34 = 241 _ 13X4X5 *601 1x(2 hx2 2X31 1 1 x r2 k1x(2><33址4241 1 160通過(guò)上面算式，可以得出這樣的結(jié)論:1丄1- 1 nK(ti 十 1)X (血十 2)2LnX (n + 1)(n + 1) X(n 2)JCQ 式4

11、）1 1 1 1 161X2X32 T *1 1 111242x3x42 v6 1271 1 111603XX521220J由此可知，一個(gè)分?jǐn)?shù)可以根據(jù)需要拆成兩個(gè)或若干個(gè)分?jǐn)?shù)的和或兩個(gè)分?jǐn)?shù)的差的形式。 四、拆分方法在分?jǐn)?shù)加法運(yùn)算中的應(yīng)用膵計(jì)算卜卜卜護(hù)存君J 4 J J V J t J 1,11111114 4 5 5 6 6 71.1； J_ 1 1=1'2+2"3+31 6 =1 一 一 =77例6計(jì)算:1 1,1,1 1932 15S9 * 1939X1390 十 1990X193? + 1991解前三個(gè)分?jǐn)?shù)相加，可直接寫(xiě)成爲(wèi)-點(diǎn)lyda iyy 1厚式!+:-.-158

12、S199119911988例孑 12X14 + 14 xi< 16X1813X2020解：由公式（2）'1 I 11各丿十(花亠祁+(花一 20 11111_|_1_ * 12141-416 1618 18 20 20112原式二存令十&召11111+ 2011 1 ( 11x5 + pF? + ?X13 4 1 芥 17117X21解：由公式（3）原式-1=X4=lx421 21例9計(jì)算:1 + + 3 + 1 + 2 + 3+4十*+1 + 2 + 3>-'- +50解：由等差數(shù)列求和公式得:1+2 + 3+n X (fi + 1)比沈(扛士1-2X由此

13、，本題中的各個(gè)分?jǐn)?shù)可以拆分為:因此，本題解法如下:111111 .X () () +4 *9 1? 417J1 I+十13171721原式= W2X(-) + 2X= . "2 3 3 44 524949+ F十話1可1 1 1 1(亍一我十磔(彳工)卄十2贛11111 1 1” + ” 4+-)50 5*驅(qū)計(jì)算卜卜存右解根據(jù)公式卜卜嚶廠左)=-x(2422X3 3X4J丄丄丄亠6027" 仆5原式=丄 X ()中丄 X () + -X(J十2 1X 22X32 2XH 3X423X44 XV 40=乂 (+ + 2 HX2 2X32X33X43X4 4X5J 401 一1

14、X111112 20740440404例11計(jì)算1丄1114x5x6 5XX76X7X8 7X8X993x99x100解：根據(jù)公式(4)百十】一 11111112 V4X5 5X6 5X6 6X? 6X7 7XS 7X81 1 1 ,93X9599乂1渝,1 ； 1 125 9910(/40 198D04M247'198QQ 9S0C加求舲歸1嘉梟梟弟弟的和解：先把同分母的分?jǐn)?shù)相加，看看有什么規(guī)律。1 211+2+14、 十 十 = = =2 2222123211+2十了才2十19r3 333 3331 2 33 2 1 1 + 2 + 3 + 4 + 3 + 2 + 1-J- 一 十一+ 十一十一+ W 4 4 4 4 4 4 4416上面三個(gè)算式表明，分母是2、3、4的如上面這樣的算式，它們的和分別是 2、3、4。由 此可以推出，分母為K的如上面的算式，所有的分?jǐn)?shù)的和等于 K。所以， 原式=2+3+4=9 例13計(jì)算112111991 19901丄 Js & 亠電.土i * 丄厶厶 1士 2 2 219911991 199?1991解：可以利用例12所得出的結(jié)論以及等差數(shù)列求和公式進(jìn)行計(jì)算。原式=1+2+3+1991=(1+199