【新人教A版數(shù)學(xué)】必修二第六章6.4.3第2課時(shí)

1、【新人教版】數(shù)學(xué)必修二第六單元第2課時(shí) 正弦定理【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.能借助向量的運(yùn)算，探索三角形邊長(zhǎng)與角度的關(guān)系并掌 握正弦定理2能運(yùn)用正弦定理與三角形內(nèi)角和定理解決簡(jiǎn)單的解三 角形問(wèn)題.知識(shí)梳理梳理教材夯實(shí)息礎(chǔ)' '知識(shí)點(diǎn)一正弦定理在一個(gè)三角形中，各邊和它所對(duì)角的歪弦的比相等.sin A sin B sin C知識(shí)點(diǎn)二正弦定理的變形公式l.a=2/?sin A, b=2Rsin B, c27?sin C.2.sinA=玲，sin B=4, sin C=或（其中R是ABC外接圓的半徑）. 思考 在正弦定理中，三角形的各邊與其所對(duì)角的正弦的比都相等， 那么這個(gè)比值等于多少？與該三角形

2、外接圓的直徑有什么關(guān)系？ 答案 等于2/?（R為該三角形外接圓的半徑），與該三角形外接圓的直 徑相等.思考辨析 判斷正誤-1 .正弦定理對(duì)任意的三角形都成立.（V ）2 .在ABC中，等式sinC=csinB總能成立.（J ）3 .在ABC中，已知a, b, A,則能求出唯一的角5.（ X ）4 .任意給出三角形的三個(gè)元素，都能求出其余元素.（X ）題型探究探究重點(diǎn)素養(yǎng)提升、 一、已知兩角及任意一邊解三角形例1在ABC中，己知A=30。，8=60。，”=10,解三角形.3 y 小、皿 小 usin B lOsin 60°解根據(jù)正弦定理，b=A= sin 30° =又 C=

3、1800-(30°+60°) = 900, c=yja-b = 20.反思感悟正弦定理實(shí)際上是三個(gè)等式：號(hào)焉 白= 前O 卷=前0每個(gè)等式涉及四個(gè)元素，所以只要知道其中的 三個(gè)就可以求另外一個(gè).因?yàn)槿切蔚膬?nèi)角和為180°,所以已知兩角一定可以求出第三個(gè) 角.跟蹤訓(xùn)練1在ABC中，己知8=30。，C=105°, =4,解三角形.解因?yàn)?5=30。，C=105°,所以 180°-(B+C)= 180°-(30°+105°)=45°.t、a4c由正弦定理，得sin 450 = sin 30。= 5也

4、105。，初,日 4sin 45° /仄 4sin 105°71不 解傳 ”=se 30。=45 c= sin 30。=2(=+>).二、已知兩邊及其中一邊的對(duì)角解三角形例2在ABC中，己知c=#，A=45。，a=2,解三角形.鏟 c. . csinA #sin450 小sin A sin Ca 22V0°<C<180% AC=60° C=120°.當(dāng) C=60。時(shí)，8=75。，b=y/3+l;csin B 避sin 75°sin C sin 60°當(dāng)C=12。時(shí)，B=S, 6=需=嚕需=小一1=小+1,

5、8=75。，C=60?；?/一1, 8=15。，C=120°.延伸探究若把本例中的條件“4=45。"改為“C=45?！?,則角A有幾個(gè)值?2更物 . , asin C2解1=碇'smA=運(yùn)=3 .,* c=,y6>2=ci, ： C>A.A為小于45。的銳角，且正弦值為坐，這樣的角A只有一個(gè).反思感悟 這一類型題目的解題步驟為用正弦定理求出另一邊所對(duì)角的正弦值；用三角形內(nèi)角和定理求出第三個(gè)角；根據(jù)正弦定理求出第三條邊.其中進(jìn)行時(shí)要注意討論該角是否可能有兩個(gè)值.跟蹤訓(xùn)練 2 在ABC 中,AB=2,AC=3,8=60。,則 cosC等于（）A巫r業(yè)羽 門(mén)姐

6、3 D. 3 ix 2 la 2答案B解析由正弦定理，得黑=熬，即康=嬴，解得.。=坐'：AB<AC, ：.C<B, A cos C=J1-sin2C=.三、三角形形狀的判斷例 3 在448。中，己知：=空咎,且 sin2A+sin2B=sin2C.<ffi： /ABC u sin r為等腰直角三角形.證明4=4，sin A sin B.sin B bsea=7eet/ = sinB 人 -sinA,幺9b=a9.a2=b2 即 a=b,sn a b c /, abc則 sin A=" sin 8=7，sin C=p又sin2A+sin2B=sin2C,.a

7、2 b2 c2, ,后+向=/，即4- + -=d, ABC為等腰直角三角形.反思感悟 判斷三角形的形狀，就是根據(jù)題目條件，分析其是不是等 腰三角形、直角三角形、等邊三角形、等腰直角三角形、銳角三角形、 鈍角三角形等.利用正弦定理判斷三角形形狀的方法如下：(1)化邊為角，走三角變形之路，常用的轉(zhuǎn)化方式有：=2RsinA, Z?=27?sinB, c=2Rsin C(R 為ABC 外接圓的半徑)；“y/ _sin A a sin A Z? sin Bb=sinBfsin C Z=sinC;(2)化角為邊，走代數(shù)變形之路，常用的轉(zhuǎn)化方式有：sin A=券，sin B=, sin C=(R為ABC外

8、接圓的半徑)；.、sin A u sin A a sin B bsin廣涼 sin C=c9 sin C=?跟蹤訓(xùn)練3 在ABC中，己知2sinAcos5=sinC,那么ABC一定 是()A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.正三角形答案B解析方法一(利用邊的關(guān)系進(jìn)行判斷)由正弦定理和余弦定理，2sin Acos B=sin C 可化為2 2_N24':二即 /+”一=c2,即屏=抉，故 4=.所以ABC Zac是等腰三角形.方法二(利用角的關(guān)系進(jìn)行判斷)因?yàn)樵贏BC 中，A+B+C=n,即 C=7t(A+B),所以 sin C=sin(A+B).由 2sin Acos B

9、=sin C=sin(A+B),得 2sin Acos B=sin Acos B+cos Asin B,即 sin Acos Bcos Asin B=0,所以 sin(A3)=0.因?yàn)橐回ABV兀，所以A8=0,即A=B.所以ABC是等腰三角形.基礎(chǔ)鞏固學(xué)以致用隨堂演練1 .在ABC 中，a = 5, b=3,貝ij sin A ： sin 8 的值是（）5 3 -3 -5A.t B.t C.z D.z J/答案A解析根據(jù)正弦定理，得票4v、111 L/ 。2 .在aABC 中，若 sinA = sinC,則48。是（）A.直角三角形B.等腰三角形C.銳角三角形D.鈍角三角形答案B解析 由s

10、in A = sin C及正弦定理，知a=c,ZVIBC為等腰三角形.3 .在ABC中，一定成立的等式是（）A.sin A=Z?sin BB.t/cos A = Z?cos BC.tzsin B=bsn AD.ucos B=bcos A答案C解析 由正弦定理就=京3，得4sin5=Z?sin44 .在aABC 中，已知 a = 8, 5=60。，。=75。，則等于（）A.4 B.4 部 C.46 D.4答案C 解析易知人45。，由總=靠得.Q 8X 勺 usinB= 2_= b sin A 也刃。25 .在ABC中，內(nèi)角A, B,。所對(duì)的邊分別為m b, c,若5=45。, C=60°

11、;, c=l,求ABC最短邊的邊長(zhǎng).解 由三角形內(nèi)角和定理，得A= 180。一（8+。= 75。，所以3是最小角，"為最短邊.由正弦定理，得sin 5=sin C'即sin45°=sin 60。'則b=課堂小結(jié)1 .知識(shí)清單：（1）正弦定理.（2）正弦定理的變形推論.2 .方法歸納：化歸轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合.3 .常見(jiàn)誤區(qū)：已知兩邊及一邊所對(duì)的角解三角形時(shí)易忽視分類討論.課時(shí)對(duì)點(diǎn)練注重雙基強(qiáng)化落實(shí) %基礎(chǔ)鞏固1 .在ABC 中，若 A=105。，B=45。，b=26 則 0 等于（A.l B.2 C.2 D.小答案B 解析 VA=105°, 6=45。，

12、AC=30°.由正弦定理，得Z?sinC 2V2sin30°c= sin B = sin 45° =2，2 .在AA6c 中，a=bsnAf 則ABC一定是（）A.銳角三角形B.直角三角形C.鈍角三角形D.等腰三角形答案B解析 由題意可知/則sin6=l, Sill ziSill D又B£（0,兀），故8為直角，ZVIBC是直角三角形.3 .在AA6c中，已知4=梟“=小，b=l,則c的值為（）A.l B.2 C.小一 1 D.小答案B解析由正弦定理卷=白,向州S 1. . D 1sin3由 cZ?,得 A>5, /.Belo,故C=*由勾股定理得

13、c=2.乙4 .在ABC 中，a=15, b=10, A=60。，則 cos 8 等于（）252也 乖 乖A.- B.U- Cy- D .4- wZ>J答案D解析由正弦定理，得薪=磊，V3. lOsin 60° 10X 2sm" =15 = 3 -a>b,，A>B,又A=60。，8為銳角.*.cos B=yjisirrB=yj 12=坐.5.在AA6c中，若sinA>sinB,則A與8的大小關(guān)系為（）A2BB.A<BC.A23D.A, 5的大小關(guān)系不確定答案A解析 設(shè)內(nèi)角A, B,。所對(duì)的邊分別為以，b, c,V sin A>sin B,

14、27?sin A>27?sin B（R為XABC外接圓的半徑），即仇敵A>B.6 .在ABC 中，若 a=小,=應(yīng)，8=/ 則4=.較安匹口?？誶3* 乂 3. R5X半巧解析 由正弦定理，得114="乎=不二=當(dāng)，又 A£(0, 71), a>b, .A>B, .A=或率7 .在ABC 中，已知 a=4，sin C=2sin A,則 c=.答案2點(diǎn)解析 由正弦定理，得。=空苧=2=2木.olll Z18 .在ABC中，已知 =2, A = 60。，貝IJA45C的外接圓的直徑 為.答案攀a 24/3解析力。外接圓直徑2R=而溟=刖=寸9 .已知在A

15、ABC中，角A, 8, C的對(duì)邊分別為m b, c, c=10, A =45°, C=30。，求 a, Z?和 A解 7 sin A-sin Ccsin A _ 1 Osin 45° _ 歷 sinC= sin 30° = 102-B= 180o-(A + O=180o-(45o+30°)= 105°.7 上=_人 sinsin CcsinB lOsin 105° . ,Z?=sinC= sin 30° =20sin 75= 20X水：立=5（4+誨）.10 .在ABC中，己知4cos一A；=bcose一3 ,試判斷ABC的

16、形狀. 解 方法一t/cos A =Z?cos B）,l/sin A = Z?sin B.4 b由正弦定理，可得4樂(lè)="萬(wàn)，./ =序，=ABC為等腰三角形.（兀 、 （TI ' 方法二 ,./cos A =bcos（B ,asin A = Z?sin B.由正弦定理，可得2/?sin2A=2/?sin2B,又?1, B£（0, ji）, .*.sin A = sin B, .A=5（A+B=ti:不合題意，舍去）.故ABC為等腰三角形.:可綜合運(yùn)用,A . .sin A cos C ,.11.在ABC中，若丁=,則C的值為（）VTLA.30° B.45&

17、#176; C.60° D.90°答案B解析由正弦定理知迎4=地工， a csin C cos C . =, . .cos C=sin C, . .tan C=l,c c又0°vCvl80。，AC=45°.12.在ABC中，內(nèi)角A, B, C所對(duì)的邊分別是a, b, c.已知86=5c, C=2B,則 cos C 等于（）77724A-25 B-25 °土石 D.不答案A解析因?yàn)樵贏BC中，內(nèi)角A, B, C所對(duì)的邊分別是以，b, c.已 知 8=5c, C=2B,所以 8sin 8=5sin C=5sin 25= lOsin Bcos 8,所

18、 以cos 8=亍 又B為三角形內(nèi)角，所以sin B=l cos%=j.4 3 24所以 sin C=sin 2B=2X-X=z.又 cosB>cos45。，所以 B<45。, C=2B<90°,cos C=l 1 sin2C=.乙J13 .在ABC中，內(nèi)角A, B, C的對(duì)邊分別為a, b, c,若滿足8 = 60。，c=2的三角形有兩解，則的取值范圍為.答案（小，2）b c解析在ABC中,8 = 60。，C 2,由正弦定理可得: A =olll D '111 J）得。=綃若此三角形有兩解，則必須滿足的條件為C>歷心in B, olil D即小vv2

19、.14 .在ABC中，角A, B, C的對(duì)邊分別為a, b, c,且5sin A = 4cos B.（1）求&（2）若=3, sin C=/3sin A,求 a, c.解（1）由小加in A=cos B及正弦定理，得小sin Bsin A = sin Acos B.在ABC 中,sin A WO,，5sin B=cos B, t A g tan d- 3 .()<8<兀， o(2)由sin C=,sin A及正弦定理，得c=/>a,由余弦定理人2=/+c22accos B,得 32=a2+c22t/ccos B,即 a2+c23ac=9,聯(lián)立，解得4 = 3,。=3小.X拓廣探究15 .銳角三角形的內(nèi)角分別是A, B, C,并且A>5.則下列三個(gè)不等式 中成立的是.©sin A>sin B；cos A<cos B；sin A+sin 3>cos A+cos B.答案解析 臺(tái)0sin A>sin & 故成立.函數(shù)y=cosx