二次根式復(fù)習(xí)講義

1、二次根式復(fù)習(xí)講義知識點一：二次根式的概念【知識要點】二次根式的定義：形如 和（。2 0）的式子叫二次根式，其中a叫被開方數(shù)，只有當(dāng)Q是一個非負(fù)數(shù)時， 4才有意義.【典型例題】【例 1】下列各式（1） C，2）G,3） Jx2+2,4）",5） j（，1、下列各式中，一定是二次根式的是（）A、五 B、7710 C、431D、Ja2+12、在向星、后1、后針、石中是二次根式的個數(shù)有 個【例2】若式子下有意義，則x的取值范圍是、x-3舉一反三：1、使代數(shù)式有意義的x的取值范圍是（）A、x>3B、x泠C、x>4D、x冷且 x刃2、使代數(shù)式J-x2+2x-1有意義的x的取值范圍是

2、3、如果代數(shù)式J二m 十 1二有意義，那么，直角坐標(biāo)系中點P （m, n）的位.mn置在（,6）*0,7）八22a + 1 , 其中是二次根式的是 （填序號）.舉一反三：A、第一象限B、第二象限C、第三象限D(zhuǎn)、第四象限【例 3】若 y= vx -5 + J5 - x +2009 ,貝U x+y= ，、_ _x -5-0一解題思路：式子百（a冷），<,x = 5, y=2009 ,則x+y=20145-x_0舉一反三：1、若 Jx 一1 J1 x =（x + y）2 ,則 x y 的值為（）A. 1 B. 1 C. 2 D. 32、若x、y都是實數(shù)，且y=2x -3+J3 -2x +4 ,

3、求xy的值3、當(dāng)a取什么值時，代數(shù)式 怎占+1取值最小，并求出這個最小值。4、已知a是 褥整數(shù)部分，b是 看的小數(shù)部分，求a+，的值。b 25、若73的整數(shù)部分是a,小數(shù)部分是b,則J3a-b=。216、若S7的整數(shù)部分為x,小數(shù)部分為y,求x 的值.知識點二：二次根式的性質(zhì)【知識要點】1. 非負(fù)性：va（a至0）是一個非負(fù)數(shù).注意：此性質(zhì)可作公式記住，后面根式運算中經(jīng)常用到.2. （4a）2 =aa >0）.注意：此性質(zhì)既可正用，也可反用，反用的意義在于，可以把任意一個非負(fù)數(shù)或非負(fù)代數(shù)式寫成完全平方的形式：a = （八）2（a20）3. a2=|a|= a：；*注意：（1）字母不一定是

4、正數(shù).（2）能開得盡方的因式移到根號外時，必須用它的算術(shù)平方根代替.（3）可移到根號內(nèi)的因式，必須是非負(fù)因式，如果因式的值是負(fù)的，應(yīng)把負(fù)號留在根號外.4.公式"=冏尸"）與（ja）2=aa至0）的區(qū)別與聯(lián)系-a（a ： 0）（1）局2表示求一個數(shù)的平方的算術(shù)根，a的范圍是一切實數(shù).（2）（指）2表示一個數(shù)的算術(shù)平方根的平方，a的范圍是非負(fù)數(shù).（3） Y/和（由）2的運算結(jié)果都是非負(fù)的.【典型例題,【例 4】若"N+by42=0，則 a-b + c= .舉一反三：1、若 Jm -3 +(n +1)2 =0 ,貝1J m +n的值為2、已知x,y為實數(shù)，且JT=1 +

5、3（y-2f =0 ,則x - y的值為（）A. 3 B. - 3 C. 1 D.13、已知直角三角形兩邊 x、y的長滿足| x24 | + Jy2-5y + 6=0,則第三 邊長為. 20054、若ab*1與4a+2b+4互為相反數(shù)，貝U（a-b）=。at二：二次根式的性事2（公式（益）2 =a（a至0）的運用）【例5】化簡：a-1 + （序3）2的結(jié)果為（）A、42aB、0 C、2a 4 D、4舉一反三：1、在實數(shù)范圍內(nèi)分解因式：x 3= ； m44m?4 =2、化簡：V3 -V3（ 1 -"73）SB ：二次線的頷33、已知直角三角形的兩直角邊分別為72和75,則斜邊長為(公式

6、*F=1a=/(a之0)的應(yīng)用)-a(a <0)【例6】已知x <2，則化簡收4乂 +4的結(jié)果是A x -2B、x+2C -x-2D 2-x舉一反三：1、根式J(-3)2的值是()D. 9A. -3B. 3 或-3C. 32、已知a<0,那么| Va22a |可化簡為()A.a B . a C .3a D .3a3、若 2Ya13,貝(J J(2a 2 _J(a_3(等于()A. 5-2a B. 1 -2a C. 2a -5 D. 2a-14、若a-3<0,則化簡'a2-6a'A4-a的結(jié)果是()(A) -1(B) 1(C) 2a 7(D) 7-2a.

7、. 25、化間 J4x -4x+1 J2x-3 )得(A)2(B) -4x + 4(C) - 2(D) 4x-4.a2-2a 126、當(dāng)avl且a卻時，化簡 a -a =.4 -(a -)2 - 4 (a -)27、已知a<0,化簡求值：a a V a【例7】如果表示a, b兩個實數(shù)的點在數(shù)軸上的位置如圖所示,那么化簡I a bl+J(a+b)2的結(jié)果等于()9-aoA. 2bB. 2bD. 2a舉一反三：實數(shù)a在數(shù)軸上的位置如圖所示：化簡:a-1 +7（a32）2=.;1【例81化簡1 -x JX -8x+l6勺結(jié)果是2x-5, x的取值范圍是（）（A） x 為任意實數(shù)（B） 13g（

8、C） x>1（D） xW舉一反三：若代數(shù)式 夜二療十而二4了的值是常數(shù)2,則a的取值范圍是（ ）A. a >4B. a< 2 C. 2< a< 4 D. a=2 或 a = 4【例9】如果a +Ja2 2a+1 =1 ,那么a的取值范圍是（）A. a=0 B. a=1 C. a=0 或 a=1 D. a<11、如果a+jaT二60工9 =3成立，那么實數(shù)a的取值范圍是（）2、若J（x-3）2 +x-3 = 0,則x的取值范圍是（）(A) x>3(B) x<3(C) x 之3(D) x<3【例10】化簡二次根式aJ-a42的結(jié)果是 a(A)，

9、-a -2(B) -%/-a -2(C) Ja -2(D) - Ja -21、把二次根式aj化簡，正確的結(jié)果是()aA. . -aB. T=aC. aD. .a2、把根號外的因式移到根號內(nèi)：當(dāng) b >0時，b Jx = x知識點三：最簡二次根式和同類二次根式【知識要點】1、最簡二次根式：(1)最簡二次根式的定義：被開方數(shù)是整數(shù)，因式是整式；被開方數(shù)中不含能開得盡方的數(shù)或因式；分母中不含根號.2、同類二次根式(可合并根式)：幾個二次根式化成最簡二次根式后，如果被開方數(shù)相同，這幾個二次根式就叫做同類二次根式，即可以合并的兩個根式?！镜湫屠}】【例 11】在根式 1) Ja2+b2 ;2) x

10、；3) Jx2-xy;4) J27abc ,最簡二次根式是()A. 1) 2) B. 3)4) C. 1) 3) D. 1)4)解題思路：掌握最簡二次根式的條件。舉一反三：1 、J45a,石0f；22,440b2,扇417(a2 +b2) 中的 最簡二 次根式:2是 02、下列根式中，不考.最簡二次根式的是()D.a. 77b. 73 c.2bC.43、下列根式不是最簡二次根式的是 ()D. 0.1yA.、. a2 1B. 2x 14、下列各式中哪些是最簡二次根式，哪些不是？為什么？,3a2b3ab(2) , 2 x2 y2(4)、a -b(a b)(5) 5(6) 8xy 5、把下列各式化為

11、最簡二次根式:(1) 12(2) . 45a2 b【例12】下列根式中能與內(nèi)是合并的是（）A. 8B. 27C.2 5 D.:2舉一反三:1、下列各組根式中，是可以合并的根式是（D、，a -1和Va-1A、值和 M B、73和J1C、702b和Vab22、在二次根式：河.；|；歷中，能與后合并的二次根式是3、如果最簡二次根式J3a -8與、,17 - 2a能夠合并為一個二次根式,則 a=知識點四：二次根式計算一一分母有理化【知識要點】1 .分母有理化定義：把分母中的根號化去，叫做分母有理化。2 .有理化因式:兩個含有二次根式的代數(shù)式相乘，如果它們的積不含有二次根式，就說這兩 個代數(shù)式互為有理化

12、因式。有理化因式確定方法如下:單項二次根式：利用 后,西=2來確定，如：n與內(nèi)，Ja+b與Ja + b , y'a -b與 后二b等分別互為有理化因式。兩項二次根式：利用平方差公式來確定。 如a+Tb與a加，由十/與由-而, a x - b, y與a-、x -b、y分別互為有理化因式。3 .分母有理化的方法與步驟：先將分子、分母化成最簡二次根式；將分子、分母都乘以分母的有理化因式，使分母中不含根式；最后結(jié)果必須化成最簡二次根式或有理式?！镜湫屠}】【例13】 把下列各式分母有理化若11250【例14】把下列各式分母有理化(3)2 ab2b5【例15】把下列各式分母有理化:(2)3 33

13、.2- 231、已知x=2£, 丫=出1,求下列各式的值:2 ,32 -，3(1)x yx- y(2)22x -3xy y2、把下列各式分母有理化:a -ba 2 - ；a -2E許G(3)b - a2 b2b 、 a2 b2小結(jié)：一般常見的互為有理化因式有如下幾類:G與石; ? 4+柩與石一/；也與"也；？?？ 冽石+川忑與沸石f 4 .知識點五：二次根式計算一一二次根式的乘除【知識要點】1 .積的算術(shù)平方根的性質(zhì)：積的算術(shù)平方根，等于積中各因式的算術(shù)平方根的 積。Obb = Va Vb （a/，b/）2 .二次根式的乘法法則：兩個因式的算術(shù)平方根的積，等于這兩個因式積的

14、算 術(shù)平方根。Oa bb = Obb . （a冷，b冷）3 .商的算術(shù)平方根的性質(zhì)：商的算術(shù)平方根等于被除式的算術(shù)平方根除以除式的算術(shù)平方根1 =（a /，b>0 ）4 .二次根式的除法法則：兩個數(shù)的算術(shù)平方根的商，等于這兩個數(shù)的商的算術(shù)平方根。<a.丁a （a冷，b>0）注意：乘、除法的運算法則要靈活運用，在實際運算中經(jīng)常從等式的右邊變 形至等式的左邊，同時還要考慮字母的取值范圍，最后把運算結(jié)果化成最簡二 次根式.【典型例題】【例16】化簡.9 16（2） 16 815 2.15（4） 9x2y2 （ x 一 0, y 一 0 ）【例 17】計算(1) J%x256 ?(2

15、) 712? ?【例18】化簡:.642(a 0,b_0)借(x-0,y 0)(4).,i69y2(x -0,y 0)【例計算:噂存 后出x 二、xA、x>2B、八0C、0MxM2D、無解64詞)知識點六：二次根式計算一一二次根式的加減【知識要點】需要先把二次根式化簡，然后把被開方數(shù)相同的二次根式 （即同類二次根式）的系數(shù)相加減，被開方數(shù)不變。注意：對于二次根式的加減，關(guān)鍵是合并同類二次根式， 通常是先化成最簡二次根式，再把同類二次根式合并.但在化簡二次根式時，二次根式的被開方數(shù)應(yīng)不含分母，不含能開得盡的因數(shù) .【例20能使等式Vx2 技工成立的的x的取值范圍是（【典型例題】【例20】計

16、算(1 )辰1屎+20.55 -3J; 2. 27(4)633 1/271+ f %/28 -48+J147 i23247【例21】(1) 3g入耳(2) 4r+匹¥x-y , 4x 4y.a /ba-b(3) lj27a 1 48 ) -a2 J3 +3aJaaJ108a(4) a./1 +V4b - I - -b./13a 1, 3 4. a2 b G.5a"加 (6) M+JZ.0+J- a1' y ' x x y知識點七：二次根式計算一一二次根式的混合計算與求值【知識要點】1、確定運算順序；2、靈活運用運算定律；3、正確使用乘法公式；4、大多數(shù)分母有

17、理化要及時；5、在有些簡便運算中也許可以約分，不要盲目有理化;【典型習(xí)題】25,33、,c bab ( - -a b)"3, b2, a3、2-4、(，72+廣)737762.36、 (3 + 2<5)2 _(4 + V5)(4-,5)5、 (2<3 +372 -<6)(2<3 -32)7、(26 -5)10(276 +5)118、1m/9m-(10m<(- -2m2/) (m >0) 325. mw* - 4s + 4 +-2曰十 1【例21】1.已知：1<&42,求 "2"1 的化j5 +1/ +工 +12 .

18、已知一 2一 ，求的值3 .已知：J+b?-4a-26+5=O ,求 口 + 向 的值.4 .求+小+用的化心。- 9 + - £ - 25 .已知工、了是實數(shù)，且示 ，求滅+6了的化知識點八：根式比較大小【知識要點】1、根式變形法當(dāng)aA0,bA0時，如果a Ab,則JOJb;如果a<b,則.a :,b o2、平方法 當(dāng)a >0,b>0時，如果a2 >b2,則a >b ；如果a2 < b2 ,則a<bc3、分母有理化法 通過分母有理化，利用分子的大小來比較。4、分子有理化法 通過分子有理化，利用分母的大小來比較。5、倒數(shù)法6、媒介傳遞法 適當(dāng)選擇介于兩個數(shù)之間的媒介值，利用傳遞性進(jìn)行比較。7、作差比較法 在對兩數(shù)比較大小時，經(jīng)常運用如下性質(zhì)：a-b>0u ab; a - b ： 0 二 a 二 ba1 a ' b8、求商比較法它運用如下性質(zhì)：當(dāng)a>0, b>0時，則：b;（2a一：二 1 = a ： bb【典型例題】【例22】比較3娓與5邪的大小。（用兩種方法解答）【例23】比較常與冷的大小?！纠?4】比較55 -后與濟4 - J13的