2020屆開卷教育聯(lián)盟全國(guó)高三模擬考試(二)數(shù)學(xué)文科試題(含解析)

1、開卷教育聯(lián)盟 2020屆全國(guó)高三模擬考試（二）數(shù)學(xué)（文科）時(shí)量：120分鐘 滿分：150分注意事項(xiàng):1 .答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考號(hào)等填寫在答題卡相應(yīng)的位置上2 .回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng),用橡皮擦干凈后，再涂選其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無(wú)效.3 .考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回、選擇題（本題共12小題，每小題5分，共60分.）.21 .已知集合A x |xx 2 0 , B Z ,則 AI BA. -1,0,1,2B. 0,1,2C. 0,1D. 12 . i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)202067

2、iii，那么zB. 3C. 1D. ,24 .下列說(shuō)法正確的是（A.在ABC中，a,c分別為角A,B,C的對(duì)邊,a2 b2C2是ABC為銳角三角形的充要條B.2X01 0,x R,C.若p q為假命題，則P,q均為假命題D.若 一，則sin6的否命題是若4.已知點(diǎn)F1，F(xiàn)2分別為橢圓M在橢圓C上，線段MF1的22C : -2 221(a b 0)的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)a b中點(diǎn)在y軸上，若 F2MF160°,則橢圓的離心率為（）1A. 一 6B.C 11C.65.一圓錐的側(cè)面展開圖是半徑為4的半圓，則該圓錐表面積為（A. 12B. 4P 8.2C. 3D.166.若曲線yxe在x 0處的切

3、線，也是 ylnx b的切線，則bA. 1B. 1C. 2D.7.已知uurABuurADuuir 口 uuurAC，且 ACuurBD門" uur則AB1A.一2B.1C.一2D.1a b28.已知函數(shù)f（x）g (x)cosf （x）是周期為的偶函數(shù),g x可以是（）A. cosxB.sin xC.cosD. sin x 一49.一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積為（A. 一3B.163C.203D. 810.四棱錐P ABCD中，PA 平面ABCD ,底面ABCD是正方形，且PA AB 2,則直線PB與平面PAC所成角為（）A.一6B.-4c.一3D.一211.若對(duì)于

4、任意 xC R 都有 f (x) + 2f ( x) =3cosxsinx,則函數(shù) f (2x)圖象對(duì)稱中心為（）A. (kk -, 0) ( kCZ)kB. ( kp- J 0) (kJ)(kJ)D.0)28(kJ)12.已知函數(shù)2x2 10g22,x 1,則函數(shù)F x fx 1 ,x 12f3心小人的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是（2A. 4B. 5C. 6D. 7、填空題（本題共每小題5分，共20分.）13.設(shè)函數(shù)f2x1,x 07,x 0214.直線l將圓x2x 4y0平分，且與直線x 2y 0垂直，則直線l的方程為x15 .設(shè)變量x, y滿足約束條件 xy 0y 1 ，則z 22x y的最大值為2y 1

5、2 A7一16 .在 ABC 中，A, B , C 的對(duì)邊分別為 a, b, c,且滿足 4cos cos2(B C) a 2,則 ABC 22面積的最大值為.第1721題為必考題，每三、解答題（共70分，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟 個(gè)試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答（一）必考題：共60分.17.設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,且41n 2 時(shí)，n 1 Sn 2nSnSc.1 n n 1 .證明 1為等n比數(shù)列，并求數(shù)列 an的通項(xiàng)公式.18.由507名畫師集體創(chuàng)作的 999幅油畫組合而成了世界名畫蒙娜麗莎，某部門從參加創(chuàng)作的 507名畫師中隨機(jī)抽出100名

6、畫師，得到畫師年齡的頻率分布表如下表所示2015 加.5 40 »軍齡，歲(1)求a , b的值，并補(bǔ)全頻率分布直方圖;(2)根據(jù)頻率分布直方圖估計(jì)這507名畫師年齡的平均數(shù)；(3)在抽出的 20,25歲的5名畫師中有3名男畫師，2名女畫師.在這5名畫師中任選兩人去參加某繪畫比賽，選出的恰好是一男一女的概率是多少?分組(歲)頻數(shù)頻率20,2550 05025,30a0.20030,3535b35,40300.30040,45100100合計(jì)10019 .如圖，已知三棱錐P ABC的平面展開圖中，四邊形為ABCD邊長(zhǎng)等于J2的正TBE和BCF 均為正三角形，在三棱錐中P ABC :(I

7、 )證明：平面PAC 平面ABC ;(n)求三棱錐P ABC的表面積和體積20 .設(shè)拋物線C: y2 4x的焦點(diǎn)為F,過(guò)F且斜率為k(k 0)的直線l與C交于A, B兩點(diǎn)，|AB| 8.(1)求l的方程；(2)求過(guò)點(diǎn)A, B且與C的準(zhǔn)線相切的圓的方程.21.已知函數(shù)ln x 1(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值;(2)證明:ln 222ln 3322ln n 2n n 1、,* 八2- n N , n 2 .n 4 n 1(二)選考題：共10分.請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答,如果多做，則按所做的第題計(jì)分.x22.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C 參數(shù)方程為y4cos4sin為參數(shù))，以。為極

8、點(diǎn)，以x軸的非負(fù)半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，直線l的極坐標(biāo)方程為(I)求曲線C 極坐標(biāo)方程;(n)設(shè)直線l與曲線C相交于A, B兩點(diǎn)，求23.設(shè)函數(shù)f (x) 5AB的值.xx) 0的解集(1)當(dāng)a 1時(shí)，求不等式(2)若f(x) 1恒成立，球x a的取值范圍一、選擇題(本題共12小題，每小題5分，共60分.) .21 .已知集合 A x|x x 2 0 , B Z,則 AI B ()A. -1,0,1,2B. 0,1,2C. 0,1D. 1【答案】C【解析】 【分析】求出集合A的范圍，根據(jù)集合 B為整數(shù)集，即可求得 A B .【詳解】解不等式可得集合A x| 1 x 2因?yàn)榧螧 Z所以A B

9、0,1所以選C【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次不等式的解法，集合交集的基本運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.2 . i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z i2020 i6 i7 ,那么z ()A. ,.5B. 3C. 1D. . 2【答案】C【解析】【分析】 n*根據(jù)i n N 的取值即得.【詳解】i4 1,.臺(tái)物.2020. 6.7.4505.4.2.4.3/.2.3.>里數(shù) ziiii i ii i1iii ,那么 z 1 .故選：c.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.3 .下列說(shuō)法正確的是()A.在 ABC中，a, b, c分別為角A, B, C的對(duì)邊，則a2 b2 c2是 ABC為銳角三角形的充要條 件B.若

10、p ： Xo R, x； x 1 0,則 p ： x R, x2 x 1 0C.若p q為假命題，則p , q均為假命題D.若1 ,人-”的否命題是若2【答案】D【解析】【分析】對(duì)選項(xiàng)逐個(gè)驗(yàn)證，即得答案【詳解】對(duì)于A, a2 b2 c2,則C為銳角，但C為銳角時(shí)ABC不一定為銳角三角形，是必要不充分條件，故A錯(cuò)誤；2對(duì)于 B,命題 p : Xo R, Xo X0 1 0,則 p ： x R, x2 x 1 0, B 錯(cuò)誤;對(duì)于c,若p q為假命題，則p, q至少有一個(gè)為假命題， c錯(cuò)誤；1 .1 .對(duì)于D,右 ，則sin -的否命題是 若石，則sin - , .1. D正確.故選：D.【點(diǎn)睛】

11、本題考查充分必要條件、命題的否定、命題的真假及否命題，屬于基礎(chǔ)題22x y4.已知點(diǎn)F1，F(xiàn)2分別為橢圓C ： 1(a a bb 0)的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)M在橢圓C上，線段MF1的中點(diǎn)在y軸上，若 F2MF160°,則橢圓的離心率為(1A.一6【答案】D【解析】【分析】B.3C.6D.Jb2由題意,，在直角F2MF1中，得到知點(diǎn) M在橢圓C上，線段 MF1的中點(diǎn)在y軸上，求得 M (c,)'aF1F2 石|MF2 ,整理得V3e2 2e 73 0,即可求解，得到答案【詳解】由題意，知點(diǎn) M在橢圓C上，線段MF1的中點(diǎn)在y軸上，可得點(diǎn) MF2 x軸,且點(diǎn)Mb2（c,一），a所以在直

12、角 F2MF1中,FR2c,且 F2MF1 600,所以FRV3|mf2 , b4即 2c x/3 2ac T3（a2 c2）,整理得 T3c2 2ac J3a2 0, a兩邊同除a2得房2 2e 有 0,解得e Y3或e73 （舍去），故選D.3【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓的幾何性質(zhì)一一離心率的求解，其中根據(jù)條件轉(zhuǎn)化為圓錐曲線的離心率的方程是c解答的關(guān)鍵.求雙曲線的離心率（或離心率的取值范圍）,常見有兩種萬(wàn)法：求出 a,c，代入公式e ；a只需要根據(jù)一個(gè)條件得到關(guān)于a,b,c的齊次式，轉(zhuǎn)化為a,c的齊次式，然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程（不等式）,解方程（不等式），即可得e（e的取值范圍）.5.一圓錐的側(cè)

13、面展開圖是半徑為4的半圓，則該圓錐表面積為（）A. 12B. 4C. 8、2D. 1633【答案】A【解析】【分析】1 一設(shè)底面圓的半徑為r,則2 r - 2 4,所以r=2,再求圓錐白表面積.2 1【詳解】設(shè)底面圓的半徑為r,則2 r 2 4, r 2,21 o所以圓錐的表面積為22 + 42=12 .2故選A【點(diǎn)睛】本題主要考查圓錐的側(cè)面展開圖和表面積的計(jì)算，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平和分析推理能力.6.若曲線y ex在x 0處的切線，也是 y ln x b的切線，則b （）A. 1B. 1C. 2D. e【答案】C【解析】y lnx b相切的切點(diǎn)為（m, n）,得【分析】 求出

14、y ex的導(dǎo)數(shù)，得切線的斜率，可得切線方程，再設(shè)與曲線m, n,進(jìn)而得到b的值.y Inx b的導(dǎo)數(shù)，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線的斜率，解方程可得【詳解】函數(shù)y ex的導(dǎo)數(shù)為y'=ex,曲線y ex在x=0處的切線斜率為k=e0=1,則曲線yex在x=0處的切線方程為 y-1 = x;1 一. 1 一函數(shù)y lnx b的導(dǎo)數(shù)為y =,設(shè)切點(diǎn)為(m n),則一 =1,解得m= 1, n=2, xm即有2=ln1+b ,解得b=2.故選A.【點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求切線方程，屬于基礎(chǔ)題.uur uuruur 廠uuiurruurr iuur7 .已知 AB ADAC，且ACa，B

15、Db，則 AB()A.B.D. 1a b【答案】A【解析】【分析】根據(jù)向量的加減法運(yùn)算，列方程組即可求AB.uuu 1 rAB - a2uuuvuuuvv，八ABADv【詳解】根據(jù)條件uuuvuuvv ,ADABb故選：A.偶函數(shù)，則g x可以是()【點(diǎn)睛】本題考查向量的加減運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題8 .已知函數(shù)f(x) g(x)cos x ,若函數(shù)f(x)是周期為4A. cosxB. sin xC. cos x 4D. sin x 一4【答案】D【解析】【分析】分別代入化簡(jiǎn).【詳解】當(dāng) g(x) c0sx 時(shí)，f(x) cosx cos x 41-sin 2x2當(dāng) g(x) cos x 時(shí)，f (x

16、)4coscos1sin2x 2此時(shí)f(x)是非奇非偶函數(shù)，周期為 當(dāng) g(x) sin x 時(shí)，f(x) sinxcos x此時(shí)f(x)是非奇非偶函數(shù)，周期為此時(shí)f(x)是非奇非偶函數(shù)，周期為當(dāng) g(x) sin x 一時(shí), 4f(x) sin x cos x 一 441 .一 sin22x 21cos2x , 2此時(shí)f(x)是偶函數(shù)，周期為 故選D.【點(diǎn)睛】本題考查三角恒等變化和三角函數(shù)的性質(zhì)9 .一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為(【答案】BD. 8由圖可知該幾何體底面積為 8,高為2的四棱錐，如圖所示: 116，該幾何體的體積V 8 2 33故選B 點(diǎn)睛：思考三視圖還原空間

17、幾何體首先應(yīng)深刻理解三視圖之間的關(guān)系，遵循“長(zhǎng)對(duì)正，高平齊，寬相等” 的基本原則，其內(nèi)涵為正視圖的高是幾何體的高，長(zhǎng)是幾何體的長(zhǎng)；俯視圖的長(zhǎng)是幾何體的長(zhǎng)，寬是幾何體的寬；側(cè)視圖的高是幾何體的高，寬是幾何體的寬2,則直線PB與平10 .四棱錐P ABCD中，PA 平面ABCD ,底面 ABCD是正方形，且 PA AB面PAC所成角為（）A.B.一4C.一3D.一2【答案】A【解析】【分析】連接AC交BD于點(diǎn)O ,連接OP ,證明BO 平面PAC ,進(jìn)而可得到 BPO即是直線PB與平面PAC所成角，根據(jù)題中數(shù)據(jù)即可求出結(jié)果.【詳解】連接 AC交BD于點(diǎn)O ,因?yàn)镻A 平面ABCD,底面ABCD是正

18、方形，所以BD AC , BD PA ,因此BD 平面PAC ;故BO 平面PAC ;連接OP,則 BPO即是直線PB與平面PAC所成角，又因PA AB 2,所以PB 2后，BO J2.一.BO 1所以 sin BPO 一，所以 BPO .PB 26故選A【點(diǎn)睛】本題主要考查線面角的求法，在幾何體中作出線面角，即可求解，屬于常考題型11.若對(duì)于任意xC R都有f (x) +2f ( x) =3cosxsinx,則函數(shù)f (2x)圖象的對(duì)稱中心為(A. (kL0)(kCZ)C. (kL0) ( k”)【答案】D【解析】【分析】利用解方程組的方法求函數(shù)f (x)解析式，可得圖象的對(duì)稱中心.kB.

19、0) ( kC Z)kD. ( 一 ，0) ( kC Z)f (2x)的解析式，再根據(jù)正弦函數(shù)的對(duì)稱性，可得f (2x)【詳解】.對(duì)任意xCR,者B有f (x) +2f ( x) =3cosx sinx，用一x 代替 x,得 f ( x) +2f (x) = 3cos ( x) - sin ( - x),即 f ( x) +2f (x) = 3cosx+sinx；由組成方程組，解得 f (x) = sinx+cosx= 72sin (x+ 一),4. f (2x) = 72sin (2x+).4k令 2x+ - = k& k Z,解得 x=一，函數(shù)f (2x)圖象的對(duì)稱中心為(k, 0

20、), kC Z,28f (x)的解析式是解題的關(guān)故選D.【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，其中利用解方程組的思想求函數(shù)鍵.x2212.已知函數(shù)f xA. 4,x 132,則函數(shù)F x f | f x 2 f x 一的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是(log2 x 1 | ,x 1B. 5C. 6D. 7【答案】A【解析】解：令 t=f (x) , F (x) =0,(t) - 2t - - =0, 23分力1J作出y=f (x)和直線y=2x+ ,由圖象可得有兩個(gè)父點(diǎn)，橫坐標(biāo)設(shè)為2t1, t2,則 t1=0 , 1vt2<2,即有f (x) =0有一根；1vf (x) <2時(shí)，t2=f (x)有3個(gè)

21、不等實(shí)根，綜上可得數(shù) F (x) =ff (x) - 2f (x)-的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是 4.2點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵是找出內(nèi)外層函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系，找準(zhǔn)一個(gè)t對(duì)應(yīng)幾個(gè)x.F (x) =0的實(shí)根個(gè)數(shù)為4,即函、填空題(本題共4小題，每小題5分，共20分.)13.設(shè)函數(shù)f x【答案】3【解析】【分析】2x 1,xx 7,x根據(jù)解析式，討論m0和m 0兩種情況，即求m的值.【詳解】函數(shù)f x2x 1,x 0 r,若fx 7,x 07,當(dāng)m 0時(shí),2m7 ,解得m 3.當(dāng)m 0時(shí)，m 7 7,解得m 0,舍去.故答案為：3.【點(diǎn)睛】本題考查分段函數(shù)求值，屬于基礎(chǔ)題14.直線l將圓x2 y2 2x 4y 0平分，且與直線

22、x 2y 0垂直，則直線l的方程為【答案】y 2x【解析】0化為,所以試題分析：設(shè)與直線x 2y 0垂直的直線方程：2x y b 0 ,圓x2 y2 2x 4y22_x 1 y 25,圓心坐標(biāo)1,2 .因?yàn)橹本€平分圓，圓心在直線2x y b 0上2 1 1 2 b 0,解得b 0,故所求直線方程為 y 2x.考點(diǎn)：1 .直線與圓的位置關(guān)系；2 .直線的一般式方程與直線的垂直關(guān)系.【思路點(diǎn)睛】本題是基礎(chǔ)題，考查直線與圓的位置關(guān)系，直線與直線垂直的方程的設(shè)法，據(jù)此設(shè)出與已知 直線垂直的直線方程，利用直線平分圓的方程，求出結(jié)果即可.x y 015.設(shè)變量x , y滿足約束條件 x y 1 ,則z 2

23、2x y的最大值為.x 2y 1【答案】4【解析】【分析】作出可行域.設(shè)m 2x y ,得y 2x m.當(dāng)m取得最大值時(shí)，z取最大值，數(shù)形結(jié)合即得.【詳解】設(shè)m 2x y,得y 2x m,作出不等式組對(duì)應(yīng)的可行域（陰影部分），x y 1x 2y 1平移直線y 2x m,由平移可知當(dāng)直線 y 2x m經(jīng)過(guò)點(diǎn)C時(shí),直線y 2x m的截距最小，此時(shí) m取得最大值,1，即 C 1,0 .0將C的坐標(biāo)代入m 2x y,得m 2 ,此時(shí)z 22x y的最大值z(mì) 2 4,即目標(biāo)函數(shù)z 22xy的最大值是4.故答案為：4.【點(diǎn)睛】本題考查簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃，屬于基礎(chǔ)題16.在 ABC中，A, B, C的對(duì)邊分別為

24、面積的最大值為.【答案】,3【解析】 A+B+C=,2 A 4cos cos2(B C) 2(1 cos A) 221-2cos A 2cos A - 0 . cosA 2. a 2,由余弦定理可得：4b2c21 .1.bc 4 S aabc - bcsin A - 4 一2 22 A7,b,c,且滿足 4cos cos2(B C) 一，a 2,貝 U ABC2227cos2A 2cos A 2cos A 3 一 , 2一，sin A 22bc 2bc bc bc ,（當(dāng)且僅當(dāng)b=c=2,不等式等號(hào)成立）點(diǎn)睛：本題是解決解三角形問題，需用到二倍角公式，三角形的面積公式，基本不等式的運(yùn)用，知識(shí)點(diǎn)

25、多,計(jì)算需要細(xì)心，特別是注意邊角互化的應(yīng)用.三、解答題（共70分，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.第1721題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.）（一）必考題：共60分.Sn .、17.設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且a1 1, n 2時(shí)，n 1 Sn 2nSn 1 n n 1 .證明1為等 n比數(shù)列，并求數(shù)列 an的通項(xiàng)公式.【答案】見解析，an n 1 2n 1 1【解析】Sn1n等比數(shù)列.求出Sn,再求an.【詳解】證明：數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,且ai2nSn 1 n n 1 .S所以Sn2nSm所以數(shù)列Sn2_Sn_!n 1是以1,即邑

26、1n2為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列.則Snn,On2 ,2時(shí),anSnSn 11,1時(shí),a11 (符合通項(xiàng)公式)，Sn ,由 n 1 Sn 2nSn 1 n n 1 ,得1 n故an【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式，屬于中檔題18.由507名畫師集體創(chuàng)作的 999幅油畫組合而成了世界名畫蒙娜麗莎，某部門從參加創(chuàng)作的 507名畫師中隨機(jī)抽出100名畫師，得到畫師年齡的頻率分布表如下表所示楹帛(1)求a , b 值，并補(bǔ)全頻率分布直方圖；(2)根據(jù)頻率分布直方圖估計(jì)這507名畫師年齡的平均數(shù)；(3)在抽出的 20,25歲的5名畫師中有3名男畫師，2名女畫師.在這5名畫師中任選兩人去參加某繪畫

27、比賽，選出的恰好是一男一女的概率是多少？分組(歲)頻數(shù)頻率20,2550.05025,30a0.20030,3535b35,40300.30040,45100.100合計(jì)1001.003【答案】(1) a 20,b 0.350,見解析；(2) 33.5歲；(3)-.5【解析】【分析】(1)由頻率分布表可求 a , b的值；(2)平均數(shù)等于頻率分布直方圖中所有小矩形的底邊中點(diǎn)乘以其面積的和；(3)列舉法求出五人中任選兩人的所有基本事件數(shù)，一男一女所包含的基本事件數(shù)，根據(jù)古典概型的概率 計(jì)算公式，即得所求概率.【詳解】(1)由頻率分布表得 a 100 0.200 20,35b 0.350 ,100

28、補(bǔ)全頻率分布直方圖如圖所示.(2) 507名畫師年齡的平均數(shù)的估計(jì)值為22.5 0.05 27.5 0.2 32.5 0.35 37.5 0.3(3)三名男畫師記為 a , b , c ,兩名女畫師記為 五人中任選兩人的所有基本事件如下：a,b , a,c , a,1 , a,2 , b,c , b,1 ,其中一男一女的是a,1 , a,2 , b,1 , b,242.5 0.1 33.5 （歲）.1, 2,b,2 , c,1 , c,2 , 1,2 ,共 10 個(gè)基本事件,c,1 , c,2 ,共6個(gè)基本事件，63選出的恰好是一男一女的概率 p 3.10 5【點(diǎn)睛】本題考查頻率分布直方圖和古

29、典概型，屬于基礎(chǔ)題19.如圖，已知三棱錐PABC的平面展開圖中，四邊形為ABCD邊長(zhǎng)等于 J2的正方形,ABE和 BCF均為正三角形，在三棱錐中 P ABC :(I )證明：平面PAC 平面ABC ；(n )求三棱錐P ABC的表面積和體積.1【答案】(I )詳見解析(n)表面積2 J3,體積-3【解析】【分析】(I )由題意知 APC和 ABC為等腰三角形，可取AC中點(diǎn)O,連接PO,OB可證明PO 平面ABC,然后利用面面垂直的判定定理即可得到證明；(n)求各個(gè)面的面積之和即可到棱錐的表面積，由 po 平面ABC ,利用棱錐的體積公式計(jì)算即可得到答案.【詳解】解：(I )設(shè)AC的中點(diǎn)為O ,

30、連接BO , PO.由題意，得 pa pb pc 72, PO 1, AO BO CO 1.因?yàn)樵?PAC中，PA PC , O為AC的中點(diǎn)，所以PO AC.因 在 POB 中，PO 1, OB 1, PB 42,PO2 OB2 PB2 ,所以 PO OB.因?yàn)?AC OB O, AC, OB 平面 ABC ,所以PO 平面ABC ,因?yàn)镻O 平面PAC ,所以平面PAC 平面ABC .(n)三棱錐P ABC的表面積S亞無(wú)2 蟲.2 22 33,1V 一 Sabc PO 3由(I )知，PO 平面ABC ,所以三棱錐 P ABC的體積為11:12 -.2 1 3 23【點(diǎn)睛】本題考查線面垂直，

31、面面垂直判定定理的應(yīng)用，考查棱錐的表面積和體積的計(jì)算，考查學(xué)生的空 間想象能力和計(jì)算能力.20.設(shè)拋物線C: y2 4x的焦點(diǎn)為F,過(guò)F且斜率為k(k 0)的直線l與C交于A，B兩點(diǎn)，|AB| 8.(1)求l的方程；(2)求過(guò)點(diǎn)A，B且與C的準(zhǔn)線相切的圓的方程. 2222【答案】 y=xT,(2) x 3 y 216或 x 11 y 6144.【解析】【詳解】分析：(1)根據(jù)拋物線定義得 AB x1 x2 p,再聯(lián)立直線方程與拋物線方程，利用韋達(dá)定理代入求出斜率，即得直線l的方程；(2)先求AB中垂線方程，即得圓心坐標(biāo)關(guān)系，再根據(jù)圓心到準(zhǔn)線距離等于半徑得等量關(guān)系，解方程組可得圓心坐標(biāo)以及半徑，

32、最后寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 詳解：(1)由題意得F (1, 0) , l的方程為y=k (xT) (k>0)設(shè) A (x1，y1)，B (x2, y2)y k x 12 222由 2 得 kx 2k 4 x k 0 .y2 4x16k2 16 0，故 x1 X22k2 4k2所以 AB AF BF x 1x2 14k2 4k2由題設(shè)知4k2 4k28 ,解得 k= -1 (舍去)，k=1.因此1的方程為y=x T.(2)由(1)得AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(3,2),所以AB的垂直平分線方程為設(shè)所求圓的圓心坐標(biāo)為(X0,y0),貝Uy。x。5,/y。x。1x。 12解得16.X0XoV。yo11,6.因

33、此所求圓的方程為22x 3 y 216 或2x 11144.D E、F的方程組,進(jìn)而求出DE、F的值.21.已知函數(shù)In x 1(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值;(2)證明:In 2In 32In n 2nn24【答案】(1)增區(qū)間為0.11,極大值為1,無(wú)極小值；(2)見解析.(1)函數(shù)fx的定義域?yàn)?,.求(x) = 0,求出極值點(diǎn)，就x, fx , f x的變化情點(diǎn)睛：確定圓的方程方法(i)直接法：根據(jù)圓的幾何性質(zhì)，直接求出圓心坐標(biāo)和半徑，進(jìn)而寫出方程.(2)待定系數(shù)法若已知條件與圓心a,b和半徑r有關(guān)，則設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程依據(jù)已知條件列出關(guān)于a,b, r的方程組，從而求出a,b,r的值;若已知條件沒有明確給出圓心或半徑，則選擇圓的一般方程，依據(jù)已知條件列出關(guān)于況列表即得;(2)由(1)可得fIn x 1x max,2In n ,11-2.由裂項(xiàng)法得n nIn n1n2212n2 ,即可證明結(jié)論.【詳解】（1） .函數(shù)f xInx 1In x因此增區(qū)間為0,1 ,減區(qū)間為1,極大值為1,無(wú)極小值.（2）證明：由（1）可得f xIn x 1 fmax1,由f ' x 0,得x 1 ,列表如下:x0,111,f' x+0-f x單調(diào)遞增極大值1單調(diào)遞減In