積分的變換原理

1、§5.4  定積分的換元法一、換元公式【定理】若1、函數(shù)在上連續(xù)；2、函數(shù)在區(qū)間上單值且具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)；3、當(dāng)在上變化時(shí)，的值在上變化，且 ，  則有                          (1)證明：(1)式中的被積函數(shù)在其積分區(qū)間上均是連續(xù)， 故(1)式兩端的定積分

2、存在。且(1)式兩端的被積函數(shù)的原函數(shù)均是存在的。假設(shè)是在上的一個(gè)原函數(shù)，據(jù)牛頓萊布尼茲公式有另一方面， 函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為這表明： 函數(shù)是在上的一個(gè)原函數(shù)， 故有：從而有    對(duì)這一定理給出幾點(diǎn)注解：1、用替換，將原來(lái)變量代換成新變量后，原定積分的限應(yīng)同時(shí)換成新變量的限。求出的原函數(shù)后，不必象不定積分那樣，將變換成原變量的函數(shù)，只需將新變量的上下限代入中然后相減即可。2、應(yīng)注意代換的條件，避免出錯(cuò)。(1)、在單值且連續(xù)；(2)、3、對(duì)于時(shí)， 換元公式(1)仍然成立。 【例1】求  【解法一】 令 當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，。又當(dāng)

3、  時(shí)，有 且變換函數(shù) 在上單值，在上連續(xù)，由換元公式有 【解法二】令 當(dāng)時(shí)， ；  當(dāng)時(shí)， 。又當(dāng)時(shí)， ，且變換函數(shù)在上單值， 在上連續(xù)，由換元公式有注意：在【解法二】中，經(jīng)過(guò)換元，定積分的下限較上限大。換元公式也可以反過(guò)來(lái)， 即【例2】求解：設(shè)，當(dāng) 時(shí)，；當(dāng)  時(shí)， 一般來(lái)說(shuō)，這類(lèi)換元可以不明顯地寫(xiě)出新變量，自然也就不必改變定積分的上下限。二、常用的變量替換技術(shù)與幾個(gè)常用的結(jié)論【例3】證明1、若在上連續(xù)且為偶函數(shù)，則2、若在上連續(xù)且為奇函數(shù)，則證明：由定積分對(duì)區(qū)間的可加性有  對(duì) 作替換  得故有若為偶函數(shù)， 則 若為奇函數(shù)， 則  【例4】若在上連續(xù)， 證明：1、2、并由此式計(jì)算定積分   1、證明：設(shè) ， 2、證明： 設(shè) ，    【例5】求 解：令