2021屆高三數(shù)學(xué)(文理通用)一輪復(fù)習(xí)題型專(zhuān)題訓(xùn)練：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用--函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題(含解析)

1、導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用一函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題考查內(nèi)容：主要涉及利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題一.選擇題(在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1 .求函數(shù)/(x) = 2d3x + l零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為()A. 1B. 2C. 3D. 42 .若函數(shù)- 12x +“有三個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是()A. (一,8)B. (-oo,8)C. -16,16D. (-16,16)3 .若函數(shù)力=丁3犬+。在0,2)上有2個(gè)零點(diǎn)，則。的取值范圍為()A. (2,2)B. (0,2C. (-2,0D. 0,2)4 .已知函數(shù)/'(x) =,xe(0,+8),若函數(shù)y = /(x)一為有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，

2、則實(shí)數(shù)。的取值范圍是()-1 -5 .若函數(shù)/(封=二-依存在兩個(gè)不同零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是()A.1y,一eB.0,1 e JC. (-8,0)一 eD. (一8,0)5 0,L eIn X6.已知函數(shù)/'(x) =-a， g(x) =X實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(3(ln x - ax) “一皿 ”、，、一.山-,若方程/(x) = gW有2不同的InxA. (一,e)B.C. (-,0)0(0,4-00)D. (e,+8)7.已知/("=。(y一)一工門(mén)(.>0)存在唯一零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)。的取值范圍A.兀 ,+8B.兀,+o02C.1,4-00 【2D.1一,+

3、8 28.已知函數(shù)/(*.)=2/-(6” + 3)X2+12公+1&/ (a<0)只有一個(gè)零點(diǎn)方,貝ija的取值范圍為（）A.1一oO,2B.-r°C.3)03,2)D.39.已知函數(shù)/（x） = i（x - 2e）lnx + l在（1,+s）上有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)加的取值范圍A.(0,B.1 -,+0010.設(shè)函數(shù)/(x) = V 2eW+田一Inx,C. (O,e)D. (e,+8)記 g(x) = 3X若函數(shù)g（x）至少存在一個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍是（）A.)1_=>©+一 eB.O,e2+1 eD._e2-l,e2+-11.設(shè)函數(shù)/'

4、（x）是函數(shù)X）（X£R）的導(dǎo)函數(shù)，當(dāng)xwO時(shí),f，(x) + - A - <0 ,則函數(shù) g(x) = /(x) - -7 Xx的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）A. 3B. 2C.D. 012.已知函數(shù)g(x) = e"sinx-若0<。41,則g。）在（0,兀）上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為A. 0B. 1C.D. 3填空題13 .已知函數(shù)/（外=/一”2一工+。有三個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)。的取值范圍為14 .函數(shù)y = 在區(qū)間（0,3上有兩個(gè)零點(diǎn)，則，的取值范圍是15.已知函數(shù)/（x） =一 + mx2,x <0.C /、< ex,若函數(shù)/（x）有四個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)ex +/zz

5、x2,x>0加的取值范圍是16 .若函數(shù)/（1）=冰2+2（ l）x21nx1只有一個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)。的取值范闈是三.解答題(解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟)17 .已知函數(shù)/(力=，43一與/, (x) = -v,且“X)在區(qū)間(2,RD)上 323為增函數(shù).(1)求k的取值范圍：(2)若函數(shù)/(x)與g(x)的圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)k的取值范闈.18 .已知函數(shù)/(%) = -9-bx，+2x+l, (xeR).(1)若/, = ”,求函數(shù)y = /(x)的單調(diào)區(qū)間：2(2)若x =-l是函數(shù)y =/(x)的一個(gè)極值點(diǎn)，試判斷此時(shí)函數(shù)y =/(X)的零點(diǎn)個(gè)數(shù), 并說(shuō)明理由

6、.19 .設(shè)函數(shù) J'(x) = Inx-L/x?-以2(1)若x = l是/(X)的極大值點(diǎn)，求。的取值范圍.(2)當(dāng)。=0/=-1時(shí)，函數(shù)/(x) = /(x)丸/有唯一零點(diǎn)，求正數(shù)的值.2021屆高三一輪復(fù)習(xí)題型專(zhuān)題訓(xùn)練20 .已知函數(shù)/(x) = (xT)lnx, g(“ = x-lnx-. e(1)求證：函數(shù)y = /(x)的圖象恒在函數(shù)y = g(x)圖象的上方：(2)當(dāng)"7>0時(shí)，令/?() =時(shí)(x) + g(x)的兩個(gè)零點(diǎn)M，工2(NV)求證:1Xy - X <6.21 .已知函數(shù)/(x) = axsinx ;“(a £ R, ”。0)

7、,(1)討論人工)在。巳上的單調(diào)性.2(2)當(dāng)。>0時(shí)，若/(X)在0, y 上的最大值為乃1,討論：函數(shù)/(X)在(0,4) 內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).22 .已知函數(shù)/(x) = ；x'-«/+x + l).(1)若4 = 3,求/(五)的單調(diào)區(qū)間：(2)證明：/(x)只有一個(gè)零點(diǎn).-#-導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用一函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題解析1 .【解析】/ (x) = 6x2 - 3 = Ox = ±-,上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在當(dāng)斗上單調(diào)遞增, 所以當(dāng)x = _當(dāng)時(shí)J")取到極大值1 + 0>0.所以當(dāng)x = ? 時(shí),"X)取到極小值1一點(diǎn)<0，所以函

8、數(shù)f(x) = 2x3-3x + 1零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為3,所以C選項(xiàng)是正確的2 .【解析】/(幻=1-121+。，fx = 3x2 -12 = 3(x + 2)(x-2).令/'(x) = 0,解得玉=一2, %二2.XG (-00,-2), /'(x)>0, 7")為增函數(shù)，工£(一2,2),廣(幻0, 7*)為減函數(shù)，xe(2,+oo),八%)>0, f(x)為增函數(shù)一所以f極大值W = f(2) = l6 + a , /極小伯(x) = /=-16 + a.因?yàn)楹瘮?shù)x) = M-12x + ”有三個(gè)不同的零點(diǎn)，等價(jià)于方程/。) = 0有三個(gè)不同的

9、根.16 + «>0所以一 八，解得16<。<16.故選：D16 +。<03 .【解析】由/(x) = 0得 =一/+3設(shè)g(x) = -x3 + 3x, 0<<2, 則函數(shù)/(x) = V3x+。在0,2)上有2個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于直線y = 與函數(shù)g(x)的圖像有兩個(gè)交點(diǎn)，又g (x) = -3,d+3,當(dāng)0<x<l時(shí)，g'(x)>0；當(dāng) 1<文<2時(shí)，g'(x)<0.則函數(shù)g(x)在。,1)為增函數(shù)，在(1,2)為減函數(shù)，g(x)m”=g(l)= 2,又g(O)= O, g=_2,又函數(shù)/(&quo

10、t;二父一3工+。在0,2)上有2個(gè)零點(diǎn)，則。的取值范圍為0,2).故選：D.4 .【解析】因?yàn)楹瘮?shù))，= /(人) 久，有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，所以函數(shù)/(x) =乙,xe(O,+s)的圖像與直線 >有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，X由 /e (°，+s)得 / (x) = 丁 = e，令/ (力=0,則x = l,當(dāng)0<x<l時(shí)，/ (x)<0；當(dāng)工>1 時(shí)，f (x)>0,所以/(x)在(0/)上單調(diào)遞減，在(1,一)上單調(diào)遞增，所以x = l時(shí)，/(X)取最小值/(l) = e,且當(dāng)文-0時(shí)，,當(dāng)時(shí)，/(x)-ko,所以要使函數(shù)/(X)= ,x e (0,2)

11、的圖像與直線V = 2a有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，只要即可，即。>£,故選：B2 廠5 .【解析】函數(shù)/(x) =下心存在兩個(gè)不同零點(diǎn)，V-等價(jià)于* 有兩個(gè)不同的解，XX = 0滿足條件，所以4 = 3有一個(gè)非零根， e人 / X ,/、 G' XC i 1 - X令gW = ；7，屋(x) = = ee e當(dāng)x>l 時(shí)，g'(x)<0, xvl時(shí)，g'W>。，所以g(x)在(-8,1)上單調(diào)遞增，在(1,2)上單調(diào)遞減，且當(dāng)xe(一)時(shí)，/(x)e(-oo/),當(dāng)xe(l,+8)時(shí)，/(x)e(0,-), ee所以有一個(gè)非零根時(shí)，實(shí)數(shù)的取值范

12、圍是(故選：C. 、 z、z«lnx3(lnx-av)6 .【解析】由 /(x) = g(x) f jci =,xIn.r去分母整理得(出工一3幻。0不一4的=0有2不同的實(shí)數(shù)解，In xInx所以lnx-3x = 0或lnx-at = O,所以一-=3或一=",XX設(shè) /?w = (x> 0),所以 hx)=匕% , X廠當(dāng)0<文<6時(shí)，hx) > 0,函數(shù)刀(X)單調(diào)遞增，當(dāng)x>e時(shí)，'(x)<0,函數(shù)/?*)單調(diào)遞減.所以/7(X)min=(e)= ,v3,所以史 =3沒(méi)有實(shí)數(shù)解 exlux所以方程。有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解.X當(dāng)

13、 x - 0 時(shí)，/?(X)< 0 ；當(dāng) 時(shí)，h(x) > 0.要方程”="有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，必須0<。<1 .故選：B. xe7 .【解析】由題意知/(。)=。，./3) = 4(/-07)-$H丫(">。)存在唯一零點(diǎn)，/3)只有一個(gè)零點(diǎn)0.,./(r) = sinx + “(eT/) = -/(x),./(x)是奇函數(shù)，故只考慮當(dāng)x>0時(shí)，函數(shù)/(X)無(wú)零點(diǎn)即可.1V當(dāng) X > 0 時(shí)，有 X > sin X,. /(X)= "(，一"' -sinx)> a(ex -1 - -). a

14、a令g(x) = H一* , x>0,則 g(0) = 0,a短(x) =x > 0 ,ag(x) =，-> 0 ,g'(x)在(0,48)上單調(diào)遞增，g(0) =。，.*'")>g"(0) = 2,20, / 故選：D. a28.【解析】/(不)=213一(6。+ 3)X2+12or+16.J-7-/. f(X)= 6x2 -2(6a + 3)x + 2a = 6(x-l)(x-2a),a <0.令 f'(x) = 0,解得 xx =l,x2 =2a ,則當(dāng) xe(f ,2)U(l,+s)時(shí)，f'(x) >

15、; 0,故函數(shù)在(f,2«)，(1,y)上單調(diào)遞增，當(dāng)xe(2a,l)時(shí)，/x(a)<0,函數(shù)為減函數(shù)，所以當(dāng)x = l時(shí)，函數(shù)取得極小值，極小值為/(1) = 16/+6。1,當(dāng)x = 2a時(shí)，函數(shù)取得極大值，極大值為/(24，且 X T 時(shí)，/(A)-> -oo , X>_K50 時(shí)，/(X)因?yàn)楹瘮?shù)只有一個(gè)零點(diǎn)與，所以/=16/ + 6 - 1 > 0 或 f(2a) = 16/ _ 4a2(6a + 3) + 40a2 < 0,1171解得-或。>一或">一，因?yàn)椤?lt;0,所以。<一一，故選：.4 28229.【解

16、析】因?yàn)榉匠绦?e)lnx + l=。在(l,+oo)上有兩個(gè)解，即(x - 2e) In x =在(1,)上有兩個(gè)解， m設(shè)8。)=(工一26)11】，則 g'(x) = lnx + l-U, x,飛'(不)在。(1,+00)上為增函數(shù),且g'(e) = 0,，當(dāng)xe(l,e)時(shí)，g'(x)vO, g(x)單調(diào)遞減，當(dāng)xe(e,Ts)時(shí),g'(x)>0, g(x)單調(diào)遞增.又g(l) = o, g(e) = -G, Xf+oo時(shí)，g(x)一，1 (1A<Q,-,+8 .故選:BmeJ10.【解析】函數(shù)g(x)定義域是(0,xo),晨不)=/

17、一24+ 7-史，Xg (x) = 2a* 2c； , 設(shè) h(x) = 2x 2er h,則廠廠 廠“、321 - 21nx 2.v3 + 3 - 2 In x "3 C 仁7/? (x) = 2 + +；=：, 設(shè)心)=2丫+3 21nx, 則JT XJT2 62Iq*(x) = 6x2 = -, (1 (x) = 0 = x = -y=,易知g極小的(x)=x x>/3。(金) = |" + 3 - 21n5>0,即q(x)>。也即/?'(x)>0在(0,一)上恒成立，所以(x)在(0,*。)上單調(diào)遞增，又(c) = o,因此是/7(x

18、)的唯一零點(diǎn)，當(dāng)0cx<e時(shí)，h(x) < 0 t當(dāng)時(shí)，/z(x) > 0,所以g(x)在(0,e)上遞減，在(e,一)上遞 增，g極小(ft(x)=放)，函數(shù)g(x)至少有一個(gè)零點(diǎn)，則8(6)= /-2/+.e,1m «+ 故選B.e11【解析】設(shè)/(x) = df(x)-l,則F(x) = 丁/'(“ + 3x2f (x) = x3 1r(x) + 空D當(dāng) XW0 時(shí)，/z(A-) + -<0,當(dāng)x>0時(shí)，x3>0.故夕'(x)<o,所以，函數(shù)y = F(x)在(o,x)上單調(diào)遞減； 當(dāng)x<0時(shí)，x3<0,故尸

19、'(x)>0,所以，函數(shù)> =尸()在(f,0)上單調(diào)遞增.所以產(chǎn)(x)max=f'(0) = -lvO,所以，函數(shù))' = E("沒(méi)有零點(diǎn)，故g(x) = /(x)-3 = 2也沒(méi)有零點(diǎn)做選：D. Xf X12 .【解析】由題意，gf(x) = evsinx + evcosx-a = ev(sinx + cosx)-a , 令 (x) = g'(x), WO hf(x) = e1 (sin x + cos x) + e1 (cos x - sin x) = 2er cos x ,，當(dāng)工£(0，)時(shí)，hl(x) > 0, /

20、?(x)單調(diào)遞增，即g'(x)單調(diào)遞增：當(dāng)xe(5,冗)時(shí)， 22h'(x) < 0, (x)單調(diào)遞減,即g'(x)單調(diào)遞減一v0<n<l, /. g,(0) = l-i/>0, gf(ji) = -en<0.z()>0 ,2，存在,%£(；,兀)，使得 g'*o)=。，.當(dāng)xe(0,%)時(shí),g'(x)>0, g(x)單調(diào)遞增；當(dāng) xe(%,7t)時(shí)，gx) < 0, g(x)單調(diào)遞減，又= g(0) = 0 , gS) = -an < 0,9二函數(shù)g（X）在（0,兀）上的大致圖象,如下圖所

21、示:所以，若函數(shù)g（x）在（。,兀）上有1個(gè)零點(diǎn).故選：B.13 .【解析】由題意可得：函數(shù)/（外=«?一工2一%+ ，所以/"（x） = 3W_2x 1,令/'（x）>。，則 X>1 或XV；,令/'（X）<。,則一;vxvl,1A（ 1 A所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為-8,一三和（1.楨），減區(qū)間為一三1（5所以當(dāng)工=一一時(shí)函數(shù)有極大值，f - = + a 3 3 7 2 /當(dāng)x = l時(shí)函數(shù)有極小值，/（!）= «-1,因?yàn)楹瘮?shù)/1）=/一 / 一 x + ”有三個(gè)零點(diǎn)，1A 5解得-上 2714-所以f -鼻| =萬(wàn) + 4&g

22、t;0且F（l） = "_l<0,故實(shí)數(shù)”的取值范圍為-Jy.故答案為: 乙/14 .【解析】由題意得），=/一忒=0,得 ？ =色，設(shè) xf （x）=r（X）= H V）,可得/（X）在區(qū)間（1,3）上單調(diào)遞增;AA.X在區(qū)間（。/）上單調(diào)遞減，所以當(dāng)x = l時(shí)，函數(shù)/（X）取得極小值，同時(shí)也是最小值"1） = 6,因?yàn)楫?dāng)工.0時(shí)，/（X）f+S,當(dāng)x = 3時(shí)，/（3）=-,所以要使得函 3數(shù)y = ex 在區(qū)間（0,3上有兩個(gè)零點(diǎn)，所以實(shí)數(shù)？的取值范圍是e v m<y.2021屆高三一輪復(fù)習(xí)題型專(zhuān)題訓(xùn)練15 .【解析】x>0時(shí)，f（x） = ex

23、+mx2 1 /（-x） =+ mx1 = ex + mx1,所以/（T）= X）,因?yàn)楹瘮?shù)/（x）的定義域?yàn)椋▂o,0）U（0，+s）,該定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，所以函數(shù)/（X）為偶函數(shù).若函數(shù)/（X）有四個(gè)不同的零點(diǎn)，則函數(shù)/（X）在（0,+8）上有兩個(gè)不同的零點(diǎn).當(dāng)x>0時(shí)，令/（工）=。得/+"?:/=0,即加=一二， 廠令8（%）=一，/>0,則函數(shù)/（工）在（0,+“）上有兩個(gè)不同的零點(diǎn)時(shí)，尸直線），=m與函數(shù)g （x）的圖象在（0, X）上有兩個(gè)不同的交點(diǎn).，,、 2er ex （2-x）ex 人（2 x）/ 八出 g'（x） = y r = -j，令-

24、=0得x = 2, X r XX當(dāng)0vx<2時(shí)，g<x）=（2 '）e' >0, g（x）為增函數(shù)：當(dāng)x>2時(shí)，x4（幻二（27 Jo, g（x）為減函數(shù)：X所以g（X）mx=g（2） = -9，作出圖象如圖,16 .【解析】因?yàn)樗?以，2(。-1)/21I1X1,定義域?yàn)?O,x),rr. . ，/、z 2 2av + 2(" - 1)x 2 2(cix - l)(x + l)所以 f(x) = 2ax, + 2卜，. 1) 一 一 =-XX當(dāng)公0時(shí)，x)vO恒成立，即“X)在定義域上單調(diào)遞減，f(l) = 3(a 1)<0,當(dāng)x .。

25、+時(shí)，>0, 2(。一l)x f 0, 2Inx > +qo,所以/(x) -«Q，所以f(x)在(0,1)上存在唯一的零點(diǎn)，滿足條件；當(dāng)>0時(shí)，令/(、)= 2(八二】?jī)?#39; + 1)>0,解得即函數(shù)在L+s上單調(diào)'，xa Cl )遞增，令/“(* =11 1<0,解得0<x<即函數(shù)在。，一a a)上單調(diào)遞減，則/(x)在x取值極小值即最小值，/(x)mm=/(；) = l + 21n” 一 ；，令 g()= l + 21n“一，«e(0,-b<o),則/(。)= 2 + 二='：>。恒成立，即

26、g()= l + 21na 1在定義域上單調(diào)遞增，且g= l + 21nl 1 = 0,a所以要使函數(shù)/(1)=儀2+2(一l)x21nx1只有一個(gè)零點(diǎn)，則/(x)min =/(：) = l + 21na_： = 0,解得” =1,綜上可得“W0或” =1：17 .【解析】(1)由題意/。)=工2一(攵+ 1)工因?yàn)?(M在區(qū)間(2,)上為增函數(shù)所以/'(x) = Y 一仕+ 1卜20在區(qū)間20)上恒成立, 即k + 恒成立，又4>2,所以攵+ 142,故AW1. 當(dāng)& = 1時(shí)，/(x) = £ 2在區(qū)間(2,一)恒大于0.故f(x)在區(qū)間(2,0)上單增，符

27、合題意.所以的取值范圍為&<1(2)設(shè)/?(x) = /(x)_g(x) = J一二112/+奴一!h (x) = x1 _( + l)x + = (x-Z:)(x-l)令人'(x) = 0得x = k或x = l,由(1)知AVI,二當(dāng)A=1時(shí)，/z(x) = (x-l)2>0, (力在R上遞增，顯然不合題意二當(dāng)Avl時(shí)，(力，/隨工的變化情況如下表:工（一0°,&）k（W1（1,+功“(X)+00+h（x）/攵 3 k2 1 極大_L+L_162 3極小B 2/由于一> 0,欲使/(x)與g(X)圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn), 乙即方程fM =

28、g(x),也即(x) = 0有三個(gè)不同的實(shí)根5 / G 1故需+>0 即（攵-1）（/-2 攵-2）vO所以<k<左2一2 攵一 2>0解得女<1一百綜上，所求k的范圍為18 .【解析】fx) = x2-2bx+2.(1)Z? = ,時(shí)，/'(1) = 9-3；1+2 =(1-1)(1_2),令/'(工):>0解得犬<1或工>2.所以，人=，時(shí)函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為(口,1),(2,轉(zhuǎn)).令(文)<0,解得1cx<2.所以,=,時(shí)函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為(1,2).(2)因?yàn)? =1是函數(shù)y = f(x)的一個(gè)極值點(diǎn)，則/1

29、)=0,故：1 +勃+ 2 = 03解得：h = -,此時(shí)尸(_¥)=/一次+2 =犬+3.丫+2,令/(x) = 0解得：x = 2或工=一1 .則x變化時(shí)，/'(x)J(x)的變化情況如下.X(口,-2)-2（-2,一1）-1(T，”)+00+/W遞增極大值遞減極小值遞增故此時(shí)X = 1時(shí)，/ (X)有極小值/ (- 1) = > 0 : 6%=一2時(shí)，/(x)有極大值/(-2) = ->0：則當(dāng)文>2時(shí)，1)>0,顯然函數(shù)在(一2,內(nèi))上無(wú)零點(diǎn).又/(3)= -，,(也可取x = T等)，則/(3)/(2)<0,結(jié)合函數(shù)在(一co,-2)

30、2上單調(diào)遞增，故由零點(diǎn)存在定理知，函數(shù)在(口,-2)上必有唯一零點(diǎn).綜上：若工=_1是函數(shù)y = "x)的一個(gè)極值點(diǎn)，則此時(shí)函數(shù)y=4x)在R上有唯一零點(diǎn)19 .【解析】(1) /(x)的定義域?yàn)?0,+8),fr(x) = -ax-b,由=得/? = _.XA f(x) = - 公 + 4 - 1 = LXX若由/'(x) = o,得x = L當(dāng)Ovxvl時(shí)，/'(%)>0,此時(shí)“X)是單調(diào)遞增;當(dāng)%>1時(shí)，尸(工)<0,此時(shí)“X)是單調(diào)遞減，所以無(wú)=1是/(X)的極大值點(diǎn).若"<。，由/'(x)=。，得X = 1或工=一.

31、a因?yàn)閄 = 1是/(x)的極大值點(diǎn)，所以一：>1,解得1<4<0, 綜合：。的取值范圍是4>一1.(2)因?yàn)楹瘮?shù)尸(x) = /(x)"£有唯一零點(diǎn)，即/hu x = 0有唯一實(shí)數(shù)解, 設(shè)8(1)=%/一1改一工，則g，(x)= 2/ ' 二 '二1 .令g'(x) = O , 22x2-x-1 = 0.因?yàn)?>0,所以 = l+8/l>0,方程有兩異號(hào)根設(shè)為 x, <0,x2 >0 t因?yàn)閤>0,所以演應(yīng)舍去.當(dāng)工£(0,)時(shí)，g'(x)<°，8(X)在(0,

32、)上單調(diào)遞減：當(dāng))£(天,+00)時(shí),g<x)>0, g(x)在(松+8)單調(diào)遞增.故 ga"n=g(x2).因?yàn)?g(x) = o 有唯一解，所以 gH) = °，則卜R 口"/5-=。屋仁)=。'2忒；-馬-1 = 0因?yàn)橥?gt;0,所以21nx2+/-1=。 (*),設(shè)函數(shù)/?(x) = 2hix+x-l,因?yàn)楫?dāng)x>0時(shí)，(另是增函數(shù)，所以/?(x) = 0至多有一解.因?yàn)??(1) = 0,所以方程(*)的解為 = 1，代入方程組解得4 = 120 .【解析】證明：構(gòu)造函數(shù)(x) = /(M g(x) = xlnx x

33、 + 2,(x>0). e則”(x) = lnx+l-l = Inx » 令'(x) = 0得x = l：.X G(0,1)時(shí) (x) V 0 , X £ (1,4*00)時(shí) h' (x) < 0./?("在(0,1)為減函數(shù)，在(1.m)為增函數(shù)，3 3右，、/ 、所以+>0，即/(x)>g(x)e 3故函數(shù)y = / (工)的圖象恒在函數(shù)y = g (x)圖象的上方.，、，、, 、3(2)證明：由2(x) = /z?f(x) + g(x) = m(+_l)lnx+x_lnx_有兩個(gè)零點(diǎn), e當(dāng) m > 0時(shí)力

34、9;(x)=lnx + 1-j + 1- 則/?(、)在(0,+a)為增函數(shù)，且"(1) = 0,則當(dāng)xe(O,l)時(shí)/«x)<0, (力為減3函數(shù)，當(dāng)xe(l,+<功時(shí)'(x)>。，(x)為增函數(shù)，./7(力皿=/?(1) = 1 一二<0,(一 in fi 1 1,13 人 2 八又 /? 一 = ? _ _ 1 . In + _ In = in 1 +1 _ > 0 , e Jee e ee) e31（6）= 7（£-1） + 6-1一二>0.二.（工）在一和（1,6）上各有一個(gè)零點(diǎn) 內(nèi) , ee Jx）（N vxj, 故M一玉 <e-L e21,解析】（1） /' （x） = a sin x+or cos x = a （sin x+xcos x）-15-當(dāng)xe 0,二時(shí)，sinx+xcosx>0 2