2020年江蘇寒假數(shù)學(xué)網(wǎng)課直線與圓、圓與圓的綜合應(yīng)用(2)

1、直線與圓、圓與圓的綜合應(yīng)用(2)【基礎(chǔ)檢測】1 .在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，已知圓C： (xa)2+(ya+2)2=1,點A(0, 2),若圓C上存在點 M, 滿足MA2 + MO2=10,則實數(shù)a的取值范圍是 .【答案】0, 3【解析】設(shè) M(x, y),由 MA2+MO2=10, A(0, 2),得 x2+(y-1)2=4,而點 M 又在(x a)2 +(ya+2)2= 1,所以圓x2 + (y1)2=4與圓C有公共點，則1<a2+(a-3)2< 9,解得0WaW3.所以實數(shù)a的取值范圍是0, 3.2 .在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，已知點P(1, 0), Q(2, 1),直線

2、l： ax+by+c=0,其中實數(shù)a, b, c成等差數(shù)列，若點 P在直線l上的射影為H,則線段QH的取值范圍是 .【答案】取,372【解析】因為a, b, c成等差數(shù)列，有2b=a+ c,即a 2b+c=0,所以動直線l: ax+ by+ c= 0恒過定點(1, -2),記A(1, -2),因為點P(-1, 0)在動直線l上的射影為H,即/AHP = 90° , 所以點H在以PA為直徑的圓上，圓心 C(0, 1),半徑為<2, 所以線段QH的取值范圍是亞，32.3 .在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，若直線y=k(x343)上存在點P,圓x2+(y1)2 = 1上存在點Q,滿足OP

3、=3OQ,則實數(shù)k的最小值為 .【答案】.3【解析】設(shè)P(x, y),由OP=3OQ,得Q(,上).33又點Q在圓x2+(y1)2=1上，2 2則有二+ y 1 =1,化簡得x2y 3 2 9 ,3 3所以點P的軌跡是以(0, 3)為圓心，半徑為r=3的圓.依題意，直線 y=k(x-3<3)與圓x2y 3 2 9有公共點，3 3,3k所以 一 < 3,解得3p< k< 0.i?1所以實數(shù)k的最小值為一匹4 .在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，已知圓C的方程為x2+y2-8x+15=0,若直線y=kx2上至少存在 一點，使得以該點為圓心，1為半徑的圓與圓 C有公共點，則k的最大

4、值是 .4【答案】43【解析】因為圓 C的方程可化為(x-4)2 + y2=1,所以圓C的圓心為(4, 0),半徑為1.因為由題意，直線 y=kx2上至少存在一點 A(xo, kxo-2),以該點為圓心，1為半徑 的圓與圓有公共點，所以存在xoCR,使得ACW1+1成立，即ACminW2.因為ACmin即為點C到直線y=kx2的距離|4k2|；k2+1'所以隼U<2,解得0Wkw* :k2+ 13，4所以k的最大值是4.35 .如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點A(0, 3),直線l: y=2x- 4.設(shè)圓C的半徑為1,圓心在l上.(1)若圓心C也在直線y=x1上，過點A作圓

5、C的切線，求切線的方程；(2)若圓C上存在點M,使MA = 2MO,求圓心C的橫坐標(biāo)a的取值范圍.【解】(1)由題設(shè)，圓心 C是直線y=2x4和丫=乂 1的交點，解得點 C(3, 2),所以切線的斜率必存在.設(shè)過A(0, 3)的圓C的切線方程為y=kx+3.由題意，得13k望=1,解得卜=0或卜=3, 楙2+14故所求切線方程為 y= 3或3x+4y-12 = 0.(2)因為圓心在直線 y=2x-4上，所以圓C的方程為(x-a)2+y-2(a-2)2=1.設(shè)點 M(x, y),因為 MA=2MO,所以 Rx2+ y3 2 = 2.x2+y2,化簡得 x2+y2+2y-3=0,即 x2+(y+1

6、)2=4,所以點M在以D(0, 1)為圓心，2為半徑的圓上.由題意，點 M(x, y)在圓C上，所以圓C與圓D的公共點，則|2-1|< CD<2+ 1,12即 1 < 留+ 2a3 2< 3,解得 0w a w "5-.12所以點C的橫坐標(biāo)a的取值范圍為0,9.5【例題探究】例1 (1)已知直線l: x y+2=0與x軸交于點 A,點P在直線l上.圓C: (x 2)2+y2=2上有且僅有一個點B滿足ABLBP,則點P的橫坐標(biāo)的取值集合為 .(2)在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，設(shè)圓C： (xt)2+(y2t+1)2=2.若存在實數(shù) m,使得直線l1：mx+ y+2

7、=0與直線12： x my2=0的交點在圓C上，則實數(shù)t的取值范圍是 17【答案】(1) 3，5(2)1 ,7【解析】(1)因為1與x軸交于點A,則A(-2, 0),設(shè)P(t, t+2).因為AB± BP,則點B在以線段AP為直徑的圓M2一 t 2圓M萬程可化為 x + y2所以圓心 M(t-2 ,12),半徑為22(x + 2)(x t)+ y(y-1-2)=0 上,22t 2 t 2=,22t 2F依題意，圓M與圓C: (x2)2+y2 = 2有且只有一個公共點,即圓M與圓C相外切或內(nèi)切，所以J2 22 U 6或=2 2匚2 2/瓢2 22<2V 2272一 1八斛得t=

8、2或t= 5.3所以點P的橫坐標(biāo)的取值集合為1，5 .3(2)顯然，直線li： mx+y+2=0恒過定點 A(0, 2),直線12： x- my2=0恒過定點 B(2, 0), 且直線li±l2.所以直線li與12的交點在以AB為直徑的圓M: x(x 2)+(y+2)y=0上運動.所以直線li與|2的交點的軌跡為圓 M： (x 1)2+(y+1)2=2.因為直線li與|2的交點在圓C上，27i< 2短，解得i wtw _7 ,i所以圓 C: (xt)2+(y2t+i)2=2 與圓 M: (x- i)2+(y+i)2= 2 有公共點, 所以 0W J t i 22t i所以實數(shù)t

9、的取值范圍是變式 在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，已知點A(4, 0), B(0, 4),從直線AB上一點P向圓x2+y2=4引兩條切線PC, PD,切點分別為 C, D.設(shè)線段CD的中點為M,則線段AM長的最大值為.【答案】3,；2【解析】如圖，連結(jié) OC, OD, OP,設(shè)P(t, t+4).依題意，直線PC, PD與圓O: x2+y2=4相切，據(jù)平面幾何知識可知，點O, C, P, D四點共圓，該圓以O(shè)P為直徑，方程為 x(x- t)+y(y-t-4)= 0,即 x2+ y2 tx (t+ 4)y= 0,又點C, D滿足圓O: x2+y2=4,一，得直線 CD的方程為tx + (t+4)y-

10、4= 0,整理得(x + y)t+ 4y4= 0,令x y °,解得x '所以直線CD恒過定點N(-i, i). 4y 4 0, y i,所以點M滿足MOL MN,點M的軌跡為以 ON為直徑的圓， 22iii該圓方程為 x(x+1) + y(y-1) = 0,即 x + y =, 222一. i i , ,2圓心為一5，2 ,半徑r= 2 -所以線段AM長的最大彳I為 44+與+孚=3V2 -例 2 (1)已知點 A(-1, 0), B(1, 0),若圓(xa+1)2 + (ya2)2=1 上存在點 M 滿足MAmB = 3,則實數(shù)a的取值范圍是.(2)已知 A, B, C,

11、 D 四點共面，BC=2, AB2+AC2=20, CD = 3CA,則 |BD|的最大值 為.【答案】(1) 2, 1(2) 10【解析】(1)設(shè)M(x, y),因為MA MB = 3,所以(一1x, - y)(1 -x, y) = 3,即 x2 + y2 = 4.所以點M的軌跡是圓x2+y2=4.又因為點 M在圓(xa+1)2+(ya2)2=1上，所以圓*2+丫2=4與圓(*2+1)2+(丫22)2=1有公共點，故弋 0a+ 1 2+ 0 a 2 2<1 + 2,解得2WaW1, 所以實數(shù)a的取值范圍是2, 1(2)以BC中點為原點，BC所在直線為x軸建立坐標(biāo)軸.設(shè) A(x, y),

12、 D(x0, y。),則 B(-1, 0), C(1, 0).因為 AB2 + AC2=20,得(x+ 1)2+y2+(x-1)2+y2=20,即 x2+y2=9.由CD=3CA,得(xO1, y0)=3(x-1, y),則x所以yx0 23 代入 x2+y2=9,得(x0+2)2+y0=81,匕3所以點D的軌跡是以（一2, 0）為圓心，半徑為 9的圓.所以|BD|的最大值為2_ 20 0 +9=10.變式 在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，已知B, C為圓x2+y2 = 4上兩點，點A(1, 1),且AB，AC,則線段BC的長的取值范圍是.【答案】用-平,通+艱【解析】取BC的中點M,連結(jié)OM,

13、OB, AM.1在 RtCAB 中，AM=BM = CM=-BC,在 RtAOMB 中，MB2+MO2 = OB2.所以 MA2 + MO2=4.設(shè) M(x, y),所以(x1)2+(y1)2+x2+y2=4,1c 1 c 3化簡得 x-2 2+ y-2 2=32,所以點M的軌跡是以 1, 1為圓心，攣為半徑的圓， 2 22所以AMC 也彳也,V6；立，故BC=2AM m日弱十的,所以線段BC的長的取值范圍是 曬"#+ 0.例3 (1)在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，已知點A(t, 0)(t>0), B(0, - >/3),若存在點P,使得PO = 也PA,且/ PBO=30

14、°,則實數(shù)t的取值范圍是 .(2)在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，已知圓O: x2+ y2= 1, O1：(x 4)2+y2=4,動點P在直線 x+gyb=0上，過P分別作圓O, O1的切線，切點分別為 A, B,若滿足PB=2PA的 點P有且只有兩個，則實數(shù) b的取值范圍是 .【答案】(1)(2)20 43 ' 4【解析】(1)設(shè)點P(x, y),依題意,PO = V2PA,所以 x2y2 = V2，xty2 ,整理得 x 2t 2 + y2 = 2t2 ,即點P的軌跡是以M(2t, 0)(t>0)為圓心，半徑為 42t的圓.又/ PBO=30°, B(0, V

15、3),結(jié)合圖形，可知點 P還在直線l: V3xy43= 0上運動， ，八，一 ，一 一 |73 2t 0 73所以直線l與圓M有公共點，即L <所以實數(shù)t的取值范圍是3-6,3-6(2)因為 PB=2PA,所以 PB2所以直線x+ty1=0與圓x 4 + y 1 =8相切或相離,=4PA2,即 PO124= 4(PO21),故 POi2=4PO2,設(shè)點 P(x, y),得(x 4)2+y24= 4(x2+y21),整理得(x+4 )2 + y2= 64 ,39所以點P的軌跡是以點 一4, 0為圓心，半徑為1的圓. 33又動點P在直線x+43yb=0上，且點P有且只有兩個，所以直線x+J3

16、yb= 0與圓(x+4 )2 + y2= 64相交，3 94 0 b故 丁 ° <8,解得 20Vb<4.12 .32393所以實數(shù)b的取值范圍是20 43 ',變式 已知點A(0, 1), B(1, 0), C(t, 0),點D是直線AC上的動點，若 ADW2BD恒成立，則最小正整數(shù)t的值為【答案】4【解析】易得直線 AC的方程為y = 1,即x+ ty-t=0,設(shè) D(x, y),據(jù) ADW2BD,可知 AD2< 4BD2, 22418所以 x2+ (y-1)2<4(x- 1)2+y2,整理得 x - + y -339因為點D在直線 AC上，且AD

17、W2BD恒成立，22所以直線x+ty1=0在區(qū)域x 4 + y 1 >2內(nèi)，3394 14 -t t所以解得。2+斕或tV2 國12 t23 3所以最小正整數(shù)t的值為4.(1)在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，已知A, B為圓C: (x+ 4)2+(ya)2= 16上兩個動點，且 AB =28.若直線l： y=2x上存在唯一的一個點 P,使得PA+PB=OC,則實數(shù)a的值 為.(2)在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，已知點 A(m, 0), B(m + 4, 0),若圓C： x2+(y 3m)2= 8上 存在點P,使彳導(dǎo)/ APB = 45°,則實數(shù)m的取值范圍是 .【答案】(1) 2或1

18、8(2)4 2*19,25【解析】(1)設(shè)AB中點為D,則由AB=2加，得 AD =肝，CD = 75.所以點D的軌跡方程為(x+ 4)2 + (y- a)2= 5.設(shè) P(x, y), D(m, n),因為 PA+PB=OC,所以 2PD = OC=(4, a),m x 2,故 PD=( 2, a),所以(m x, n- y)= (-2,-),故a 得22 n y 一,22所以點D的坐標(biāo)為(x2,y+a),代入D的軌跡方程，得(x+2)2+ y - =5,22所以點P的軌跡是以(一2,自)為圓心，半徑為 垂的圓,2= 75,解得 a= 2或一18.又直線l: y=2x上有且僅有一個點 P,所

19、以直線l: y=2x與點P的軌跡相切，故所以實數(shù)a的值為2或一18.(2)據(jù)點 A(m, 0), B(m+4, 0)可知,AB = 4,所以 ABP的外接圓圓心 M滿足/ AMB = 90°.若圓心 M在x軸上方，則 M(m + 2, 2),且點P的軌跡為以M為圓心，半徑為2艱的圓在x軸上方的部分，此時，點P的軌跡方程為(x-m-2)2+ (y-2)2=8(y>0); 若圓心 M在x軸下方，則 M(m + 2, 2), 且點P的軌跡為以M為圓心，半徑為2。2的圓在x軸下方的部分， 此時，點P的軌跡方程為(xm 2)2+(y+2)2=8(yv0).要使彳#圓C： x2+(y3m)

20、2= 8上存在點P,則須滿足圓C與點P的軌跡有公共點，即圓 C: x2+(y 3m)2=8 與優(yōu)弧(xm2)2+(y2)2=8(y>0)有公共點或圓 C: x2+(y 3m)2=8 與優(yōu)弧(xm2)2+(y+2)2=8(yv0)有公共點，2222所以 0W J m 2 3m 2 < 虱2或 0W J m 2 3m 2 w 4/2,解得 ±9wmw2. 5變式(1)在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，已知圓Oi,圓02均與x軸相切且圓心 Oi, O2與原點。共 線，Oi, O2兩點的橫坐標(biāo)之積為 6,設(shè)圓Oi與圓02相交于P, Q兩點，直線l： 2x-y -8=0,則點P與直線l上

21、任意一點 M之間的距離的最小值為 .(2)在平面四邊形 ABCD 中，/ BAD =90°, AB=2, AD = 1 .若 AB Ac+BA BC = J4CA CB , 3則CB + 2CD的最小值為 .【答案】(1)呼乖(2)呼52【解析】(1)依題意，設(shè)圓心 Oi (a, ka), O2 (6,生). a a因為圓。1,圓O2均與x軸相切，所以設(shè)圓。1的方程為(x-a)2+(y-ka)2=k2a2，2圓O2的方程為(x6)2+(y處)2=咚， aa a一，得 2ax x+ 2aky 12ky + 3f a2 = 0, 即 2x+ 2ya- - = 0 . aa aa設(shè) P(x

22、°, y°),則(xoa)2+(yOka)2= k2a2,即 x2+y2= 2ax0 + 2ay0a2,又 2xo + 2yo a = 0,可得 2axo + 2ayo a2= 6,入上式，可得 x0+ y0= 6,a所以點P的軌跡是以原點為圓心，半徑為 46的圓,所以點P與直線l上任意一點 M之間的距離的最小值為 - I8I-J6 ,22+128 .5,=會一驅(qū)(2)以A為坐標(biāo)原點，AB所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，則 B(2, 0), D(0, 1).設(shè) C(x, y),因為 AB AC+BA BC = 4CA CB,34所以(2, 0)(x, y)+(-2, 0)

23、(x 2, y) = -(-x, y) (2x, - y),3化簡得(x1)2+y2=4,所以C在以M(1, 0)為圓心，半徑r= 2的圓上運動.設(shè)T(5, 0),則對圓M: (x1)2+y2=4上任意一點C(x, y),都有22222eCB x 2 y x 1 y 2x1142x111且2 = 2 = 2=一CT x 5y2x 1y2 8 x 1 164 8 x 1 16 41故 cb=2Ct.1111126所以 CB + 2CD = 2CT + 2CD = 2(CT + CD)>2DT =力.所以cb+cd的最小值為等【訓(xùn)練提升】1 .已知點 P 在圓 M： (x a)2+(y-a+

24、 2)2=1 上，A, B 為圓 C： x2+(y4)2= 4 上兩動點，且 AB=2、/3,貝UPA PB的最/、值是 .【答案】19- 122【解析】取 AB的中點D,因為AB=2寸3, R= 2, CD =*3 = 1, 所以 PapB=(PD + DA).pD + Db)=pd2-3.依題意，C(0, 4), M(a, a-2).當(dāng)C, D, P, M在一條直線上時， PD最小,此時 PD = CM -CD-PM =Na2+ a 6 2 2=2 a3 2+18 2>3y2-2.所以PA PB=PD23>19 126，當(dāng)a=3時取到最小值1912冊.2 .在平面直角坐標(biāo)系 x

25、Oy中，已知點A(12, 0), B(0, 6),點P在圓O: x2+y2=50上，若PA pB<20,則點P的橫坐標(biāo)的取值范圍是 .【答案】 5,1片/【解析】設(shè) P(x, y),則承=(12 x, y), PB=(-x, 6-y),PA PB=x2+y2+ 12x-6y< 20,又 x2 + y2 = 50,故 x2+y2+12x6y=50+12x6yW20,即 2x-y+5<0.如圖所示，點 P在直線2x- y+5 = 0的上方對應(yīng)的圓弧上，故點P的橫坐標(biāo)表示的取值范圍為一5y2 = xaW xpW xb,2x y + 5 = 0,聯(lián)立直線與圓的方程c c消去y得x2+

26、4x5=0,解得x= 5或x= 1 ,x2+y2 = 50,故xb=1,所以點P的橫坐標(biāo)的取值范圍是5血，1.3 .在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，已知圓 C： (x1)2+(y 2褥)2=1和兩點A(a, 2a), B(-a, a 2),且a>1,若圓C上存在兩個不同的點 P, Q,使得/ APB = /AQB=90° ,則實數(shù) a的取值 范圍為.【答案】1 ",157【解析】依題意，圓C上存在兩個不同的點 P, Q,使得/ APB=ZAQB = 90° ,所以以AB為直徑的圓O和圓C相交，因為 A(a, 2a), B( a, a 2),所以以AB為直徑的圓的

27、圓心為 O(0, 0),半徑|OA|= 荷2 a 2 = &a2 4a 4 .又圓C的圓心C(1, 2庭)，半徑r=1,所以 T2a"_4a 4 1 < |OC|= 5V，2a2 4a 4 1 ,解得 1 17<a< 1- 77或 1+ 77 vav1+ 屈.因為 a> 1,所以 1+J7vav 1+m17.所以實數(shù)a的取值范圍為16，1 717 .4 .在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，已知點 A(-1, 0), B(5, 0).若圓M: (x 4)2+(ym)2=4上存在唯 一點P,使得直線PA, PB在y軸上的截距之積為 5,則實數(shù)m的值為.【答案】訴

28、或知3【解析】設(shè)點p(xo, yo),則直線PA為y=xy07(x+1)，在y軸截距為xt，同理，直線PB在y軸截距為-5y°-,xo 5因為兩截距之積為 5,得一fy-x0- = 5,化簡，得 (X0-2)2 + y2=9,xo 5 xo+ 1所以點P的軌跡：(xo2)2+y2=9與圓M恰有一個交點.若A、B不在圓M上，則圓心距等于半徑之和或差，即.22+ m2 =5,解得 m=W21;或，22 + m2 =1,無解； 若A、B在圓M上，解得 m= i/3,經(jīng)檢驗成立.綜上所述，實數(shù)m的值為訴或班.5 .在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，圓O： x2+y2=1,圓M： (x+ a+3)2

29、+(y2a)2= 1(a為實數(shù)).若圓O 與圓M上分別存在點P, Q,使得/ OQP = 30° ,則實數(shù)a的取值范圍是 .【答案】-6, 0【解析】由題意，圓 M上任意一點Q向圓O作切線，切點為 P, /PQO=30° ,所以O(shè)Q=2,即圓x2+y2=4與圓M有交點，所以 1 w，( a+ 3)2+ 4a2w 3,解得一 a=c o.5所以實數(shù)a的取值范圍是 一|, 056 .如圖，在平面四邊形 ABCD中，AB = 4, AD = 2, Z DAB = 60 °, AC=3BC,則邊CD長的最小值【解析】以線段 AB所在的直線為x軸，AB的中點為原點，建立直角

30、坐標(biāo)系,則 A(-2, 0), B(2, 0),設(shè) C(x, y).由 AC= 3BC,得 7 (x+2) 故|C Q|的最大值為+y2 = 3. (x 2) 2 + y2,化簡得x T+y'9. 24由/ DAB =60°, AD=2 得 D(1, >/3).當(dāng)D, C, M三點共線時，CD長最短，所以邊CD長的最小值為DM CM-|"。)2 一3=a.Q為射線AP上一點，且滿7 .已知正三角形 ABC的邊長為2,點P為線段AB中垂線上任意一點,足AP aQ= 1,則|CQ|的最大值為答案/3±1【解析】建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，則 A(-1, 0

31、), C(0, <3).設(shè) Q(m, n), P(0, y).由AQ AP= 1 得(m+1, n) (1y)=1, m+ny=0 ,n y又點 Q 在 AP 上，有 m+ 1 =n=(m+1)y ,由消去y得m + 2 +n2= 1 .|CQ|= Vm2+ (n-V3)2，點(0,小)與點2,0 的距離為、y2r7v3r="23,8 .已知 ABC中，AB=AC=，3, AABC所在平面內(nèi)存在點 P使得PB2+PC2= 3PA2= 3,則ABC 面積的最大值為.【答案】黑【解析】建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，設(shè)B(-a, 0), C(a, 0)(a>0),則A(0, 73

32、a ).設(shè) P(x, y),由 PB2 + PC2=3,彳# (x+a)2+y2+(xa)2+y2=3,3即 x2+y2 = 2a2 ，由 PA2=1,得 x2 + (y-A/32)2=1 .2a2由解得y= 2.>j3a2-1,解得0<a2w2jSaabc = a 寸3 a2 = 13a a4=9- 4+2243a2 Y16當(dāng)a2 = 26時，Ssbc有最大值為嗜.9 .如圖，在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，已知以 M為圓心的圓 M: x2+y212x14y+60=0及其上一點 A(2, 4).(1)設(shè)圓N與x軸相切，與圓 M外切，且圓心 N在直線x=6上，求圓N的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)設(shè)

33、平行于 OA的直線l與圓M相交于B, C兩點，且BC = OA,求直線l的方程;(3)設(shè)點T(t, 0)滿足：存在圓 M上的兩點P和Q,使得TA+ TP=TQ,求實數(shù)t的取值范圍.【解】(1)因為N在直線x= 6上，設(shè)N(6, n),因為與x軸相切,則圓 N 為(x 6)2+(yn)2= n2(n>0).又圓 N 與圓 M 外切，圓 M: (x 6)2+(x7)2=25,則 |7 n|=|n|+5,解得 n= 1,所以圓N的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x6)2+(y1)2= 1.(2)由題意得 OA = 2g koA=2,設(shè) l: y=2x+ b,則圓心M到直線l的距離d=ll2_7±bl =151, 22+155則 BC=2152d2 = 2-