集合與簡易邏輯高考考點(diǎn)解析

1、集合與簡易邏輯高考考點(diǎn)解析河北灤縣第二中學(xué) 龐志全（郵編063700聯(lián)系電話03157106958）集合與簡易邏輯是未來學(xué)習(xí)的工具，是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。在高考中，集合與簡易邏輯問題常以選擇題、填空題題型出現(xiàn)，主要考查基本概念、基本運(yùn)算以及數(shù)形結(jié)合、等價轉(zhuǎn)化、分類討論、函數(shù)與方程等數(shù)學(xué)思想，有時也出現(xiàn)在解答題中。本章的考試內(nèi)容：集合、子集、補(bǔ)集、交集、并集、邏輯聯(lián)結(jié)詞、四種命題、充分條件和必要條件。本章的考試要求：1理解集合、子集、補(bǔ)集、交集、并集的概念；了解空集、全集的意義；了解屬于、包含、相等關(guān)系的意義；掌握有關(guān)術(shù)語和符號，并會用它們正確表示一些簡單的集合。2理解邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”、“且”、“非

2、”的含義；理解四種命題及其相等關(guān)系；掌握充分條件、必要條件及充要條件的意義?？键c(diǎn)示例與解析考點(diǎn)1考查集合中元素個數(shù)示例1設(shè)集合M=(x,y)x2+y2=1,xR,yR，N=(x,yx2-y=0,xR,yR，則集合M N中元素的個數(shù)（ ） A1 B2 C3 D4 （04廣西）解析：本例主要考查交集運(yùn)算、方程組的解法及集合的有關(guān)概念-1+x=22x+y=12（法一）依題意，得方程組，解得或2-1+y-x=0y=2-1+5x=-2，所以集合M N中元素的個數(shù)是2個，選擇B -1+y=2（法二）集合M=(x,y)x2+y2=1,xR,yR是圓N=(x,y)x2-y=0,xR,yR是拋物線y=x2上的x

3、2+y2=1上的點(diǎn)組成的集合，點(diǎn)組成的集合. 集合M N表示圓x2+y2=1與拋物線y=x2的交點(diǎn)組成的集合。作出圓x2+y2=1與拋物線y=x2的圖形，看交點(diǎn)個數(shù)即可求出答案。注意：解決集合問題時，數(shù)形結(jié)合能夠起到簡化運(yùn)算的效果?？键c(diǎn)2考查集合與集合的關(guān)系，即子集、真子集、相等集合的概念。 示例2. 設(shè)集合P=1,2,3,4,5,6，Q=xR2x6，那么下列結(jié)論正確的是（ ）（04天津）A. P Q=P B. P QQC. P Q=Q D. P QP解析：本例主要考查子集的概念，交集運(yùn)算定義、運(yùn)算性質(zhì)及集合與集合關(guān)系的判斷。因?yàn)镻=1,2,3,4,5,6，Q=xR2x6，P Q=2,3,4,

4、5,6，所以P QP，選擇D.示例3設(shè)集合P=m|-1<m<0,Q=mR|mx2+4mx-4<0對任意實(shí)數(shù)x恒成立，則下列關(guān)系中成立的是（ ）（04湖北）AP Q BQ P C P=Q DP Q=解析：本例主要考查集合與集合間的關(guān)系以及一元二次不等式、一元二次方程、二次函數(shù)的關(guān)系問題。由于集合P=m|-1<m<0,Q=mR|mx2+4mx-4<0對任意實(shí)數(shù)x(4m)2-4m(-4)<0恒成立，化簡Q=m|m0或=m|-1<m0，所以 m<0P Q，選擇A。示例4設(shè)A、B、I均為非空集合，且滿足AB I，則下列各式中錯誤的是( )A(CI A

5、)B=I B(C I A)( CI B)=ICA(CI B)= D(CI A)(CIB)= CI B (04河北) 解析：本例主要考查補(bǔ)集、交集、并集運(yùn)算以及集合與集合間的關(guān)系。運(yùn)用韋氏圖解決教簡單。由圖可知(CI A)B=I，選擇A注意：解決集合與集合的關(guān)系問題時，要準(zhǔn)確把握子集、真子集、集合相等的概念及性質(zhì)。示例5設(shè)A、B為兩個集合，下列四個命題：A B 對任意xA,有xB A B AB AA B A B= B存在xA,使得xB（04湖北） 其中真命題的序號是 .（把符合要求的命題序號都填上）解析：本例考查了子集的概念以及命題的否定形式，需要正確理解集合之間的關(guān)系。由于“AB”即集合A中的

6、任何元素都是集合B中的元素，而AB是AB的否定，等價于集合A中至少存在一個元素不屬于集合B，所以應(yīng)填?？键c(diǎn)3考查集合的運(yùn)算（1）考查交集運(yùn)算示例6.設(shè)集合P=1，2，3，4，Q=xx2,xR，則PQ等于 （ ）A1，2 B3，4 C1 D -2，-1，0，1，2（04江蘇） 解析：本例考查交集的定義以及絕對值不等式的解法。依題意Q=xx2,xRx|-2x2，所以PQ1，2選擇A.示例.7已知集合M=0,1,2,N=x|x=2a,aM，則集合MN=（ ）A0 B0，1 C1，2 D0，2（04甘肅） 解析：本例考查集合的有關(guān)概念以及交集的定義。依題意集合N=x|x=2a,aM0,2,4,所以集合

7、MN=0，2,選擇D。示例8.已知集合M=x|x2<4,N=x|x2-2x-3<0,則集合MN= （ ）Ax|x<-2Cx|-1<x<2 Bx|x>3 D x|2<x<3（04四川）解析：本例考查交集的定義以及一元二次不等式的解法。依題意，先將集合化簡，即M=x|-2<x<2,Nx|-1<x<3,所以集合MN=x|-1<x<2,選擇C.（2）考查并集運(yùn)算示例9.設(shè)集合A=5,log2(a+3),集合B=a,b.若AB=2,則AB= .(04上海)解析：本例考查交集、并集的定義以及對數(shù)方程的解法。依題意，因?yàn)锳B

8、=2，所以log2(a+3)2，解得a=1,因此集合B中b=2,即A=5,2,集合B=1，2.故AB=1，2，5。（3）考查交集、并集、補(bǔ)集的混合運(yùn)算示例10.若U=1,2,3,4, M=1,2,N=2,3, 則 CU(MN)= （ ）(A) 1,2,3 (B) 2 (C) 1,3,4 (D) 4(04浙江) 解析：本例考查并集、補(bǔ)集的定義。易知選擇(D)示例11.設(shè)全集是實(shí)數(shù)集R，M=x|-2x2，N=x|x<1，則（CU M）N等于（A）x|x<-2 （B）x|-2<x<1（C）x|x<1 （D）x|-2x<1(04北京)解析：本例考查交集、補(bǔ)集的定義。

9、利用數(shù)軸易知選擇（A）考點(diǎn)4考查集合語言與集合思想的應(yīng)用示例12. 記函數(shù)f(x)=2-x+3的定義域?yàn)锳, g(x)=lg(xa1)(2ax+1x)(a<1) 的定義域?yàn)锽.(1) 求A；(2) 若BA, 求實(shí)數(shù)a的取值范圍.（04上海）解析：本小題主要考查集合的有關(guān)概念，分式不等式及一元二次不等式的解法等基礎(chǔ)知識，考查簡單的分類討論方法，以及分析問題和推理計算能力.x+3x-1【解】(1)20, 得0, x<1或x1 x+1x+1即A=(,1)1,+ (2) 由(xa1)(2ax)>0, 得(xa1)(x2a)<0.a<1,a+1>2a,1B=(2a,a

10、+1).BA, 2a1或a+11, 即a或a2, 而a<1, 21a<1或a2, 故當(dāng)BA時, 實(shí)數(shù)a的取值范圍是(,212),1 2示例13設(shè)全集U=R（1）解關(guān)于x的不等式|x-1|+a-1>0(aR);（2）記B=x|sin(x-A為（1）中不等式的解集，集合3)+cos(x-3)=0，若（CA）B恰有3個元素，求a的取值范圍.解析：本小題主要考查集合的有關(guān)概念，含絕對值的不等式，簡單三角函數(shù)式的化簡和已知三角函數(shù)值求角等基礎(chǔ)知識，考查簡單的分類討論方法，以及分析問題和推理計算能力.解：（1）由|x-1|+a-1>0得|x-1|>1-a.當(dāng)a>1時，解

11、集是R；當(dāng)a1時，解集是x|x<a或x>2-a.（2）當(dāng)a>1時，（CA）=；當(dāng)a1時，CA=x|ax2-a.因sin(x-3)+cos(x-3)=2sin(x-3)cos3+cos(x-)sin=2sinx. 33由sinx=0,得x=k(kZ),即x=kZ,所以B=Z.a<1,當(dāng)（CA）B怡有3個元素時，a就滿足22-a<3, 解得-1<a0.-1<a0.點(diǎn)撥：高考中集合問題主要有兩大類，一類是考查集合本身的知識，一類是以集合語言與集合思想為載體，考查函數(shù)的定義域、值域、方程、不等式、曲線間的交點(diǎn)問題。解題時，要分清集合屬于那一類（數(shù)集、點(diǎn)集或某類

12、圖形）；進(jìn)行集合運(yùn)算時，一般要把各參與運(yùn)算的集合化為最簡形式；關(guān)于含參數(shù)的集合問題要運(yùn)用數(shù)形結(jié)合、分類討論等數(shù)學(xué)思想加以解決?？键c(diǎn)5考查邏輯聯(lián)結(jié)詞與復(fù)合命題真假的判斷示例14.命題p：若a、bR，則|a|+|b|>1是|a+b|>1的充要條件； 命題q：函數(shù)y=x-1|-2的定義域是（，13，+).則 （ ）A“p或q”為假 B“p且q”為真Cp真q假 Dp假q真（04福建）解析：本例考查復(fù)合命題真假的判斷，根據(jù)題設(shè)條件獲得命題的真假，進(jìn)而借助真值表判斷復(fù)合命題的真假。因?yàn)閨a+b|a|+|b|,所以|a|+|b|>1是|a+b|>1必要不充分條件，即p假；由|x-1|

13、-20解得x-1,或x3，即q真，因此選擇D?？键c(diǎn)6考查四種命題的關(guān)系示例15.在下列關(guān)于直線l、m與平面、的命題中,真命題是（ ）（04上海）A若l且,則l. B若l且,則l.C若l且,則l. D若=m且lm,則l. 解析：本例以四種命題真假的判斷為工具考查立體幾何中線面關(guān)系。由立體幾何知識可知選擇B?？键c(diǎn)7考查充分條件、必要條件和充要條件示例16.已知數(shù)列an，那么“對任意的nN*，點(diǎn)Pn(n,an)都在直線y=2x+1上”是“an為等差數(shù)列”的A. 必要而不充分條件 B. 充分而不必要條件C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件（04天津） 解析：本例考查了簡易邏輯、充要條件的判定及其

14、方法規(guī)律，考查等差數(shù)列的性質(zhì)和充要條件的應(yīng)用，還考查了點(diǎn)與直線的位置關(guān)系。由點(diǎn)Pn(n,an)都在直線y=2x+1上，則an=2n+1,所以an為等差數(shù)列；由an為等差數(shù)列，不能推出點(diǎn)Pn(n,an)在直線y=2x+1上，因此，對任意的nN*，點(diǎn)Pn(n,an)都在直線y=2x+1上”是“an為等差數(shù)列”的B. 充分而不必要條件。點(diǎn)撥：簡易邏輯在高考以基本概念為考查對象，以本單元知識作為工具考查三角、立體幾何、解析幾何中的基礎(chǔ)知識，因此要對數(shù)學(xué)概念有準(zhǔn)確的記憶和深層次的理解，要正確認(rèn)識數(shù)學(xué)符號，對基本題型求解準(zhǔn)確迅速?；A(chǔ)練習(xí)1.設(shè)A=x|x=5k+1,kN),Bx|x6,xQ,則AB等于 （

15、 ） A1,4 B1,6 C4,6 D1,4,6 （04湖北）2設(shè)集合U=1，2，3，4，5，A=1，3，5，B=2，3，5，則CU（AB）等于（ ）A1，2，4 B4 C3，5 D（04福建）3設(shè)集合U=0,1，2，3，4，5，集合M=0，3，5，N=1，4，5，則M（CU N）=（ ）A5 B0，3 C0，2，3，5 D 0，1，3，4，5 （04甘肅）4設(shè)集合U=1，2，3，4，5，A=1，2，3，B=2，5，則A（CUB）= （ ）A2 B2，3 C3 D 1，3（04河北）15.在ABC中,“A>30º”是“sinA>”的（ ） 2(A) 充分而不必要條件 (B

16、) 必要而不充分條件(C) 充分必要條件 (D) 既不充分也不必要條件（04浙江）6. 對任意實(shí)數(shù)a、b、c，在下列命題中，真命題是A.“ac>bc”是“a>b”的必要條件B.“ac=bc”是“a=b”的必要條件C.“ac>bc”是“a>b”的充分條件D.“ac=bc”是“a=b”的充分條件17.“sinA=”是“A=30º”的（ ） 2(A) 充分而不必要條件 (B) 必要而不充分條件(C) 充分必要條件 (D) 既不充分也不必要條件（04浙江文）8已知p是r的充分不必要條件，s是r的必要條件，q是s的必要條件。那么p是q成立的： （ ）A充分不必要條件 B

17、必要不充分條件C充要條件 D既不充分也不必要條件9不同直線m,n和不同平面,，給出下列命題 （ ）/m/n m/n/ mm/m m,n異面 m nm/其中假命題有： （ ）A0個 B1個 C2個 D3個10設(shè)集合U=(x,y)|xR,yR, A=(x,y)|2x-y+m>0, B=(x,y)|x+y-n0,那么點(diǎn)P（2，3）A(CUB)的充要條件是（ ）Am>-1,n<5Cm>-1,n>5 Bm<-1,n<5 Dm<-1,n>511已知a,b,c為非零的平面向量. 甲：ab=ac,乙:b=c,則（ ）A甲是乙的充分條件但不是必要條件B甲是乙

18、的必要條件但不是充分條件C甲是乙的充要條件D甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件（04湖北）12.設(shè)m，n是兩條不同的直線，是三個不同的平面，給出下列四個命題： 若m，n，則mn； 若，m，則m； 若m，n，則mn； 若，則。其中正確命題的序號是（A）和 （B）和 （C）和 （D）和13對于直線m、n和平面，下面命題中的真命題是 （ ）A如果m,n,m、n是異面直線，那么n/B如果m,n,m、n是異面直線，那么n與相交C如果m,n/,m、n共面，那么m/nD如果m/,n/,m、n共面，那么m/n(04甘肅)14.函數(shù)f(x)=x2-2ax-3在區(qū)間1,2上存在反函數(shù)的充分必要條件是(A)a(-,1) (B) a2,+)(C) a(-,1) 2,+) (D) a1,215.函數(shù)y=的定義域是：（ ） A1,+) B( C D( （04重慶） 3,13,13,+)x(x+2)<0的解集為（ ） 16不等式x-3Ax|x<-2,或0<x<3 Bx|-2<x<2,或x>3Cx|x<-2,或x>0 D