新授課：132《球的體積和表面積》

1、封底封底退出退出l掌握球的體積、表面積公式掌握球的體積、表面積公式l掌握球的表面積公式、體積公式的推導(dǎo)過(guò)程及主要思掌握球的表面積公式、體積公式的推導(dǎo)過(guò)程及主要思想進(jìn)一步理解分割想進(jìn)一步理解分割近似求和近似求和精確求和的思想方法精確求和的思想方法l會(huì)用球的表面積公式、體積公式解快相關(guān)問(wèn)題，培養(yǎng)會(huì)用球的表面積公式、體積公式解快相關(guān)問(wèn)題，培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的能力學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的能力l能解決球的截面有關(guān)計(jì)算問(wèn)題及球的能解決球的截面有關(guān)計(jì)算問(wèn)題及球的“內(nèi)接內(nèi)接”與與“外外切切”的幾何體問(wèn)題的幾何體問(wèn)題球的體積公式的推導(dǎo)球的體積公式的推導(dǎo)球的體積公式及應(yīng)用球的體積公式及應(yīng)用球的表面積公式及應(yīng)用球的表面積公式及

2、應(yīng)用球的表面積公式的推導(dǎo)球的表面積公式的推導(dǎo)l教學(xué)重點(diǎn)l教學(xué)難點(diǎn)化為準(zhǔn)確和思想方法化為準(zhǔn)確和思想方法求近似和求近似和分割分割人類的家地球人類的家地球人類未來(lái)的家火星人類未來(lái)的家火星探索火星的航天飛船探索火星的航天飛船人類的空間人類的空間-太陽(yáng)系太陽(yáng)系 如果用油漆去涂一個(gè)乒乓球和一個(gè)籃球，且如果用油漆去涂一個(gè)乒乓球和一個(gè)籃球，且涂的油漆厚度相同，問(wèn)哪一個(gè)球所用的油漆多？涂的油漆厚度相同，問(wèn)哪一個(gè)球所用的油漆多？為什么？為什么？ 一個(gè)充滿空氣的足球和一個(gè)充滿空氣的籃球，一個(gè)充滿空氣的足球和一個(gè)充滿空氣的籃球，球內(nèi)的氣壓相同，若忽略球內(nèi)部材料的厚度，則球內(nèi)的氣壓相同，若忽略球內(nèi)部材料的厚度，則哪一個(gè)

3、球充入的氣體較多？為什么？哪一個(gè)球充入的氣體較多？為什么？問(wèn)題提出問(wèn)題提出 1. 1.柱體、錐體、臺(tái)體的體積公式分柱體、錐體、臺(tái)體的體積公式分別是什么？圓柱、圓錐、圓臺(tái)的表面積別是什么？圓柱、圓錐、圓臺(tái)的表面積公式分別是什么？公式分別是什么？ 2. 2.球是一個(gè)旋轉(zhuǎn)體，它也有表面積球是一個(gè)旋轉(zhuǎn)體，它也有表面積和體積，怎樣求一個(gè)球的表面積和體積和體積，怎樣求一個(gè)球的表面積和體積也就成為我們學(xué)習(xí)的內(nèi)容也就成為我們學(xué)習(xí)的內(nèi)容. .球的概念球的概念球心球心球的半徑球的半徑球的直徑球的直徑球的概念球的概念球的截面的形狀圓面圓面球面被經(jīng)過(guò)球心的平面截得的圓叫做球面被經(jīng)過(guò)球心的平面截得的圓叫做大圓大圓不過(guò)球

4、心的截面截得的圓叫做球的不過(guò)球心的截面截得的圓叫做球的小圓小圓假設(shè)將圓假設(shè)將圓n等分，則等分，則n=6n=12A1A2OA2A1AnO1n3221OAAOAAOAASSSS正多邊形)AAAAAA(p211n3221正多邊形pC21圓正多邊形時(shí)，當(dāng)CC,Rpn2RR2R21S圓pA3回顧：圓面積公式的推導(dǎo) 延伸閱讀：割圓術(shù) 早在公元三世紀(jì)，我國(guó)數(shù)學(xué)家劉徽為推導(dǎo)圓的面積公式而發(fā)明了“倍邊法割圓術(shù)”。 他用加倍的方式不斷增加圓內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)，使其面積與圓的面積之差更小，即所謂“割之彌細(xì)，所失彌小”。這樣重復(fù)下去，就達(dá)到了“割之又割，以至于不可再割，則與圓合體而無(wú)所失矣”。 這是世界上最早的“極限

5、”思想。思考：能否采取“分割”與“極限”思想，推導(dǎo)球的體積和表面積公式？思考：能否采取“分割”與“極限”思想，推導(dǎo)球的體積和表面積公式？ 球的體積：球的體積：若每小塊表面看作一個(gè)平面,將每小塊平面作為底面,球心作為頂點(diǎn)便得到n個(gè)棱錐,這些棱錐體積之和近似為球的體積.當(dāng)n越大,越接近于球的體積,當(dāng)n趨近于無(wú)窮大時(shí)就精確到等于球的體積. 球的表面積：球的表面積：球的表面是曲面,不是平面,但如果將表面平均分割成n個(gè)小塊 ,每小塊表面可近似看作一個(gè)平面,這n小塊平面面積之和可近似 看作球的表面積.當(dāng)n趨近于無(wú)窮大時(shí),這n小塊平面面積之和接近于甚至等于球的表面積.知識(shí)探究（一）知識(shí)探究（一）:球的體積球

6、的體積思考思考1:1:從球的結(jié)構(gòu)特征分析，球的大小從球的結(jié)構(gòu)特征分析，球的大小由哪個(gè)量所確定？由哪個(gè)量所確定？思考思考2:2:底面半徑和高都為底面半徑和高都為R R的圓柱和圓錐的圓柱和圓錐的體積分別是什么？的體積分別是什么？3VR柱313VR錐思考思考3:3:如圖，對(duì)一個(gè)半徑為如圖，對(duì)一個(gè)半徑為R R的半球，其的半球，其體積與上述圓柱和圓錐的體積有何大小體積與上述圓柱和圓錐的體積有何大小關(guān)系？關(guān)系？思考思考4:4:根據(jù)上述圓柱、圓錐的體積，你根據(jù)上述圓柱、圓錐的體積，你猜想半球的體積是什么？猜想半球的體積是什么？323VR球R.34,32:33RVRV 從從而而猜猜測(cè)測(cè)半半球球? 半球半球V3

7、31RV 圓圓錐錐333RV 圓圓柱柱高等于底面半徑的旋轉(zhuǎn)體體積對(duì)比高等于底面半徑的旋轉(zhuǎn)體體積對(duì)比用“祖暅原理祖暅原理”得到球體積公式R332RV 半球半球331RV 圓錐圓錐3RV 圓圓柱柱高等于底面半徑的旋轉(zhuǎn)體體積對(duì)比高等于底面半徑的旋轉(zhuǎn)體體積對(duì)比思考思考5:5:由上述猜想可知，半徑為由上述猜想可知，半徑為R R的球的的球的體積體積 ，這是一個(gè)正確的結(jié)論，你，這是一個(gè)正確的結(jié)論，你能提出一些證明思路嗎？能提出一些證明思路嗎？343VR思考思考6:6:以這些以這些“小球面片小球面片”為底，球心為底，球心為頂點(diǎn)的為頂點(diǎn)的“小錐體小錐體”近似地看成棱錐，近似地看成棱錐，那么這些小棱錐的底面積和高

8、近似地等那么這些小棱錐的底面積和高近似地等于什么？它們的體積之和近似地等于什于什么？它們的體積之和近似地等于什么？么？o o把半球分割成n個(gè)薄片 當(dāng)分割的層數(shù)不斷增加，每一層就越接近一個(gè)圓柱體。當(dāng)所分份數(shù)不斷增加時(shí)，精確程度就越來(lái)越高；當(dāng)當(dāng)所分份數(shù)不斷增加時(shí)，精確程度就越來(lái)越高；當(dāng)份數(shù)無(wú)窮大時(shí)，就得到了圓的面積公式份數(shù)無(wú)窮大時(shí)，就得到了圓的面積公式法法導(dǎo)導(dǎo)出出球球的的體體積積公公式式下下面面我我們們就就運(yùn)運(yùn)用用上上述述方方即先把半球分割成即先把半球分割成n部分，再求出每一部分的近似體積，部分，再求出每一部分的近似體積，并將這些近似值相加，得出半球的近似體積，最后考慮并將這些近似值相加，得出半球

9、的近似體積，最后考慮n變變?yōu)闊o(wú)窮大的情形，由半球的近似體積推出準(zhǔn)確體積為無(wú)窮大的情形，由半球的近似體積推出準(zhǔn)確體積分割分割求近似和求近似和化為準(zhǔn)確和化為準(zhǔn)確和第第一一步：步：分分割割球面被分割成球面被分割成n個(gè)網(wǎng)格，表面積分別為個(gè)網(wǎng)格，表面積分別為：則球的表面積：則球的表面積：則球的體積為：則球的體積為：iSOO,21RRr ,)(222nRRr ,)2(223nRRr AOB2C2AOOR)1( inR半半徑徑：層層“小小圓圓片片”下下底底面面的的第第i.,2,1,)1(22niinRRri irOAOR)1( inR.,2,1,)1(22niinRRri ir當(dāng)n時(shí)，每個(gè)薄片近似于圓柱 設(shè)

10、球的半徑為R，它的體積只與半徑R有關(guān)。 將半球分割成n層，每一層都近似于圓柱形狀的“小圓片”。這些“小圓片”的體積之和就是球的體積。 選第i層（由下而上），如右圖。 厚度： 下底面半徑： 體積：Rn 23211ninRnRrVii 第第二二步：步：求求近近似似和和由第一步得：由第一步得：O OnininRnRrVii,2,1,)1(1232 niinRRri,2,1,)1(22 nVVVV 21半半球球)1(2122223nnnnR 6) 12() 1(123 nnnnnnR 6)12)(1(1123 nnnR 6)12)(11(13nnRV 半半球球.01, nn時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng).343233RVR

11、V 從從而而半半球球334RVR 的的球球的的體體積積為為：定定理理：半半徑徑是是第第三三步：步：轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)化化為為準(zhǔn)準(zhǔn)確確和和知識(shí)探究（二）知識(shí)探究（二）:球的表面積球的表面積思考思考1:1:半徑為半徑為r r的圓面積公式是什么？它的圓面積公式是什么？它是怎樣得出來(lái)的？是怎樣得出來(lái)的？2rS圓a1a2a3ana4思考思考2:2:把球面任意分割成把球面任意分割成n n個(gè)個(gè)“小球面小球面片片”，它們的面積之和等于什么？，它們的面積之和等于什么？o思考思考3:3:以這些以這些“小球面片小球面片”為底，球心為底，球心為頂點(diǎn)的為頂點(diǎn)的“小錐體小錐體”近似地看成棱錐，近似地看成棱錐，那么這些小棱錐的底面積和高

12、近似地等那么這些小棱錐的底面積和高近似地等于什么？它們的體積之和近似地等于什于什么？它們的體積之和近似地等于什么？么？o o2)2)若每小塊表面看作一個(gè)平面若每小塊表面看作一個(gè)平面, ,將每小塊平面作為底面將每小塊平面作為底面, ,球心作為球心作為頂點(diǎn)便得到頂點(diǎn)便得到n n個(gè)棱錐個(gè)棱錐, ,這些棱錐體積之和近似為球的體積這些棱錐體積之和近似為球的體積. .當(dāng)當(dāng)n n越大越大, ,越接近于球的體積越接近于球的體積, ,當(dāng)當(dāng)n n趨近于無(wú)窮大時(shí)就精確到等于球的體積趨近于無(wú)窮大時(shí)就精確到等于球的體積. .1) 1)球的表面是曲面球的表面是曲面, ,不是平面不是平面, ,但如果將表面平均分割成但如果將

13、表面平均分割成n n個(gè)小塊個(gè)小塊 , ,每每小塊表面可近似看作一個(gè)平面小塊表面可近似看作一個(gè)平面, ,這這n n小塊平面面積之和可近似小塊平面面積之和可近似 看作看作球的表面積球的表面積. .當(dāng)當(dāng)n n趨近于無(wú)窮大時(shí)趨近于無(wú)窮大時(shí), ,這這n n小塊平面面積之和接近于甚至小塊平面面積之和接近于甚至等于球的表面積等于球的表面積. . 球面不能展開(kāi)成平面圖形，所以求球的表面積無(wú)法用展開(kāi)圖求球面不能展開(kāi)成平面圖形，所以求球的表面積無(wú)法用展開(kāi)圖求出，如何求球的表面積公式呢出，如何求球的表面積公式呢? ?回憶球的體積公式的推導(dǎo)方法回憶球的體積公式的推導(dǎo)方法, ,是是否也可借助于這種否也可借助于這種極限極

14、限思想方法來(lái)推導(dǎo)球的表面積公式呢思想方法來(lái)推導(dǎo)球的表面積公式呢? ? 下面，我們?cè)俅芜\(yùn)用這種方法來(lái)推導(dǎo)球的表面積公式下面，我們?cè)俅芜\(yùn)用這種方法來(lái)推導(dǎo)球的表面積公式oiS o第第一一步：步：分分割割球面被分割成球面被分割成n n個(gè)網(wǎng)格，表面積分別為：個(gè)網(wǎng)格，表面積分別為：nSSSS ,321，則球的表面積：則球的表面積：nSSSSS 321則球的體積為：則球的體積為：iV 設(shè)“小錐體”的體積為設(shè)“小錐體”的體積為iVnVVVVV 321iSO OO O第第二二步：步：求求近近似似和和ih由第一步得：由第一步得：nVVVVV 321nnhShShShSV 31313131332211 iiihSV

15、 31 O OiSiVO O S = ？思考思考4:4:你能由此推導(dǎo)出半徑為你能由此推導(dǎo)出半徑為R R的球的的球的表面積公式嗎？表面積公式嗎？球的表面積公式推導(dǎo)：則球的體積為：則球的體積為：iV 設(shè)“小錐體”的體積為設(shè)“小錐體”的體積為nVVVVV 321iSO OO O34133RsR第第三三步：步：化化為為準(zhǔn)準(zhǔn)確確和和RSVii31 如果網(wǎng)格分的越細(xì)如果網(wǎng)格分的越細(xì), ,則則: “: “小小錐體錐體”就越接近小棱錐就越接近小棱錐RSRSRSRSVni 3131313132 RSSSSSRni31).(3132 334RV 又又球球的的體體積積為為：RiS iVihiSO OiV234,31

16、34RSRSR 從從而而Rhi的的值值就就趨趨向向于于球球的的半半徑徑 則球的體積為：則球的體積為：iV 設(shè)“小錐體”的體積為設(shè)“小錐體”的體積為iVnVVVVV 321iSO OO O34133RsR由此推導(dǎo)出半徑為由此推導(dǎo)出半徑為R的球的表面積的球的表面積公式公式24SR半徑為半徑為R R的球的表面積公式的球的表面積公式思考思考5:5:經(jīng)過(guò)球心的截面圓面積是什么？經(jīng)過(guò)球心的截面圓面積是什么？ 它與球的表面積有什么關(guān)系？它與球的表面積有什么關(guān)系？ 球的表面積等于球的大圓面積的球的表面積等于球的大圓面積的4 4倍倍24SR球343VR球半徑為半徑為R R的球的體積公式的球的體積公式理解新知理解

17、新知 1球的體積公式推導(dǎo)：分割近似求和精確求和 2球的表面積公式推導(dǎo)：分割近似求和精確求和 3球的表面積等于球的大圓面積的4倍 4球的體積是球體所占空間大小的度量，球的表面積是對(duì)球的表面大小的度量，由球的幾何結(jié)構(gòu)特征可知它們都是由球半徑惟一確定，都是球半徑的函數(shù)，根據(jù)和可以發(fā)現(xiàn)，確定球半徑大小是求解球的體積和表面積的關(guān)鍵所在例例1.1.鋼球直徑是鋼球直徑是5cm,5cm,求它的體積求它的體積. .3336125)25(3434cmRV (變式變式1 1)一種空心鋼球的質(zhì)量是一種空心鋼球的質(zhì)量是142g,142g,外徑是外徑是5cm,5cm,求它求它的內(nèi)徑的內(nèi)徑.( .(鋼的密度是鋼的密度是7.

18、9g/cm7.9g/cm2 2) )(變式變式1 1)一種空心鋼球的質(zhì)量是一種空心鋼球的質(zhì)量是142g,142g,外徑是外徑是5cm,5cm,求它求它的內(nèi)徑的內(nèi)徑.( .(鋼的密度是鋼的密度是7.9g/cm7.9g/cm2 2) )解解:設(shè)空心鋼球的內(nèi)徑為設(shè)空心鋼球的內(nèi)徑為2xcm,則鋼球的質(zhì)量是則鋼球的質(zhì)量是答答:空心鋼球的內(nèi)徑約為空心鋼球的內(nèi)徑約為4.5cm.14234)25(349.733 x 3.1149.73142)25(33 x由計(jì)算器算得由計(jì)算器算得:24. 2 x5 . 42 x( (變式變式2) 2)把鋼球放入一個(gè)正方體的有蓋紙盒中把鋼球放入一個(gè)正方體的有蓋紙盒中, ,至少要

19、用多少紙至少要用多少紙? ?用料最省時(shí)用料最省時(shí), ,球與正方體有什么位置關(guān)系球與正方體有什么位置關(guān)系? ?球內(nèi)切于正方體球內(nèi)切于正方體2215056cmS 側(cè)側(cè)側(cè)棱長(zhǎng)為側(cè)棱長(zhǎng)為5cm例例2.2.如圖，正方體如圖，正方體ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1的棱長(zhǎng)為的棱長(zhǎng)為a,a,它的各它的各個(gè)頂點(diǎn)都在球個(gè)頂點(diǎn)都在球O O的球面上，問(wèn)球的球面上，問(wèn)球O O的表面積。的表面積。A AB BC CD DD D1 1C C1 1B B1 1A A1 1O O分析：正方體內(nèi)接于球，則由球和正方分析：正方體內(nèi)接于球，則由球和正方體都是中心對(duì)稱圖形可知，它們中心重體都是中心對(duì)稱

20、圖形可知，它們中心重合，則正方體對(duì)角線與球的直徑相等。合，則正方體對(duì)角線與球的直徑相等。22222113423,)2()2(:aRSaRaaRDDBRt 得得中中略略解解：A AB BC CD DD D1 1C C1 1B B1 1A A1 1O OOABCO 例已知過(guò)球面上三點(diǎn)例已知過(guò)球面上三點(diǎn)A、B、C的截面到球心的截面到球心O的距的距離等于球半徑的一半，且離等于球半徑的一半，且AB=BC=CA=cm，求球的，求球的體積，表面積體積，表面積解：如圖，設(shè)球解：如圖，設(shè)球O半徑為半徑為R，截面截面 O的半徑為的半徑為r，r332AB2332AO 是是正正三三角角形形，ABCROO ,2 .34

21、R .96491644S2 R,)332()2R(R222 OABCO ,222AOOOOAAOORt 中中解解：在在 ;81256)34(343433 RV例例.已知過(guò)球面上三點(diǎn)已知過(guò)球面上三點(diǎn)A、B、C的截面到球心的截面到球心O的距離的距離等于球半徑的一半，且等于球半徑的一半，且AB=BC=CA=cm，求球的體積，求球的體積，表面積表面積 例例4 4 已知已知A A、B B、C C為球面上三點(diǎn)，為球面上三點(diǎn)，AC=BC=6AC=BC=6，AB=4AB=4，球心球心O O與與ABCABC的外心的外心M M的距離等于球半徑的一半，求這個(gè)的距離等于球半徑的一半，求這個(gè)球的表面積和體積球的表面積和

22、體積. .ABCOM3 6,54 ,27 62RSV2.一個(gè)正方體的頂點(diǎn)都在球面上一個(gè)正方體的頂點(diǎn)都在球面上,它的棱長(zhǎng)是它的棱長(zhǎng)是4cm,這個(gè)球的體積為這個(gè)球的體積為cm3. 8 3323.有三個(gè)球有三個(gè)球,一球切于正方體的各面一球切于正方體的各面,一球切于一球切于正方體的各側(cè)棱正方體的各側(cè)棱,一球過(guò)正方體的各頂點(diǎn)一球過(guò)正方體的各頂點(diǎn),求這求這三個(gè)球的體積之比三個(gè)球的體積之比_.1.球的直徑伸長(zhǎng)為原來(lái)的球的直徑伸長(zhǎng)為原來(lái)的2倍倍,體積變?yōu)樵瓉?lái)的倍體積變?yōu)樵瓉?lái)的倍.練習(xí)一練習(xí)一33:22:14.4.若兩球體積之比是若兩球體積之比是1:21:2，則其表面積之比是，則其表面積之比是_. .練習(xí)二練習(xí)二2422:134:1