2020-2021【名校提分專用】年高考數(shù)學(xué)25個(gè)必考點(diǎn)專題04導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算及幾何意義檢測(cè)

1、最新人教版試題專題04導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算及幾何意義鞏固訓(xùn)練一、基礎(chǔ)過(guò)關(guān)題1. (2018全國(guó)卷III )曲線y = (ax+1)ex在點(diǎn)(0, 1)處的切線的斜率為一2 ,則 a =.【答案】-3【解析】y =aex(ax+1)ex,則 f'(0) =a + 1 = -2 ,所以a = -3.2. (2016 四川)已知a為函數(shù)f(x)=x312x的極小值點(diǎn)，則 a等于()A. 4 B. 2 C.4 D . 2【答案】D【解析】二,員工)二好一 12Xj /./(x)=3x2 - 12,令八工)=0,得工1 = -2,xi-2.當(dāng)工(一9-2)f (2, +句時(shí), 了(工方0, 則肘力單調(diào)遞增

2、3當(dāng)，El2時(shí)，工)<o,則翔o單調(diào)遞減,，段)的極小值點(diǎn)為月工1 23. (2017 哈爾濱倜研)函數(shù)f(x)=2x ln x的最小值為(). 1 ,A. 2 B . 1 C . 0 D .不存在【答案】A一一 ,1 x2 1 一【解析】 f (x) =xx = -x-且 x>0.令 f ' ( x)>0 ,得 x>1.令 f ' ( x)<0 ,得 0<x<1.11f (x)在x= 1處取得極小值也是最小值，f(1) =2ln 1 =-.4.方程x36x2+9x10=0的實(shí)根個(gè)數(shù)是()A. 3 B . 2 C . 1 D . 0【答

3、案】C322【解析】 設(shè) f (x) =x 6x + 9x10,貝U f ( x) =3x 12x+9= 3(x1)( x3),由此可知函數(shù)的極大值為 f(1)=6<0,極小值為f(3) =- 10<0, 32所以萬(wàn)程x -6x +9x-10=0的實(shí)根個(gè)數(shù)為1,故選C.5.當(dāng)x -2,1時(shí)，不等式ax3 x2+4x + 3>0恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()一一一一一一 9_A. 5, 3BJ. -6,-8C. -6, - 2D. -4, - 3【答案】 C4111【解析】當(dāng)正電1時(shí)， 3(y)- - 4(-)-+ ,AA A令 則正口，+元)，花3# 令gO)=-3F4尸+

4、 h在11+二)上，(gb gf)單調(diào)遞遍，所以g(93 = gf 1=一白，因此g一3同理，當(dāng)工-2時(shí)，得在一工由以上兩種情況得-6WW -乙顯然當(dāng)A-0時(shí)也成立3故實(shí)數(shù)1的取值范圍為一36 .已知f(x), g(x) ( g(x) W0)分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，當(dāng) x<0時(shí),f' ( x) g(x)<f (x) g' (x),且 f ( 3) =0,則 f-x<0 的解集為()g xA. ( 8, 3) u (3 , +oo)B. ( -3,0) U (0,3)C. ( -3,0) U (3 , +8)D. ( 8, - 3) U (0,3)【答

5、案】Cf x【解析】由已知得， 是奇函數(shù)，g x當(dāng) x<0 時(shí)，f ' (x)g(x)<f(x)g' (x),f x 1 _ fl x g x f x gl一 b x j =g2 x<0,則在(-°0,0)上為減函數(shù),在(0 , +8)上也為減函數(shù). if -3 f 3又 f ( - 3) = 0, 則有 g 口一= 0 = g一§ 一,一，f x，一八.，可知<0的解集為(3, 0) U (3 , +8).故選C.g x7 .若函數(shù)f(x)=2x+ sin x對(duì)任意的 mC 2,2 , f(mx- 3) + f (x)<0恒成

6、立，則x的取值范圍是.【答案】（3,1）【解析】 因?yàn)?依）是R上的奇函數(shù)，/（x）=24-cosiX,則.20在定義域內(nèi)為增函數(shù)，所以為世-3）+r）0可變形為貝唯- 3）酸一%），所以痛一火-兀,符其看作關(guān)于明的一次圖數(shù)，貝|烈用）=k即-3+.陰 - 2金卜可得當(dāng)用q-22時(shí),田府0恒成立.第2）0,另一2Rb解得一3xcl.8 . （2018高考江蘇卷）若函數(shù)f（x） = 2爐-口/+19e R）在（仇斗8）內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，則功在- L1上的最大值與最小值的和為 .【答案】【解析】解：二函數(shù)八刈二2-口/ + 19毛均在。,+ 8）內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn)， rO） = 2x（3x-G,

7、 xW（0, + s）,】當(dāng)口 M0時(shí)，F(xiàn)=2猶3#-口）0,函數(shù)“6在。，斗8）上單調(diào)遞增，=/（X）在（出+ 8）上沒(méi)有零點(diǎn)，舍去；a當(dāng)口0時(shí)，門(mén)口=2網(wǎng)3，-必0的解為“3口.仃*（°G）（孑+ 8）在 “上遞減，在* 遞增，又/Q）只有一個(gè)零點(diǎn)，a C? f （_） ; + 二 0327,解得”3, 人力=2/-#十1 F=皿k-1） x£-l刀r （行o的解集為（-1.0）“幻在（-L0）上遞增，在（0J）上遞減，f（-1）=-4 /（0） = 1 /=。 ? ? ?“代分叫=/（ - 1）="4 f口皿= f（0）= 1 ? ?二鹿，）在-L1上的最大

8、值與最小值的和為：；+ 八），,血 一 4 +1 :推導(dǎo)出/ 3 =陽(yáng)3天-磯x£(O, + s),當(dāng)0EO時(shí)/=2雙, f(O) = l /在a一 盤(pán)X > (°L)(0,+ 8)上沒(méi)有零點(diǎn)；當(dāng)4 時(shí)，rt» = 2工(3”口)。的解為3,寅功在3上遞減，在aq' + s)遞增，由f(x)只有一個(gè)零點(diǎn)，解得0 = m,從而f(切=工- 3,十l,r(K)= 6x(x-l), x£-Ll,利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出 /(幻在-L1上的最大值與最小值的和.本題考查函數(shù)的單調(diào)性、最值，導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算及其應(yīng)用， 同時(shí)考查邏輯思維能力和綜合應(yīng)用能力，是中檔題.

9、9.設(shè)函數(shù)f(x)=aln xbx2(x>0),若函數(shù)f(x)在x=1處與直線y= g相切.求實(shí)數(shù)a, b的值；1(2)求函數(shù)f(x)在-,e上的最大值. eai1【答案】(1) 11(2) f (x)max= f(1) =-T.，=2.2【解析】 11(W)弋 2 ,K ,.函數(shù)貢用在x= 1處與直線J =1相切,F 26=0, 解得11 1一工：由知八軟尸Ex-尹，2=1工當(dāng)與0時(shí)，令/(工)>0,得乂正1? CC令了(工)<0,得上意)在1)上單調(diào)遞僧，在U,寸上單調(diào)遞減，.灰)3=1/(1)= 一 1二、能力提高題1. (2016 郴州模擬)定義在R上的函數(shù)f(x)滿

10、足：f(x)+f' (x)>1 , f (0) =4,則不等式exf (x)>e x+ 3(其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))的解集為 .【答案】(0, +8)【解析】設(shè) g(x) = exf(x) ex(xC R),則 g' ( x) = exf (x) + exf' (x) ex= ex f (x) + f' (x) 1, f(x)+f' (x)>1,，f(x)+f' (x)1>0, -g1 (x)>0 , 1- y= g(x)在定義域上單調(diào)遞增， exf (x)>ex+3, . . g(x)>3,又 g(0)

11、 = e0f (0) -e0=4-l = 3, .g(x)>g(0) ,x>0.2.已知函數(shù)f(x) = ax (2016 蘭州模擬 )已知定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)f (x)的導(dǎo)函數(shù)為f ' (x),滿足f' (x)<f(x),且f(x+2)為偶函數(shù)，f(4) =1,則不等式f(x)<ex的解集為()A. ( -2, +oo)B. (0 , +8)C. (1 , +8)【答案】B【解析】f(x+2)為偶函數(shù)，f(x+2)的圖象關(guān)于x=0對(duì)稱,.f(x)的圖象關(guān)于 x= 2 對(duì)稱，f (4) =f (0) =1.、一f x一, f! x exf x設(shè) g( x

12、) = e(x e r» ,貝U g (x)=抹一2 又 f' (x)<f(x) , .g，(x)<0(x R),，函數(shù)g(x)在定義域上單調(diào)遞減,3x2+1,若f(x)存在唯一的零點(diǎn) xo且xo>0,則a的取值范圍是【答案】(8, 2)解析 當(dāng)白=0時(shí)，川0n-3爐+1有兩個(gè)零點(diǎn)，不合題意，故g0, f(x)=- tx=3x(ax- 2),令八工)=0,得工】=0, X2=j.若go,由三次治數(shù)圖象知./W有負(fù)班零點(diǎn)，不合題意，故爾。一由三次函額圖象及貝3= >。知， £*即。X，- 3其(丁 + 1雙化簡(jiǎn)得仃一,D. (4, +8)x -

13、f xxe又gO,所以g2一 f(x)<ex? g(x)=f x <1,而 g(0) =f-2=1, ee -f (x)<e x? g(x)<g(0) , x>0,故選 B.4. (2017 合肥質(zhì)檢)直線x=t分別與函數(shù)f(x) = ex+1的圖象及g(x) =2x-1的圖象相交于點(diǎn)A和點(diǎn)B,則AB的最小值為()A. 2B. 3C. 4 2ln 2D. 3- 2ln 2【答案】C【解析】由題意得，AB= |ex+1-(2x-1)| = |e x 2x+2 ,令 h(x) =ex 2x+2,則h' (x) = ex2,所以h(x)在(一°

14、6;, in 2)上單調(diào)遞減，在(in 2 , +8)上單調(diào)遞增，所以 h(x)min=h(ln 2) =42ln 2>0 ,即AB的最小值是42ln 2 ,故選C.5. (2015 課標(biāo)全國(guó)H )設(shè)函數(shù)f' (x)是奇函數(shù)f(x)( xC R)的導(dǎo)函數(shù)，f(-1) = 0,當(dāng)x>0時(shí)，xf ' (x) f (x) v 0,則使得f(x)>0成立的x的取值范圍是()A. ( 8, - 1) U (0,1)B. ( 1,0) U (1 , +oo)C.(巴-1) U (-1,0)D. (0,1) U(1 , +oo)【答案】A【解析】 因?yàn)?為奇困數(shù)，寅-1)=

15、0,所以次1)二一五一i)=o當(dāng)mO時(shí)，令其0=事，則敏力為偶函數(shù)7烈1)=鼠-1)=0則當(dāng)Q0時(shí)J下二的'/呼一向<0,故以工)在(0, +，)上為減函數(shù)，在(一小6上為增函數(shù).所以在10,十為上，當(dāng)(Kx<l時(shí)，g(x)>g(l)=O在(一度，o)±j 當(dāng) x< - i 時(shí),飄冷月(-i)=od竽<。=員工)>o.綜上？知使得成立的工的取值范圍是Lf -l)UiOJ),故選A一x + 2x x W。 ，6.已知函數(shù)f(x) = 八若|f(x)| >ax,則a的取值范圍是()in x+x>0 ,A. (8, 0B. (8, 1

16、C. 2,1D). -2,0【答案】D- -x2 + 2x ，ax xW。，【解析】| f (x)| > ax? i成立.Un x+1 3ax x/0 ,2由得x(x2) > ax在區(qū)間(一8, 0上恒成立.當(dāng) x=0 時(shí)，aC R；當(dāng)x<0時(shí)，有x 2wa恒成立，所以 an 一 2.故 a 一 2.由得ln(x+ l)-av>0在區(qū)間(0 j +工)上恒成立，設(shè)諒尸皿x+ 1)-皿r>0),則卬二擊一如8)，可知爾為減函數(shù).當(dāng)好0時(shí)，出Kb故艙)為增函數(shù)，所以嶺用。戶口恒成立；當(dāng)成1時(shí)，因?yàn)閥E(0,6所以方二七一八L故帕0為減函數(shù)， x+1x+1所以網(wǎng)力5。)

17、=0恒成立，顯然不符合題意孑當(dāng)gxl時(shí)，對(duì)于給定的一個(gè)確定值力總可以至少找到一個(gè)滿足A(x"=lng+D-的<0成立.如1=/h取期="則肌刈=In 5-冥0成立j可知Osd時(shí)，不符合題意. .上故必口由可知4的取值范圍是二川.7. (2016 東北師大附中、 吉林一中等五校聯(lián)考)已知函數(shù)f (x) = ex+ax-a(a R且aw。).(1)若f (0) =2,求實(shí)數(shù)a的值，并求此時(shí)f(x)在2,1上的最小值；(2)若函數(shù)f(x)不存在零點(diǎn)，求實(shí)數(shù) a的取值范圍.【答案】(1)最小值2.(2) 實(shí)數(shù)a的取值范圍是e2<a<0.【解析】(1)由 f(0)

18、=1-a=2,得 a=- 1.易知f(x)在2,0上單調(diào)遞減，在0,1上單調(diào)遞增，所以當(dāng)x = 0時(shí)，f(x)在2,1上取得最小值2.(2) f ' (x) = ex+a,由于 ex>0.當(dāng)a>0時(shí)，f ' ( x)>0 , f (x)是增函數(shù)，當(dāng) x>1 時(shí)，f (x) = ex+a(x- 1)>0.當(dāng) x<0 時(shí)，取 x =-則 f ( -)<1 + a(- 1) = - a<0. aaa 所以函數(shù)f(x)存在零點(diǎn)，不滿足題意.當(dāng) a<0 時(shí),f ' (x) = ex+a,令 f' (x) = 0,得 x

19、= ln( a).在(00, in( a)上，f' (x)<0, f(x)單調(diào)遞減，在(In ( a), +°°)±, f ' (x)>0 , f(x)單調(diào)遞增，所以當(dāng)x = ln( a)時(shí)，f(x)取最小值.函數(shù) f(x)不存在零點(diǎn)，等價(jià)于 f(ln( a) = eln( a) + aln( a) a= 2a+aln( -a)>0 , 解得e2<a<0.綜上所述，所求實(shí)數(shù) a的取值范圍是e2<a<0.8 (2018江蘇高考17)某農(nóng)場(chǎng)有一塊農(nóng)田，如圖所示，它的邊界由圓O的一段圓弧MPN (P為此圓弧的中點(diǎn)

20、)和線段MN勾成.已知圓O的半徑為40米，點(diǎn)P到MN勺距離為50米.現(xiàn)規(guī)劃在此農(nóng)田上修建 兩個(gè)溫室大棚，大棚I內(nèi)的地塊形狀為矩形 ABCD大棚n內(nèi)的地塊形狀為 CDP ,要求A,B 均在線段MN上，C, D均在圓弧上.設(shè) OC與MN所成的角為日.(1)用6分別表示矩形 ABCD和4CDP的面積，并確定sin日的取值范圍;(2)若大棚I內(nèi)種植甲種蔬菜，大棚H內(nèi)種植乙種蔬菜，且甲、乙兩種蔬菜的單位面積年產(chǎn)值之比為4:3 .求當(dāng)日為何值時(shí)，能使甲、乙兩種蔬菜的年總產(chǎn)值最大.(第題)【解析】(1)連結(jié)PO延長(zhǎng)交 MNT H則PHLMN所以O(shè)H=10.過(guò)O作0巳BC于E,則O曰MN所以/ COE 0 ,

21、故 OE=40cos 0 , EC=40sin 0 ,則矩形 ABCD勺面積為 2X40cos 0 (40sin 0 +10) =800 (4sin 0 cos 0 +cos 0 ),1 CDP勺面積為 _ x 2 x 40cos 0 (40 - 40sin 0 ) =1600 (cos 0 - sin 0 cos 0 ). 2過(guò)N作GNL MN分別交圓弧和 OE的延長(zhǎng)線于 G和K,則GK=KN=10.令/ GOK。°,則 sin 0 0=1 , 0 g (0, _5).當(dāng)。C 。°,)時(shí)，才能作出滿足條件的矩形ABCD2所以sin 0的取值范圍是1,1).4答：矢I形 A

22、BCD勺面積為800 (4sin 0 cos 0 +cos 0 )平方米， CDP勺面積為1600 (cos。- sin 0 cos 0 ), sin 0 的取值范圍是1, 1).4(2)因?yàn)榧住⒁覂煞N蔬菜的單位面積年產(chǎn)值之比為4 : 3,設(shè)甲的單位面積的年產(chǎn)值為4k,乙的單位面積的年產(chǎn)值為3k (k>0),則年總產(chǎn)值為 4kx 800 ( 4sin 0 cos 0 +cos 0 ) +3kx 1600 ( cos 0 - sin 0 cos 0 )=8000k (sin 0 cos 0 +cos 0 ), 0 0 °, 口).2設(shè) f ( 0 ) = sin 0 cos 0

23、+cos 0 , 0 0 °,),2則 f'=cos2 日-sin2 日一sin日=-(2sin2 日 +sin日 -1)= -(2sin 日一1)(sin日 +1).令 f'(e)=o，得 9 =工, 6當(dāng)。e(。°,彳)時(shí)，f'(e)>0 ,所以f (。)為增函數(shù)；當(dāng)0 c(工，二)時(shí)，r(e)<0，所以f(。)為減函數(shù)，62因此，當(dāng)0 =三時(shí)，f (。)取到最大值.6部編本試題，歡迎下載!答：當(dāng)0 =時(shí)，能使甲、乙兩種蔬菜的年總產(chǎn)值最大. 兀點(diǎn)評(píng).本小題主要考查三角函數(shù)的應(yīng)用、用導(dǎo)數(shù)求最值等基礎(chǔ)知識(shí)，考查直觀想象和數(shù)學(xué)建模及運(yùn)用數(shù)學(xué)

24、知識(shí)分析和解決實(shí)際問(wèn)題的能力.9. (2018江蘇高考19)記f (x),g '(x)分別為函數(shù)f (x), g(x)的導(dǎo)函數(shù).若存在x°w R ,滿足f (x0) =g(%)且f'(X0)=g(%),則稱X0為函數(shù)f(x)與g(x)的一個(gè)"S點(diǎn)”.(1)證明：函數(shù)f(x) =乂與g(x) =x2 +2x-2不存在“ S點(diǎn)”；(2)若函數(shù)f(x)=ax2 1與g(x)=lnx存在“ S點(diǎn)”，求實(shí)數(shù)a的值;(3)2bex已知函數(shù)f(x)=x +a , g(x)=.對(duì)任息a >0 ,判斷是否存在b>0 ,使函數(shù)f(x)x與g(x)在區(qū)間(0,收)內(nèi)存

25、在“ S點(diǎn)”，并說(shuō)明理由.2【解析】(1)函數(shù) f(x)=x,g(x)=x+2x-2 ,貝Uf (x)=1 , g ( x)=2x+2.由 f (x) =g (x)且 f' ( x) = g ' (x),得x =x2 2x - 2x x 2x 2 ,此方程組無(wú)解,1 =2x 2因此，f (x)與g (x)不存在"S'點(diǎn).C2)函數(shù)H力二g(x)-lnx ,則“力= ,設(shè)祝為與g 的“5"點(diǎn)，由(的) Cro)目f (瀚)=F (勘得3即產(chǎn),-做.2Gps 1如(*)得1 口七=一:即旃= ：,則0二L2(e當(dāng)時(shí)見(jiàn)=滿足方程組(*),即/為了與宅的”y

26、點(diǎn).(3)對(duì)任意 a>0,設(shè) h(x) =x3_3x2ax+a .且h (x)的圖象是不間斷的,因?yàn)?h(0)=a>0, h(1)=1 _3_a+a<0 ,所以存在x0 (0, 1),使得h(x0)心 2x3,則 b>0.ex0 (1-x0)2be函數(shù) f(x) = -x +a , g(x)=, x. x ,則 f'(x)=-2x , g，(x) = e (x - ) x由 f (x)=g (x)且 f' ( x) =g'-x2 »abex-2xxbex(x -1)2-xa -,即2x3ex0 (1-xo)此時(shí),因此,-2x2x0ex0

27、(1 -x0)為滿足方程組(*),即為是函數(shù)對(duì)任意a>0,存在b>0,使函數(shù)fxex(* )ex(x -1)2xf (x)與g (x)在區(qū)間(0,1)內(nèi)的一個(gè)“ S點(diǎn)”.(x)與g (x)在區(qū)間(0, +8)內(nèi)存在“S點(diǎn)”.點(diǎn)評(píng):本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究初等函數(shù)的性質(zhì)，考查綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法分析與 解決問(wèn)題以及邏輯推理能力.110(2018全國(guó)圖考I卷21)已知函數(shù)f(x)= l-x+alnx . x(1)討論f (x)的單調(diào)性;xi -x2(2)若f(x)存在兩個(gè)極值點(diǎn) x1,x2,證明：f)f "2)<a 2 .【解析】3)co的定義域?yàn)?，=一L-i+q=

28、-匚罕=1. x" X X(i>若白2,則八幻以，當(dāng)且僅當(dāng)儀=2,*=1時(shí)尸(幻=0,所以/0)在9+k)單調(diào)遞減一Gi)若口 > 2 ,令/'(m) = 0得才=上或工= 1J，- 4 .當(dāng)工人0；竺三)u(竺孚三-+幻時(shí)，8 e當(dāng)Xe 且三 厘三)時(shí),尸 >。所以/在(0一一月乂土容二,+功單調(diào)遞艱，在.一 甲."4三)單調(diào)遞增. Jfc&(2)由(1)知，f(x)存在兩個(gè)極值點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng) a >2.由于f (x)的兩個(gè)極值點(diǎn) ,x2滿足x2 - ax +1 =0，所以x1x2 =1，不妨設(shè)x < x2，則x2 Al.由于f

29、(xi) - f (x2)1. In xi -ln x2oIn x1 In x?o 2ln x?1 a2 a一2 ax 一x2陷x1 ”xx21 、，x2x2所以 f(x1)f(x2)<a2等價(jià)于-x2 +2ln x2 <0. x1 -x2x21.設(shè)函數(shù)g(x)=x+2ln x,由(1)知，g(x)在(0,十厘)單調(diào)遞減，又g(1) = 0,從而當(dāng) xxW (1,")時(shí)，g(x) <0.所以 1-x2 +2ln x2 <0,即 f(x1)_f (x2)<a2. x2X - 又2211、( 2018局考北東卷 18)設(shè)函數(shù) f (x) = ax (4a+1

30、)x+4a+3 ex.(I)若曲線y= f (x)在點(diǎn)(1, f(1)處的切線與x軸平行，求a；(n )若f (x)在x=2處取得極小值，求a的取值范圍.t解析】(I >因?yàn)槲?皿3 73+以+4a+刃門(mén)所以尸(工)=2ax- (4<?-1) axL- <4a-l) x*4ti*3 e1=ax2- (2d)x+2凡dYl-由題設(shè)知rU)Tb即(lf)e=O,解得ml.此時(shí)了(1尸3樣0.所以。的值為L(zhǎng)(n )由(I)得 f ' ( x) = ax2 ( 2a+1) x+2 ex= (ax 1) (x 2)ex.若 a>；則當(dāng) xC (1, 2)時(shí)，f ' (x)<0; 2a當(dāng) xC (2 , +8)時(shí)，f '(x)>0.所以f (x)<0在x=2處取得極小值.若 aw 1 ,貝U當(dāng) xC (0, 2)時(shí)，x- 2<0, ax- K -x- 1<0, 22所以 f ' (x)>0 .所以2不是f (x)的極小值點(diǎn).綜上可知，a的取值范圍是(-,+8). 212. (2018高